山东烟台爱华高级中学2025-2026学年高一下学期期中质量检测数学试题

烟台爱华高级中学2025级高一（下)学中质量检测 数学 时长：120分钟 满分：150分 出题人：蔡璞先 审题人：刘欣 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的， 1.下列说法正确的是() A.若a=园，则a=i或a=-五 B.若a.c=b.c,则a=b C.若a=b,则a.c=b.c D.若a.b>0,则a,b夹角为锐角 2.若复数z满足i(z+2)=3-i,则=() A.-3-3i B.-3+3i C.3-3i D.3+3i 3.在高为6的三棱柱ABC-AB,C1中，△AB'C'是底面△ABC的水平放置的直观图，如图， OA=OB=2,OC'=√3，则三棱柱ABC-AB,C1的体积为() B A.6√5 B.85 C.125 D.24W3 4.若复数z满足z-1+2i上3，则的最大值为(). A.3-5 B.3-√2 C.3+√2 D.3+V5 5.若同=1，=，B),且a在万上的投影向量为五，则a与6的夹角为() A. B c D.3 6.在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且acos B+(2C-b)cosA=c,则△ABC 的形状为() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 7.已知正四棱台的上、下底面边长分别为7,9，体积为193，则该正四棱台的侧棱长为 () A.√万 B.V10 C.√i D.√3 试卷第1页，共4页 8.在锐角三角形△ABC中，若c2=a(a+b),则，1-1 的取值范围为() tan tanC A.1,2 2/3 c.(W2,3 D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错 的得0分 9.已知复数3，三2是关于x的方程x2-bx+4=0(b<4,b∈R)的两根，则() A.323=4 B.3=23 c.==2 D.3+=+ 10.已知△ABC三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,则下列说法正确的是() A.若A>B,则sinA>sinB B.若AB.CA>0,则△ABC为钝角三角形 C.若△ABC为锐角三角形，则sinA>cosB D.若sinA:sinB:sinC=2:3:4,则△ABC为锐角三角形 11.陶艺是中国传统古老文化与现代艺术结合的艺术形式，某校陶艺社同学制作了一个实心 圆锥PO,若该圆锥底面直径和高均为2，现过PO中点O作平行于底面的截面，以该截面 为底面在圆锥中挖去一个圆柱，得到工艺品如图所示，则下列说法正确的是() A. 剩下几何体的表面积为9+4V5 4 B.剩下几何体的体积为 C.挖去圆柱体的外接球表面积为2π D.若将挖去的圆柱制成一个实心球体艺术品，若不考虑体积损耗，则该球体的半径为 12 4 试卷第2页，共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量a.五的夹角为牙，若=2，a--2而，则 1B.在直三棱柱A5C8C巾，AC-子，AB=5,5C-M=1,则直三棱柱 ABC-A'B'C'外接球的体积为 在三棱锥B-ABC中，底面A'BC上的高长为 14.南方由于雨水较多，三角形斜屋顶建筑在江浙一带随处可见.如图是一三角形木屋的建 筑示意图.三角形斜屋顶PMN在地面的投影为△ABC,且∠ABC=45°，∠ACB=60°.在M 点测得N点的仰角为15°，在N点测得P点的仰角为30°，M点到地面的距离为3m,N点到 地面的距离为4m,则P点到地面的距离为 m. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演 算步骤 15.欧拉公式e“=cosx+isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数 函数的定义域扩大到复数集。 (1)若复数z= i11-i)2024 1-i3 25 1+,求： (2)在复平面内复数？=e,马2=V2-√i对应的向量分别是0A,OB,其中0是原点，求 向量4正对应的复数z. 16.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(3,2),B(2,0),OP=(1,t). (1)若点A,B,P不能构成三角形，求PB; (2)当PA.PB取得最小值时，求△ABP的面积. 17.如图，ABCD是圆台下底面圆的内接四边形，AB=AD=4,C为底面圆周上一动点， ∠BCD=号，PA为圆台的母线，2A=5,圆台上底面的半径为1. 试卷第3页，共4页 B (1)求该圆台的表面积： (2)求四棱锥P-ABCD的体积的最大值. 18.请在①向量x=(cosC,c-2a),y=(b,cosB),且x1y:②(a2-b2)sinA=(b-c2)sinC 这两个条件中任选一个，填入横线上并解答 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为，b,c,且满足 (1)求B的大小： (2)若b=2,求△ABC周长的取值范围； (3)若AC边上的高为1，求△ABC面积的最小值. 19.近年来，民宿作为一种具有特色的住宿形式，逐渐受到人们的青睐.小李计划将旧居改 造成田园农家民宿，民宿小院用栅栏围成如图所示的等腰梯形形状，BC临街，长16米， ∠B=75°，在BC上选择一点G开设大门，从大门出发铺两条鹅卵石小路GE,GF,小路 终点E、F在墙AB、CD上，且∠BGE=∠CGF=60°，GEF为庭院休闲区，为使小院更具 田园气息，路面EF用防腐木铺设， 房屋D G 街 (1)GE+GF是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由： (②)若鹅卵石路面平均每米需花费200元，防腐路面平均每米需花费400元，设修路总费用 为S(单位：元)，求S最小值.（最终结果保留整数）（参考数据：√3≈1.732） 试卷第4页，共4页 1.C 【分析】利用平面向量的相关概念及数量积定义与计算公式一一判定选项即可. 【详解】对于A,两向量模长相等，不一定共线，故A错误： 对于B,若a.c=i.c→dcos(a,c=cos(⑥，c),不能得到a=i, 比如a,b为任意非零向量，c=0时满足ac=b.c,但a,b不一定相等，故B错误： 对于C,若a=i,则有(a,c=(6,c,d=,所以a:c=.c,故c正确： 对于D,若a,b同向，即夹角为零角时仍能满足a.b>0,故D错误. 故选：C 2.B 【分析】利用复数的除法法则和共轭复数的概念即可求解. 【详解1由1(e+2)=3-i得：=3i-2=仔0x国2=-效-3， i i×(-i) 所以三=-3+3i. 故选：B. 3.D 【分析】利用斜二测画法规则求出底面三角形面积，再利用柱体体积公式计算即得 【详解】直观图△AB'C'对应的原图形为如图所示的△ABC,其中OA=OA'=2,OB=OB'=2, OC LAB,.0C=20C=25,因此△ABC的面积Sc=号AB.0C=4W5, 2 B 所以三棱柱ABC-AB,G的体积为V=Ssc×6=24V3 故选：D 4.D 【分析】根据复数模长的几何意义可求答案」 答案第1页，共12页 【详解】由题意z-1+2i上3的几何意义为复数z对应复平面内的点Z到点A(1,-2)的距离 为3， 点A到原点的距离为2+(-2)2=V5, 所以z的最大值为3+√5， 故选：D 体 5.c 【分析】根据投影向量的定义计算即可. 【详解】由题意可知a在方上的投影向量cosa,6× 6 +(3) 4, 所以os(a,6=3又a）e[0,叫，所以(a,6）=写 故选：C 6.D 【分析】利用正弦定理变化角及三角形的内角和定理，再利用诱导公式及两角和的正弦公式， 结合三角形内角的范围和三角方程即可求解 【详解】由acos B+(2c-b)cosA=c及正弦定理，得 sin Acos B+(2sin C-sin B)cos A=sinC, 所以sin Acos B+2 sin CcosA-sin BcosA=sinπ-(A+B)=sin(A+B), sin Acos B+2sin Ccos A-sin Bcos A=sin Acos B+cos Asin B, 2sin C cos A-sin B cos A=cos Asin B, 即(sinC-sinB)cosA=0,解得sinC=sinB或cosA=0, 当sinC=sinB时，又0<B<π，0<C<π，所以C=B或C+B=π（舍），所以△ABC为等腰 三角形： 答案第2页，共12页 0时，又0<A<π，所以A=号，所以△ABC为直 综上所述，△ABC为等腰或直角三角形， 故选：D. 7.C 【分析】根据正四棱台的体积公式先求棱台的高，再利用勾股定理计算侧棱即可. 【详解】 D D B 如上图所示，正四棱台ABCD-ABCD,AE⊥AC,易知AE即棱台的高， 由校台的体梨公式知：”一44心4可)， 3×193 所以AE= =3, 72+92+√72×92 所以侧棱长AE AC-AC +AE2- 9W2-72 +32=厅 2 故选：C 8.B 【分析】根据余弦定理化简c2=a(a+b)得到a=b-2 acosC,结合正弦定理、三角恒等变换 公式，推导出血A=s血(C-),可得C=2A,然后将11 tanA tanC 化简为n2A,结合A为 锐角三角形算出角A的取值范围，进而根据正弦函数的性质算出答案. 【详解】解：根据c2=-a(a+b)=a2+ab, 结合余弦定理c2=a2+b2-2 ab cos C, 得ab=b2-2 abcosC,即a=b-2 acosC, 由正弦定理化简， sin A=sin B-2sin AcosC, 其中sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cos Asin C, 所以sinA=cos Asin C-sinAcosC=sin(C-A), 答案第3页，共12页 结合A、C为三角形的内角， 可得A=C-A,即C=2A, 0<A< 2 0<A<z 因为△4BC为锐角三角形，所以0<C<即0<2A<” 0eB<号 0<元-3A< 2 解得Ae后孕， 11005hC0SC cos Asin C-sin AcosC sin(C-A) tanA tanC sin A sinC sin Asin C sin Asin C sinA 1 1 sin Asin C sin C sin 2A 因为2Ae5, ,ππ、 02He0,2 所以、1 ）, 1 1 "taAm的取值范围为（空， 即 故选：B 9.ABC 【分析】在复数域解一元二次方程可得3，二2，再利用复数的乘法运算、共轭复数定义、 模长公式一一判定选项即可 【详解】根据题意知△=b2-16<0,所以2 b±V16-b2i 不妨令3-b+h6-i,3,-b-16-i 2 2 则22= b2+16-b2 =4, .b+V16-b2i 4 2 16-b2 2 2 ==2,而3+=b|<4, 故A、B、C正确，D错误 故选：ABC 10.ABC 【分析】对于A:结合大角对大边及正弦定理即可求解；对于B:由向量夹角公式即可判断； 对于C:由锐角三角形内角的性质与诱导公式即可求解；对于D:由余弦定理变形式即可求 答案第4页，共12页 解 【详解】对于A:由大角对大边及正弦定理可知： A>B→a>b→sinA>sinB,故A正确： 对于B:因为AB.CA>0,所以ABAC<0, 所以A为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故B正确： 对于C:因为△ABC为锐角三角形，所以A+B>亚→匹>A>π-B>0, 22 2 所以sinA>sm,B=cosB,故C正确 对于D:因为sinA:sinB:sinC=2:3:4,由正弦定理得： a:b:c=2:3:4,设a=2k→b=3k,c=4k, 由余弦定理变形式得：cosC二a+b-c=4+9k二16k三-≤0， 2ab 2×2k×3k 所以C为钝角，故D错误. 故选：ABC. 11.BCD 【分析】结合图形，利用圆锥、圆柱的表面积和体积公式计算即可判断A,B:对于C,根 据圆柱的对称性判断外接球的球心，易得其半径，即得其表面积；对于D,利用等体积列方 程求解即得。 【详解】对于A,设圆柱体的底面半径为r,高为A,则r=×1=片，h=×2=1, 2 2 2 圆锥的母线长为√2？+1？=√5，过P0中点O'作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥 中挖去一个圆柱得到的几何体的表面积为： *1x5+2×分1+x1=2+5,放A错误： 对于B,由题意，剩下几何体的体积为： =乃-陆方x2-分1=写中=音，故B正商： 答案第5页，共12页 对于C,如图，设OO的中点为C,由圆柱的对称性可知，圆柱的外接球的球心即点C, 设外接球的半径为，自图虹，R-份一宁-号 则圆柱的外接球的表面积为4R=4机×三；=2元，故C正确： 对于D,设该实心球的半径为'，依题意， 3=x2x1, 4 即得3= 6 则'= 312 16 故D正确 4 故选：BCD. 12.3 【分析】利用平面向量数量积公式及其与模长的关系计算即可 【详解】由a-6=2→4a-4a3+8=4f-4x2×cos2+4=52, 3 即+同-12=0，解之得-3 故答案为：3 13. 5W5元 6 2"2 【分析】利用补形法结合长方体的特征及球的体积公式计算即可得第一空，利用等体积法计 算即可得第二空 【详解】 D 如图所示，补三棱柱ABC-A'B'C'为长方体ABCD-AB'CD, 易知三棱柱ABC-A'B'C'的外接球即长方体ABCD-A'B'C'D'的外接球， 答案第6页，共12页 其体对角线即球的直径，易得A'C=√AB2+BC2+AA2=√5， 所以球体积为4红， 5 5W5元 2 6 易知a4BC为直角三角形，其面积为xBC×4'B=1, 设底面A'BC上的高长h, 则}1x31x5=.ch1eh= 32 3 2 故答案为：55元.V5 6 2 14.5+ 3 【分析】作MD1CN于D,作NE⊥PA于E,利用正弦定理及锐角三角函数解三角形计算即 可 【详解】 M B C 作MD⊥CN于D,作NE⊥PA于E, 由题意易知AE=NC=4,MB=3,ND=1,∠MD=15°，∠PWE=30°， 8am5=maw-0j卢02- sim75'=sim(45+30）=sim45°cos30°+cos45sin30=V6+V2 4 所以D-:=2-5→Mm=2+5=BC, MDMD 在△ABC中，由题意可知∠BAC=75°， 根据正弦定理有BC。AC 5m75sm45≥1C-sin45°BC22+35+1 sim75° V3+1 所以胜袋1a=,5 3 3 答案第7页，共12页 故答案为：5+V3 3 1sa49 ②z-5 22 【分析】(1)利用复数的四则运算法则及i的周期性，再利用复数的模公式即可求解： (2)根据已知条件及复数减法的几何意义即可求解 【详解】(1)由题可知 15i 1 1-甲1+i_(1+i)×(-i)_1_1: (1+i订2i=2ix(仁=221 所以年1：9 3, 2 (2)因为AB=OB-OA, 所以z=马-名=2-Vi-cos+isi 4 422 16.(1)PB=(1,2) a号 【分析】(1)利用平面向量三点共线的坐标表示计算即可： (2)利用平面向量数量积的坐标表示、二次函数的性质可先确定t值，再利用平面向量数 量积公式计算夹角结合三角形面积公式计算即可， 【详解】(I)因为点A,B,P不能构成三角形，所以A,B,P三点共线，即AB∥PB, AB=(-1,-2),PB=(1,-t),则有-1×(-t)-（-2)=0, 所以t=-2,所以PB=(1,2): 答案第8页，共12页 (2)因为PA=(2,2-t),PB=(1,-t), 所以PAPB=(2,2-t)(1,-t)=t-2t+2=(t-1)+1, 当t=1时，PA.PB取得最小值1，此时PA=(2,1),PB=(1,-1), 所以cos A,PB=PA.PB 1 10 PP丽5√210， 因为pA,PB∈[o,π，所以sin PA,PB 31 0 则a1P的面积5-分PA丽sn阻历-}5xE3而- 10-2 所议aABP的面积为 17.(1)42元 (2)4V5 3 【分析】(1)在△ABD中，由余弦定理可求得BD=4√5，由正弦定理可得下底面半径，可 求以圆台表面积： (2)由三角形面积公式可求得△ABD的面积，在△BCD中，由余弦定理得 BD=BC2+CD2-BC.CD≥BC.CD,可得BC.CD≤48，则△BCD的面积 SBC:BD:sim∠BCD≤123，得到底面4BCD面积的最大值，再在轴截面直角梯形 PAOO中，由勾股定理求出圆台的高，即可求得四棱锥P-ABCD的体积的最大值. 【详解】(1) 因为∠BCD= 3’所以∠BAD=2π 31 在△ABD中，由余弦定理得BD2=AB2+AD-2AB×AD×cOS∠BAD=48, 得BD=4V5, 答案第9页，共12页 BD 43 由1秘定斯可知外接飘直名2mD专-8， 2 所以下底面半径R=4,上底面半径r=1, 圆台侧面积S则=π(r+R)1=25π， S=m2=元 Sx=πR2=16π， 所以圆台表面积S表=25π+π+16π=42π. (2)在四边形ABCD中，S8D=7AB×AD×sin∠BAD=4W5, 在△BCD中，由余弦定理BD2=BC2+CD2-2BCCD.cOs∠BCD, 得BD=BC2+CD-BC.CD≥BC.CD, 所以BC.CD≤48，当且仅当BC=CD=4v3时=”成立， △BCD的面积S=BC,BD-sim∠BCD≤12B 底面ABCD面积的最大值为16√5， 在轴截面直角梯形PA00中，由勾股定理可得h=V52-(4-1)=4, 所以四枝锥P-BCD的体积的最大值为Sh:645 3 18.(1)B=元 3 (2)(4,6 3 3 【分析】(1)若选①，利用平面向量垂直的坐标表示及正弦定理边化角计算即可；若选②， 先正弦定理角化边，化简变形后利用余弦定理计算即可： (2)利用余弦定理、基本不等式及三角形三边关系计算即可： (3)利用三角形面积公式、余弦定理及基本不等式计算即可. 【详解】(1)选择①：因为x⊥y,所以(2a-c)cosB=bcosC, 由正弦定理得，(2sinA-sinC)cosB=sin BcosC, 2sin Acos B=sin C cos B+cosCsin B, 答案第10页，共12页 2sin Acos B=sin(B+C)=sinA, 1 因为A∈(0，π)，所以sinA>0,所以cosB= 又BeQ,所以8=号 选择②：因为(a2-b2)simA=(b2-c2)sinC, 由正弦定理得，(a2-b2)a=(b2-c2)c, 即a+c3=ab'+bc,即(a+c)(a2-ac+c2)=b2(a+c), 即a2-ac+c2=b2,即a2+c2-b2=ac, 由余弦定理得，cosB=4+c2-b2_1 2ac21 又B∈(O,m,所以B=. Γ3 (2)由余弦定理b2=a2+c2-2 ac cos B得，a2+c2-ac=(a+c)}-3ac=4, 即3x=(a+c2-4s3a+c},即(a+c≤16 所以2<a+c≤4，得4<a+b+c≤6，当且仅当a=c=2时取得等号， 所以△ABC周长的取值范围为(4,6]. (3)由面积公式Sc-b=acsi血B,得b-5c -ac, 2 2 2 由余弦定理可得b2=a2+c2-2 ac cos B,即b2=a2+c2-ac, 所以子u=d1e业，所以手当且仅当ac时等号攻立 所以9.ac=)acsin B25 1 3 所以△ABC面积的最小值为 3 19.(1)是定值8√3+8： (2)8742元. 【分析】(1)利用三角形的内角和定理及正弦定理即可求解： (2)利用余弦定理及基本不等式即可求解， 【详解】(1)是定值： 理由如下：在△BEG中，∠B=75°，∠BGE=60°，所以∠BEG=45°， 答案第11页，共12页 由正弦定理得， si咖45osin750,所以GB=BG-sin750 BG GE sin45° 在△CFG中，∠C=75°，∠CFG=45°，∠CGF=60°， 由正弦定理得， sin45osin750’所以Gn=CG.sin75e CG GF sin45° 所以G6+cR.8Gm075”+c0sa75°=BG+CGm7 6+2 sin45 =16×4 -=8N3+8为定值. sin45° sin45° √2 (2)由题意可知，要使总费用最低，只需EF最小， 在△EFG中，EF2=GE2+GF2-2GB.GFc0s60° =GE+GF2-GE.GF=(GE+GF)-3GE.GF (CB-OP)3(GE-GF)-GEGF)-1) 4 4 当且仅当GB=GF=4V3+4时='成立， 所以EF≥4V5+4,所以EF的最小值为4V3+4, S=(GE+GF)×200+EF×400 =(8V3+8)×200+EF×400, ≥(83+8)×200+(4V3+4)×400=3200V3+3200≈8742（元） 所以修路费用最少为8742元。 答案第12页，共12页