专题02 方程与不等式6大考点（云南专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦方程与不等式6大核心考点，汇编2026年云南多地二模真题，以真实生活情境和文化经典为载体，实现基础巩固与综合应用的梯度训练。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约20题|解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程根的判别式等|结合《九章算术》“黄金白银”题考查二元一次方程组应用| |填空|约10题|分式方程增根、一元二次方程含参问题等|设置“和谐方程”定义新题型，考查概念迁移能力| |解答|约15题|不等式组方案设计、利润最大化问题等|以牛奶购买、羽毛球拍促销为情境，融合数据分析与最优方案设计|

专题02 方程与不等式 6大考点概览 考点01解一元一次方程及其应用 考点02解二元一次方程及其应用 考点03 一元二次方程与实际问题 考点04一元二次方程的含参问题 考点05 分式方程与实际问题 考点06 不等式（组）与实际问题 解一元一次方程及其应用 考点01 1．（2026云南楚雄二模）在反比例函数 中，当时，，则k的值为（    ） A．5 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据反比例函数的定义求参数，解一元一次方程（三）——去分母，解题关键是掌握反比例函数的定义并能运用求解． 将给定的x和y值代入反比例函数解析式，得到关于k的一元一次方程求解． 【详解】解：∵当时，， ∴代入，得：， 两边同时乘以，得：， ∴， 故选：C． 2．（2026云南昆明 二模）下列等式变形，错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】等式的性质1：等式的两边都加（或减）同一个数或式子，等式仍成立；等式的性质2：等式的两边都乘同一个数，等式仍成立；等式的性质3：等式的两边都除以同一个不等于0的数，等式仍成立．根据等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A．∵，∴，变形正确，故本选项不符合题意； B．∵，∴，变形正确，故本选项不符合题意； C．∵·，∴，变形正确，故本选项不符合题意； D．由能推出或，故本选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等式的性质，能正确根据等式的基本性质进行变形是解此题的关键． 3．（2026·云南楚雄·二模）我国古代数学著作《算法统宗》里记载了这样一道题：有一批客人要住店，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房，则该店有客房多少间？设该店有客房x间，根据题意，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列方程即可． 【详解】解：设该店有客房x间， ∵如果每一间客房住7人，还有7人无房可住， ∴住房的总人数为； ∵如果每一间客房住9人，那么就空出一间房，则实际住了间房， ∴住房的总人数为， ∵住房的总人数不变， ∴． 4．（2026·云南楚雄·二模）某车间有52名工人，每人每天可以生产12个螺母或20个螺栓.1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，安排x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键； 设安排x名工人生产螺栓，则其他名工人生产螺母，根据：1个螺栓需要配2个螺母，且每天生产的螺栓和螺母刚好配套，即可列出方程． 【详解】解：设安排x名工人生产螺栓，则其他名工人生产螺母， 根据题意，可列方程：． 故选：D． 5．（2026·云南临沧·二模）一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为，则这个正多边形是（    ） A．正五方形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 【答案】B 【分析】设这个外角是，则内角是，根据内角与它相邻的外角互补列出方程求出外角的度数，根据多边形的外角和是即可求解． 【详解】解：一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为， 设这个外角是，则内角是， 根据题意得：， 解得：， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，根据内角与它相邻的外角互补列出方程是解题的关键． 6．（2026·云南昭通·二模）若是关于的一元一次方程的解，则的值是（    ） A．-5 B．5 C．-13 D．13 【答案】A 【分析】把x=2代入方程mx-n=3得2m-n=3，再把4-6m+3n变形为4-3（2m-n），然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：把x=2代入方程mx-n=3得2m-n=3， 所以4-6m+3n=4-3（2m-n）=4-3×3=4-9=-5． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 7．（2026·云南昆明·二模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周四尺，高三尺，问积及为米几何?”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为4尺，米堆的高为3尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积是_________平方尺．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的计算、弧长的计算等知识点，从实际问题中抽象出圆锥的知识是解题的关键． 设米堆底部的扇形半径为尺，、求出，由这个米堆遮挡的墙面面积为两个三角形的面积的和，据此解答即可． 【详解】解：设圆锥的底面半径为尺， ， ， 这个米堆遮挡的墙面面积是（平方尺） 故答案为：． 8．（2026·云南昭通·二模）若关于的方程有实数根，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．分当时，当，即时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：当时，即时，原方程即为，解得，符合题意； 当，即时， ∵关于的方程有实数根， ∴， 解得且； 综上所述，， 故答案为：． 9．（2026·云南昆明·二模）阅读下面材料，完成相关任务． 生活小常识 看牛奶营养成分表，先找包装上的营养成分表，重点看每数值：能量：单位看“千焦（）”，一般在左右，数值越低热量越低；蛋白质：为合格纯牛奶，越高越好；脂肪：全脂适合学生，低脂、脱脂适合控脂人群：碳水化合物：纯牛奶约，过高多为添加糖；NRV％：表示该营养满足每日需求的百分比．同时看配料表，只有生牛乳才是纯牛奶，含白砂糖、香精的是风味奶． 【市场调查】 市场上现有A，B两种盒装牛奶销售，每盒牛奶的质量均为．若购买2盒A种牛奶和3盒B种牛奶一共需要18元；B种牛奶每盒单价比A种牛奶多1元．其核心营养素如下： 【问题解决】 (1)任务一：求A，B两种牛奶每盒各多少元？ (2)任务二：某同学准备选用这两种牛奶共12盒，从A，B两种牛奶中摄入的脂肪总量不超过，且A种牛奶不超过10盒，请你设计出符合要求的所有选用方案，并求出最低费用． 【答案】(1)A种牛奶每盒3元，B种牛奶每盒4元； (2)设选用A种牛奶m盒，则选用B种牛奶盒， 从营养成分表可知A种牛奶每含脂肪，B种牛奶每含脂肪 根据题意得： 解得： ∵A种牛奶不超过10盒，且m为正整数， ∴m可以取8，9，10， 则对应的的值分别为4，3，2， ∴方案一：A种牛奶8盒，B种牛奶4盒，费用为（元）； 方案二：A种牛奶9盒，B种牛奶3盒，费用为（元）； 方案三：A种牛奶10盒，B种牛奶2盒，费用为（元）； ∴最低费用是38元． 【分析】（1）A种牛奶每盒x元，因为B种牛奶每盒单价比A种牛奶多1元，则B种牛奶每盒 元，根据题意列出方程求解即可； （2）设选用A种牛奶m盒，则选用B种牛奶盒，根据题意列出不等式求解，然后得出每种方案，计算费用比较即可． 【详解】（1）设A种牛奶每盒x元，因为B种牛奶每盒单价比A种牛奶多1元，则B种牛奶每盒 元， 根据题意得： 解得： 则B种牛奶每盒：（元）， ∴A种牛奶每盒3元，B种牛奶每盒4元； （2）略 10．（2026·云南红河·二模）根据材料，完成任务： 问题情境 为了举行羽毛球比赛，学校需要提前购买副羽毛球拍和若干个羽毛球（不少于个）． 素材 羽毛球拍：元副 羽毛球：元个 素材 方案一：每买一副羽毛球拍赠送个羽毛球． 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按标价的九折销售． 任务 若方案一和方案二费用一致，你知道学校购进了多少个羽毛球吗？ 任务 现已知方案一和方案二既可以单独使用，也可以同时使用．若学校需要购进个羽毛球，请为学校设计最省钱的购买方式． 【答案】任务：个；任务：先用方案一购买副羽毛球拍，再用方案二购买个羽毛球． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 任务1：设学校购进了个羽毛球，根据方案一和方案二费用一致，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； 任务：利用“总价单价数量”，求出选择方案一及方案二所需费用，再求出“先用方案一购买副羽毛球拍，再用方案二购买个羽毛球”所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】解：任务1：设学校购进了个羽毛球（）， 则方案一的费用：， 方案二的费用：， 由题意，， 解得：， 答：学校购进了个羽毛球； 任务：需要购进个羽毛球， 单独使用方案一费用：（元）； 单独使用方案二费用：（元）； 混合使用：先用方案一购买副羽毛球拍，获赠个羽毛球，费用为元，再用方案二购买剩余个羽毛球，费用为（元），总费用为（元）； ∵， ∴最省钱的购买方式是先用方案一购买副羽毛球拍，再用方案二购买个羽毛球． 解二元一次方程及其应用 考点02 1．（2026·云南文山·二模）为了增强学生的环保意识，培养他们的团队合作精神和动手能力，某学校组织学生植树节去植树若每人种植7棵树苗，还剩下4棵树苗；若每人种植8棵树苗，则缺少3棵树苗，设学生人数为x人，需要种植的树苗数为y棵，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两种种树情况，分别找到总树苗数的等量关系即可列方程． 【详解】解：设学生人数为，总树苗数为． ∵每人种植7棵树苗，还剩余4棵，总树苗数等于已种的树苗数加剩余的树苗数， ∴，整理得． ∵每人种植8棵树苗，缺少3棵，总树苗数比所有人种8棵需要的树苗数少3， ∴，整理得． 因此可列方程组， 观察四个选项，选项D符合题意． 2．（2026·云南临沧·二模）已知是关于的二元一次方程的解，则代数式的值是（　　） A．1 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程的解和求代数式的值．把二元一次方程的解代入方程，再利用整体代入求值即可．熟练掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：把代入方程， 得：， ， ． 故选：B． 3．（2026·云南·二模）七年级（1）班的同学去参加科技体验活动，第一组有2人选择“九天揽月”活动，3人选择“深海探幽”活动，共花费230元；第二组5人选择“深海探幽”活动，选择“九天揽月”活动的人数是第一组人数的2倍，花费的金额比第一组多180元，设“九天揽月”活动的门票为元/张，“深海探幽”活动的门票为元/张，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解决本题的关键是根据题目中的等量关系列出方程组． 根据题目中的等量关系列出方程组即可． 【详解】解：根据题意得， 故选：C． 4．（2026·云南楚雄·二模）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何．”意思是甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金的质量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银的质量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子的质量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两．设每枚黄金重两，每枚白银重两．根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，根据“甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等；两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两”，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解．找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等， ； 两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两， ． 根据题意可列方程组． 故选：C． 5．（2026·云南昆明·二模）某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处生态耕种园，需要采购A，B两种菜苗开展种植活动．已知购进10捆A种菜苗和5捆B种菜苗共需175元；购进3捆A种菜苗所需的费用和购进2捆B种菜苗所需费用相等．设购进一捆A种菜苗x元，一捆B种菜苗y元，可列方程组为（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识．设菜苗基地种菜苗每捆的单价为元，种菜苗每捆的单价为元，根据“购进捆种菜苗和捆种菜苗共需元；购进捆种菜苗所需的费用和购进捆种菜苗所需费用相等”，可得出关于，的二元一次方程组． 【详解】解：设菜苗基地种菜苗每捆的单价为元，种菜苗每捆的单价为元， 根据题意得：， 故选：D． 6．（2026·云南临沧·二模）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，写出这个一元二次方程为___________． 【答案】（答案唯一）． 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解三元一次方程，理解“和谐”方程和“美好”方程的定义是解题关键．根据题意得到关于一元二次方程系数的方程组，求出系数之间的关系，再写出满足条件的方程即可． 【详解】解：由题意，一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程， ， ， 一元二次方程为， ， 可取， 这个一元二次方程为（答案唯一）． 故答案为：（答案唯一）． 7．（2026·云南丽江·二模）已知关于，的二元一次方程的一组解为，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．将代入原方程，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：． 故答案为：． 8．（2026·云南昆明·二模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 学校为表彰在运动会上成绩优秀的同学，计划购买甲，乙两种奖品． 素材一 购买甲种奖品5件和乙种奖品2件需花费260元； 素材二 购买甲种奖品3件和乙种奖品6件需花费300元； 素材三 学校计划购买甲，乙两种奖品共100件（两种奖品均需购买），其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍． 请完成下列任务： (1)任务一：甲，乙两种奖品的单价各是多少元？ (2)任务二：给出最节省费用的购买方案，并求出最少总费用． 【答案】(1)甲种奖品的单价为40元/件，乙种奖品的单价为30元/件． (2)购买甲种奖品34件，乙种奖品66件时，购买费用最少，最少费用为3340元． 【分析】（1）设甲种奖品的单价为元/件，乙种奖品的单价为元/件．根据题意找准等量关系，列出关于的二元一次方程组解方程组即可； （2）设购买甲种奖品件，总费用为元，则购买乙种奖品件，根据题意求得m的取值范围，再根据总费用=甲种奖品的总费用+乙种奖品的总费用，求得，由为正整数，取得当取最小值34时，取得最小值，代入计算即可． 【详解】（1）解：设甲种奖品的单价为元/件，乙种奖品的单价为元/件． 根据题意得，解得， 答：甲种奖品的单价为40元/件，乙种奖品的单价为30元/件； （2）解：设购买甲种奖品件，总费用为元，则购买乙种奖品件， 为正整数，根据题意得， 解得， 根据题意得， ， 随的增大而增大． 为正整数， 当取最小值34时，取得最小值，此时，(元)， 答：购买甲种奖品34件，乙种奖品66件时，购买费用最少，最少总费用为3340元． 9．（2026·云南楚雄·二模）某影院商家推出A，B两种类型的哪吒纪念娃娃．该商家若购进40个A种娃娃和50个B种娃娃，则一共需要800元；若购进20个A种娃娃和60个B种娃娃，则一共需要680元．该商家将A种娃娃的售价定为每个15元，B种娃娃的售价定为每个10元． (1)A，B两种娃娃每个的进价分别是多少元？ (2)该商家计划购进A，B两种娃娃共200个，总花费不超过1760元．该商家如何进货能在这200个娃娃全部售完时获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)每个A种娃娃的进价为10元，每个B种娃娃的进价为8元 (2)该商家购进80个A种娃娃，120个B种娃娃时获利最大，最大利润为640元 【分析】（1）理解题意，设每个A种娃娃的进价为元，每个B种娃娃的进价为元，再结合购进40个A种娃娃和50个B种娃娃，则一共需要800元；若购进20个A种娃娃和60个B种娃娃，则一共需要680元，进行列方程组，再解得，即可作答． （2）先结合商家计划购进A，B两种娃娃共200个，总花费不超过1760元，进行列出不等式，再解得，然后根据利润公式列式化简得，最后运用一次函数的性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：设每个A种娃娃的进价为元，每个B种娃娃的进价为元， 依题意，得， 解得． 答：每个A种娃娃的进价为10元，每个B种娃娃的进价为8元． （2）解：设购进个A种娃娃， 依题意，得， 解得． 设这200个娃娃全部售完时总利润为元， 则， ， 随着的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为． 此时． 答：该商家购进80个A种娃娃，120个B种娃娃时获利最大，最大利润为640元． 10．（2026·云南丽江·二模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 口袋公园计划在园内空地处打造一片混合林． 素材一 乙种树苗单价为甲种树苗单价的2倍． 素材二 购买1棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需50元． 素材三 共购买甲、乙两种树苗90棵，且购买甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍． 请完成下列任务： (1)分别求甲种树苗和乙种树苗的单价． (2)给出最节省费用的购买方案． 【答案】(1)甲种树苗的单价为10元，乙种树苗的单价为20元 (2)购买甲种树苗60棵，乙种树苗30棵时，总费用最低 【分析】（1）根据题中的等量关系，列出方程组，求解即可； （2）设购买甲种树苗m棵，购买乙种树苗棵，先根据题意，列出不等式，得，再根据题意得，最后根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设甲种树苗的单价为x元，乙种树苗的单价为y元， 由题意得， 解得：， 甲种树苗的单价为10元，乙种树苗的单价为20元； （2）解：设购买甲种树苗m棵，购买乙种树苗棵，共花费w元， 根据题意得：，解得：， ， ， 随m的增大而减小， 当时，w取得最小值，此时（棵）， 当购买甲种树苗60棵，乙种树苗30棵时，总费用最低． 一元二次方程与实际问题 考点03 1．（2026·云南昭通·二模）某文创店销售一种纪念徽章，原定价销售每枚徽章盈利12元，平均每天可售出80枚．市场调研发现：若每枚徽章降价1元，则平均每天可多售出10枚．为了尽快减少库存，店主决定降价促销．销售一段时间后发现，平均日盈利为910元．假设每天售出徽章的数量相同，设每件商品降价x元，依题意可列方程（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际利润问题，解题核心是利用“总盈利等于每枚徽章盈利乘以销售量”的关系，根据降价情况分别表示出降价后的每枚盈利和销售量，即可列出方程． 【详解】解：∵设每件商品降价元， ∴降价后每枚徽章的盈利为元， ∵每降价元平均每天可多售出枚， ∴降价元后，每天的销售量为枚， 又∵平均日盈利为元， ∴可列方程为． 2．（2026·云南昆明·二模）某科技公司在2024年投入研发资金为300万元，2026年投入研发资金363万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平均增长率的增长规律，推导两年后研发资金的表达式，即可列出正确方程 【详解】解：∵设年平均增长率为，2024年投入研发资金为万元， ∴2025年投入研发资金为万元， ∴2026年投入研发资金为万元， 又∵2026年投入研发资金为万元， ∴列方程得 3．（2026·云南昭通·二模）某工程队修建道路时，涉及的数量关系可化为一元二次方程．下列关于的一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于一元二次方程 ，判别式为 ，方程有两个不相等实数根需满足 ． 【详解】解：对选项A：， ，方程无实数根，不符合要求； 对选项B：，，方程有两个相等的实数根，不符合要求； 对选项C： ， ，方程有两个不相等的实数根，符合要求； 对选项D： ， ，方程无实数根，不符合要求． 4．（2026·云南昆明·二模）如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种草坪，要使草坪的面积为．设道路的宽为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质可得草坪正好是一个长方形，其长为，宽为，据此列出方程即可． 【详解】解：由平移的性质可知，草坪正好是一个长方形，其长为，宽为， 则可列方程为． 5．（2026·云南昆明·二模）我校组织“求实杯”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个班之间都赛一场），共比了场，设共有个班参加比赛，根据题意，下列方程正确的为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单循环赛制的特点，推导总比赛场数的表达式，结合已知总场数列出方程，判断正确选项． 【详解】解：∵共有个班参加比赛，单循环赛制中每个班需要和除自身外的个班各赛一场， 又∵两个班之间只赛一场，上述计算中每场比赛被重复计算了一次， ∴总比赛场数为， ∵总比赛场数为21， ∴列方程得． 6．（2026·云南楚雄·二模）如图，小区物业准备利用一个直角墙角建造一个矩形花坛，若花坛两边靠墙（墙足够长），剩余两边用篱笆围成，且篱笆总长度为，要使围成的花坛的面积为，设花坛较短边的长度为x，根据题意，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设花坛较短边的长度为x，则较长边的长度为， 又围成的花坛的面积为， ． 7．（2026·云南玉溪·二模）已知是常数，函数，记． (1)若，，求的值； (2)若，，比较与1的大小． 【答案】(1) (2)当时，；当时， 【分析】（1）将参数和自变量的值代入解析式求解； （2）将参数和自变量的值代入解析式，得出，分或两种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：将，代入函数得， ； （2）解：将，，代入得， ， 整理得， ∴或， 当时，； 当时，解得或， 此时，， ∴， ， ， ∴， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上，当时，；当时，． 8．（2026·云南曲靖·二模）根据下列素材，按要求完成任务： 如何为商家设计利润最大化的销售方案 素材1 某商场以每件30元的价格购进一种吉祥物，物价部门规定这种吉祥物的销售单价不高于55元． 素材2 市场调查分析（y是的一次函数）： 销售单价（元） … 34 38 42 46 50 … 每天的销售量（件） … 72 64 56 48 40 … (1)若商场销售这种吉祥物每天想获得600元的总利润，每件商品的售价应定为多少元？ (2)设商场每天获得的总利润为w元，请探究商场应将吉祥物的销售单价定为多少元时，使每天获得的总利润最大，最大利润为多少？ 【答案】(1)每件商品的售价应定为40元 (2)商场应将吉祥物的销售单价定为50元时，每天获得的总利润最大，最大利润为800元 【分析】（1）利用待定系数法求出y关于x的关系式，再根据总利润（售价进价）销售量建立方程求解即可； （2）根据总利润（售价进价）销售量列出w关于x的关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设与之间函数关系式为， 把和代入中得： 解得， 与之间函数关系式为； 根据题意，得，即， 整理得， 解得，（舍去）． 答：每件商品的售价应定为40元． （2）解：由题意得：． ， ∴当时，w有最大值，最大值为800， 答：商场应将吉祥物的销售单价定为50元时，每天获得的总利润最大，最大利润为800元． 9．（2026·云南红河·二模）为实施乡村振兴战略，某地大力推行果树种植直销一体化发展模式某果农种植了一批樱桃和枇杷，并直播带货进行销售，已知该果农第一季度樱桃销售量为千克，销售均价为元千克，枇杷的销售量为千克，销售均价为元千克；第二季度樱桃的销售量比第一季度减少了，销售均价与第一季度相同，枇杷的销售量比第一季度增加了，但销售均价比第一季度减少了若该果农第一季度销售樱桃和枇杷的销售总金额与第二季度销售樱桃和枇杷的销售总金额相同，求的值． 【答案】12.5 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据该果农第一季度销售樱桃和枇杷的销售总金额与第二季度销售樱桃和枇杷的销售总金额相同为等量关系列出关于的一元二次方程，再设，将方程换成关于x的一元二次方程求解即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 设， 则原方程可化为：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去， ， 即， 答：的值为 一元二次方程的含参问题 考点04 1．（2026·云南昆明·二模）若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴，，， ∵方程有两个实数根， ∴， 解得． 2．（2026·云南普洱·二模）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，先计算判别式的值，再根据判别式与0的大小关系得出结论． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， ∵， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根． 3．（2026·云南昆明·二模）一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】D 【详解】解：对于一元二次方程 ， 可得 ， ∵方程有两个相等的实数根 ， ∴ ， 即 ， 整理得 ， 解得 ． 4．（2026·云南临沧·二模）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的值可能是（   ） A．8 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，， 解得，， ∴只有C选项符合题意． 5．（2026·云南西双版纳二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】先确定二次项系数不为0． 再根据两个不相等的实数根得到判别式大于0． 解不等式后判断选项即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式． ∴ ． 解不等式得． 因此的取值范围是且． 选项中只有符合该取值范围． 5．（2026·云南昆明·二模）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是___． 【答案】 【分析】根据方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 方程中，，， 代入得， 解得． 6．（2026·云南曲靖·二模）已知关于的方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】需分类讨论求解，当时方程为一元一次方程，直接判断根的情况，当时方程为一元二次方程，根据根的判别式判断取值范围即可． 【详解】解：当时，原方程为， 解得，方程有实数根，符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， 方程有实数根， ， 化简得， 解得且， 综上，的取值范围是． 分式方程与实际问题 考点05 1．（2026·云南昆明·二模）云南文旅小店购进鲜花饼礼盒和云腿小饼礼盒两种本土特色伴手礼． 请根据下面有关鲜花饼礼盒和云腿小饼礼盒的价格信息，求出鲜花饼礼盒的单价． 【答案】每盒鲜花饼礼盒的单价为元，每盒云腿小饼礼盒的单价为元 【分析】设鲜花饼礼盒单价为，根据两种礼盒购买数量相等列分式方程，求解后检验得单价． 【详解】解：设每盒鲜花饼礼盒的单价为元，则每盒云腿小饼礼盒的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验：是所列分式方程的解，且符合题目要求， 此时，， 故每盒鲜花饼礼盒的单价为元，每盒云腿小饼礼盒的单价为元． 2．（2026·云南昆明·二模）街头巷尾的小摊小店，藏着最动人的烟火气，也撑起了许多普通人的创业梦．地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者为摆地摊购进了瓦猫冰箱贴和野生菌冰箱贴两种商品，已知用450元购进的瓦猫冰箱贴数量比用200元购进的野生菌冰箱贴数量多10个，且瓦猫冰箱贴的单价是野生菌冰箱贴单价的倍．求这两种冰箱贴的单价各是多少元？ 【答案】野生菌冰箱贴的单价是10元，瓦猫冰箱贴的单价是15元 【分析】设野生菌冰箱贴的单价是x元，则瓦猫冰箱贴的单价是元，根据用450元购进的瓦猫冰箱贴数量比用200元购进的野生菌冰箱贴数量多10个，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设野生菌冰箱贴的单价是x元，则瓦猫冰箱贴的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， 则， 答：野生菌冰箱贴的单价是10元，瓦猫冰箱贴的单价是15元． 3．（2026·云南楚雄·二模）为落实家电下乡政策，某商店对同款电视机进行补贴销售，每台电视机价格降低了500元．这期间团结小区部分住户共用60000元买到的电视机数量与降价前友谊小区部分住户共用80000元购买的电视机数量相同．求补贴前、后每台电视机的售价各是多少元． 【答案】补贴前、后每台电视机的售价分别是2000元，1500元 【分析】设补贴前每台电视机的售价是元，则补贴后每台电视机的售价是元，根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设补贴前每台电视机的售价是元，则补贴后每台电视机的售价是元， 由题意得 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴（元）， 答；补贴前、后每台电视机的售价分别是2000元，1500元． 4．（2026·云南玉溪·二模）为了进一步厚植热爱祖国、热爱家乡的情怀，铸牢中华民族共同体意识．某校组织学生去聂耳故居研学，聂耳故居距学校，一部分师生乘坐大客车先行，出发后，另一部分师生乘坐小客车前往，结果同时到达．已知小客车的平均速度是大客车平均速度的倍，则大客车、小客车的平均速度分别是每小时多少千米？ 【答案】大客车的平均速度是，小客车的平均速度是 【分析】根据行驶时间的关系列分式方程求解即可． 【详解】解：设大客车的平均速度为，则小客车的平均速度为，由题意，得 ，         解得．             检验，当时，，且符合实际． ．         答：大客车的平均速度是，小客车的平均速度是．     5．（2026·云南曲靖·二模）“激情滇超，燃爆云南”，云南省足球超级联赛(滇超)火热进行中，赛场周边的文创摊位也迎来了销售旺季．某摊主购进了“滇超吉祥物公仔”和“滇超纪念徽章”两种特色周边产品．已知用元购进“滇超吉祥物公仔”的数量比用元购进“滇超纪念徽章”的数量多个，且“滇超吉祥物公仔”的单价比“滇超纪念徽章”的单价贵元．摊主无意间提到，若是拿元全部去进货这种吉祥物公仔，能买到的数量最多也不会超过个．求两种周边产品的单价各是多少元． 根据以上信息，解答下列问题： (1)甲同学：设“滇超吉祥物公仔”的单价为元，可列方程为________；乙同学：设购进的“滇超纪念徽章”数量为个，可列方程为________； (2)请帮助甲同学完成剩下的解题过程． 【答案】(1)； (2)由题意得， 解得 已知甲列得方程 将方程两边同时除以10得 两边同乘 去分母得 展开整理得 因式分解得 解得， 因为，所以舍去，得则“滇超纪念徽章”的单价为元 经检验是原方程的解，符合题意 答：“滇超吉祥物公仔”的单价为30元，“滇超纪念徽章”的单价为20元． 【分析】（1）根据甲、乙的不同设法，分别利用题目给出的数量关系和单价关系列出分式方程即可． （2）求解甲列出的分式方程，再结合“1000元全部进货吉祥物公仔，买到的数量不超过40个”的条件，舍去不符合的解，得到两种产品的单价． 【详解】（1）解：甲设“滇超吉祥物公仔”的单价为元，则“滇超纪念徽章”的单价为元 根据“600元购进公仔的数量比200元购进徽章的数量多10个”，可得方程 乙设购进“滇超纪念徽章”的数量为个，则购进公仔的数量为个，公仔单价为，徽章单价为 根据“公仔单价比徽章单价贵10元”，可得方程 （2）略 6．（2026·云南临沧·二模）在中，是模型用来表示自然语言文本的基本单位．已知通过官方，模型每分钟输出生成速度是模型每分钟输出生成速度的3倍，模型输出生成 的时间比模型输出生成 的时间多用分钟．请问模型每分钟输出生成速度是多少？ 【答案】模型每分钟输出生成速度是分钟 【分析】利用时间 = 总量 ÷ 速度 的关系，结合两种模型的时间差建立方程求解； 【详解】解：设模型每分钟输出生成速度是 ，则模型每分钟输出生成速度是 ，根据题意列方程得， ， 解得，， 经检验是原分式方程的解且符合实际． 则分钟， 答：模型每分钟输出生成速度是分钟． 7．（2026·云南昆明·二模）“翻开一本书，就是打开一个世界，让心灵在文字间自由翱翔”．某教育体育局向全县中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别读页和页的两本书，准备参加读书分享活动，甲同学每天读书的页数是乙同学每天读书页数的倍，结果乙同学比甲同学提前天完成．求乙同学每天读书多少页？ 【答案】乙同学每天读书页 【分析】本题考查分式方程的实际应用．设乙同学每天读书页，则甲同学每天读书为页，根据读书天数总页数每天读的页数，以及两人读书的天数差列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设乙同学每天读书页，则甲同学每天读书为页， 由题意可列方程：， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：乙同学每天读书页． 8．（2026·云南昆明·二模）滇池生态廊道是昆明打造“高原明珠”的重要民生工程．2023年，某学校开展“守护滇池”跨学科实践活动；学生沿生态廊道采集水样．已知采集点A到实验基地B的廊道全长为6千米．学生小盘，小龙同时从A点出发运送水样到B点，小盘骑共享单车，小龙步行，其中小盘的骑行速度是小龙步行速度的4倍，小盘到达B点所用时间比小龙少小时．求小龙步行的平均速度为多少千米/小时？ 【答案】小龙步行的平均速度是6千米/小时 【分析】设小龙步行的平均速度是x千米/小时，则小盘的骑行速度为千米/小时，小盘到达B点所用时间为，小龙到达B点所用时间为，由题意得，，求解即可． 【详解】解：设小龙步行的平均速度是x千米/小时，则小盘的骑行速度为千米/小时， 由题意得，， 两边同时得，， 解得， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 答：小龙步行的平均速度是6千米/小时． 不等式（组）与实际问题 考点06 1．（2026·云南昭通·二模）绿化树种具有过滤和滞纳大气污染颗粒物的能力，因此成为城市绿化的常用树种，其中榆树和白蜡树因其生长迅速，枝叶繁茂而被广泛种植．已知3棵榆树和2棵白蜡树的滞尘总量为23千克，5棵榆树和4棵白蜡树的滞尘总量为41千克． (1)每棵榆树和白蜡树的滞尘量分别是多少千克？ (2)一条新建的城市道路需要种植这两种树，一棵榆树的种植成本是400元，一棵白蜡树的种植成本是200元，种植两种树木的总棵数为60棵，要求滞尘总量不少于280千克，且种植总成本尽可能低，应该怎样种植这两种树才能使种植总成本最低？求出该费用． 【答案】(1)每棵榆树的滞尘量为5千克，每棵白蜡树的滞尘量为4千克 (2)种植40棵榆树，20棵白蜡树，种植总成本最低，为20000元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）设每棵榆树的滞尘量为千克，每棵白蜡树的滞尘量为千克，根据3棵榆树和2棵白蜡树的滞尘总量为23千克，5棵榆树和4棵白蜡树的滞尘总量为41千克建立方程组求解即可； （2）设种植棵榆树，种植棵白蜡树，根据滞尘总量不少于280千克列出不等式求出m的取值范围，设种植总成本为元，列出w关于m的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解；设每棵榆树的滞尘量为千克，每棵白蜡树的滞尘量为千克． 由题意得，， 解得． 答：每棵榆树的滞尘量为5千克，每棵白蜡树的滞尘量为4千克． （2）解：设种植棵榆树，种植棵白蜡树． 由题意得，， 解得，． 设种植总成本为元． 由题意得， ， 随的增大而增大． 当时，取得最小值，最小值为， 此时． 答：种植40棵榆树，20棵白蜡树，种植总成本最低，为20000元． 2．（2026·云南文山·二模）云南的花种类繁多，色彩斑斓，小月打算在妈妈生日那天买一束百合和康乃馨组合的鲜花送给妈妈，已知买1支康乃馨和2支百合共需20元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格少4元． (1)求买一支康乃馨和一支百合各需多少元? (2)小月准备买康乃馨和百合共15支，且康乃馨不超过13支．设买康乃馨m支，买这束鲜花所需总费用为w元． ①求w与m之间的函数关系式； ②请你帮小月设计一种使费用最少的买花方案，并求出最少费用． 【答案】(1)买一支康乃馨需4元，一支百合需8元 (2)①；②当购买百合2支，康乃馨13支时，所需费用最少，最少费用为68元 【分析】本题主要考查一次函数的应用和二元一次方程组的应用． （1）设买一支康乃馨需x元，一支百合需y元，根据题意列方程组求解即可； （2）①根据康乃馨和百合的费用之和列出函数关系式；②根据函数的性质和康乃馨不超过13支，求函数的最小值即可． 【详解】（1）解：设买一支康乃馨需x元，一支百合需y元， 由题意得：， 解得：， 答：买一支康乃馨需4元，一支百合需8元； （2）解：①由题意得：购买百合支， 则有， ②∵ ∴w随m的增大而减小， ∵康乃馨不超过13支， ∴， ∴当时，w取最小值，最小值为， ∴百合的支数为：， 答：当购买百合2支，康乃馨13支时，所需费用最少，最少费用为68元． 3．（2026·云南保山·二模）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，因此新能源汽车逐渐成为人们选择的交通工具．某汽车销售公司计划2024年购进一批新能源汽车，据了解，2辆A型汽车、5辆B型汽车的进价共计130万元；4辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计120万元． (1)求A型、B型汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若购进A、B两种型号汽车共10辆，所需进价不超过180万元，至少购买A种型号汽车多少辆？ 【答案】(1)A型汽车每辆进价为15万元，B型汽车每辆进价为20万元． (2)至少购买A种型号汽车辆． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元，根据“2辆A型汽车、5辆B型汽车的进价共计130万元；4辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计120万元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． （2）设购买A种型号汽车辆，则B种型号汽车辆，根据“所需进价不超过180万元”，进行列式，即可作答． 【详解】（1）解：设A型汽车每辆进价为x万元，B型汽车每辆进价为y万元， 根据题意得：， 解得：． 答：A型汽车每辆进价为15万元，B型汽车每辆进价为20万元． （2）解：设购买A种型号汽车辆，则B种型号汽车辆 依题意，， 解得， ∴至少购买A种型号汽车辆． 4．（2026·云南曲靖·二模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 随着时令水果大量上市，某水果店精心推出两款精品水果礼盒，深受消费者喜爱． 素材一 顾客甲在该水果店购买记录：2盒热带鲜果礼盒、3盒时令莓果礼盒，共600元； 素材二 顾客乙在该水果店购买记录：2盒热带鲜果礼盒、5盒时令莓果礼盒，共800元． 素材三 某公司为策划开业活动，计划采购这两款礼盒共60盒，用于现场宾客分发与互动使用，要求：①两款礼盒都购买；②时令莓果礼盒的数量不超过热带鲜果礼盒数量的2倍． 请完成下列任务： (1)求每盒热带鲜果礼盒、每盒时令莓果礼盒的单价； (2)设计一种采购方案，使得该公司购买这批物资的总费用最低，并求出最低总费用． 【答案】(1)每盒热带鲜果礼盒单价为150元，每盒时令莓果礼盒单价为100元 (2)采购热带鲜果礼盒20盒，时令莓果礼盒40盒时总费用最低，最低总费用为7000元 【分析】（1）根据“总价热带鲜果礼盒的总价时令莓果礼盒”列二元一次方程组，然后求解； （2）采购设热带鲜果礼盒盒，利用“时令莓果礼盒的数量不超过热带鲜果礼盒数量的2倍”列不等式，求出的取值范围，再根据“总价热带鲜果礼盒的总价时令莓果礼盒的总价”求出总价与的关系式，利用一次函数的增减性求出答案． 【详解】（1）解：设每盒热带鲜果礼盒单价为元，每盒时令莓果礼盒单价为元， 则， 解得， 答：每盒热带鲜果礼盒单价为150元，每盒时令莓果礼盒单价为100元． （2）解：设采购热带鲜果礼盒盒，则采购时令莓果礼盒盒， ∵时令莓果礼盒的数量不超过热带鲜果礼盒数量的2倍， ∴，解得（为整数）， ∵两款礼盒都购买， ∴，即. ∴， 设购买这批物资的总费用为， 则， ∵该一次函数的一次项系数为， ∴随的增大而增大， 当取最小值时，最小， ， ∴采购热带鲜果礼盒20盒，时令莓果礼盒40盒时总费用最低，最低总费用为7000元． 5．（2026·云南昆明·二模）请你根据下列材料，完成有关任务． 背景 “守护学生身心健康，筑牢民族未来根基”．为了办好校园餐，丰富食堂菜品，注重膳食营养搭配，学校食堂计划采购，两种新鲜食材． 素材一 商家：若购买袋种食材和袋种食材共需元；若购买袋种食材和袋种食材共需元．并且整袋售卖，不拆分． 素材二 食堂：下周星期一准备采购这两种食材共袋，种食材数量不低于袋，且不超过种食材的3倍． 请完成下列任务： (1)，两种食材每袋单价分别是多少元？ (2)请你用所学的数学知识，帮食堂师傅设计出最节省费用的采购方案，并求出最低采购费用． 【答案】(1)种食材每袋40元，种食材每袋50元 (2)最节省费用的采购方案是采购种食材67袋，种食材23袋，此时最低采购费用为3830元 【分析】（1）设种食材每袋元，种食材每袋元，根据题意建立方程组，解方程组即可； （2）设采购费用为元，采购种食材袋，则采购种食材袋，先求出与之间的函数关系式、的取值范围，再利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设种食材每袋元，种食材每袋元， 由题意得：， 解得， 答：种食材每袋40元，种食材每袋50元． （2）解：设采购费用为元，采购种食材袋，则采购种食材袋， 由题意得：， ∵种食材数量不低于袋，且不超过种食材的3倍， ∴， 解得， 由一次函数的性质可知，在内，随的增大而减小， 又∵为正整数， ∴当时，的值最小，最小值为， 此时， 答：最节省费用的采购方案是采购种食材67袋，种食材23袋，此时最低采购费用为3830元． 12/32 13/32 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 方程与不等式 6大考点概览 考点01解一元一次方程及其应用 考点02解二元一次方程及其应用 考点03 一元二次方程与实际问题 考点04一元二次方程的含参问题 考点05 分式方程与实际问题 考点06 不等式（组）与实际问题 解一元一次方程及其应用 考点01 1．（2026云南楚雄二模）在反比例函数 中，当时，，则k的值为（    ） A．5 B．1 C． D． 2．（2026云南昆明 二模）下列等式变形，错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2026·云南楚雄·二模）我国古代数学著作《算法统宗》里记载了这样一道题：有一批客人要住店，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房，则该店有客房多少间？设该店有客房x间，根据题意，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·云南楚雄·二模）某车间有52名工人，每人每天可以生产12个螺母或20个螺栓.1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，安排x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·云南临沧·二模）一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为，则这个正多边形是（    ） A．正五方形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 6．（2026·云南昭通·二模）若是关于的一元一次方程的解，则的值是（    ） A．-5 B．5 C．-13 D．13 7．（2026·云南昆明·二模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周四尺，高三尺，问积及为米几何?”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为4尺，米堆的高为3尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积是_________平方尺．（结果保留π） 8．（2026·云南昭通·二模）若关于的方程有实数根，则的取值范围是_____． 9．（2026·云南昆明·二模）阅读下面材料，完成相关任务． 生活小常识 看牛奶营养成分表，先找包装上的营养成分表，重点看每数值：能量：单位看“千焦（）”，一般在左右，数值越低热量越低；蛋白质：为合格纯牛奶，越高越好；脂肪：全脂适合学生，低脂、脱脂适合控脂人群：碳水化合物：纯牛奶约，过高多为添加糖；NRV％：表示该营养满足每日需求的百分比．同时看配料表，只有生牛乳才是纯牛奶，含白砂糖、香精的是风味奶． 【市场调查】 市场上现有A，B两种盒装牛奶销售，每盒牛奶的质量均为．若购买2盒A种牛奶和3盒B种牛奶一共需要18元；B种牛奶每盒单价比A种牛奶多1元．其核心营养素如下： 【问题解决】 (1)任务一：求A，B两种牛奶每盒各多少元？ (2)任务二：某同学准备选用这两种牛奶共12盒，从A，B两种牛奶中摄入的脂肪总量不超过，且A种牛奶不超过10盒，请你设计出符合要求的所有选用方案，并求出最低费用． 10．（2026·云南红河·二模）根据材料，完成任务： 问题情境 为了举行羽毛球比赛，学校需要提前购买副羽毛球拍和若干个羽毛球（不少于个）． 素材 羽毛球拍：元副 羽毛球：元个 素材 方案一：每买一副羽毛球拍赠送个羽毛球． 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按标价的九折销售． 任务 若方案一和方案二费用一致，你知道学校购进了多少个羽毛球吗？ 任务 现已知方案一和方案二既可以单独使用，也可以同时使用．若学校需要购进个羽毛球，请为学校设计最省钱的购买方式． 解二元一次方程及其应用 考点02 1．（2026·云南文山·二模）为了增强学生的环保意识，培养他们的团队合作精神和动手能力，某学校组织学生植树节去植树若每人种植7棵树苗，还剩下4棵树苗；若每人种植8棵树苗，则缺少3棵树苗，设学生人数为x人，需要种植的树苗数为y棵，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·云南临沧·二模）已知是关于的二元一次方程的解，则代数式的值是（　　） A．1 B．1 C． D． 3．（2026·云南·二模）七年级（1）班的同学去参加科技体验活动，第一组有2人选择“九天揽月”活动，3人选择“深海探幽”活动，共花费230元；第二组5人选择“深海探幽”活动，选择“九天揽月”活动的人数是第一组人数的2倍，花费的金额比第一组多180元，设“九天揽月”活动的门票为元/张，“深海探幽”活动的门票为元/张，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·云南楚雄·二模）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何．”意思是甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金的质量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银的质量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子的质量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两．设每枚黄金重两，每枚白银重两．根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·云南昆明·二模）某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处生态耕种园，需要采购A，B两种菜苗开展种植活动．已知购进10捆A种菜苗和5捆B种菜苗共需175元；购进3捆A种菜苗所需的费用和购进2捆B种菜苗所需费用相等．设购进一捆A种菜苗x元，一捆B种菜苗y元，可列方程组为（    ） A．B． C． D． 6．（2026·云南临沧·二模）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，写出这个一元二次方程为___________． 7．（2026·云南丽江·二模）已知关于，的二元一次方程的一组解为，则的值为_______． 8．（2026·云南昆明·二模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 学校为表彰在运动会上成绩优秀的同学，计划购买甲，乙两种奖品． 素材一 购买甲种奖品5件和乙种奖品2件需花费260元； 素材二 购买甲种奖品3件和乙种奖品6件需花费300元； 素材三 学校计划购买甲，乙两种奖品共100件（两种奖品均需购买），其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍． 请完成下列任务： (1)任务一：甲，乙两种奖品的单价各是多少元？ (2)任务二：给出最节省费用的购买方案，并求出最少总费用． 9．（2026·云南楚雄·二模）某影院商家推出A，B两种类型的哪吒纪念娃娃．该商家若购进40个A种娃娃和50个B种娃娃，则一共需要800元；若购进20个A种娃娃和60个B种娃娃，则一共需要680元．该商家将A种娃娃的售价定为每个15元，B种娃娃的售价定为每个10元． (1)A，B两种娃娃每个的进价分别是多少元？ (2)该商家计划购进A，B两种娃娃共200个，总花费不超过1760元．该商家如何进货能在这200个娃娃全部售完时获利最大？最大利润是多少元？ 10．（2026·云南丽江·二模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 口袋公园计划在园内空地处打造一片混合林． 素材一 乙种树苗单价为甲种树苗单价的2倍． 素材二 购买1棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需50元． 素材三 共购买甲、乙两种树苗90棵，且购买甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍． 请完成下列任务： (1)分别求甲种树苗和乙种树苗的单价． (2)给出最节省费用的购买方案． 一元二次方程与实际问题 考点03 1．（2026·云南昭通·二模）某文创店销售一种纪念徽章，原定价销售每枚徽章盈利12元，平均每天可售出80枚．市场调研发现：若每枚徽章降价1元，则平均每天可多售出10枚．为了尽快减少库存，店主决定降价促销．销售一段时间后发现，平均日盈利为910元．假设每天售出徽章的数量相同，设每件商品降价x元，依题意可列方程（） A． B． C． D． 2．（2026·云南昆明·二模）某科技公司在2024年投入研发资金为300万元，2026年投入研发资金363万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·云南昭通·二模）某工程队修建道路时，涉及的数量关系可化为一元二次方程．下列关于的一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·云南昆明·二模）如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种草坪，要使草坪的面积为．设道路的宽为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·云南昆明·二模）我校组织“求实杯”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个班之间都赛一场），共比了场，设共有个班参加比赛，根据题意，下列方程正确的为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·云南楚雄·二模）如图，小区物业准备利用一个直角墙角建造一个矩形花坛，若花坛两边靠墙（墙足够长），剩余两边用篱笆围成，且篱笆总长度为，要使围成的花坛的面积为，设花坛较短边的长度为x，根据题意，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·云南玉溪·二模）已知是常数，函数，记． (1)若，，求的值； (2)若，，比较与1的大小． 8．（2026·云南曲靖·二模）根据下列素材，按要求完成任务： 如何为商家设计利润最大化的销售方案 素材1 某商场以每件30元的价格购进一种吉祥物，物价部门规定这种吉祥物的销售单价不高于55元． 素材2 市场调查分析（y是的一次函数）： 销售单价（元） … 34 38 42 46 50 … 每天的销售量（件） … 72 64 56 48 40 … (1)若商场销售这种吉祥物每天想获得600元的总利润，每件商品的售价应定为多少元？ (2)设商场每天获得的总利润为w元，请探究商场应将吉祥物的销售单价定为多少元时，使每天获得的总利润最大，最大利润为多少？ 9．（2026·云南红河·二模）为实施乡村振兴战略，某地大力推行果树种植直销一体化发展模式某果农种植了一批樱桃和枇杷，并直播带货进行销售，已知该果农第一季度樱桃销售量为千克，销售均价为元千克，枇杷的销售量为千克，销售均价为元千克；第二季度樱桃的销售量比第一季度减少了，销售均价与第一季度相同，枇杷的销售量比第一季度增加了，但销售均价比第一季度减少了若该果农第一季度销售樱桃和枇杷的销售总金额与第二季度销售樱桃和枇杷的销售总金额相同，求的值． 一元二次方程的含参问题 考点04 1．（2026·云南昆明·二模）若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·云南普洱·二模）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 3．（2026·云南昆明·二模）一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（   ） A． B．4 C． D．3 4．（2026·云南临沧·二模）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的值可能是（   ） A．8 B．1 C． D． 5．（2026·云南西双版纳二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 5．（2026·云南昆明·二模）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是___． 6．（2026·云南曲靖·二模）已知关于的方程有实数根，则的取值范围是______． 分式方程与实际问题 考点05 1．（2026·云南昆明·二模）云南文旅小店购进鲜花饼礼盒和云腿小饼礼盒两种本土特色伴手礼． 请根据下面有关鲜花饼礼盒和云腿小饼礼盒的价格信息，求出鲜花饼礼盒的单价． 2．（2026·云南昆明·二模）街头巷尾的小摊小店，藏着最动人的烟火气，也撑起了许多普通人的创业梦．地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者为摆地摊购进了瓦猫冰箱贴和野生菌冰箱贴两种商品，已知用450元购进的瓦猫冰箱贴数量比用200元购进的野生菌冰箱贴数量多10个，且瓦猫冰箱贴的单价是野生菌冰箱贴单价的倍．求这两种冰箱贴的单价各是多少元？ 3．（2026·云南楚雄·二模）为落实家电下乡政策，某商店对同款电视机进行补贴销售，每台电视机价格降低了500元．这期间团结小区部分住户共用60000元买到的电视机数量与降价前友谊小区部分住户共用80000元购买的电视机数量相同．求补贴前、后每台电视机的售价各是多少元． 4．（2026·云南玉溪·二模）为了进一步厚植热爱祖国、热爱家乡的情怀，铸牢中华民族共同体意识．某校组织学生去聂耳故居研学，聂耳故居距学校，一部分师生乘坐大客车先行，出发后，另一部分师生乘坐小客车前往，结果同时到达．已知小客车的平均速度是大客车平均速度的倍，则大客车、小客车的平均速度分别是每小时多少千米？ 5．（2026·云南曲靖·二模）“激情滇超，燃爆云南”，云南省足球超级联赛(滇超)火热进行中，赛场周边的文创摊位也迎来了销售旺季．某摊主购进了“滇超吉祥物公仔”和“滇超纪念徽章”两种特色周边产品．已知用元购进“滇超吉祥物公仔”的数量比用元购进“滇超纪念徽章”的数量多个，且“滇超吉祥物公仔”的单价比“滇超纪念徽章”的单价贵元．摊主无意间提到，若是拿元全部去进货这种吉祥物公仔，能买到的数量最多也不会超过个．求两种周边产品的单价各是多少元． 根据以上信息，解答下列问题： (1)甲同学：设“滇超吉祥物公仔”的单价为元，可列方程为________；乙同学：设购进的“滇超纪念徽章”数量为个，可列方程为________； (2)请帮助甲同学完成剩下的解题过程． 6．（2026·云南临沧·二模）在中，是模型用来表示自然语言文本的基本单位．已知通过官方，模型每分钟输出生成速度是模型每分钟输出生成速度的3倍，模型输出生成 的时间比模型输出生成 的时间多用分钟．请问模型每分钟输出生成速度是多少？ 7．（2026·云南昆明·二模）“翻开一本书，就是打开一个世界，让心灵在文字间自由翱翔”．某教育体育局向全县中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别读页和页的两本书，准备参加读书分享活动，甲同学每天读书的页数是乙同学每天读书页数的倍，结果乙同学比甲同学提前天完成．求乙同学每天读书多少页？ 8．（2026·云南昆明·二模）滇池生态廊道是昆明打造“高原明珠”的重要民生工程．2023年，某学校开展“守护滇池”跨学科实践活动；学生沿生态廊道采集水样．已知采集点A到实验基地B的廊道全长为6千米．学生小盘，小龙同时从A点出发运送水样到B点，小盘骑共享单车，小龙步行，其中小盘的骑行速度是小龙步行速度的4倍，小盘到达B点所用时间比小龙少小时．求小龙步行的平均速度为多少千米/小时？ 不等式（组）与实际问题 考点06 1．（2026·云南昭通·二模）绿化树种具有过滤和滞纳大气污染颗粒物的能力，因此成为城市绿化的常用树种，其中榆树和白蜡树因其生长迅速，枝叶繁茂而被广泛种植．已知3棵榆树和2棵白蜡树的滞尘总量为23千克，5棵榆树和4棵白蜡树的滞尘总量为41千克． (1)每棵榆树和白蜡树的滞尘量分别是多少千克？ (2)一条新建的城市道路需要种植这两种树，一棵榆树的种植成本是400元，一棵白蜡树的种植成本是200元，种植两种树木的总棵数为60棵，要求滞尘总量不少于280千克，且种植总成本尽可能低，应该怎样种植这两种树才能使种植总成本最低？求出该费用． 2．（2026·云南文山·二模）云南的花种类繁多，色彩斑斓，小月打算在妈妈生日那天买一束百合和康乃馨组合的鲜花送给妈妈，已知买1支康乃馨和2支百合共需20元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格少4元． (1)求买一支康乃馨和一支百合各需多少元? (2)小月准备买康乃馨和百合共15支，且康乃馨不超过13支．设买康乃馨m支，买这束鲜花所需总费用为w元． ①求w与m之间的函数关系式； ②请你帮小月设计一种使费用最少的买花方案，并求出最少费用． 3．（2026·云南保山·二模）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，因此新能源汽车逐渐成为人们选择的交通工具．某汽车销售公司计划2024年购进一批新能源汽车，据了解，2辆A型汽车、5辆B型汽车的进价共计130万元；4辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计120万元． (1)求A型、B型汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若购进A、B两种型号汽车共10辆，所需进价不超过180万元，至少购买A种型号汽车多少辆？ 4．（2026·云南曲靖·二模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 随着时令水果大量上市，某水果店精心推出两款精品水果礼盒，深受消费者喜爱． 素材一 顾客甲在该水果店购买记录：2盒热带鲜果礼盒、3盒时令莓果礼盒，共600元； 素材二 顾客乙在该水果店购买记录：2盒热带鲜果礼盒、5盒时令莓果礼盒，共800元． 素材三 某公司为策划开业活动，计划采购这两款礼盒共60盒，用于现场宾客分发与互动使用，要求：①两款礼盒都购买；②时令莓果礼盒的数量不超过热带鲜果礼盒数量的2倍． 请完成下列任务： (1)求每盒热带鲜果礼盒、每盒时令莓果礼盒的单价； (2)设计一种采购方案，使得该公司购买这批物资的总费用最低，并求出最低总费用． 5．（2026·云南昆明·二模）请你根据下列材料，完成有关任务． 背景 “守护学生身心健康，筑牢民族未来根基”．为了办好校园餐，丰富食堂菜品，注重膳食营养搭配，学校食堂计划采购，两种新鲜食材． 素材一 商家：若购买袋种食材和袋种食材共需元；若购买袋种食材和袋种食材共需元．并且整袋售卖，不拆分． 素材二 食堂：下周星期一准备采购这两种食材共袋，种食材数量不低于袋，且不超过种食材的3倍． 请完成下列任务： (1)，两种食材每袋单价分别是多少元？ (2)请你用所学的数学知识，帮食堂师傅设计出最节省费用的采购方案，并求出最低采购费用． 10/11 11/11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $