-2025-2026学年北师大版七年级下册数学期末能力提优卷

**基本信息** 融合传统文化与生活实践，梯度设计考查数学抽象、推理与模型意识，适配七年级下册期末综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|轴对称图形、对顶角、概率、函数变量等|第1题以"致中和"体现文化传承，第9题测电线塔距离考查全等应用| |填空题|6|函数关系、幂运算、三角形重心等|第11题购物剩余钱数构建函数模型，第16题动点最短路径培养空间观念| |解答题|10|整式运算、全等证明、概率应用等|第19题父子赛跑结合行程与比例，第26题配方法拓展提升推理能力|

期末能力提优卷-2025-2026学年数学七年级下册北师大版（2024） 一、单选题 1．“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各图中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是(    ) A．天气预报说明天降水概率非常大，则明天会下雨是必然事件 B．某彩票中奖率为，小明买了4张这种彩票，前3张都没有中奖，则最后一张中奖的概率仍为 C．任意抛掷一枚图钉10次，针尖全都向上，则抛掷一枚图钉针尖向下为不可能事件 D．射击运动员射击一次只有2种可能的结果：中靶或脱靶，所以他中靶的概率为 4．圆的周长公式中（     ） A．是常量，2是常数，与是变量 B．是变量，2是常量，与是常量 C．，，是变量，2是常量 D．与是变量，2与是常量 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．化学老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的任务．如图，小明将两根小棒，的中点固定，测得，之间的距离即内径的长度．此方案依据的数学定理是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 7．如图，将小正方形纸片叠放在大正方形纸片上，使得点在边上，点在边上，连接，．当且两张正方形纸片的面积和为52时，则图中阴影部分的面积为（     ） A．20 B．16 C．12 D．10 8．已知a，b，c是的三边长，则化简的结果为（     ） A． B． C． D．b 9．如图所示，小美站在河边的点A处，在河的对面（小美的正北方向）的B处有一电线塔，她想知道电线塔离她有多远，于是向正西方向走了40步到达一棵树C处，接着再向前走了40步到达D处，然后她左转90°直行，当看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，一共走了160步．如果小美一步大约，估计小美在点A处时与电线塔的距离为（   ） A． B． C． D． 10．如图，一束光线从空气中斜射入长方体玻璃砖发生折射，已知，延长交于点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．小明同学用20元钱去买单价是3元的圆珠笔，则他剩余的钱（元）与他买这种圆珠笔的支数之间的关系是__________（不需要写出自变量的取值范围）． 12．已知，，则的值是______________． 13．小明手中有、、、四张牌，小军手中有、、、四张牌，若小明从小军手中抽一张牌，抽到任何牌的概率相等，那么抽到的牌上的数字和自己原有牌上的数字相同的概率为_______． 14．如图，为边上一点，，，则________． 15．如图，三边的中线，，的公共点为，若，则图中阴影部分面积为_____________． 16．如图，在中，是的中点，分别是上的动点，则的最小值是__________． 三、解答题 17．计算： (1) (2) (3)； (4) 18．先化简，再求值：．其中，． 19．父亲和儿子在400米的标准跑道上进行赛跑，已知儿子跑5步的时间父亲恰好跑6步，儿子跑7步的距离与父亲跑4步的距离相等．现在儿子站在跑道200米的起点处，父亲站在400米的起点处，同时同向起跑． (1)设父亲每步的长为米，儿子每步的长为米，求与的关系式，并求父亲与儿子的速度之比． (2)父亲能否在第一次到达400米的终点处前追上儿子？请通过计算，说明理由． 20．如图，点是的边上的一点，．平分，．求证：． 21．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有一个． (1)求的面积； (2)请仅用无刻度的直尺，完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①作关于直线对称的； ②在直线上找一点P，使得最短． 22．如图，与相交于点O，，平分． (1)求的度数； (2)求钝角的度数． 23．某商场进行促销，购物满额即可获得1次抽奖机会，抽奖袋中装有红色、黄色、白色三种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖． (1)若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是 事件．（填随机、必然、不可能） (2)小明观察一段时间后发现，平均每6个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，若袋中共有18个球，请你估算袋中白球的数量； (3)在（2）的条件下，如果在抽奖袋中增加三个黄球，那么抽中一等奖的概率会怎样变化？请说明理由． 24．如图，直线，直线交直线m，n分别于点A，B，点C，D在直线m上，点M在直线n上，且满足．垂直于交的延长线于点E，交直线n于点F，平分交于点H，交直线n于点G．    (1)请用等式表示之间的数量关系 ； (2)若． ①求的度数； ②将绕点B以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，则在旋转的过程中，当与的某一边平行时，请直接写出t的值． 25．如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当在上时 ，当在上时 ，（用含的式子表示） (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好全等，求点的运动速度． 26．【阅读材料】 材料一：“配方法”是将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，是解决数学问题常用到的方法． 材料二：，，求的值． 解：∵，，∴． 材料三：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴当时，有最小值，即代数式的最小值是． 【问题解决】 (1)已知，，求的值； (2)代数式是否有最大值，或有最小值？若有，求出它的最大值或最小值，并写出此时x的取值；若没有，请说明理由 【问题拓展】 (3)若，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《期末能力提优卷-2025-2026学年数学七年级下册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B D D A D B B D 1．D 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A、不存在能让图形折叠后完全重合的直线，故A选项不符合题意； B、不存在能让图形折叠后完全重合的直线，故B选项不符合题意； C、不存在能让图形折叠后完全重合的直线，故C选项不符合题意； D、图形沿中间一条竖直的直线折叠，故D选项是轴对称图形． 2．B 【分析】根据对顶角的定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，那么这两个角互为对顶角，对各选项进行判断即可． 【详解】A．与有一条公共边，另一边互为反向延长线，属于邻补角，不是对顶角，故本选项错误； B．与有公共顶点，且两边互为反向延长线，是对顶角，故本选项正确； C．与的两边不互为反向延长线，不是对顶角，故本选项错误； D．与没有公共顶点，不是对顶角，故本选项错误． 3．B 【分析】本题考查事件的分类与概率的基本概念，根据相关定义逐项判断即可． 【详解】解：A． ∵降水概率大仅说明明天下雨的可能性较高，明天下雨属于随机事件，不是必然事件，∴A说法错误，不符合题意； B． ∵每张彩票的中奖概率相互独立，不受其他彩票结果影响，中奖率表示每张彩票的中奖概率均为，∴最后一张中奖的概率仍为，B说法正确，符合题意； C． ∵10次抛掷的结果不能改变事件的性质，抛掷图钉针尖向下仍是随机事件，不是不可能事件，∴C说法错误，不符合题意； D． ∵射击一次中靶和脱靶不是等可能事件，因此中靶的概率不等于，∴D说法错误，不符合题意； 故选：B． 4．D 【分析】本题考查常量与变量的定义，常量是变化过程中数值保持不变的量，变量是数值发生变化的量，根据定义判断各量即可． 【详解】解：在圆的周长公式中，是固定数字，是圆周率，是固定不变的常数， 与是常量， 圆的周长随半径的变化而变化， 和是变量． 5．D 【分析】本题考查整式运算中合并同类项法则和幂的运算法则，根据对应运算法则逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：∵和不是同类项，不能合并，∴A错误． 选项B：∵幂的乘方，底数不变，指数相乘，，∴B错误． 选项C：∵，∴C错误． 选项D：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，∴D正确． 6．A 【分析】由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴在和中， ， ∴， ∴； ∴此方案依据的数学定理是边角边； 7．D 【分析】延长交于点H，设大正方形纸片的边长为a，小正方形纸片的边长为b，得出，确定，再由完全平方公式得出，结合图形得出阴影部分的面积为：． 【详解】解：延长交于点H，如图所示： 设大正方形纸片的边长为a，小正方形纸片的边长为b， 根据题意得：， ∴即， 解得：， ∴， ∴（负值舍去）， 根据题意得：， ∴阴影部分的面积为：． 8．B 【分析】根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”判断每个绝对值内式子的正负，再去掉绝对值符号，合并同类项即可得到化简结果． 【详解】∵，，是的三边长， ∴根据三角形三边关系可得 ，，， ∴ ， ， ， ∴ ． 9．B 【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据题意求出的步数并转化为长度，利用证明，根据全等三角形对应边相等即可求解． 【详解】解：由题意可得，步， 的步数为步， 一步大约， ， 在与中， ， ， ， 即小美在点处时与电线塔的距离为． 10．D 【分析】根据对顶角相等，角的和差关系计算的度数，再应用平行线的性质得到的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 11． 【分析】根据剩余钱数等于总钱数减去购买圆珠笔的总花费，找出等量关系列出函数关系式即可． 【详解】解：由题意可得，购买支单价为元的圆珠笔，总花费为元， 根据剩余钱数总钱数总花费，可得 ． 12． 【详解】解：∵，， ∴． 13． 【分析】确定所有等可能的结果总数，找出符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意可得，小明从小军手中抽一张牌，所有等可能的结果共有种，其中抽到的牌与小明原有的牌数字相同的结果有种，分别为抽到和抽到， 根据概率公式可得： ． 14．80 【分析】作交于点，利用平行线的性质求得，，据此求解即可． 【详解】解：作交于点， ∴，， ∴． 15． 【分析】先根据三角形中线的性质推出，，，再根据三角形重心的性质推出，，最后根据进行等量代换计算即可求解． 【详解】∵，，为中边的中线， ∴，，， ∴，，， ∵三边的中线，，的公共点为， ∴为的重心， ∴， ∴，，即，， ∴，， ∵ 即，解得：， ∴． 16． 【分析】过点A作于点E，连接，根据题意，得，当三点共线时，取得最小值，且为，根据垂线段最短，当时，才取得最小值，求解即可． 【详解】解：过点A作于点E， 连接，根据题意，得， 当三点共线时，取得最小值，且为，根据垂线段最短，当时，才取得最小值， 故当点P与点E重合时，最小， 在中，， ， ， ∴的最小值是． 17．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算； （2）依次运用积的乘方、幂的乘方和单项式乘法法则进行运算； （3）先利用多项式乘多项式法则和平方差公式展开，再合并同类项； （4）先利用积的乘方将原式变形，再运用平方差公式和完全平方公式进行计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 18．， 【详解】解： ． 将代入上式，得． 19．(1)， (2)父亲能在第一次到达400米终点前追上儿子，理由如下： 因为父亲与儿子的速度之比为 所以父亲的速度为，则儿子的速度为， 设经过分钟后，父亲追上儿子， 由题意可得：， 解得， 因为父亲第一次到达终点的时间是，． 所以能在第一次到达400米终点前追上儿子． 【分析】（1）设父亲每步的长为米，儿子每步的长为米，根据题意得到，，然后根据“儿子跑5步的时间父亲能跑6步”列式求解即可； （2）首先得到父亲的速度为，则儿子的速度为，设经过分钟后，父亲追上儿子，根据题意列方程求出，然后求解即可． 【详解】（1）解：设父亲每步的长为米，儿子每步的长为米， 因为儿子跑7步的距离与父亲跑4步的距离相等． 所以， 所以． 因为儿子跑5步的时间父亲能跑6步， 所以， 所以父亲与儿子的速度之比为； （2）略 20．证明：平分， ． 在和中， ，   ． 【详解】略 21．(1) (2)①； ② 【分析】（1）用割补法求解； （2）①作出的三个顶点关于直线对称的对应点，依次连接即可； ②连接交于点P，则点P为满足条件的点． 【详解】（1）解：； （2）解：①略； ②连接交于点P，则， ∴， ∴点P为满足条件的点． 22．(1) (2) 【分析】（1）根据得出，即可求出的度数； （2）先根据对顶角相等求出的度数，再由角平分线的性质得到，即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． 23．(1)必然 (2)9个 (3)解：抽中一等奖的概率会减小．理由如下： 则增加三个黄球，球的总数增加，而红球的数量没有变，抽中一等奖的概率为， ∴抽中一等奖的概率变小． 【分析】（1）根据随机事件和必然事件的定义进行判断； （2）由于平均每6个人中会有3人抽中三等奖，利用样本估计总体，得到抽中白球的概率为，然后根据概率公式计算袋中白球的数量； （3）根据概率公式说明抽中一等奖的概率会减小． 【详解】（1）解：∵只有三种颜色的小球，每种颜色的小球都对应着相应的奖级， ∴小明获得1次抽奖机会，小明一定会中奖，即小明中奖是必然事件； （2）解：∵平均每6个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖， ∴抽中一等奖的概率为，抽中二等奖的概率为， ∴红色球和黄色球分别有（个），（个）， ∴估算袋中白球的数量为（个）； （3）略 24．(1) (2)①；②当与的某一边平行，t的值为秒或15秒或20秒． 【分析】（1）作，得，由，可得，，据此求解即可； （2）①设，则，，由，可得，由平分，可得，由，可求，根据，计算求解即可； ②由（2）①可知，，，，由题意知，当与的某一边平行，分，，三种情况求解作答即可． 【详解】（1）解：作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）①解：设，则，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴； ②解：由（2）①可知，，，， ∵， ∴， 由题意知，当与的某一边平行，分，，三种情况求解； 当时， ∴， ∴， ∴旋转时间为（秒）； 当， ∴， ∴， ∴旋转时间为（秒）； 当时， ∵，， ∴， ∴， ∴旋转时间为（秒）； 综上所述，当与的某一边平行，t的值为秒或15秒或20秒． 25．(1)； (2)点Q的运动速度为或 【分析】（1）用代数式表示出即可； （2）分类讨论：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时，结合全等三角形的性质分别列方程求解即可． 【详解】（1）解： 当点P在边上时，； 当点P在边上时，； （2）解：∵， ∴只存在两种情况：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时． 设点Q的运动速度为， ①当点P位于，点Q位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为； ②当点Q位于，点P位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为． 综上可知点Q的运动速度为或． 26．(1)18 (2)当时，代数式有最大值，最大值为23 (3)13 【分析】（1）根据完全平方公式的变形求解即可； （2）根据完全平方公式的变形求解即可； （3）根据完全平方公式的变形求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵，， ∴原式； （2）解：代数式有最大值，最大值为23，过程如下： ， ∵， ∴，即， ∴当时，代数式有最大值，最大值为23； （3）解：∵， ∴ ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $