2025-2026学年北师大版 数学八年级下册期末能力提优卷-

**基本信息** 本卷以科技情境（如配送机器人出口成本问题）和几何探究（如等边三角形翻折综合题）为载体，覆盖北师大版八年级下册核心知识，梯度设计兼顾基础巩固与创新应用，适配期末能力提优需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|多边形内角和、轴对称与中心对称、因式分解等|第6题结合中点性质解决实际测量问题，体现应用意识| |填空题|6题|分式规律探究、梯形平移面积计算等|第14题通过分式符号与指数规律培养抽象能力| |解答题|9题|分式方程应用、平行四边形证明、新定义“k值分式”等|22题以等边三角形翻折为载体，分3问实现从计算到推理的能力梯度；24题融入科技企业出口情境，考察方程与不等式综合应用|

期末能力提优卷-2025-2026学年数学八年级下册北师大版（2024） 一、单选题 1．六边形的内角和为（   ） A． B． C． D． 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．若m为任意正整数，则的值总能（   ） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 4．下列各式与相等的是（     ） A． B． C． D． 5．一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段的同侧取一点C，连接并延长至点E，使得A、B分别是、的中点，若，则线段的长度是（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，按如下步骤作图：在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线，再分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点D，连接，．根据以上作图，若，，，则点D到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 8．已知三角形顶点坐标分别是，，，将三角形平移后顶点A的对应点的坐标是，则点B的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 9．如图，的对角线，相交于点，点是的中点．若，，的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 10．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法错误的是（     ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．关于x，y的方程组的解是 D．不等式的解集是 二、填空题 11．因式分解：=___________ 12．关于的不等式组有且只有5个整数解，则常数的取值范围是______． 13．如图，将梯形沿直线的方向平移到梯形的位置，其中，，交于点．若 ，则图中阴影部分的面积为_____________． 14．观察下列一组分式：，，，，，…，则第10个分式为________，第个分式为________． 15．如图，在中，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E；再分别以D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点F，作射线交于点G．若，，则的长为 _____ ． 16．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，是的中点，连接，若，则的长为_____． 三、解答题 17．因式分解： (1)； (2)． 18．解不等式组：，将解集在数轴上表示出来，并写出它的所有非负整数解． 19．解分式方程 (1)； (2) ． 20．如图，在中，对角线与相交于点O，过点A作于E，过点C作于点F．求证：． 21．如图，在中，，，直线是线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接，若，求的长． 22．已知为等边三角形，点D是边上一动点，连接，将沿翻折，点C的对应点为E． (1)如图1，若，，求线段的长； (2)如图2，连接，若所在直线与垂直，求的值； (3)如图3，过点A的直线，射线与直线l交于点F．若，，求线段的长． 23．如图，有①②③三种不同型号的卡片若干，其中型号①②分别是边长为a和b的正方形卡片，型号③是长为a、宽为b的长方形卡片． (1)请用这些卡片分别拼出面积为的长方形，并画出图形． (2)你能拼出面积为的长方形吗？如果能，请画出图形；如果不能，请说明理由． (3)请再提出一个问题，并加以解答． 24．2026年3月，贵州科学城企业融云创新的配送机器人和翰凯斯的无人驾驶小巴成功出口海外．已知一台配送机器人的出口成本比一台无人驾驶小巴贵1万元，用60万元采购配送机器人的数量与用40万元采购无人驾驶小巴的数量相同． (1)求配送机器人和无人驾驶小巴每台的出口成本各是多少万元？ (2)企业计划出口配送机器人和无人驾驶小巴共6台，要求小巴的数量不超过配送机器人数量的一半，且两种产品都要出口（即每种至少1台）．已知每台配送机器人的出口售价为5万元，每台无人驾驶小巴的出口售价为3万元．请写出所有可能的出口方案，并指出哪种方案的总利润最大． 25．已知分式A与B，当存在A与B的差为常数k，则称分式A与B为关于x的“k值分式”．例如，，因为，所以A与B为关于x的“2值分式”． (1)下列 （填序号）是关于x的“4值分式” ①与    ②与 (2)若分式与是关于x的“2值分式”，求a与b的值； (3)若分式与是关于x的“k值分式”，求出k的值；若此时A与B也使得成立，请直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《期末能力提优卷-2025-2026学年数学八年级下册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B C C A A C C D 1．D 【详解】解：∵多边形内角和公式为，其中为多边形的边数，六边形的边数， ∴代入公式得六边形内角和为． 2．A 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 3．B 【分析】将原式因式分解得到整式乘积形式，即可判断其整除性． 【详解】解： ， ∵为任意正整数， ∴是4的整数倍， 故原式总能被4整除． 4．C 【分析】分式的基本性质化简选项，和对比即可得到结果． 【详解】解：A、是最简分式，，故本选项不合题意； B、是最简分式，，故本选项不合题意； C、∵， ∴，故本选项符合题意； D、是最简分式，，故本选项不合题意． 5．C 【详解】解：解不等式得， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示为． 6．A 【详解】解：∵A、B分别是、的中点，， ∴． 7．A 【分析】根据作图步骤可知平分，垂直平分，从而得出，点到、的距离相等．过点作于，交的延长线于，通过证明和，利用线段的和差关系求出的长，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作于，交的延长线于， 由作图步骤①可知，平分， ，， ，， 在和中， ， ， ， 由作图步骤可知，垂直平分，点在上， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， 解得， 在中，， 即点到直线的距离为． 8．C 【分析】根据点A和平移后对应点的坐标找出三角形的平移规律，再据此计算点B的对应点的坐标即可. 【详解】解：∵点平移后的对应点为， 计算得横坐标平移量：，纵坐标平移量：， ∴向右平移了个单位长度，向上平移了个单位长度， ∵点B的坐标为， ∴点B的对应点的坐标为，即. 9．C 【分析】根据平行四边形性质即可知为中点，所以为的中位线，即可求解． 【详解】的周长的一半, ， ， ， ， ， ， ，可知为中点，且点是的中点， 为的中位线， ， 的周长为． 10．D 【分析】先根据一次函数图象与x轴的交点解答A，再根据两直线的交点解答B，C，然后根据直线在直线下方的部分的自变量取值解答D． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴当时，， 所以方程的解是，则A正确； ∵一次函数的图象和一次函数的图象交于点， ∴当时，两个函数值相等， 即方程的解是，则B正确； 方程组的解是，则C正确； 不等式的解集是，则D错误． 11． 【分析】将看成一个整体，利用十字相乘法进行分解，再对各因式进行分解． 【详解】解：原式 ． 12． 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再根据不等式组有且只有个整数解，确定出所有整数解，列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围. 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 原不等式组的解集为：， 不等式组有且只有个整数解， 不等式组的个整数解为. ， 解得. 13．11 【分析】先由平移性质得，，则可得，然后利用梯形面积公式求解即可． 【详解】解：由平移性质得，， ∴， ∵ ， ∴阴影部分的面积． 14． 【分析】分别从符号，分子系数，分母的指数三个部分归纳第n项的规律，再将代入规律得到第10个分式． 【详解】解：观察给出的分式，分部分归纳规律： 符号规律：第1个分式为正，第2个为负，第3个为正，…，可知符号规律为（为项数）； 分子规律：分子系数等于项数，分子恒含因式，因此分子为； 分母规律：分母为的次方，即； 因此第个分式为：， 当时，代入得：． 15．5 【分析】首先根据尺规作图的步骤，判断是的角平分线，得到角相等的条件，过点G作的垂线，利用角平分线的性质，得到该垂线段的长度等于的长度，用勾股定理计算AB的长度，再通过三角形面积的不同表示方法，或者利用角平分线分对边成比例的性质，建立关于或的方程，结合的长度求解． 【详解】解：过G作于H， 由作图得：平分， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 又∵，平分， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴ ， 设． 则，即：， 解得：， ∴ ． 16． 【分析】根据平行四边形对角线互相平分可得是的中点，结合是的中点，可判定为的中位线，利用三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵是的中点， ∴是的中位线． ∴． ∵， ∴． 17．(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．，，该不等式组的所有非负整数解是0，1，2 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组的解集为， 在数轴上表示该不等式组的解集，如图． 该不等式组的所有非负整数解是0，1，2． 19．(1) (2) 【详解】（1）解：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得， 经检验，是原方程的解； （2）解：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得， 经检验，是原方程的解． 20．见解析 【分析】由四边形是平行四边形，可得，，从而可证明，即可得． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中, , ∴， ∴． 21． 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，进而得到，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：垂直平分， ， ， ， ， ， ， ． 22．(1) (2) (3)或 【分析】（1）过D作于H，利用含的直角三角形的性质、勾股定理等求出，，利用翻折的性质以及三角形内角和定理可求出，利用等角对等边可求出，即可求解； （2）延长交于M，在上取点F，使，利用翻折的性质可求出，利用三角形内角和定理求出，利用等腰三角形三线合一性质得出，利用等边对等角和三角形内角和定理求出，进而求出，利用等边对等角和三角形外角的性质求出，设，利用含的直角三角形的性质以及勾股定理求出，，利用勾股定理求出，利用含的直角三角形的性质，即可求解； （3）分点F在A的右侧和左侧两种情况讨论，利用角平分线的性质与判定可证平分，然后利用可证，得出，在、中，利用勾股定理可得出，代入数据即可求解． 【详解】（1）解：过D作于H， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵翻折， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，延长交于M，在上取点F，使， ∵， ∴， ∵翻折， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：当F在A的右侧时，如图，过D作于G，过B作于H，于N，延长线于M，连接， ∵翻折， ∴，，，， 又， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又，， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得 ∴； 当F在A的左侧时，如图，过D作于G，过B作于H，于N，于M，连接， 同理可证平分， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得 ∴； 综上，的长为或． 23．(1)面积为, ∴长方形的长为，宽为a，如图所示； 面积为， ∴长方形的长和宽均是，如图所示： (2)能，， 长方形的长为，宽为，如图所示： (3)解：你能拼成一个面积为的长方形吗？画出图形，并计算出这个长方形的长和宽． ． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 24．(1)无人驾驶小巴每台的出口成本是2万元，则配送机器人每台的出口成本是3万元 (2)所有出口方案为：①配送机器人4台，无人驾驶小巴2台；②配送机器人5台，无人驾驶小巴1台；其中方案2总利润最大 【分析】（1）设无人驾驶小巴每台的出口成本是x万元，则配送机器人每台的出口成本是万元，根据“60万元采购配送机器人的数量与用40万元采购无人驾驶小巴的数量相同”列出方程，解方程即可； （2）设出口配送机器人m台，则出口无人驾驶小巴台，根据“小巴的数量不超过配送机器人数量的一半”及“每种至少1台”列出不等式组，求出m的取值范围，得出配送方案，并求出每一种方案的利润，得出最大值． 【详解】（1）解：设无人驾驶小巴每台的出口成本是x万元，则配送机器人每台的出口成本是万元，根据题意得 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 此时， 答：无人驾驶小巴每台的出口成本是2万元，则配送机器人每台的出口成本是3万元； （2）解：设出口配送机器人m台，则出口无人驾驶小巴台，根据题意得 ，解得， ∵m为整数， ∴或5， 方案1：配送机器人4台，无人驾驶小巴2台， 总利润：（万元）； 方案2：配送机器人5台，无人驾驶小巴1台， 总利润：（万元）； ∴方案2的利润最大，最大为11万元． 答：所有出口方案为：①配送机器人4台，无人驾驶小巴2台；②配送机器人5台，无人驾驶小巴1台；其中方案2总利润最大． 25．(1)② (2)， (3)； 【分析】（1）利用“值分式”的定义进行逐一判断即可； （2）利用“2值分式”的定义列出，根据多项式恒等对应项系数相等列方程求解即可； （3）先分别化简A、B的分子，再通分计算，约分后得到的常数即为值；先对进行通分化简，结合的关系，再利用完全平方公式推导的取值． 【详解】（1）解：① ② 因此，②是关于x的“4值分式”； （2）解：由题意得：， 则， 去分母得：， 整理得：， 则， 解得：； （3）解：由题意得：， ， ， 由于分式与是关于x的“k值分式”， 则； ， ， ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $