2025-2026学年北师大版八年级数学下册期末满分冲刺（1）

**基本信息** 立足北师大版八年级下册全册，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，通过农耕劳动工具采购、“中方四边形”探究等情境，考查抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|10/30|平移、因式分解、三角形性质等|结合图形变换考查几何直观| |填空题|5/15|平行四边形性质、完全平方等|注重基础概念辨析| |解答题|7/75|不等式组、图形变换、应用题等|23题“中方四边形”探究体现创新意识，19题农耕工具采购考查应用意识|

2025-2026学年八年级数学下册期末满分冲刺（1） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：八年级下册全部（北师大版新版） 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列图案中可以由图形“”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平移只改变图形的位置，不改变图形的大小，形状和方向，可得答案． 【详解】解：由平移的特点可知，只有D选项中的图案是经过平移得到． 2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，且等式必须成立． 根据因式分解的定义逐一判断即可． 【详解】解：选项A：是乘法运算，右边不是积的形式，不属于因式分解； 选项B：右边是和的形式，不是积的形式，不属于因式分解； 选项C：，右边是整式的积，且等式成立，属于因式分解； 选项D：，等式不成立，不属于因式分解； 故选：C． 3．在中，，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和定理结合计算得出，即可得解，熟练掌握三角形内角和定理是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：D． 4．若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是不等式的基本性质，根据不等式的基本性质，逐一判断每个选项是否成立． 【详解】解：∵， A、两边同时乘以，不等号方向改变，则，故本选项不符合题意； B、两边同时减去 1，不等号方向不变，则，故本选项不符合题意； C、两边同时乘以，不等号方向改变，则，再两边加 1，则，故本选项符合题意； D、由，则，故本选项不符合题意； 故选：C． 5．化简的结果是（   ） A． B．m C． D． 【答案】C 【分析】利用分式除法法则将除法转化为乘法，约分后即可得到结果． 【详解】解：． 6．如图，在四边形中，对角线，相交于点O，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（     ） A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】由平行四边形的判定定理逐项验证即可． 【详解】解：A、当时，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、当时，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； C、当时，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、当，时，由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判定四边形是平行四边形，符合题意． 7．聪聪家在铺设地面时，爸爸先购买了一批正八边形的地砖（如图），还需要再购买另一种形状的地砖与之搭配才能密铺整个地面（即无缝隙且不重叠），则下面多边形可以选择的是（   ） A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形 【答案】B 【分析】本题考查平面镶嵌（密铺），正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为．正八边形的一个内角为，从所给的选项中取出一些进行判断，看其所有内角和是否为，并以此为依据进行求解． 【详解】解：正八边形的每个内角为：，正六边形的每个内角为：， A、正八边形、正三角形内角分别为、，显然不能构成的周角，故不能铺满，选项不符合题意； B、正方形、正八边形内角分别为、，由于，故能铺满，选项符合题意； C、正六边形和正八边形内角分别为、，显然不能构成的周角，故不能铺满，选项不符合题意． D、正八边形的内角为，不能构成的周角，故不能铺满，选项不符合题意； 故选：B． 8．如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数与一元一次不等式之间的关系，结合图像进行分析即可． 【详解】解：因为当时，直线在直线的上方， 所以，不等式的解集为． 9．甲、乙两人分别从距目的地6km和10km的两地同时出发．甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20min到达目的地，求甲、乙的速度．若设甲的速度为3xkm/h，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求的是速度，路程明显，一定是根据时间来列等量关系，本题的关键描述语是：甲比乙提前20分钟到达目的地．等量关系为：乙走10千米用的时间-甲走6千米用的时间=h，解题时注意单位换算． 【详解】解：设甲的速度为 ，则乙的速度为 ． 根据题意，得． 故选：D． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 10．如图①，在中，，点P 从点B 出发沿线段向点C 运动，线段的垂直平分线分别交于点M 、N，设，y与x 之间的函数图象如图②所示，则图②中a 的值为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，动点问题的函数图象，先由线段垂直平分线的性质得到，再由勾股定理得到，由图②可知，当，则，进而得到，则当，即点M为的中点时，． 【详解】解：如图所示，连接， ∵线段的垂直平分线分别交于点M 、N， ∴， ∵， ∴， 由图②可知，当， ∴， ∴， ∴当，即点M为的中点时，， 故选：D． 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11．因式分解：________． 【答案】 【详解】解： ． 12．如图，在中，若，点E在的延长线上，则____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．根据平行四边形的对角相等，再结合邻补角的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 故答案为： 13．一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式的解集是________． 【答案】 【分析】根据数轴上表示不等式的解集的方法即可得出结果． 【详解】解：由图可得，这个不等式的解集是． 14．若关于x的二次三项式x2+kx+64是一个完全平方式，则k＝_____． 【答案】±16 【分析】利用完全平方公式的结构特征解答即可． 【详解】解：∵x2+kx+64是一个完全平方式，∴k＝±（8×2），即k＝±16． 故答案为：±16. 【点睛】本题考查了完全平方式的知识，属于常考题型，熟知完全平方式的结构特征是解题关键. 15．已知，如图，中，，，E是延长线上一点，连接，，，连接与的延长线交于点，，则_____． 【答案】/3.5/ 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定的应用，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 过点F作延长线交于点G，利用证明，得到和，进一步利用证明，得到和，结合设，，已知得到和，即可求得． 【详解】证明：过点F作延长线交于点G，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵，， 设，， ，， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，第16题-19题每小题8分，第20题-22题每小题10分，第23题13分，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】解集为：，数轴表示见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 数轴上表示如下： 17．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先利用分式的加减乘除化简，后代入求值即可． 本题考查了分式的化简，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：     ． 当时，原式． 18．如图，的三个顶点的坐标分别为． (1)将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； (2)平移，若A对应点的坐标为，画出平移后对应的； (3)若将绕某一点旋转得到，请直接写出旋转中心的坐标为_____． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出的对应点即可画出旋转后对应的； （2）利用平移的性质得出平移方式为向下平移6个单位，再向右平移3个单位，据此作出的对应点即可画出平移后对应的； （3）连接和的交点即为旋转中心，利用中点坐标公式即可得到坐标． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：连接和的交点即为旋转中心， 根据（1）（2）可得， 故旋转中心坐标为，即． 19．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，现需要采购一批劳动工具开展种植活动．据了解，市场上型劳动工具的单价比型劳动工具的单价低5元，用400元购买型劳动工具的数量和用500元购买型劳动工具的数量相同． (1)求，两种型号劳动工具的单价各是多少元？ (2)学校计划购买，两种型号的劳动工具共100把，且型劳动工具的购买数量不超过型劳动工具的购买数量的两倍，则如何购买花费最少？最少费用是多少？ 【答案】(1)A型劳动工具单价为20元，B型劳动工具单价为25元 (2)购买A型号的劳动工具66把，B种型号的劳动工具34把，最少费用是2170 【分析】本题考查的是分式方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式． （1）设B型劳动工具单价为x元，则A型劳动工具单价为元，由用400元购买A型劳动工具的数量和用500元购买B型劳动工具的数量相同，再建立分式方程求解即可； （２）确定，再根据函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：设B型劳动工具单价为x元，则A型劳动工具单价为元， ， 整理得，， 解得， 经检验：是原分式方程的解， ， 答：A型劳动工具单价为20元，B型劳动工具单价为25元； （2）解：设购买A型劳动工具m把，则购买B型劳动工具把，购买花费为w元， 根据题意得：，   解得， 所以m得最大值为66， ， ∵ ∴w随m增大而减小 ∴时，w取得最小值2170元，此时A工具66把，B工具34把． 答：购买A型号的劳动工具66把，B种型号的劳动工具34把，最少费用是2170． 20．【阅读材料】 我们知道，多项式可以因式分解为．当一个二次三项式（如）不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解： ． 【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题： (1)填空： ① ② ＝ ． ③ ④． (2)将下列各式因式分解： ① ； ②． 【答案】(1)①1；②1；③9；④9 (2)①；② 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）仿照阅读材料，运用配方法（加上一次项系数一半的平方，再减去该值）将二次三项式转化为完全平方式与常数的差，再利用平方差公式因式分解． （2）①仿照阅读材料，运用配方法给加上4再减去4，将转化为与1的差，再利用平方差公式因式分解． ②仿照阅读材料，运用配方法将转化为与4的差，再利用平方差公式因式分解． 【详解】（1）解：：配方法，加再减， 即， 分解得， 所以①，②， ：配方法，加再减， 即， 分解得， 所以③，④． 故答案为：①1；②1；③9；④9； （2）解：①原式=； ②原式． 21．如图，在中，，将绕点A沿顺时针旋转得到，与交于点F． (1)求证：； (2)若，当四边形是平行四边形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接．根据旋转的性质先证明△△则，进而证明△△，得出，即可证明△△； （2）根据四边形是平行四边形，结合已知条件得出，由勾股定理，可求得．根据△△，即可求解． 【详解】（1）证明：连接． 将绕点沿顺时针旋转得到， ，，， ， 又， ， ． ． ，， ． ． 在和中， ， ． （2）解：四边形是平行四边形， ． ． ， ． ． 由勾股定理，可求得． ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理；熟练掌握以上知识是解题的关键． 22．关于x，y的二元一次方程（a，b，c为常数，且），若系数满足，则称这个方程为“幂系数”方程．例如：方程，其中，，满足，所以方程是“幂系数”方程；由两个“幂系数”方程组成的方程组称作“幂系数”方程组．根据上述规定，回答下列问题： (1)下列方程是“幂系数”方程的是_____（只填写序号）． ①；②；③． (2)若关于x，y的方程组（m，n为常数，且）是“幂系数”方程组，求的值． (3)已知m，n，k为正整数，若关于x，y的方程组是“幂系数”方程组，求满足条件的k值． 【答案】(1)①③ (2)2或6 (3)1或2 【分析】（1）根据“幂系数”方程的定义解答即可； （2）根据“幂系数”方程的定义，可得，求出m，n的值，即可； （3）根据“幂系数”方程的定义，可得，可得到，再由m，n，k为正整数，即可求解． 【详解】（1）解：①，其中，，，满足， 所以方程是“幂系数”方程； ②， 其中，，，不满足， 所以方程不是“幂系数”方程； ③，其中，，，满足， 所以方程是“幂系数”方程； （2）解：∵关于x，y的方程组（m，n为常数，且）是“幂系数”方程组， ∴，解得：或， ∴原方程组为或， 由得：， 由得：， ∴， 综上所述，的值为2或6； （3）解：∵关于x，y的方程组是“幂系数”方程组， ∴， 解得：， ∵m，n，k为正整数， ∴是12的正因数， ∴取3或4或6或12， 当时，，不符合题意； 时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意； 当时，，，不符合题意； ∴满足条件的k的值为1或2． 23．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【性质探究】 如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的两条结论 ， ； 【问题解决】 如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，．求证：四边形是“中方四边形”； 【拓展应用】 如图3，已知四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点， （1）试探索与的数量关系，并说明理由． （2）若，则的最小值是 ． 【答案】性质探究：，；问题解决：证明见详解；拓展应用：（1），理由见详解；（2） 【分析】性质探究：由四边形是“中方四边形”，可得是正方形且、、、分别是、、、的中点，利用三角形中位线定理即可得出答案； 问题解决：如图2，取四边形各边中点分别为、、、并顺次连接成四边形，连接交于，连接交于，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； 拓展应用：（1）如图3，分别作、的中点、并顺次连接、、、，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可证得结论； （2）如图4，分别作、的中点、并顺次连接、、、，连接交于，连接、，当点在上（即、、共线）时，最小，最小值为的长，再结合（1）的结论即可求得答案． 【详解】性质探究：①，②； 理由如下：如图1， 四边形是“中方四边形”， 是正方形且、、、分别是、、、的中点， ，，，，，， ，， 故答案为：，； 问题解决：如图2，取四边形各边中点分别为、、、并顺次连接成四边形，连接交于，连接交于， 四边形各边中点分别为、、、， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，，，，，， ，，，， 四边形是平行四边形， 四边形和四边形都是正方形， ，，， 又， ， 即， 在和中， ， ， ，， 又，， ， 是菱形， ， ． 又，， ， ， 又，， ， 菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”； 拓展应用：（1），理由如下： 如图3，分别作、的中点、并顺次连接、、、， 四边形是“中方四边形”， ，分别是，的中点， 四边形是正方形， ，， ， ，分别是，的中点， ， ； （2）如图4，分别作、的中点、并顺次连接、、、， 连接交于，连接、， 当点在上（即、、共线）时，最小，最小值为的长， ， 由性质探究②知：， 又，分别是，的中点， ，， ， ， 由拓展应用（1）知：； 又， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下册期末满分冲刺（1） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：八年级下册全部（北师大版新版） 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列图案中可以由图形“”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．在中，，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 4．若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 5．化简的结果是（   ） A． B．m C． D． 6．如图，在四边形中，对角线，相交于点O，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（     ） A． B． C． D．， 7．聪聪家在铺设地面时，爸爸先购买了一批正八边形的地砖（如图），还需要再购买另一种形状的地砖与之搭配才能密铺整个地面（即无缝隙且不重叠），则下面多边形可以选择的是（   ） A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形 8．如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 9．甲、乙两人分别从距目的地6km和10km的两地同时出发．甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20min到达目的地，求甲、乙的速度．若设甲的速度为3xkm/h，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 10．如图①，在中，，点P 从点B 出发沿线段向点C 运动，线段的垂直平分线分别交于点M 、N，设，y与x 之间的函数图象如图②所示，则图②中a 的值为（    ） A．4 B． C．5 D． 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11．因式分解：________． 12．如图，在中，若，点E在的延长线上，则____________． 13．一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式的解集是________． 14．若关于x的二次三项式x2+kx+64是一个完全平方式，则k＝_____． 15．已知，如图，中，，，E是延长线上一点，连接，，，连接与的延长线交于点，，则_____． 三、解答题（本题共7小题，第16题-19题每小题8分，第20题-22题每小题10分，第23题13分，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 17．先化简，再求值：，其中． 18．如图，的三个顶点的坐标分别为． (1)将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； (2)平移，若A对应点的坐标为，画出平移后对应的； (3)若将绕某一点旋转得到，请直接写出旋转中心的坐标为_____． 19．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，现需要采购一批劳动工具开展种植活动．据了解，市场上型劳动工具的单价比型劳动工具的单价低5元，用400元购买型劳动工具的数量和用500元购买型劳动工具的数量相同． (1)求，两种型号劳动工具的单价各是多少元？ (2)学校计划购买，两种型号的劳动工具共100把，且型劳动工具的购买数量不超过型劳动工具的购买数量的两倍，则如何购买花费最少？最少费用是多少？ 20．【阅读材料】 我们知道，多项式可以因式分解为．当一个二次三项式（如）不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解： ． 【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题： (1)填空： ① ② ＝ ． ③ ④． (2)将下列各式因式分解： ① ； ②． 21．如图，在中，，将绕点A沿顺时针旋转得到，与交于点F． (1)求证：； (2)若，当四边形是平行四边形时，求的长． 22．关于x，y的二元一次方程（a，b，c为常数，且），若系数满足，则称这个方程为“幂系数”方程．例如：方程，其中，，满足，所以方程是“幂系数”方程；由两个“幂系数”方程组成的方程组称作“幂系数”方程组．根据上述规定，回答下列问题： (1)下列方程是“幂系数”方程的是_____（只填写序号）． ①；②；③． (2)若关于x，y的方程组（m，n为常数，且）是“幂系数”方程组，求的值． (3)已知m，n，k为正整数，若关于x，y的方程组是“幂系数”方程组，求满足条件的k值． 23．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【性质探究】 如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的两条结论 ， ； 【问题解决】 如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，．求证：四边形是“中方四边形”； 【拓展应用】 如图3，已知四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点， （1）试探索与的数量关系，并说明理由． （2）若，则的最小值是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $