精品解析：广东深圳市宝安中学（集团）第二外国语学校2025-2026学年第二学期九年级六月份素养调研数学试卷

宝中二外2025－2026学年度第二学期六月份素养调研 数学试卷 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 小宇在进行体育运动时消耗400千卡（千卡为热量单位），记作，那么摄入食物获得500千卡，记作（ ） A. B. C. D. 2. “十五五”规划明确AI为新质生产力核心，2026年要推动智能体与新一代智能终端普及．以下是几个AI模型产品的logo，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 深圳将于今年月举行深圳峰会， 年全市地区生产总值亿元，同比增长．数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 2026年春晚主题“骐骥驰骋，势不可挡”，其前半句源自《楚辞•离骚》中的“乘骐骥以驰骋兮”．在《楚辞•离骚》的这句词中任意选择1个字，该字恰好是以“马”为偏旁的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 全国首个“空地协同”智慧物流中心在宝安启用，物流中心利用丰翼无人机进行空运日均可处理很多件快递，左图是丰翼无人机，右图是无人机运送物品的简化图，其中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 小明和父亲参加生态马拉松比赛，全程，两人同时出发，父亲速度比小明快 ，用时比小明少10分钟，设小明的速度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 新定义：是关于的函数，当 时，的最大值为，最小值为，此时令，则称当 时，为关于的型函数．在下列函数中，当时，为关于的2型函数的是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知实数x，y满足，则______． 10. 已知二次函数（是常数）的图象与轴有两个不同的交点，则的值可以是______．（写出一个即可） 11. 如图，左边是九年级班荣获的足球赛奖杯，右边是它的截面图，已知 ，，分别与 相切于点，，，则 的半径为______． 12. 如图，点在反比例函数的图象上，点与点关于原点对称，过点作轴，交反比例函数于点．连接，若的面积为7，则的值为______． 13. 如图，在中， ， ， ，点 分别在 边上，满足．连接，将 沿翻折，得到 ．连接，若的面积和 的面积相等，则的长为______． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14. 计算： 15. 先化简，再代入求值：，并从0，2，4这三个数中选一个合适的数代入求值． 16. AI体育正全面重塑校园体育生态，以“AI视觉识别”和“数据化反馈”的技术为学生带来精准化、个性化、趣味化的运动体验．某校面对八年级学生开展A、B两款AI体育产品的评价调研，现从调研结果中随机抽取20位学生的评分，数据如下： 数据一：AI视觉识别得分（满分10分，分值越高表示视觉识别越精准） A产品得分：7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10 B产品得分：6，6，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10，10 数据二：数据化反馈得分（满分10分，分值越高表示数据化反馈越全面） 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全统计表；根据数据一和数据二，将表格补全； 产品 AI视觉识别得分 数据化反馈得分 平均数 中位数 众数 方差 平均数 中位数 众数 方差 A 8.2 8 ②______ 0.76 ③______ 8 8 1.01 B 7.7 ①______ 6 2.01 8.1 8 7 1.29 （2）样本频数估计：若八年级学生共400名，请估计其对A产品的AI视觉识别得分不低于9分的学生总人数； （3）决策分析：作为该校学生，你会选择哪款AI体育产品辅助锻炼，请结合数据说明理由． 17. 某中学组织师生共人去参观博物院，阅读下列对话： 李老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，且租用辆座客车和辆座客车到河南省博物院，一天的租金共计 元．” 小明说：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到河南省博物院，一天的租金共计元．” （1）客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ （2）若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位；且每辆客车恰好坐满，共有哪几种租车方式？其中最省钱的租车方式，租车费用为多少元？ 18. 如图，四边形是菱形，为对角线， 为线段 上一点且，以为圆心，为半径作 ． （1）证明： 与相切； （2）连接 交于点，求出的长． 19. 【问题背景】为落实2026年深圳峰会“开放创新，绿色发展”的办会理念，会议通信保障中心发现，现场设备分为两类：媒体设备（记者用于直播、传输视频，占总设备数的 ，每台需带宽2单位）和普通设备（占 ，每台需带宽1单位）．每个通信基站带宽容量为600单位．会议通信保障中心的目标是在保障期的任意时刻，现场总带宽需求不超过基站总容量． 【模型构建】在会议开始前40分钟启动通信保障，现场总设备数y（台）与保障时间x（分钟）满足： ． 【模型应用】 （1）第______分钟，现场总设备数达到1400台． （2）请求出第 分钟时的现场总带宽需求 的表达式． （3）为满足带宽需求，至少需要部署多少个基站？请说明理由． （4）通信中心考虑优化方案：媒体设备区必须保证 带宽供应，普通设备区可接受“弹性保障”（当带宽不足时，可降速至0.5单位/台）．若普通设备区降速策略生效的阈值为：当 （总带宽容量）时启动．请通过计算说明采用此策略后，所需基站数能否减少． 20. 定义：在中，是的对角线，点是边上一点，分别连接 ，若满足 ，则称点为的“共轭连接点”．现有4张全等的直角三角形纸片，每一张都形如图a，其中 ， ． （1）①将2张纸片拼成如图1的，当共轭连接点在 上时，则 ______ ； ②将2张纸片拼成如图2的，当共轭连接点P在上时，则 ______； （2）将4张纸片拼成如图3的，当共轭连接点在上时，求 的长； （3）将4张纸片拼成如图4的： ①用圆规和无刻度的直尺作出所有的共轭连接点（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）（提示：圆内接四边形对角互补）； ②请直接写出 ______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝中二外2025－2026学年度第二学期六月份素养调研 数学试卷 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 小宇在进行体育运动时消耗400千卡（千卡为热量单位），记作，那么摄入食物获得500千卡，记作（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知的符号规定，推导摄入热量的记法即可． 【详解】解：∵消耗热量被记作负数，消耗和摄入是一对相反意义的量， ∴摄入热量应该记作正数， 又∵摄入热量为500千卡， ∴记作． 2. “十五五”规划明确AI为新质生产力核心，2026年要推动智能体与新一代智能终端普及．以下是几个AI模型产品的logo，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合．‌根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； B．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； C．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； D．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故选项符合题意； 3. 深圳将于今年月举行深圳峰会， 年全市地区生产总值亿元，同比增长．数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中 ，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．据此解答即可． 【详解】解：数据亿用科学记数法表示为． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用合并同类项法则、积的乘方法则、单项式乘法法则、完全平方公式，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故A运算错误，不符合题意； B、，故B运算错误，不符合题意； C、，运算正确，符合题意； D、，故D运算错误，不符合题意． 5. 2026年春晚主题“骐骥驰骋，势不可挡”，其前半句源自《楚辞•离骚》中的“乘骐骥以驰骋兮”．在《楚辞•离骚》的这句词中任意选择1个字，该字恰好是以“马”为偏旁的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定总字数，再找出符合“马为偏旁”条件的字数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：对句子“乘骐骥以驰骋兮”计数，可得这句话总共有 个字． ∵其中以“马”为偏旁的字为骐、骥、驰、骋，共个， ∴根据概率公式，所求概率为． 6. 全国首个“空地协同”智慧物流中心在宝安启用，物流中心利用丰翼无人机进行空运日均可处理很多件快递，左图是丰翼无人机，右图是无人机运送物品的简化图，其中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过 作，利用内错角求出，再算出，再根据，利用同旁内角互补求出． 【详解】解：如图，过点 作， ， ， ， ， ， ， ， ． 7. 小明和父亲参加生态马拉松比赛，全程，两人同时出发，父亲速度比小明快 ，用时比小明少10分钟，设小明的速度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“时间路程 速度”表示两人走完全程的用时，统一单位后，根据两人的时间差关系即可列出方程 【详解】解：∵小明速度为，父亲速度比小明快 ， ∴父亲的速度为， 10分钟 ， ∴可列方程为 8. 新定义：是关于的函数，当 时，的最大值为，最小值为，此时令，则称当 时，为关于的型函数．在下列函数中，当时，为关于的2型函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据新定义，已知，可得，要求，即需要函数在该区间内的最大值与最小值满足，依次计算各选项的即可判断． 【详解】解：由题意得 ， ，， ， ， 在中，， 随的增大而增大， 当时，最小值；当时，最大值， ，A选项不符合要求； 在中，， 随的增大而减小， 当时，最大值；当时，最小值， ，满足，B选项符合要求； 在中，， 在每个象限内，随的增大而减小， 当时，最大值；当时，最小值， ，C选项不符合要求； ， 开口向上，对称轴为，距离对称轴越远，函数值越大， 当时，最小值，离对称轴更远，时取得最大值， ，D选项不符合要求 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知实数x，y满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】对所求式子提取公因式变形，利用整体代入法将已知代入计算即可． 【详解】解：，  ． 10. 已知二次函数（是常数）的图象与轴有两个不同的交点，则的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】二次函数图象与轴有两个不同交点，对应一元二次方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式大于零求出的取值范围，任取范围内一个值即可. 【详解】解： 二次函数的图象与轴有两个不同交点 一元二次方程有两个不相等的实数根 ， 解得， 满足，（答案不唯一）． 11. 如图，左边是九年级班荣获的足球赛奖杯，右边是它的截面图，已知 ， ，分别与相切于点， ，，则的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接 、 ，根据切线的性质及切线长定理得，，再根据正切的定义可得答案． 【详解】解：如图，连接 、 ， ∵ ，分别与相切于点， ， ， ∴，， 在中，，， ∴， ∴的半径为． 12. 如图，点在反比例函数的图象上，点 与点关于原点对称，过点作轴，交反比例函数于点．连接，若 的面积为7，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】因为点 与点关于原点对称，且 的面积为7，所以的面积为，由反比例函数的几何意义可知，的面积为1，则的面积为，结合反比例图象所在象限可求解题目． 【详解】解：连接 ， ∵点 与点关于原点对称， 的面积为7， ∴， ∴的面积为， ∵点在反比例函数的图象上，轴， ∴的面积为， ∴的面积为， ∵在反比例函数上 ∴， ∵反比例函数在第二象限， ∴． 13. 如图，在 中， ，， ，点 分别在 边上，满足．连接，将 沿翻折，得到 ．连接，若的面积和 的面积相等，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】设 ， 则，由折叠得，，过作 于，过点 作 于 ，设 与相交于，由得，得 ，，即得 ，得到是等腰三角形，得，进而得，即得，得，得到，，即得，再求出，根据的面积和 的面积相等得，解方程即可求解． 【详解】解：设 ， ∵， ∴， ∵ 沿翻 折，得到 ， ∴，， 过作 于，过点 作 于 ，设 与相交于，则， ∵ ， ∴， ∴， ∵ ，， ， ∴， ∴， ∴ ，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵的面积和 的面积相等， ∴， 整理得，， 解得，， 当时，，不合，舍去， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数混合运算，按照运算法则依次化简绝对值、负整数指数幂、零指数幂、乘方，再合并常数项即可． 【详解】解： ． 15. 先化简，再代入求值：，并从0，2，4这三个数中选一个合适的数代入求值． 【答案】，取时原式（或取时原式） 【解析】 【分析】先根据分式的运算法则化简原式. 再根据分式有意义的条件排除使分母为零的值. 选择合适的数代入化简后的式子求值即可． 【详解】解： ， 分式有意义时所有分母均不为0， ，，， 解得， 从0，2，4中只能选择或， 当时，原式， 当时，原式． 16. AI体育正全面重塑校园体育生态，以“AI视觉识别”和“数据化反馈”的技术为学生带来精准化、个性化、趣味化的运动体验．某校面对八年级学生开展A、B两款AI体育产品的评价调研，现从调研结果中随机抽取20位学生的评分，数据如下： 数据一：AI视觉识别得分（满分10分，分值越高表示视觉识别越精准） A产品得分：7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10 B产品得分：6，6，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10，10 数据二：数据化反馈得分（满分10分，分值越高表示数据化反馈越全面） 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全统计表；根据数据一和数据二，将表格补全； 产品 AI视觉识别得分 数据化反馈得分 平均数 中位数 众数 方差 平均数 中位数 众数 方差 A 8.2 8 ②______ 0.76 ③______ 8 8 1.01 B 7.7 ①______ 6 2.01 8.1 8 7 1.29 （2）样本频数估计：若八年级学生共400名，请估计其对A产品的AI视觉识别得分不低于9分的学生总人数； （3）决策分析：作为该校学生，你会选择哪款AI体育产品辅助锻炼，请结合数据说明理由． 【答案】（1）①8 ②8 ③8.3 （2）120 （3）作为该校学生，我会选A产品AI体育产品辅助锻炼，理由如下： 由数据一、数据二及(1)中表格信息可知A产品AI视觉识别得分在平均数，众数方面均大于B产品AI视觉识别得分，A产品AI视觉识别得分的方差比B产品AI视觉识别得分的方差小，成绩较稳定；A产品数据化反馈得分在平均数，众数方面均大于B产品数据化反馈得分，A产品数据化反馈得分的方差比B产品数据化反馈得分的方差小，成绩较稳定，故作为该校学生，我会选A产品AI＋体育产品辅助锻炼 【解析】 【分析】(1)根据数据一中提供的数据及中位数、众数的定义可得出结果；根据数据二中统计图提供的数据代入加权平均数公式即可得出结果； (2)根据数据一中提供的数据可知A产品的AI视觉识别得分不低于9分的学生数有6名，再用八年级学生的总人数 6名学生人数占20名学生的百分比可得结果； (3)根据数据一、数据二及(1)中表格信息可得结论． 【小问1详解】 解：①根据数据一中，B产品AI视觉识别得分按照从小到大排列第10位与第11位学生的成绩分别为8分，8分，可知B产品AI视觉识别得分的中位数为； ②根据数据一中，A产品AI视觉识别得分中得分数字8出现次数最多，故A产品AI视觉识别得分的众数为8； ③根据数据二可知A产品数据化反馈得分的平均数为(分)； 【小问2详解】 解：估计其对A产品的AI视觉识别得分不低于9分的学生总人数为(名)； 【小问3详解】 略 17. 某中学组织师生共人去参观博物院，阅读下列对话： 李老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，且租用辆座客车和辆座客车到河南省博物院，一天的租金共计 元．” 小明说：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到河南省博物院，一天的租金共计元．” （1）客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ （2）若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位；且每辆客车恰好坐满，共有哪几种租车方式？其中最省钱的租车方式，租车费用为多少元？ 【答案】（1）客运公司座的客车每辆每天的租金是元，座的客车每辆每天的租金是元 （2）共有三种租车方式；最省钱的租车方式，租车费用为元 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次方程（组）的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）设客运公司座的客车每辆每天的租金是元，座的客车每辆每天的租金是元，根据租用辆座客车和辆座客车到河南省博物院，一天的租金共计 元，租了辆座和辆座的客车到河南省博物院，一天的租金共计元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设座的客车租用辆，座的客车租用辆，根据每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，列出二元一次方程，求出非负整数解，即可解决问题； 【小问1详解】 解：设客运公司座的客车每辆每天的租金是元，座的客车每辆每天的租金是元， 由题意得： 解得：， 答：客运公司座的客车每辆每天的租金是元，座的客车每辆每天的租金是元； 【小问2详解】 解：设座的客车租用辆，座的客车租用辆， 由题意得：， 整理得：， 、均为非负整数， 或或， 有种租车方式：①座的客车租用辆，费用为： (元)； ②座的客车租用 辆，座的客车租用辆，费用为： (元)； ③座的客车租用辆，座的客车租用辆，费用为： (元)； ， 最省钱的租车费用为元； 故共有三种租车方式；最省钱的租车方式，租车费用为元 18. 如图，四边形是菱形，为对角线， 为线段上一点且，以为圆心，为半径作． （1）证明：与 相切； （2）连接交于点，求出的长． 【答案】（1）证明：过点O作 于点H． 根据题意得：． 在 中，， ∴ ， 即圆心O到的距离等于的半径， 故与相切． （2） 【解析】 【分析】（1）过点O作 于点H．可得．由正弦定义求得，所以 ，由 是的半径，即得与相切． （2）以点A为原点， 所在直线为x轴，过点A垂直 的直线为y轴，建立平面直角坐标系，过点D作于点G，则 ．由正弦定义求出 ，由勾股定理求出 ，得．求出直线的方的解析式．直线 的解析式 ，联立解析式求出，即得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：以点A为原点， 所在直线为x轴，过点A垂直 的直线为y轴，建立平面直角坐标系，过点D作于点G，则 ． ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴． 设直线的解析式为 ，则 ， 解得， ∴直线的解析式为． 设直线 的解析式为， 则， 解得， ∴直线 的解析式为 ， 联立解析式得， 解得， ∴， ∴． 19. 【问题背景】为落实2026年深圳峰会“开放创新，绿色发展”的办会理念，会议通信保障中心发现，现场设备分为两类：媒体设备（记者用于直播、传输视频，占总设备数的 ，每台需带宽2单位）和普通设备（占 ，每台需带宽1单位）．每个通信基站带宽容量为600单位．会议通信保障中心的目标是在保障期的任意时刻，现场总带宽需求不超过基站总容量． 【模型构建】在会议开始前40分钟启动通信保障，现场总设备数y（台）与保障时间x（分钟）满足： ． 【模型应用】 （1）第______分钟，现场总设备数达到1400台． （2）请求出第 分钟时的现场总带宽需求 的表达式． （3）为满足带宽需求，至少需要部署多少个基站？请说明理由． （4）通信中心考虑优化方案：媒体设备区必须保证 带宽供应，普通设备区可接受“弹性保障”（当带宽不足时，可降速至0.5单位/台）．若普通设备区降速策略生效的阈值为：当 （总带宽容量）时启动．请通过计算说明采用此策略后，所需基站数能否减少． 【答案】（1） （2） （3）解：至少需要部署4个基站，理由如下： ， ∵，函数图象开口向下，对称轴为， ∴当时，p随x增大而增大， 当时p取得最大值： ， 单个基站带宽容量为单位，所需基站总数为，基站数量为正整数，向上取整得到至少需要部署4个基站； （4）解：假设部署3个基站，总带宽容量为单位： 弹性策略启动阈值为，即当原始总带宽需求时，普通设备单台带宽降为单位， 此时调整后的总带宽需求为： ， 当时y取得最大值， 代入得调整后最大带宽需求，满足验证阈值触发区间； 令原始， 即， 解得， 对应x的取值范围约为，该区间内调整后的带宽需求始终小于 ，所有时刻带宽需求均可被3个基站覆盖， ∴采用该策略后，所需基站数可以从4减少到3，能够实现基站数减少． 【解析】 【分析】（1）将给定的总设备数代入已知的设备数和时间的关系式，得到一元二次方程，求解后结合x的取值范围舍去超出定义域的解，得到符合要求的时间； （2）根据两类设备的占比和单台带宽需求，先推导出总带宽p和总设备数y的函数关系式，再将y关于x的表达式代入，展开整理得到p关于x的最终表达式，标注对应的x的取值范围； （3）根据二次函数的开口方向和对称轴位置，找到p的最大值，用最大总带宽除以单个基站的容量，向上取整得到最少需要部署的基站数量； （4）先假设部署比原方案少1个的基站，计算该配置下的总容量和弹性策略触发阈值，推导弹性策略生效后的总带宽需求表达式，计算调整后的最大带宽需求，验证其是否小于该配置的总容量，确认所有时刻的带宽需求都可以被覆盖，即可判断基站数是否可以减少． 【小问1详解】 解：将代入总设备数关系式： 整理得： 解得， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵媒体设备占总设备数，单台带宽2单位，普通设备占总设备数，单台带宽1单位， ∴， 代入， ； 【小问3详解】 解：略； 【小问4详解】 解：略． 20. 定义：在中，是的对角线，点是边上一点，分别连接 ，若满足 ，则称点为的“共轭连接点”．现有4张全等的直角三角形纸片，每一张都形如图a，其中 ， ． （1）①将2张纸片拼成如图1的，当共轭连接点在上时，则 ______ ； ②将2张纸片拼成如图2的，当共轭连接点P在 上时，则 ______； （2）将4张纸片拼成如图3的，当共轭连接点在 上时，求 的长； （3）将4张纸片拼成如图4的： ①用圆规和无刻度的直尺作出所有的共轭连接点（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）（提示：圆内接四边形对角互补）； ②请直接写出 ______． 【答案】（1）①；② （2） （3）①作射线 ，在射线 上取点E，使 ，连接 ， 作线段 的垂直平分线交 于点F， 以点F为圆心，以线段的长为半径画圆， 交 边于两点，即为所求． ②或． 【解析】 【分析】（1）①由 ，得 ，得 ，所以在中， ．②图2中，由 ， ，得，得 四点共圆，由 ，得 ，得 是等边三角形，即得 ． （2）由 ， ， ，可知点P在以点C为圆心，以的长为半径的上，得 ，由 ，即得 ． （3）①作点C关于 的对称点E，使 ，连接 ，作线段 的垂直平分线交 于点F，以点F为圆心，以线段的长为半径画圆，交 边于两点，即为所求．理由：由圆内接四边形性质得 ，由对称性 ，即得 ，即为所求．②连接 ，设 ，根据勾股定理，在中,写出值，在 中,写出值的表达式，即可得到中,值的表达式，在 中,运用勾股定理即可求出x值，即可求出的值；由对称性可求出的值． 【小问1详解】 解： 中， ， ， ， ∴， ， ∴． ①如图1，根据题意可得 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴中， ． ②如图2，根据题意可得 ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ 四点共圆， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ． 【小问2详解】 解：如图3，根据题意可得 ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，且点、 在的同侧， ∴点在以点 为圆心，以的长为半径的上， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 【小问3详解】 解：①作射线 ，在射线 上取点E，使 ，连接 ， 作线段 的垂直平分线交 于点F， 以点F为圆心，以线段的长为半径画圆，交 边于两点， 即为所求． 理由：连接， ∵垂直平分 ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ 是 的外接圆， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴即为所求． ②根据题意可得 ， ， ∴ ， 连接 ， 设 ， ∴ ， ∵ 是 的直径， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∵， ∴ ， ， 解得 ， 又∵点在 中点的左侧靠近点 ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴． 同理，由对称性质得． 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $