模块二 专题12 三角形的内切圆-【专项训练】初中数学专项练 二级公式秒解

初中数学二级公式必解 专题12」 三角形的内切圆 。 必记·核心公式· 知识点①三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，这个三角形叫作圆的外切三角形. 知识点②三角形的内心 (1)三角形的内心到三角形三边的距离相等； (2)三角形的任意一个顶点与内心的连线都会平分该顶点处的内角 。 必学·二级公式 二级公式① 三角形内心的性质 秒解公式 推导过程 如图，△ABC内接于⊙O,点I为△ABC ,点I为△ABC的内心， 的内心，则BD=D ∴.∠CAD=∠BAD,∠ABI=∠CBI, :∠CBD=∠CAD, ∴.∠BAD=∠CBD. ,∠IBD=∠CBI+∠CBD,∠BID= ∠ABI+∠BAD, 题干搜索：点I是圆内接△ABC的内心. ∴.∠IBD=∠BID,∴.BD=ID 二级公式②圆的外切三角形的面积高频考点 秒解公式 推导过程 如图，△ABC为⊙O的外切三角形， 如图，过点O分别作三边的垂线，垂足分别 则Sa=rCac,Cc=a+b+c 为点D,E,F ,⊙O为△ABC的内切圆， .'OE=OF=OD=r, 1 >一一一→— r。a B 题干搜索：圆的外切三角形的 面积. 2 rC△ABC -50- 模块●图形与几何 二级公式③圆的外切三角形各部分的面积比高频考息 秒解公式 推导过程 如图，△ABC是⊙O的外切三角形，D, 如图，连接OD,OE,OE E,F为切点，∠BAC,∠ABC,∠ACB的 对边分别为a,b,c,连接OA,OB,OC, SmC:SMoC S40=a:b:c. a B D,E,F为切点，∴.OD⊥AB,OE⊥BC, OF⊥AC,OD=OE=OF, 则SAnOC:SAAOC:S△MoB 题干搜索：圆的外切三角形，求各部 =(3a0E)小(3b:or(3c…0D 分的面积比 =a:b:c. 二级公式④直角三角形的内切圆半径与边长的关系高频考点 秒解公式 推导过程 如图，⊙O是Rt△ABC 如图，过点O分别作边AB,BC,AC的垂线，垂足分别 的内切圆，r为半径，则 为点E,D,F r= a+c-b 2 半径= 号（两直角边长的和一 斜边长) .⊙O是△ABC的内切圆， ∴.OE=OD=OF=r. 又OA=OA, ∴.Rt△OAE≌Rt△OAF(HL), 题干搜索：在直角三角 .'AE=AF. 形中，求内切圆的半径 同理可得CD=CF ,∠ABC=90°，OE=OD,ODLBC,OELAB, ∴.四边形BDOE为正方形， .'BE=BD=OE=r, .AB+BC=AE+CD+2r=AF+CF+2r=AC+2r, AB+BC-AC=2r,..r=a+c-b 2 -51 初中数学二级公式必解 ·必练·中考真题· 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=4,AC=3,⊙O内切于△ABC,求阴影部分的 面积.（结果保留π） B 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8,AB=10,求这个三角形内切圆的面积.（结果 保留π) 3.如图，已知四边形ACBD内接于⊙O,AB是⊙O的直径，AB=10,点D是半圆的 中点，连接CD,点I是CD上一点，且点I是△ABC的内心.若BC=6,求△BIC 的面积. -52-加中数学二级公式沙解 .GE=BE-BG=BE-DF, .'EF=BE-DF. 专题10圆 1.B 2.解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= 6,BC=8, 由勾股定理，得 AB=VAC2+BC2=V62+82=10. AB为⊙O的直径， .∴.∠ADB=90° .CD平分∠ACB,∴.∠ACD=∠BCD, .'BD=AD 在Rt△ABD中， 由勾股定理，得BD2+AD2=AB2, ∴.2AD2=100 解得AD=5√2（负值舍去）. .BD=AD=52 根据托勒密定理，得 AB·CD=AC·BD+AD·BC, 即10CD=6×5V2+5√2×8， 解得CD=7√2 专题11切线长与切线长定理 1.7.5 2.解：由相交弦定理，可知PA·PB=PD· PC. PA=3,PB=8,CD=10, .PC=10-PD, .PD·(10-PD)=3×8, 解得PD=4或PD=6 当PD=4时，PC=6; 当PD=6时，PC=4. PD>PC,∴.PD=6 3.解：.·直线ED为⊙O的切线，AD为 弦，根据弦切角定理可知，∠ADE= -74 ∠ABD=19° BD为⊙O的直径， ∴.∠BAD=90° AC平分∠BAD, ∴.∠BAF=∠DAF= 7∠BAD=45 在△ABF中，∠AFB=180°-∠BAF- ∠ABD=180-45°-19°=116°. 专题12三角形的内切圆 1.解：∠C=90°，BC=4,AC=3, ·AB=VBC2+AC=5,Sc=3× BC·AC=6. 根据直角三角形内切圆的半径公式， 得r=BC+4C-AB=4+3-5=1, 2 2 .S圆=2=兀， 六S阴影=SAM8c-S圆=6-元. 2.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= 8,AB=10,由勾股定理，得AC= VAB2-BC2=V102-82=6. 根据直角三角形内切圆的半径公式， 得r=4C+BC-4B-6+8-10=2, 2 2 .S圆=πr2=4机 故这个三角形内切圆的面积为4π. 3.解：如图，作AE⊥CD于点E,JLBC 于点J ·AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=∠ADB=90° .AD BD, '.∠ACD=∠ABD=∠BCD=∠DAB=45°. 在Rt△ABC中，BC=6,AB=10, 由勾股定理，得AC=√AB2-BC2=8, 在R△ACE中，AE=CE=竖AC= 4W2, 在Rt△ADE中，AE=4V2,BD=AD= 2AB=5V2, 由勾股定理，得DE=VAD2-AE2= 3W2, .CD=CE+DE=4√2+3√2=7√2 点I是△ABC的内心， 根据三角形内心的性质，得DI=BD= 52, ∴.CI=CD-DI=7N2-5V2=2√2， w=C1=2, 六Sc=3BC·W=3×6×2=6 专题13三角形相似 1.B 2.解：根据“斜A”相似模型，可得△ADE∽ △4CB,·福=是 AB=7,AC=8,AD=4,4= 7 专，4E=子EC=4C-AE=号 3.解：.∠ACB=90°，CD⊥AB, .由射影定理，得CD=AD·BD 又BD=2,AD=8,∴.AB=BD+AD= 10,CD2=16,.CD=4, Sac=2ABCD=2×10×4=20, 模块三 函数 专题1两点间的距离公式 1) 参考答泉 2.解：设BC的中点D的坐标为(x,y), 根据中点坐标公式，得x=-3+2= 2 -y==5， ·点D的坐标为方5} 0=+6-2=25, 即BC边上的中线AD的长为号V5. 3.解：把二次函数y=a(x-4)(x+1) 化成一般式为y=ax2-3ax-4a, 所以根据二次函数中的截距长公式， 可得a·(-4a)=-1, 解得a=± 根据图象知，a>0, a=3 4.解：(1)令y=ax2-5ax+6a=0, 当a≠0时，解得x=2或3， 则截距为3-2=1. (2)设直线的解析武为y=x+4(k≠0)， 联立直线和抛物线的解析式，得 x+=- 即x2-2kx-1=0, 则x1+x2=2k,xx2=-1. 根据二次函数中的弦长公式可知， 弦长=1+2·x,-x2 =1+k2·V(x+x2-4x2 =V1+k2.V(2k)2-4x(-1)=8, -75