模块二 专题9 正方形-【专项训练】初中数学专项练 二级公式秒解

模块●图形与几何 专题9 正方形 必记·核心公式· 知识点正方形的性质一级公式 性质 符号语言 图示 两组对边分别平 如图，四边形ABCD是正方形， 边 行，四条边都相 .AB∥CD,AD∥BC, 等 AB=BC=CD=AD 0 角 如图，，四边形ABCD是正方形， 四个角都是直角 ∴.∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90° 两条对角线相等 如图，·四边形ABCD是正方形， 且互相垂直平 ∴.AC=BD,AC⊥BD,OA=OB=OC= B 对角线 分，每一条对角 OD,∠BAC=∠DAC=∠DCA=∠BCA= 线平分一组对角 ∠ABD=∠CBD=∠CDB=∠ADB=45 必学·二级公式· 二级公式正方形中的“半角”模型高频考点 秒解公式 推导过程 如图，在正方形ABCD中， 如图，把△DAF绕点A顺时针旋转90°，得到 ∠EAF=45°，则BE+DF=EF. △BAG,则△DAF2△BAG, D D ∴.AF=AG,∠DAF=∠BAG, DF=BG,∠ABG=∠ADF=90°， :∠ABG+LABE=180°，GB 即G,B,E三点共线 B E .∠BAE+∠DAF=90°-∠EAF=45°， 题干搜索：在正方形中，有两个 ∴.∠BAE+∠BAG=∠GAE=45°， 角共顶点，其中一个角（∠EAF= ∴.∠GAE=∠FAE 45)是另一个角（∠BAD=90°） AG=AF, 的一半 在△GAE和△FAE中，{∠GAE=∠FAE, AE=AE, .△GAE≌△FAE(SAS), ∴.GE=EF, .'BE+DF=BE+GB=GE=EF. -43- 初中数学二级公式解 ☑拓展提升 “半角”模型在等腰直角三角形以及邻边相等且对角互补的四边形中同样适用 典例如图，在正方形ABCD中，E,F分别是边BC,CD上的点，∠EAF=45°， △ECF的周长为6，则正方形ABCD的边长为 二级公式解法 公式秒解技法 解析：，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，∠BAD= 在正方形中，有两个角共顶 90°，.根据“半角”模型，可得EF=DF+BE 点，其中一个角是另一个角 ,△ECF的周长为6，∴.CF+CE+EF=6,∴.CF+ 的一半，直接利用“半角”模 CE+DF+BE=CD+CB=2CD=6...CD=3. 型结论进行计算。 ·必练·中考真题 1.如图，在四边形ABCD中，BC=CD,∠BCD=120°，E,F分别为AB, AD上的点，∠ECF=∠A=60°，则线段EF,BE,DF之间的数量关系 是 2.(1)如图①，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，连 B 接AE,AF,EF若∠EAF=45°，则BE,EF,DF之间的数量关系 为 (2)如图②，当点E在线段BC的延长线上，且∠EAF=45°时，试探究BE,EF, DF之间的数量关系，并说明理由. ① ② -44专题8菱形 1.解：ACLBD, ∴.四边形ABCD为“垂美”四边形， ∴.根据“垂美”四边形的结论，可得 AB2+CD2=AD2+BC2,即62+102= AD2+82 则AD2=72,.AD=6V2(负值舍去) 2.如图，连接CG,BE. B .∠CAG=∠BAE=90° ∴.∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC, 即∠GAB=∠CAE 在△GAB和△CAE中， AG=AC, ∠GAB=∠CAE, AB=AE, '.△GAB≌△CAE(SAS), ∴.∠ABG=∠AEC 又.∠AEC+∠AME=90°， ∴.∠ABG+∠AME=90°， ∴.∠ABG+∠BMC=90° .∴.∠BNM=90°，即CE⊥BG, .四边形CGEB是“垂美”四边形， ∴.根据“垂美”四边形的结论，可得 CG2+BE2=BC2+GE2 .AC=4,AB=5, ∴.AG=AC=4,AE=AB=5 在Rt△ABC,Rt△ACG,Rt△ABE中， 由勾股定理，得 BC=3,CG=42,BE=5v2. 参考答泉 .∴.GE2=CG2+BE2-BC2=32+50- 9=73, .GE=√73（负值舍去）. 专题9正方形 1.EF=BE DF 2.解：(1)EF=BE+DF (2EF=BE-DF. 理由如下：如图，在边BC上截取BG= DF,连接AG. BG C ,四边形ABCD为正方形， ∴.AD=AB,∠ABG=∠ADF=∠BAD= 90°， 在△ADF和△ABG中， AD=AB, ∠ADF=∠ABG, DF=BG, .△ADF≌△ABG(SAS), .∴.AF=AG,∠DAF=∠BAG ∠EAF=45°， .∴.∠DAE+∠DAF=45°， '.∠DAE+∠BAG=45°， .∴.∠GAE=∠EAF=45°. 在△AGE和△AFE中， AG=AF, ∠GAE=∠EAF, AE=AE, ∴.△AGE≌△AFE(SAS), ∴.GE=EF -73- 加中数学二级公式沙解 .GE=BE-BG=BE-DF, .'EF=BE-DF. 专题10圆 1.B 2.解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= 6,BC=8, 由勾股定理，得 AB=VAC2+BC2=V62+82=10. AB为⊙O的直径， .∴.∠ADB=90° .CD平分∠ACB,∴.∠ACD=∠BCD, .'BD=AD 在Rt△ABD中， 由勾股定理，得BD2+AD2=AB2, ∴.2AD2=100 解得AD=5√2（负值舍去）. .BD=AD=52 根据托勒密定理，得 AB·CD=AC·BD+AD·BC, 即10CD=6×5V2+5√2×8， 解得CD=7√2 专题11切线长与切线长定理 1.7.5 2.解：由相交弦定理，可知PA·PB=PD· PC. PA=3,PB=8,CD=10, .PC=10-PD, .PD·(10-PD)=3×8, 解得PD=4或PD=6 当PD=4时，PC=6; 当PD=6时，PC=4. PD>PC,∴.PD=6 3.解：.·直线ED为⊙O的切线，AD为 弦，根据弦切角定理可知，∠ADE= -74 ∠ABD=19° BD为⊙O的直径， ∴.∠BAD=90° AC平分∠BAD, ∴.∠BAF=∠DAF= 7∠BAD=45 在△ABF中，∠AFB=180°-∠BAF- ∠ABD=180-45°-19°=116°. 专题12三角形的内切圆 1.解：∠C=90°，BC=4,AC=3, ·AB=VBC2+AC=5,Sc=3× BC·AC=6. 根据直角三角形内切圆的半径公式， 得r=BC+4C-AB=4+3-5=1, 2 2 .S圆=2=兀， 六S阴影=SAM8c-S圆=6-元. 2.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= 8,AB=10,由勾股定理，得AC= VAB2-BC2=V102-82=6. 根据直角三角形内切圆的半径公式， 得r=4C+BC-4B-6+8-10=2, 2 2 .S圆=πr2=4机 故这个三角形内切圆的面积为4π. 3.解：如图，作AE⊥CD于点E,JLBC 于点J ·AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=∠ADB=90° .AD BD,