模块二 专题8 菱形-【专项训练】初中数学专项练 二级公式秒解

模块●图形与几何 专题8菱形 。 必记·核心公式· 知识点菱形的性质一级公试 性质 符号语言 图示 菱形的四条边都 如图，四边形ABCD是菱形， 边 相等 .AB=BC=CD=AD 菱形的两条对角 如图，，四边形ABCD是菱形， 线互相垂直，并 ∴.AC⊥BD,∠BAC=∠CAD= 对角线 且每一条对角线 ∠BCA=∠ACD,∠ABD=∠CBD= 平分一组对角 ∠ADB=∠BDC 必学·二级公式· 二级公式 “垂美”四边形高频考点 秒解公式 推导过程 如图，在四边形ABCD中，对角线AC, AC⊥BD, BD相交于点O,且ACLBD,则 ∴.△AOD,△BOC,△AOB,△COD都 S边形ABCD= AC.BD, 是直角三角形 根据勾股定理，得 AB2+CD2=AD2+BC2. OA+OD2=AD2,① OB2+OC2=BC2,② OA+OB2=AB2,③ 0C2+0D2=CD2,④ ①+②，得OA2+OD2+OB2+0C2= 题干搜索：在对角线互相垂直的四边形 AD2+BC2, 中，已知四边形的其中三条（或两条）边 ③+④，得OA2+OB2+OC2+OD2= 的长度，求第四条边的长度（或另两条边 AB2+CD2 的平方和). ∴.AB2+CD2=AD2+BC2. ☑拓展提升 若四边形ABCD的外接圆半径为R,则AB2+CD2=AD2+BC2=4R2 -41- 初中数学二级公式必解 典例如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,∠AOD=90°.若AD= V10,BC=V3,则AB2+CD2= 二级公式解法 公式秒解技法 解析：，在四边形ABCD中，∠AOD=90°， 已知四边形ABCD是“垂美” ∴ACLBD,∴.四边形ABCD是“垂美”四边形. 四边形，可直接利用“二级公 AD=√10，BC=√3，根据“垂美”四 式”计算. 边形的结论，可知AB2+CD2=AD2+BC?= (V10)2+(V3)2=10+3=13. ·必练·中考真题 1.如图，在四边形ABCD中，ACLBD于点O,AB=6,BC=8,CD=10,求AD的长 2.如图，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正 方形ABDE,连接CE,BG,GE,已知AC=4,AB=5,求GE的长. B D <A -42-专题8菱形 1.解：ACLBD, ∴.四边形ABCD为“垂美”四边形， ∴.根据“垂美”四边形的结论，可得 AB2+CD2=AD2+BC2,即62+102= AD2+82 则AD2=72,.AD=6V2(负值舍去) 2.如图，连接CG,BE. B .∠CAG=∠BAE=90° ∴.∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC, 即∠GAB=∠CAE 在△GAB和△CAE中， AG=AC, ∠GAB=∠CAE, AB=AE, '.△GAB≌△CAE(SAS), ∴.∠ABG=∠AEC 又.∠AEC+∠AME=90°， ∴.∠ABG+∠AME=90°， ∴.∠ABG+∠BMC=90° .∴.∠BNM=90°，即CE⊥BG, .四边形CGEB是“垂美”四边形， ∴.根据“垂美”四边形的结论，可得 CG2+BE2=BC2+GE2 .AC=4,AB=5, ∴.AG=AC=4,AE=AB=5 在Rt△ABC,Rt△ACG,Rt△ABE中， 由勾股定理，得 BC=3,CG=42,BE=5v2. 参考答泉 .∴.GE2=CG2+BE2-BC2=32+50- 9=73, .GE=√73（负值舍去）. 专题9正方形 1.EF=BE DF 2.解：(1)EF=BE+DF (2EF=BE-DF. 理由如下：如图，在边BC上截取BG= DF,连接AG. BG C ,四边形ABCD为正方形， ∴.AD=AB,∠ABG=∠ADF=∠BAD= 90°， 在△ADF和△ABG中， AD=AB, ∠ADF=∠ABG, DF=BG, .△ADF≌△ABG(SAS), .∴.AF=AG,∠DAF=∠BAG ∠EAF=45°， .∴.∠DAE+∠DAF=45°， '.∠DAE+∠BAG=45°， .∴.∠GAE=∠EAF=45°. 在△AGE和△AFE中， AG=AF, ∠GAE=∠EAF, AE=AE, ∴.△AGE≌△AFE(SAS), ∴.GE=EF -73-