模块二 专题7 矩形-【专项训练】初中数学专项练 二级公式秒解

中数学二级公式沙解 .'AC=2CH. 根据等腰三角形中的“距离和差”模 型可知，PD-PE=CH=子 :AB=4C,AB=20H=2×3=号 专题5等边三角形 1.B 2.解：如图，过点A作AH⊥BC于点H.根 据等边三角形内点到三边距离模型， 可知AH=PD+PE+PF=1+2+4=7. D E h ,△ABC是等边三角形，AHLBC, ,∴.AB=AC=BC,∠AHC=90°，CH= 号BC=2AC 在Rt△AHC中，由勾股定理，得 AH2+CH2=AC2, 即49+44C2=AC 解得AC=145(负值舍去). 3 即△ABC的边长为14V3 3.解：（1)ED=BG,ED⊥BG 理由如下： 根据正方形的“手拉手”模型结论，可 知△AED≌△AGB(SAS) ∴.ED=BG,∠ADB=∠ABG 又，四边形ABCD是正方形， .∠BAD=90° ∴.∠ABD+∠ADB=90°， ∴.∠ABD+∠ABG=∠GBD=90°， -72 ∴.ED⊥BG (2)ED=BG,ED⊥BG仍成立. 理由如下：根据正方形的“手拉手”模 型，可知△AED2△AGB(SAS), .'ED=BG. ,·四边形ABCD是正方形， .∠ADB=∠ABD=45°， ∴.∠ABG=∠ADB=45. ∴.∠ABG+∠ABD=∠GBD=90°， .ED⊥BG. 专题6勾股定理及其应用 1.66 2.解：设BD=x,则CD=14-x AD⊥BC, ∴.根据“垂线定理”，可知 AB2-BD2=AC2-CD2, 即132-x2=152-(14-x)2, 解得x=5, 即BD=5, ∴.在Rt△ABD中，由勾股定理得 AD=VAB2-BD2=V132-52=12. 专题7矩形 1.C 2.6N2 3.解：.点D为BC的中点，BD=4, ∴.BC=2BD=8 在矩形ABCD中，'AB=10. ∴.根据“矩形距离平方和相等”模型， 可知BF2=BA+BC2-BD2=102+82- 42=148,∴.BF=2W37(负值舍去).模块●图形与几何 专题7矩形 ·必记·核心公式 知识点①矩形的性质一级公式 性质 符号语言 图示 如图，，四边形ABCD是矩形， 矩形的四个角 角 .∠BAD=∠ABC=∠BCD= 都是直角 ∠ADC=90° 矩形的两条对 如图，'四边形ABCD是矩形， 对角线 B 角线相等 ∴.AC=BD 知识点②直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 。 必学·二级公式 二级公式①矩形边上动点到对角线的距离和为定值模型高频考点 秒解公式 推导过程 如图，在矩形ABCD中，P 如图，连接PO. 为AD上一动点，PELAC, PELAC,PFLBD,AHLBD, PF⊥BD,AH⊥BD,则PE+ .PE,PF,AH分别为△APO, PF=AH △OPD,△AOD的边OA,OD, OD上的高. :SAAOD=SAAPO+S△oPD OD:AH=方A0:PE+号0DPF 2 B ,O为矩形ABCD对角线的交点， 题干搜索：已知矩形一条边 ∴.OA=OD 上有一个动点，求该动点到 OD.AH-T OD PE+7 OD.PF- 2 两条对角线的距离之和. 秒解口决：矩形边上走一走， 2 OD·(PE+PF), 对角垂线手牵手；两段距离 ∴.PE+PF=AH 加起来，顶到对角线的高. -37- 初中数学二级公式必解 典例1如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,P是边AB上D 任意一点，过点P作PEL⊥AC,PFLBD,垂足分别为E,F,则PE+ PF= B 二级公式解法 公式秒解技法 解析：如图，过点A作AGLBD于点G 在矩形ABCD中，PE⊥AC, 在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,∠BAD=90° PF⊥BD,符合此模型，因此求 在Rt△ABD中，由勾股定理，得 PE+PF的值，可以直接用“二 BD=VAB2+AD2=V82+62=10 级公式1”快速求解， :SaD=3AB·AD=号BDAG, ×8x6=×104G, 解得AG= 根据矩形动点到对角线的距离 和为定值模型，可得PE+PF=AG= 24 二级公式②矩形“距离的平方和相等”模型高频考点 秒解公式 推导过程 如图，已知矩形ABCD所在平面 (1)如图①，当点P在矩形ABCD的边上时， 内任意一点P,都有PA2+PC?= 根据勾股定理，得 PD2+PB2 PA2=PB2-AB2,PC2=PD2+CD2, D PA2+PC2=PB2-AB2+PD2+CD2 又AB=CD, ∴.PA2+PC2=PD2+PB2 (2)当点P在矩形ABCD内部时，如图④，过 ② 点P作PP'∥AD,过点D作DP∥AP交 D PP于点P,连接CP,则 四边形APPD是平行四 边形， .'PA=DP',AD=PP'. ③ 又：AD L BC, ④ 题干搜索：已知一点到矩形三个 ∴.PP'LBC, 顶点的距离，求该点到第四个顶 ∴.四边形BPPC是平行四边形， 点的距离. ∴.PB=CP -38- 模块●图形与几何 秒解公式 推导过程 秒解口诀：矩形平面任意点，连 ,ADLDC,PP⊥DC, 接四角看分明；对角平方加起 ∴.四边形DPCP是“垂美”四边形， 来，两组之和定相等. ∴.DPn+PC2=CP2+PD2, ∴.PA2+PC2=PD2+PB2 (3)当点P在矩形ABCD外部时，推导过程略. 白典例2如图，已知点F为矩形ABCD边上的一点，若BF=5,AF=12,CF=3, 求DF的长. B 二级公式解法 公式秒解技法 解析：根据矩形“距离的平方和相等”模型， 在矩形ABCD中，已知点F到三个 可知DF2+BF2=AF2+CF2, 顶点的距离，求另一距离，可直接 即DF2+52=122+32, 用“二级公式2”求解 解得DF=8√2（负值舍去）. 。 必练·中考真题 1.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点P在边AD上从点A向点D 运动，过点P分别作PELAC于点E,作PFLBD于点F.已知AB=5,AD=12, 随着点P的运动，关于PE+PF的值，下面说法正确的是() A.先增大，后减小 B.先减小，后增大 C始终等于9 D.始终等于3 -39 初中数学二级公式必解 2.如图，点P为矩形ABCD内一点，若AP=6,DP=8,CP=10,求BP的长. B 3.如图，点B为矩形ADCF外一点，点D为BC的中点，BD=4,AB=10,求BF的长. B D C -40-