模块二 专题4 等腰三角形-【专项训练】初中数学专项练 二级公式秒解

初中数学二级公式解 专题4等腰三角形 。必记·核心公式· 知识点等腰三角形的性质一级公式 (1)性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）. 符号语言：如图，在△ABC中，，AB=AC,∴∠B=∠C (2)性质2：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合（简写成“三线合一”） 符号语言：如图，在△ABC中， ①.AB=AC,AD平分∠BAC,.AD⊥BC,BD=CD; ②AB=AC,BD=CD,.∠BAD=∠CAD,ADLBC; ③，AB=AC,ADLBC,∴.∠BAD=∠CAD,BD=CD. B ·必学·三级公式· 二级公式①等腰三角形中的“距离和差”模型高频考点 秒解公式 推导过程 情况1：动点P在底边BC上 情况1：如图，连接AP 如图，AB=AC,PD⊥AB,PE⊥AC, 'AB=AC,PD⊥AB,PE⊥AC, CF⊥AB,则PD+PE=CF, CF⊥AB, SAABC=SAABP+SAACP D E AB·PD+ 1 2 AC·PE B D =号AB(PD+PE. B 题干搜索：动点在等腰三角形底边 又：Sac=)AB·CR, 上，求到两腰的距离之和 .PD+PE=CF 情况2：动点在底边BC的延长线上 情况2：如图，连接AP 如图，在△ABC中，AB=AC,P是 BC的延长线上一动点，PDLAB于 点D,PELAC交AC的延长线于点 E,CF⊥AB于点F,则PD-PE= CF -28- 模块●图形与几何 秒解公式 推导过程 PD⊥AB,PE⊥AC,CF⊥AB, 且SMARC=SAABP SAACP, B 3ABCF=方AB·PD 1AC·PE. 题干搜索：动点在等腰三角形底边延长线上，求 到两腰的距离之差 ,AB=AC,∴.PD-PE=CF. 秒解口诀：底上和，底延差，等腰腰高是定值： 典例如图，在△ABC中，AB=AC=8,P为边BC上的一个动点， PD⊥AB,PE⊥AC,CFLAB.当CF=6时，PD+PE= D B 二级公式解法 公式秒解技法 解析：在△ABC中，AB=AC,PDL 已知动点P在底边BC上，求PD+PE的值， AB,PELAC,CFLAB,根据等腰三 可直接利用“二级公式1”计算 角形中“距离和差”模型，可得PD PE=CF=6. 二级公式②等腰三角形底边动点模型高频考点 秒解公式 推导过程 如图，在△ABC中，AB=AC,P是BC上 如图，过点A作AD⊥BC于点D. 动点，则AB2-AP2=BP·PC. AB=AC,..BD=CD 在Rt△ADP中， AP2=AD2+PD2, 在Rt△ADC中， AD2=AC2-CD2, B PD C B P .'AP2 AC2-CD2+PD2=AC2- 题干搜索：等腰三角形底边上有任意一点 (CD2-PD2)=AC2-(CD+PD). 秒解口诀：底边动点连顶点，平方乘积和不变 (CD-PD)=AC2-CP(BD-PD)= AC2-CP·BP=AB2-CP·BP, 即AB2-AP2=BP·PC -29- 初中数学二级公式必解 二级公式③等腰直角三角形中的“半角”模型高频考点 秒解公式 推导过程 如图，在Rt△ABC中，AB= 如图，把△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△AFB, AC,∠BAC=90°，点D,E 连接FD,则△AEC≌△AFB, 在边BC上，∠DAE=45°， ∴.BF=CE,∠C=∠ABF,∠CAE=∠BAF,AF=AE. 则BD2+CE2=DE2 在Rt△ABC中，AB=AC, ∴.∠ABC=∠C=45°，∴.∠ABF=45° ∴.∠FBD=∠ABC+∠ABF=45°+45°=90° 又.∠BAC=90°，∠DAE=45°， B D ∴.∠BAD+∠CAE=45°， 题干搜索：在等腰直角三 ∴.∠BAD+∠BAF=45°， 角形中，直角顶点处有一 个45°角，求斜边三条线 '.∠DAF=∠DAE B D 段之间的数量关系. 又.AD=AD,∴.△AFD≌△AED(SAS), .DF=DE. 在Rt△FBD中，BD2+BF2=FD2, ∴.BD2+CE2=DE2 必练·中考真题 1.如图，在△ABC中，AB=AC=8,P是BC边上任意一点，PDLAB于点D, PE⊥AC于点E,且△ABC的面积是14，则PD+PE=( 子 B￥ D c 2.如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,P是BC边上的一动点，连接AP设BP= x,AP=y,则y关于x的函数解析式为 B B (第2题图) (第3题图) 3.(江苏·模拟)如图，在△ABC中，AB=AC=4,P是BC边上一动点，则AP2+ BP·PC的值为 -30- 模块二图形与几何 4.(天津·模拟)如图，在Rt△ABC中，AB=AC,D,E是斜边BC上的两点，且 ∠DAE=45°.若BE=4,CD=3,求AB的长. D 5.如图，在△ABC中，AB=AC,P是BC延长线上一动点，过点P分别作PD⊥AB, 垂足为D,PELAC交AC的延长线于点E.若∠A=30°，PD-PE=了，求AB的长. CE P -31-(2)∠EDC=50°， ∴.∠BDC=180°-∠EDC=180°- 50°=130°. 由(1)知，∠BDC=90°+)∠A, 90°+3∠A=130°，即∠A=80 (3)∠BDC=90°+3∠A 3.解：.CF平分∠BCD,EF平分∠BED, ∴.根据“8”字形内角平分线的夹角模 型，可得2∠F=∠D+∠B 又∠B:∠D:∠F=2:4:x, ∴.设∠B=2a,∠D=4a, 则2∠F=∠D+∠B=6a,∴.∠F=3a, ∴.∠B:∠D:∠F=2a:4a:3a=2:4:3, .x=3 专题3三角形的外角 1.20° 2.解：.BI,CI分别平分∠ABC,∠ACB, ∠I是这两条角平分线的夹角， ∴.根据三角形双内角平分线的夹角模 型，可得∠I=90°+号∠A=90°+号× 100°=140° .'BM,CM分别是∠ABC,∠ACB的 外角平分线，∠M是这两条外角平分 线的夹角， ∴.根据双外角平分线的夹角模型， 可得∠M=90°-号∠A=90-号× 100°=40°， ∴.∠I-∠M=140°-40°=100°. 3.解：·PD⊥AC,PF⊥BC,PD=PF, .PC是∠ACB的平分线.同理，BP 是∠ABC的平分线， 参考答案 ∴.∠BPC是这两条角平分线的夹角， ∴.根据双内角平分线的夹角模型，可 得∠BPC=90+号∠A=90+号× 50°=115°. 4.解：，·∠A=88°，∠ABC与∠ACD的 平分线相交于点A,， ∴.根据内、外角平分线的夹角模型， 可得∠A,=号∠A=3×88°=4 同理得∠A,=号∠A,=22,∠A, 2∠4，=11°，∠A4=7∠A,=5.59 专题4等腰三角形 1.C 2.y=Vx2-6x+25 3.16 4.解：在Rt△ABC中，AB=AC, ∴.△ABC是等腰直角三角形.又∠DAE= 45°，∴.根据等腰直角三角形中的“半角 模型”，可得BE2+CD2=DE2, .DE=VBE2+CD2=V4+32=5, ∴.BC=BE+CD+DE=4+3+5=12. 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 AB2+AC2=BC2,2AB2=BC2, AB=28c2=5x12=65. 5.解：如图，过点C作CH⊥AB于点H. CE P M .在Rt△ACH中，∠A=30°， -71 中数学二级公式沙解 .'AC=2CH. 根据等腰三角形中的“距离和差”模 型可知，PD-PE=CH=子 :AB=4C,AB=20H=2×3=号 专题5等边三角形 1.B 2.解：如图，过点A作AH⊥BC于点H.根 据等边三角形内点到三边距离模型， 可知AH=PD+PE+PF=1+2+4=7. D E h ,△ABC是等边三角形，AHLBC, ,∴.AB=AC=BC,∠AHC=90°，CH= 号BC=2AC 在Rt△AHC中，由勾股定理，得 AH2+CH2=AC2, 即49+44C2=AC 解得AC=145(负值舍去). 3 即△ABC的边长为14V3 3.解：（1)ED=BG,ED⊥BG 理由如下： 根据正方形的“手拉手”模型结论，可 知△AED≌△AGB(SAS) ∴.ED=BG,∠ADB=∠ABG 又，四边形ABCD是正方形， .∠BAD=90° ∴.∠ABD+∠ADB=90°， ∴.∠ABD+∠ABG=∠GBD=90°， -72 ∴.ED⊥BG (2)ED=BG,ED⊥BG仍成立. 理由如下：根据正方形的“手拉手”模 型，可知△AED2△AGB(SAS), .'ED=BG. ,·四边形ABCD是正方形， .∠ADB=∠ABD=45°， ∴.∠ABG=∠ADB=45. ∴.∠ABG+∠ABD=∠GBD=90°， .ED⊥BG. 专题6勾股定理及其应用 1.66 2.解：设BD=x,则CD=14-x AD⊥BC, ∴.根据“垂线定理”，可知 AB2-BD2=AC2-CD2, 即132-x2=152-(14-x)2, 解得x=5, 即BD=5, ∴.在Rt△ABD中，由勾股定理得 AD=VAB2-BD2=V132-52=12. 专题7矩形 1.C 2.6N2 3.解：.点D为BC的中点，BD=4, ∴.BC=2BD=8 在矩形ABCD中，'AB=10. ∴.根据“矩形距离平方和相等”模型， 可知BF2=BA+BC2-BD2=102+82- 42=148,∴.BF=2W37(负值舍去).