模块二 专题3 三角形的外角-【专项训练】初中数学专项练 二级公式秒解

模块●图形与几何 专题3 三角形的外角 必记·核心公式： 知识点三角形外角的性质一级公式 (1)如图，∠ACD=∠A+∠B. (2)如图，∠ACD>∠A,∠ACD>∠B. B C D ②公式特征：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.三角形的外角大于任 何一个与它不相邻的内角 ·必学·二级公式· 二级公式①“飞镖”模型高频考点 秒解公式 推导过程 如图，∠BDC=∠A+∠B+∠C 如图，延长BD交AC于点E. 题干搜索：形如“飞镖”，求凹进 :∠BEC是△ABE的一个外角， 去的那个角与其他三个不相邻 ∴.∠BEC=∠A+∠B 的角的关系. .∠BDC是△DCE的一个外角， ,∴.∠BDC=∠BEC+∠C, ,∴.∠BDC=∠A+∠B+∠C. 典例如图，在△ABC中，E是AC延长线上的一点，D是BC上的一点.求证： ∠1>∠A. 二级公式解法 公式秒解技法 证明：由图可知，在凹四边形ABDE中，根据“飞镖” 观察图形，提取“飞镖” 模型的结论可得，∠1=∠E+∠A+∠B,∴.∠1>∠A. 模型，快速解题。 -25- 初中数学二级公式解 二级公式②内、外角平分线的夹角模型 秒解公式 推导过程 如图，在△ABC中，BP平分内角∠ABC, 设∠PBC=a,∠PCD=B. CP平分外角∠ACD,则∠P=)∠A, BP,CP分别平分∠ABC,∠ACD, ∴.∠PBC=∠PBA=a,∠PCD= ∠PCA=B. ,∠ACD是△ABC的外角， B ∴.∠ACD=∠A+∠ABC, 题干搜索：已知三角形一内一外角平分 即2B=∠A+2a,∴.∠A=2(B-a) 线，求其夹角与第三个内角的数量关系. ∠PCD是△PBC的外角， 秒解口诀：内分外分夹一半， ∴.∠PCD=∠P+∠PBC,即B=∠P+a, ∠P=B-a,∠P=∠A 二级公式③双外角平分线的夹角模型 秒解公式 推导过程 如图，在△ABC中，BP,CP分别平分 设∠PBC=a,∠PCB=B. ∠DBC,LBCE,则∠P=90°-方∠A. ,BP,CP分别平分∠DBC,∠BCE, ∴.∠PBD=∠PBC=a,∠PCE=∠PCB=B, 在△PCB中，∠P+a+B=180°， ∴.a+B=180°-∠P. .∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴.∠A+180°-2a+180°-2B=180°， 即∠A+180°=2(a+B), 题干搜索：已知三角形两个外角的角 ∴.∠A+180°=2(180°-∠P), 平分线，求其夹角与第三个内角的数 .∠P=90-3∠4 量关系 秒解口诀：两外减半九十度. ·必练·中考真题 1.(辽宁·模拟)如图，∠ABD的平分线与∠ACD的平分线交于点P,若∠A=50°， ∠D=10°，则∠P= -26- 模块二图形与几何 2.如图，在△ABC中，∠A=100°，BI,CI分别平分∠ABC,∠ACB,BM,CM分别是 ∠ABC,∠ACB的外角平分线，求∠I-∠M的值. 3.如图，在△ABC中，∠A=50°，PD⊥AC,PE⊥AB,PF⊥BC,且PD=PE=PF,求 ∠BPC的度数. B F E P 4.如图，在△ABC中，∠A=88°，延长BC至点D,∠ABC与∠ACD的平分线相交 于点A1,∠A,BC与∠A,CD的平分线相交于点A2,∠A,BC与∠A,CD的平分线相 交于点A3,∠A,BC与∠A,CD的平分线相交于点A4,求∠A,的度数. -27-(2)∠EDC=50°， ∴.∠BDC=180°-∠EDC=180°- 50°=130°. 由(1)知，∠BDC=90°+)∠A, 90°+3∠A=130°，即∠A=80 (3)∠BDC=90°+3∠A 3.解：.CF平分∠BCD,EF平分∠BED, ∴.根据“8”字形内角平分线的夹角模 型，可得2∠F=∠D+∠B 又∠B:∠D:∠F=2:4:x, ∴.设∠B=2a,∠D=4a, 则2∠F=∠D+∠B=6a,∴.∠F=3a, ∴.∠B:∠D:∠F=2a:4a:3a=2:4:3, .x=3 专题3三角形的外角 1.20° 2.解：.BI,CI分别平分∠ABC,∠ACB, ∠I是这两条角平分线的夹角， ∴.根据三角形双内角平分线的夹角模 型，可得∠I=90°+号∠A=90°+号× 100°=140° .'BM,CM分别是∠ABC,∠ACB的 外角平分线，∠M是这两条外角平分 线的夹角， ∴.根据双外角平分线的夹角模型， 可得∠M=90°-号∠A=90-号× 100°=40°， ∴.∠I-∠M=140°-40°=100°. 3.解：·PD⊥AC,PF⊥BC,PD=PF, .PC是∠ACB的平分线.同理，BP 是∠ABC的平分线， 参考答案 ∴.∠BPC是这两条角平分线的夹角， ∴.根据双内角平分线的夹角模型，可 得∠BPC=90+号∠A=90+号× 50°=115°. 4.解：，·∠A=88°，∠ABC与∠ACD的 平分线相交于点A,， ∴.根据内、外角平分线的夹角模型， 可得∠A,=号∠A=3×88°=4 同理得∠A,=号∠A,=22,∠A, 2∠4，=11°，∠A4=7∠A,=5.59 专题4等腰三角形 1.C 2.y=Vx2-6x+25 3.16 4.解：在Rt△ABC中，AB=AC, ∴.△ABC是等腰直角三角形.又∠DAE= 45°，∴.根据等腰直角三角形中的“半角 模型”，可得BE2+CD2=DE2, .DE=VBE2+CD2=V4+32=5, ∴.BC=BE+CD+DE=4+3+5=12. 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 AB2+AC2=BC2,2AB2=BC2, AB=28c2=5x12=65. 5.解：如图，过点C作CH⊥AB于点H. CE P M .在Rt△ACH中，∠A=30°， -71