模块二 专题2 三角形的内角-【专项训练】初中数学专项练 二级公式秒解

初中数学二级公式解 专题2 三角形的内角 ·必记·核心公式 知识点三角形的内角和定理 三角形的内角和等于180°. 必学·二级公式· 二级公式①“8”字形内角平分线的夹角模型高频考点 秒解公式 推导过程 如图，AD,BC相交于点O,AE :'AE平分∠BAD,CE平分∠BCD, 平分∠BAD,CE平分∠BCD, ∴.∠BAD=2∠BAE,∠BCD=2∠BCE 则∠E=(∠B+∠D) .∠BAD+∠B+∠BOA=180°，∠BCD+ ∠D+∠COD=180°，∠BOA=∠COD, ∴.∠BAD+∠B=∠BCD+∠D.① ,∠BAE+∠B+∠AFB=18O°，∠BCE+∠E+ ∠CFE=180°，∠AFB=∠CFE, ∴.∠BAE+∠B=∠BCE+∠E.② ②×2-①，得∠B=2∠E-∠D, 题干搜索：“8”字形+角平分线 即∠E=(∠B+∠D). 典例1如图，BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∠A=55°，∠C=45°，则 ∠E= 二级公式解法 公式秒解技法 解析：根据“8”字形内角平分线的夹角模 题图呈“8”字形，且BE平分 型，可得∠E=2(∠A+∠C)=号×(5°+ ∠ABC,DE平分∠ADC,可直接 利用“二级公式1”计算. 45°)=50° -22- 模块●图形与几何 二级公式②三角形双内角平分线的夹角模型高频考点 秒解公式 推导过程 如图，在△ABC中，BP,CP BP平分∠ABC,CP平分∠ACB, 分别平分∠ABC,∠ACB,则 ∠PBC=方∠ABC,∠PCB=2∠4CB. ∠P=90+3∠A ∴.∠P=180°-（∠PBC+∠PCB) =180°-号（∠ABC+∠ACB). ,∠ABC+∠ACB=180°-∠A, ∠P=180-7×(180°-∠A0 题干搜索：已知三角形两个内 角的角平分线，求其夹角与第 =90°+7∠A 三个内角的数量关系 秒解口诀：两内加半九十度 典例2如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P,若∠A= 60°，则∠P= B 二级公式解法 公式秒解技法 解析：根据三角形双内角平分线的夹角模型，可 在△ABC中，BP平分∠ABC, 得∠BPC=90°+)∠A=90°+7×60°=120° CP平分∠ACB,∠A=60°，故 直接利用“二级公式2”解题 即可. 必练·中考真题 1.如图，BO,CO分别平分△ABC的两内角，∠O=110°，则∠A= -23- 初中数学二级公式必解 2.如图，在△ABC中，点D是∠ACB和∠ABC的平分线的交点，BD的延长线交 AC于点E. (1)若∠A=70°，求∠BDC的度数； (2)若∠EDC=50°，求∠A的度数； (3)请直接写出∠A与∠BDC之间的数量关系（不必说明理由）. 3.(威海·模拟)如图，BE与CD相交于点A,CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED 的平分线.若∠B:∠D:∠F=2:4:x,求x的值 B -24初中数学二级公式解 1 1 199-202 67 202 2解：①原武=1+分装4+装密 5+6+6+7-7+8+8+9 5×6 6×77×88×9 =1+专（传+++》-H传+ +(信+》（片+）+传+》 =1+-+好+写-名+ +片-++ =1+=9 (2)原式=7+ 9 20 -6+0)+5+ 最)-4+)+3+ 号)-2+ 品)+品 7-6+5-4+3-2+9-20+ -30 3-点+7-9+21 42-56+72-90+110 =3+4+5 5+66+77+8 4×5-5×6+6×7 -7x8 8+99+10,10+11 8×99×1010×11 =3++-名+名+ 1111 1 11,1,111 1 7-8+8+g-9-10+0+ =3++品 -147 44 3.解：由(a-1)2+ab-2=0,可得a- 1=0,ab-2=0,a=1,b=2, 小原武=k2+2+34+…+ -70 2027X202s=1-3+2-号+写 1 2027 2027-2028=2028 模块二图形与几何 专题1三角形的高、中线、角平分线 1.C 2.解：·AP为∠BAC的平分线，∠ABC= 2∠C,∴.根据“角平分线+二倍角” 模型，可得AC=AB+BP=AB+4 ,'BQ为∠ABC的平分线，∴.∠CBQ= 号∠ABc又：∠A8C=2∠C,∠CQ= ∠C,.BQ=CQ. .△ABQ的周长为18，.AB+BQ+ AQ=AB+CQ+AQ=AB+AC=AB+ (AB+4)=18, ∴.AB=7. 3.解：AD⊥BC,∠B=2∠C, ∴根据“高+二倍角”模型，可得 CD=AB+BD=5+BD 在Rt△ABD中，由勾股定理得AD2= AB2-BD2=25-BD2. 在Rt△ACD中，由勾股定理得AD2= AC2-CD2=80-(5+BD)2, 故25-BD2=80-(5+BD)2, 解得BD=3. 专题2三角形的内角 1.40° 2.解：（1).点D是∠ACB和∠ABC 的平分线的交点， ∴.根据三角形双内角平分线模型，可 得∠BDC=90°+2∠A=90°+)× 70°=125°. (2)∠EDC=50°， ∴.∠BDC=180°-∠EDC=180°- 50°=130°. 由(1)知，∠BDC=90°+)∠A, 90°+3∠A=130°，即∠A=80 (3)∠BDC=90°+3∠A 3.解：.CF平分∠BCD,EF平分∠BED, ∴.根据“8”字形内角平分线的夹角模 型，可得2∠F=∠D+∠B 又∠B:∠D:∠F=2:4:x, ∴.设∠B=2a,∠D=4a, 则2∠F=∠D+∠B=6a,∴.∠F=3a, ∴.∠B:∠D:∠F=2a:4a:3a=2:4:3, .x=3 专题3三角形的外角 1.20° 2.解：.BI,CI分别平分∠ABC,∠ACB, ∠I是这两条角平分线的夹角， ∴.根据三角形双内角平分线的夹角模 型，可得∠I=90°+号∠A=90°+号× 100°=140° .'BM,CM分别是∠ABC,∠ACB的 外角平分线，∠M是这两条外角平分 线的夹角， ∴.根据双外角平分线的夹角模型， 可得∠M=90°-号∠A=90-号× 100°=40°， ∴.∠I-∠M=140°-40°=100°. 3.解：·PD⊥AC,PF⊥BC,PD=PF, .PC是∠ACB的平分线.同理，BP 是∠ABC的平分线， 参考答案 ∴.∠BPC是这两条角平分线的夹角， ∴.根据双内角平分线的夹角模型，可 得∠BPC=90+号∠A=90+号× 50°=115°. 4.解：，·∠A=88°，∠ABC与∠ACD的 平分线相交于点A,， ∴.根据内、外角平分线的夹角模型， 可得∠A,=号∠A=3×88°=4 同理得∠A,=号∠A,=22,∠A, 2∠4，=11°，∠A4=7∠A,=5.59 专题4等腰三角形 1.C 2.y=Vx2-6x+25 3.16 4.解：在Rt△ABC中，AB=AC, ∴.△ABC是等腰直角三角形.又∠DAE= 45°，∴.根据等腰直角三角形中的“半角 模型”，可得BE2+CD2=DE2, .DE=VBE2+CD2=V4+32=5, ∴.BC=BE+CD+DE=4+3+5=12. 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 AB2+AC2=BC2,2AB2=BC2, AB=28c2=5x12=65. 5.解：如图，过点C作CH⊥AB于点H. CE P M .在Rt△ACH中，∠A=30°， -71