精品解析：上海海洋大学附属大团高级中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

大团中学2025学年高一下期末 一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分． 1. 复数，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】，. 2. 已知，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直，则数量积为0，再利用向量数量积的坐标运算公式代入计算即可. 【详解】解：由题意知，，则， 又，所以，解得. 3. 若点是角终边上的一点，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数的定义求值即可. 【详解】由题意，. 故答案为：. 4. 设扇形的周长为8，面积为4，则扇形的圆心角的弧度数是_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用扇形面积公式求解即可. 【详解】由，得，解得， 所以弧长，则． 故答案为： 5. 若为偶函数，且，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【详解】为偶函数，， ，或. 6. 设向量满足且，则向量在方向上的投影是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用投影公式即可求解. 【详解】向量、满足，，且， 则向量在向量方向上的投影为. 7. 在中，角、、的对边分别是、、，若，则的最大内角的余弦值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先由大边对大角确定最大内角为边对应的角，再利用余弦定理计算的值即可得. 【详解】由，可知为的最大边，根据大边对大角的性质，所以角为的最大内角. 又因为，设，，，其中， 由余弦定理可得： . 8. 在中，角所对边分别为，，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】先通过余弦定理将余弦转化为边，再代入整理即可求得. 【详解】因为 ，由余弦定理得， ， 又因为，代入上式整理得：，所以. 9. 已知向量，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量夹角为锐角，即且不共线，列出不等式求解作答. 【详解】由题，可得且不共线， ，且，即且， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 10. 如图，正六边形的边长为，半径为1的图的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，以为原点建立平面直角坐标系，设点，则，将表示为关于的表达式，结合正六边形的性质算出的取值范围. 【详解】以为原点，六边形的左、右顶点所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系， 则圆的方程为，当在轴下方，且位于正六边形与轴平行的边上时， 的纵坐标为，可得，其中， 设，则，． 可得，， 所以， 结合，当时，有最小值5， 当时，有最大值7，可知， 根据图形的对称性，可知：当在正六边形其它的边上时，也成立. 综上所述，的取值范围为. 故答案为： 11. 如图，在一块空地上有四棵树，若把它们所在的位置看成点，则这四个点恰好是一个平行四边形的四个顶点，且米，米，，现要用挡板围出一个形状为矩形的展览区，使得其边分别经过点，则该展览区的最大面积约为__________平方米（精确到1平方米）． 【答案】1096 【解析】 【分析】应用三角换元得出，再应用面积公式结合三角恒等变换化简，最后应用辅助角公式及正弦函数的值域计算求解. 【详解】设，又因为，所以， 所以， 所以， ， 所以 ，其中为锐角， 当时，. 12. 已知函数，下列命题： ①函数是奇函数； ②函数的图像是轴对称图形； ③函数在区间上共有13个零点； ④函数在区间上是严格增函数； 其中真命题有______（填所有真命题的序号）． 【答案】②③ 【解析】 【分析】①利用奇偶性定义判断；②若，则函数关于对称，通过计算，得 ，从而判断关于对称；③令，根据分母恒大于，只需分子等于即可，求满足条件的取值；④结合②中函数的对称性判断 【详解】对于①，依题意，定义域为，满足奇函数定义域关于原点对称， 对任意，， 而，显然，故函数不是奇函数，命题①为假； 对于②，计算，得 ， 满足，说明函数图像关于直线对称，是轴对称图形，命题②为真； 对于③，由于分母 恒成立，因此等价于， 解得，，在区间 中， ， 故可取 ，共13个零点，命题③为真； 对于④，由②知，函数关于对称，所以在区间和上的单调性相反，命题④为假， 综上，真命题为②③ 二、选择题（本大题共有4题，满分12分）． 13. 已知复数（为虚数单位），则的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简得，代入，利用复数的乘除运算性质化简，结合共轭复数的定义，即可求出其共轭复数. 【详解】由题可得，，则， 所以的共轭复数为. 14. 在平行四边形中，是线段的中点，若，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由向量对应线段的位置及数量关系，用表示出，即可确定参数值. 【详解】由， 所以，则. 故选：C 15. 某函数在一个周期内的图像，此函数的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图像，可得，结合周期公式可求得，代入最高点坐标可求得，即可得函数解析式. 【详解】根据函数图像可知， 周期，所以， 所以，将最高点坐标代入可得 ，所以， 解得， 当时，， 所以. 16. 定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在锐角三角形中，，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为，其“直径”为，现有两个命题： ①； ②的取值范围是． 则下列论断正确的是（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①②都是真命题 D. ①②都是假命题． 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，根据题意，任意两半圆弧上的两点间距离的最大值为即可判断；对于②，设，则，利用基本不等式即可得到，结合锐角三角形，得到，进而得到即可求解． 【详解】对于①，如图，设分别为中点，连接并延长交圆弧于， ， 半圆与半圆上两点间距离的最大值为， 同理可得任意两半圆弧上的两点间距离的最大值为， 即， 故①是真命题； 设，则，， 由①知， 又， （当且仅当时取等，此时为等腰三角形，也是锐角三角形）， 又为锐角三角形，， 一定有一个大于1，不妨取，则角最大， ， 即，，解得， 又，，则，， ， 又，则， ， ， ， 综上，， ，故②正确． 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17. （1）已知，求的值； （2）若，求的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】 【分析】（1）将所求齐次分式分子分母同除以，转化为用表示的形式代入计算； （2）对已知等式两边平方，结合同角三角函数平方关系和二倍角正弦公式求解. 【详解】（1）由可知，对所求式子分子分母同除以，  原式.  （2）将两边同时平方得： ， 即， 得，解得. 18. 已知复数满足. （1）求； （2）已知是关于的实系数一元二次方程的一个根，分别求 的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设复数，利用复数的运算和复数相等解出即可求解； （2）根据已知条件，推得也为实系数一元二次方程的一个根，再结合韦达定理，即可求解. 【小问1详解】 设复数，所以， 又， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 由题意得：是关于的实系数一元二次方程的一个根， 所以也是实系数一元二次方程的另一个根， 所以，解得. 19. 已知向量，，且． （1）求及； （2）记，求函数的最小值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示和向量模的坐标运算即可； （2）根据（1）中结果代入计算得，再根据二次函数性质即可得到答案． 【小问1详解】 由题意得， 由于， 则 ， 因为，所以． 【小问2详解】 ， 因为，则，则当，即时，该函数取得最小值． 20. 已知． （1）若，求的最小正周期和初始相位； （2）根据的表达式，先经过怎样的平移变换，再经过怎样的伸缩变换后得到，请写出完整的变换过程； （3）若且对任意恒成立，求的最大值． 【答案】（1）的最小正周期为，初始相位为 （2）的图象先向左平移个单位长度，得到的图象； 再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），即可得到的图象 （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式对进行化简得，利用最小正周期以及初始相位的定位即可求得； （2）结合函数图象变换的“左加右减、上加下减“以及伸缩变换的规律，逆向推导从到的平移、伸缩步骤； （3）根据求出，，；令，将转换为，求解不等式得；根据，求得的最大值. 【小问1详解】 ； 的最小正周期，初始相位. 【小问2详解】 由（1）得. 的图象先向左平移个单位长度，得到的图象； 将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），即可得到的图象. 【小问3详解】 由（1）得； ； ，. 令，则. 由，得； ，即，得； ， ，； ，，解得，. ，， ，即的最大值为. 21. 利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为． （1）设，，为虚数单位，求复向量、的模； （2）设、是两个复向量， ①已知对于任意两个平面向量，，（其中），成立，证明：对于复向量、，也成立； ②当时，称复向量与平行．若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数． 【答案】（1）， （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据题目中复向量的模长公式计算即可； （2）①利用模长公式和复数的三角不等式，以及的坐标表示，即可证明结论成立； ②根据①中等号成立的条件，结合题意即可求出和的值． 【小问1详解】 因为，所以， 可得的模为； 因为，所以， 所以的模为； 【小问2详解】 因为，所以， 由复数的三角不等式， 由，得，所以， 所以， 综上所知， ②考虑①中等号成立的条件知，对于复数的三角不等式，复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数，使得， 若复向量与平行，则， 根据中等号成立的条件，应有， 则， 结合，得，解得； 所以，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大团中学2025学年高一下期末 一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分． 1. 复数，则__________． 2. 已知，且，则__________． 3. 若点是角终边上的一点，则_____. 4. 设扇形的周长为8，面积为4，则扇形的圆心角的弧度数是_____________． 5. 若为偶函数，且，则的值为______． 6. 设向量满足且，则向量在方向上的投影是__________． 7. 在中，角、、的对边分别是、、，若，则的最大内角的余弦值为__________． 8. 在中，角所对边分别为，，则__________． 9. 已知向量，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是_____． 10. 如图，正六边形的边长为，半径为1的图的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围为______ 11. 如图，在一块空地上有四棵树，若把它们所在的位置看成点，则这四个点恰好是一个平行四边形的四个顶点，且米，米，，现要用挡板围出一个形状为矩形的展览区，使得其边分别经过点，则该展览区的最大面积约为__________平方米（精确到1平方米）． 12. 已知函数，下列命题： ①函数是奇函数； ②函数的图像是轴对称图形； ③函数在区间上共有13个零点； ④函数在区间上是严格增函数； 其中真命题有______（填所有真命题的序号）． 二、选择题（本大题共有4题，满分12分）． 13. 已知复数（为虚数单位），则的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 14. 在平行四边形中，是线段的中点，若，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 15. 某函数在一个周期内的图像，此函数的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 16. 定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在锐角三角形中，，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为，其“直径”为，现有两个命题： ①； ②的取值范围是． 则下列论断正确的是（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①②都是真命题 D. ①②都是假命题． 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17. （1）已知，求的值； （2）若，求的值． 18. 已知复数满足. （1）求； （2）已知是关于的实系数一元二次方程的一个根，分别求 的值. 19. 已知向量，，且． （1）求及； （2）记，求函数的最小值． 20. 已知． （1）若，求的最小正周期和初始相位； （2）根据的表达式，先经过怎样的平移变换，再经过怎样的伸缩变换后得到，请写出完整的变换过程； （3）若且对任意恒成立，求的最大值． 21. 利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为． （1）设，，为虚数单位，求复向量、的模； （2）设、是两个复向量， ①已知对于任意两个平面向量，，（其中），成立，证明：对于复向量、，也成立； ②当时，称复向量与平行．若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $