模块二 专题1 三角形的高、中线、角平分线-【专项训练】初中数学专项练 二级公式秒解

模块日 图形与几何 专题1三角形的高、中线、角平分线 ·必记·核心公式· 知识点三角形的高、中线、角平分线一级公式 符号语言 图示 如图，：AD是△ABC的边BC上的高， 三角形的高 .AD⊥BC,∴.∠ADB=∠ADC=90° 如图，AD是△ABC的中线， 三角形的中线 :BD=DC-BC 三角形的 如图，，AD是△ABC的角平分线， 角平分线 ∠1=∠2=2∠BMC 必学·二级公式： 二级公式①三角形的中线把三角形分为6个面积相等的小三角形 秒解公式 推导过程 如图，在△ABC中，D,E, 如图，连接DF,D为AB的中点，，AD=BD. F分别为边AB,BC,AC '△ADO和△BDO等底同高， 的中点，O为重心，则 ·.SADO=S&RDO 同理可得SACOF=SAAOFT,SAOE=S△cOE: SACOE=SACOF=SA4OF 易知DF为△ABC的中位线， ∴.DF∥BC, ∴，点D与点F到BC的距离相等， B ∴.△BCD和△BCF同底等高， 题干搜索：重心、面积. .SARCD=SABCFSABDO=SACOF 同理可得SMDO=SACOE,SABOE=SAAOF 故SAADO=SABD0=SAB0B=SACOE=SACOF=SMAOF· -18- 模块●图形与几何 二级公式②“高+二倍角”模型高频考点 秒解公式 6 推导过程 如图，在△ABC中， 方法一：截长法 ∠B=2∠C,AD⊥BC, 如图，在DC上截取DE=DB,连接AE. 则AB+BD=CD ADLBC,.AE=AB,∠AED=∠B, 又.∠B=2∠C, A ∴.∠AED=2∠C .∠AED=∠EAC+∠C, B D ∴.∠EAC=∠C,∴.AE=EC, B DE 题干搜索：在三角形 ∴.AB=EC, 中，有一个角是另一个 ∴.AB+BD=EC+DE=CD 角的2倍，且第三个角 方法二：补短法 对应边上的高把这条 如图，延长DB至点F,使BF=AB,连接AF, 边分成两部分 则∠BAF=∠F 秒解口诀：角二倍，高 垂线，和为长边段 .∠ABC=2∠C,∠ABC=∠BAF+∠F=2∠F, ∴.∠C=∠F,AF=AC 又AD⊥BC,.DF=CD, .'AB+BD=BF+BD=DF=CD. B D 白典例1如图，在△ABC中，AB=10,∠B=2∠C,ADLBC,且BD=DE,求EC的长. E 二级公式解法 公式秒解技法 解析：：∠B=2∠C,ADLBC, 在△ABC中，∠B=2∠C,AD⊥BC,直 ∴.根据“高+二倍角”模型，可得AB+ 接利用“二级公式2”计算即可. BD=CD.又·CD=DE+EC,BD= DE,.EC=AB=10. 二级公式③“角平分线+二倍角”模型高频考点 秒解公式 推导过程 如图，在△ABC中， 方法一：截长法 ∠B=2∠C,AD 如图，在AC上截取AE=AB,连接DE 平分∠BAC,则 AD平分∠BAC,.∠BAD=∠EAD AB+BD=AC. 又.'AB=AE,AD=AD, 19 初中数学二级公式必解 秒解公式 推导过程 .△ABD≌△AED(SAS), .BD=ED,∠B=∠AED B D 又，∠B=2∠C,∠AED=∠EDC+∠C, 题干搜索：在三 .∠EDC=∠C,.DE=CE,.BD=CE) 角形中，有一个角 .'AB+BD=AE+CE=AC. 是另一个角的2 方法二：补短法. 倍，且第三个角的 如图，延长AB至点F,使BF=BD,连接DF,则∠BDF=∠F. 平分线把其对边 ,AD平分∠BAC,.∠FAD=∠CAD. 分成两部分 ,∠ABD=∠BDF+∠F=2∠F=2∠C, B .∠F=∠C D 又：AD=AD,.△AFD≌△ACD(AAS),F .AF=AC 又，AF=AB+BF=AB+BD,∴.AB+BD=AC 白典例2如图，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC,AC=4,CD=2,则 AB= BD= 二级公式解法 公式秒解技法 解析：根据“角平分线+二倍角”模型， 在△ABC中，∠C=2∠B, 可得AB=AC+CD=4+2=6, AD平分∠BAC,直接利用 根据角平分线分线段成比例定理， “二级公式3”计算即可. 可得D-AB AB-CD= CD BD= 6×2=3. AC 4 必练·中考真题 1.如图，在△ABC中，∠B=2∠C,AD,AE分别是△ABC的高和角平分线，有下列 两个结论：①AB+BD=DC;②AB+BE=AC.其中正确的是( A.① B.② c.①② EDB D.①②都不对 -20- 模块二图形与几何 2.(宜昌·模拟)如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C,AP,BQ分别为∠BAC和∠ABC 的平分线，若△ABQ的周长为18，BP=4,求AB的长. B 3.如图，在△ABC中，ADLBC于点D,∠B=2∠C.若AC=4W5,AB=5,求BD 的长. B -21-初中数学二级公式解 1 1 199-202 67 202 2解：①原武=1+分装4+装密 5+6+6+7-7+8+8+9 5×6 6×77×88×9 =1+专（传+++》-H传+ +(信+》（片+）+传+》 =1+-+好+写-名+ +片-++ =1+=9 (2)原式=7+ 9 20 -6+0)+5+ 最)-4+)+3+ 号)-2+ 品)+品 7-6+5-4+3-2+9-20+ -30 3-点+7-9+21 42-56+72-90+110 =3+4+5 5+66+77+8 4×5-5×6+6×7 -7x8 8+99+10,10+11 8×99×1010×11 =3++-名+名+ 1111 1 11,1,111 1 7-8+8+g-9-10+0+ =3++品 -147 44 3.解：由(a-1)2+ab-2=0,可得a- 1=0,ab-2=0,a=1,b=2, 小原武=k2+2+34+…+ -70 2027X202s=1-3+2-号+写 1 2027 2027-2028=2028 模块二图形与几何 专题1三角形的高、中线、角平分线 1.C 2.解：·AP为∠BAC的平分线，∠ABC= 2∠C,∴.根据“角平分线+二倍角” 模型，可得AC=AB+BP=AB+4 ,'BQ为∠ABC的平分线，∴.∠CBQ= 号∠ABc又：∠A8C=2∠C,∠CQ= ∠C,.BQ=CQ. .△ABQ的周长为18，.AB+BQ+ AQ=AB+CQ+AQ=AB+AC=AB+ (AB+4)=18, ∴.AB=7. 3.解：AD⊥BC,∠B=2∠C, ∴根据“高+二倍角”模型，可得 CD=AB+BD=5+BD 在Rt△ABD中，由勾股定理得AD2= AB2-BD2=25-BD2. 在Rt△ACD中，由勾股定理得AD2= AC2-CD2=80-(5+BD)2, 故25-BD2=80-(5+BD)2, 解得BD=3. 专题2三角形的内角 1.40° 2.解：（1).点D是∠ACB和∠ABC 的平分线的交点， ∴.根据三角形双内角平分线模型，可 得∠BDC=90°+2∠A=90°+)× 70°=125°.