模块一 专题2 连续自然数的平方和或立方和-【专项训练】初中数学专项练 二级公式秒解

初中数学二级公式必解 参考答案 模块一 数与式 专题2连续自然数的平方和或立方和 专题1连续自然数的和 1.A 1.100 2.解：(1)原式=10×10+1)×(2×10+) 6 2.解：(1)原式=(150÷2)×(150÷2+ 10×11×21 =385 1)=75×76=5700. (2)原式=2+4+6+8+…+200- (2)原式=(13+23+33+43+…+20)- (2+4+6+8) (13+23+33+4)=202x(20+12 4 =(200÷2)×(200÷2+1)-(8÷2)× (8÷2+1) 42x(4+1业=100×441-100=100× 4 =10100-20 (441-1)=100×440=44000 =10080 3.解：10个正方形的面积之和S=112+ 3.解：(1)原式=4800-(1+2+3+ 122+132+142+152+162+172+ 4+448+49+50)=4800-50x(50+D= 182+192+202=(12+22+32+ …+202)-（12+22+32+…+ 3525 20×(20+1)×(2×20+1) (2)原式=(1+3+5+…+999)-(1+ 102)= 6 3+5++9)(2}-(岁= 10×(10+1)×(2×10+1) =2870-385= 6 5002-52=249975. 2485(cm2). (3)原式=(2+4+6+…+400)-(2+ 答：这10个正方形的面积之和是 4+6+…+100)=(400÷2)×(400÷ 2485cm2 2+1)-(100÷2)×(100÷2+1)=40200- 4.解：(1)S= n(n+1)(2n+1) 2550=37650. 6 (4)方法一：原式=(100÷2)×(100÷ 8= 2(n+1)2 4 2+10-(92/=50×51-50=50 (2)当n=6时， 方法二：原式=(2-1)+(4-3)+(6- S= 6x(6+10x(2x6+D=91, 5)+·+(100-99)=1×50=50. 6 S= 62×(6+1)2 4.解：由题意得44+43+…+2+1= =441, 4 44×(44+1) =990(次). 92=441= 2 S-91-13 答：所有人共握了990次手. (3)不正确.理由如下：当n=2时， -68 参考答察 S1=12+2=5,S2=13+23=9 (3)原式=(2x)3+3×(2x)2·3y+3× .9不能被5整除， 2x·(3y)2+(3y)3 S,不是S的整数倍 =8x3+3×4x2·3y+3×2x·9y2+27y3 专题3有理数的乘法与整式的乘法 =8x3+36x2y+54xy2+27y3. 1.D (4)原式=(3y)3-3×(3y)2×1+3×3y× 2.156180 12-13=27y3-27y2+9y-1. 3.解：(1)原式=19×20×21=2660. 3 (5)原式=m3-3m2·5n+3m(5n)2- (2)原式=(1×2+2×3+3×4+4× (5n)3=m3-15m2n+75mn2-125n3. 5+·+29×30)-(1×2+2×3+3× 专题5用公式法分解因式 4+4×5+…+10×11) 1.解：①原武=（号）°(）月 -29×30×31-10×11×12 3 3 =(号-川g++】 =8990-440=8550. (2)原式=x3-(2y)3 4.解：(1)：甲错把n看成了4，得到结 果x2+8x+16, =(x-2y)(x2+2xy+4y2) ∴.(x+m)(x+4)=x2+(m+4)x+4m= (3)原式=3b(-27b) x2+8x+16, =3b[3-(3b)3] .∴.m+4=8,解得m=4. =3b(a-3b)(a2+3ab+9b2). :乙错把m看成-m,得到结果2+ 2.解：(1)原式=(3m)3+n3+(2p)3- x-20, 3×3m·n·2p=(3m+n+2p)(9m2+ .(x-m)(x+n)=x2+(-m+n)x mn=x2+x-20, 2+4p2-3mn-6mp-2np). ∴.-mn=-20. (2)(2x+3y)3-8x3-27y=(2x+3y)3+ .m=4,.n=5 (-2x)3+(-3y)3 (2)当m=4,n=5时，(x+m)(x+n)= .2x+3y+(-2x)+(-3y)=0, (x+4)(x+5)=x2+(4+5)x+4×5= .原式=(2x+3y)3+(-2x)3+(-3y)月 x2+9x+20. =3(2x+3y)(-2x)(-3y) 专题4乘法公式 =18xy(2x+3y). 1.-15 3.解：x+y=2,.原式=(x+y)(x2- 2.52 x+y2)+6xy =2(x2-x+2+3xy)= 3.4 2(x+y)2=2×22=8. 4.解：(1)原式=4×2x·3y=24y 专题6分式运算 (2)原式=(3m)2+n2+(2a)2-2× 1解：原式=号×（4+ 3 3 4×7+ 3mn-2×3m·2a+2n·2a 3 =9m2+n2+4a2-6mn-12am+4an. 7x10+…+ 199×202 -69-初中数学二级公式解 专题2 连续自然数的平方和或立方和 必记·核心公式 知识点 有理数的乘方一级公式 a·a·…·a=a n个 ②公式特征：求n个相同乘数的积的运算. 必学·二级公式： 二级公式①从1到n的连续自然数的平方和高频考点 秒解公式 推导过程 12+22+32+…+n2= 当n=1时，左边=1，右边=x1+)×(2×1+少 =1, (n+1)(2n+1) 6 6 左边=右边，即等式成立 题干搜索：求从1开始 假设当n=k时，等式成立， 的连续自然数的平方 即12+2+32+…+k2=k(k+0(2k+) 6 和. 则当n=k+1时， 12+22+32+…+k2+(k+1)2 k(k+1)(2k+1 2+(k+1)2 （k+1)(2k2+7k+6) 6 (k+1)(k+2)(2k+3) 6 即当n=k+1时，等式仍然成立 综上，对于任意正整数n,等式均成立. ☑拓展提升 若求从m到n(n>m>1,m,n为正整数)的连续自然数的平方和，可以用从 1到n的连续自然数的平方和减去从1到m-1的连续自然数的平方和间接 求解 -4 模块●数与式 典例1证明：12+22+32+42+52的值是5的倍数 二级公式解法 公式秒解技法 证明：当n=5时， nn+1)(2n+1) 把n=5直接代入“二级公 6 式1”，即可求解. 5×(5+1)×(2×5+1) 6 =5×11, ∴.12+22+32+42+52的值是5的倍数 二级公式②从1到n的连续自然数的立方和 秒解公式 推导过程 13+23+33+43+…+n ①13=1=12， =(1+2+3+4+…+n)2① 13+23=9=32=(1+2)2, n2(n+1)2 13+23+33=36=62=(1+2+3)2, 4 ② 13+23+33+43=100=102=(1+2+3+4)2 题干搜索：求从1开始的连 续自然数的立方和. 根据上面的规律，归纳可得： 13+23+33+43+…+m3=(1+2+3+4+…+n)2 ②当n=1时，左边=1，右边=x1+少=1， 4 左边=右边，等式成立」 假设当n=k时，等式成立， 即13+23+33+4+…+=2(k+2 则当n=k+1时， 13+23+33+43+…++(k+1)3 k2(k+1)2 +(k+1)3 4 =(k+1(k2+4k+4) 4 =（k+12(k+22 4 即当n=k+1时，等式仍然成立 综上，对于任意正整数n,等式均成立. ☑拓展提升 若求从m到n(n>m>1,m,n为正整数)的连续自然数的立方和，可以用从 1到n的连续自然数的立方和减去从1到m-1的连续自然数的立方和间接 求得. -5 初中数学二级公式解 白典例2计算：13+23+33+43+…+103. 二级公式解法 公式秒解技法 解析：原式=102x10+12 把n=10直接代入“二级公式2”，即可 4 =3025 求解. 必练·中考真题 1. 13+23+33+…+20263 的值为( 1+2+3+…+2026 A.2053351 B.2051325 C.2052338 D.2501325 2.计算： (1)12+22+32+42+…+102; (2)53+63+73+…+203 3.有10个正方形，它们的边长分别为11cm,12cm,13cm,14cm,15cm,16cm, 17cm,18cm,19cm,20cm,求这10个正方形的面积之和. 4.已知S,=12+22+…+2,S,=13+23+…+m3. (1)请用含n的代数式分别表示S,和S; (2)当n=6时，求 的值； S (3)恒恒发现S,总是S,的整数倍，他的发现正确吗？请结合n=2时的计算结果 说明理由. -6