模块一 专题1 连续自然数的和-【专项训练】初中数学专项练 二级公式秒解

模块⊙ 数与式 专题1连续自然数的和 必记·核心公式： 知识点从1到n的连续自然数的和一级公式 0 1+2+3+…+n= n(n+1) 2 ②推导过程：设S=1+2+3+…+n=1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n,则2S= 1+2+3+.+(n-2)+(n-1)+n+1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n=(1+n)+ (2+n-1)+(3+n-2)+…+(n-2+3)+(n-1+2)+(n+1)=(n+1)+(n+1)+ a+1+…+a+D=aa+S=D,即1+2+3++a= n(n+1) 2 ②公式特征：公式左边是从1到n的连续自然数的和，公式右边是（自然数个数）× (最大数+最小数)÷2. 。 必学·二级公式· 二级公式①从2到2n的连续偶数的和 秒解公式 推导过程 2+4+6+…+2n=n(n+1). 2+4+6+…+2n=2×(1+2+3+…+ 题干搜索：求从2开始的连续偶数的和。 n)=2× n(n+1) 2 =n(n+1). ☑拓展提升 若求从2m到2n(n>m>1,m,n为正整数)的连续偶数的和S,可以用从2到 2n的连续偶数的和减去从2到2(m-1)的连续偶数的和，即S=n(n+1)-m(m -1). 二级公式②从1到2n-1的连续奇数的和高频考恩 秒解公式 推导过程 1+3+5+…+(2n-1)=2. 设S=1+3+5+…+(2n-1)=1+3+5+…+ (2n-5)+(2n-3)+(2n-1), -1- 初中数学二级公式解 秒解公式 推导过程 题干搜索：求从1开始的连 则2S=1+3+5+…+(2n-5)+(2n-3)+(2n-1)+ 续奇数的和. 1+3+5+…+(2n-5)+(2n-3)+(2n-1)= (1+2n-1)+(3+2n-3)+(5+2n-5)+…+(2n- 5+5)+(2n-3+3)+(2n-1+1)=2n·n=2n2, 即1+3+5+…+(2n-1)=n2. ☑拓展提升 若求从2m-1到2n-1(n>m>1,m,n为正整数)的连续奇数的和S,可以用从 1到2n-1的连续奇数的和减去从1到2m-3的连续奇数的和，即S=2-(m-1)只. 会典例计算：101+103+105+…+299= 二级公式解法 公式秒解技法 解析：在1+3+5+…+99中， 求不是从1开始的连续奇数 2n-1=99,所以n=50, 的和，不能直接用“二级公式 所以1+3+5+…+99=502=2500. 2”计算，可以用(1+3+5+ 在1+3+5+…+299中， 7+…+299)-(1+3+5+7+…+ 2n-1=299,所以n=150, 99)来计算. 所以1+3+5+·+299=1502=22500. 所以101+103+105+·+299 =(1+3+5+…+299)-(1+3+5+…+99) =22500-2500 =20000. 。 必练·中考真题 1.从1开始，将连续的奇数相加，和的情况有如下规律：1=12,1+3=22,1+3+ 5=32,1+3+5+7=42,1+3+5+7+9=52,…,按此规律，请你猜想，从1开始， 将前10个奇数（即最后一个奇数是19）相加，其和是 2.(济南·模拟)计算： (1)2+4+6+8+…+150; (2)10+12+14+…+200 -2 模块●数与式 3.（南阳·模拟)计算： (1)4800-1-2-3-4-…-48-49-50; (2)11+13+15+17+…+999; (3)102+104+106+108+…+400; (4)(2+4+6+…+98+100)-(1+3+5+7+…+97+99). 4.某班有45名学生，毕业时每两人都握一次手，所有人共握了多少次手？ -3-初中数学二级公式必解 参考答案 模块一 数与式 专题2连续自然数的平方和或立方和 专题1连续自然数的和 1.A 1.100 2.解：(1)原式=10×10+1)×(2×10+) 6 2.解：(1)原式=(150÷2)×(150÷2+ 10×11×21 =385 1)=75×76=5700. (2)原式=2+4+6+8+…+200- (2)原式=(13+23+33+43+…+20)- (2+4+6+8) (13+23+33+4)=202x(20+12 4 =(200÷2)×(200÷2+1)-(8÷2)× (8÷2+1) 42x(4+1业=100×441-100=100× 4 =10100-20 (441-1)=100×440=44000 =10080 3.解：10个正方形的面积之和S=112+ 3.解：(1)原式=4800-(1+2+3+ 122+132+142+152+162+172+ 4+448+49+50)=4800-50x(50+D= 182+192+202=(12+22+32+ …+202)-（12+22+32+…+ 3525 20×(20+1)×(2×20+1) (2)原式=(1+3+5+…+999)-(1+ 102)= 6 3+5++9)(2}-(岁= 10×(10+1)×(2×10+1) =2870-385= 6 5002-52=249975. 2485(cm2). (3)原式=(2+4+6+…+400)-(2+ 答：这10个正方形的面积之和是 4+6+…+100)=(400÷2)×(400÷ 2485cm2 2+1)-(100÷2)×(100÷2+1)=40200- 4.解：(1)S= n(n+1)(2n+1) 2550=37650. 6 (4)方法一：原式=(100÷2)×(100÷ 8= 2(n+1)2 4 2+10-(92/=50×51-50=50 (2)当n=6时， 方法二：原式=(2-1)+(4-3)+(6- S= 6x(6+10x(2x6+D=91, 5)+·+(100-99)=1×50=50. 6 S= 62×(6+1)2 4.解：由题意得44+43+…+2+1= =441, 4 44×(44+1) =990(次). 92=441= 2 S-91-13 答：所有人共握了990次手. (3)不正确.理由如下：当n=2时， -68