衔接点04 几何图形（讲义，全国通用北师大版）数学小升初衔接

衔接点04 几何图形 小学视角 初中展望 小学阶段主要学习了常见的平面几何图形（三角形、四边形、圆）的周长与面积、立体图形（长、正方体、圆柱、圆锥）的表面积与体积。培养的核心数学素养是学生的几何直观、空间观念和运算能力。 初中阶段较小学阶段在几何图形方面变化极大：不再是停留在建立图形的直观表象和对图形特征的研究上，而要转入对其性质较为系统的研究。中学数学还要求进行数学证明，这对从来没有进行过数学证明的学生来说，要掌握从论据推出结论的方法，来表明论据与结论之间必然的逻辑联系是有一定难度的。培养的核心数学素养是学生的几何直观、抽象能力、推理能力等。 衔接引导 在初中几何中，随着变量和演绎推理证明等知识的进入，初中学生学习几何就需要提高相应的思维能力，比如抽象思维，推理能力等等。难度提升，思维的层次也大为不同。如“三角形的内角和等于180°”这个定理，小学教材中是由实验得出的。初中要强调说明不能满足于实验，而必须从理论上给予严格论证。 考点阐释 正方形：；。 长方形：；。 平行四边形：；。 三角形：。 梯形：。 圆：；。 正方体 表=； 长方体 表； 圆柱体、圆锥体 （:高；：底面积；:底面半径） 圆柱侧面积：； 圆柱表面积：； 圆柱体积：； 圆锥体积： 解题方略 求几何图形面积常见方法及运用： 1）割补法求面积（平移、对称、旋转等）；2）和差法求面积；3）等积变换（化线段比为面积比）；4）运用整体思想；5）差不变；6）容斥原理（韦恩图）等。 公式法：所求面积的图形是规则图形，如扇形、特殊三角形、特殊四边形等，可直接利用公式计算。 割补法：就是从割和补两种不同角度认识同一个面积。还有的是从不同的角度认识某个长方形面积的一半。通过对面积问题的训练可以打开思维。特别是结合算两次的思想能让我们的思维理念得到很大提升。最后我写了算两次解决面积问题，来诠释前面的理论。 和差法：所求面积的图形是不规则图形，可通过转化变成规则图形面积的和或差，这是求阴影部分面积最常用的方法。 等积变换法：以线段比为对象运用两个面积比表示同一个面积比，有的是运用整体与局部思想整体由各个局部合成。有的抓住面积不变，从两个不同的底和高来表示同一个三角形的面积或随便求出直角边的平方。 差不变思想（原理）：即利用等式的性质来求面积，若S甲=S乙，则S甲+S空白=S乙+S空白，S甲-S空白=S乙-S空白。 容斥原理：即重叠、分层思路，把图形中不规则的阴影部分看作几个规则图形用不同的方法重叠的结果，利用分层把重叠部分分出来，组成重叠图形各个规则图形的面积总和减去分掉的那面积，就是剩下所求那部分面积。 题型1、割补法求面积（一）平移与对称 【解题技巧】常见模型 图形 转化后的图形 秘籍计算方法 例1．（25-26六年级上·天津河西·期末）如图中，大半圆的半径为，三角形为等腰三角形，阴影部分的面积为( )。 例2．（2026六年级·成都·小升初模拟）如图中三个圆的半径都是5，三个圆两两相交于圆心．则阴影部分的面积和为 ．(圆周率取) 例3.（2026·成都·小升初模拟）如图所示，正方形的对角线长为10，小圆和大圆的圆心分别是正方形的中心和顶点，则图中灰色部分的面积等于( )（π取3.14）。 变式1．（25-26六年级上·浙江杭州·期末）求阴影部分的面积（单位：cm）。 变式2．（2026·重庆·小升初模拟）如图中阴影部分的面积是( )平方厘米。 变式3．（25-26六年级上·江西赣州·期末）欢欢和乐乐用不同方法计算出下图阴影部分面积，你觉得谁做对了？那错的能帮他改正过来吗？ 欢欢：3.14×（4÷2）2×＝6.28（cm2） （6.28－4×2÷2）×2＝4.56（cm2） 乐乐：3.14×42－42＝34.24（cm2） ( )做对了，请帮( )改正：_______________________________。 题型2、割补法求面积（二）旋转 【解题技巧】常见模型 图形 转化后的图形 秘籍计算方法 例1．（2026·四川成都·小升初模拟）求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）（取） 例2．（25-26六年级上·湖北武汉·期末）在大圆中画若干个大小不等的半圆（如图）。已知AC＝CD＝DB＝4dm，O是圆心，那么涂色部分的面积是( )dm2。 例3．（2026·江苏·小升初模拟）如图是由两个圆心角为90°半径为3厘米的扇形组合而成，重叠部分是个正方形（见图①）。要求涂色部分的面积，可以先用转化的策略（见图②），通过( )（填平移或旋转），最后转化成了一个半圆（见图③），涂色部分的面积是( )平方厘米。 例4．（25-26六年级下·成都·校考期中）如图，ABCD是一个长为4，宽为3的长方形。它绕C点按顺时针方向旋转90度，则AB边扫过图形的面积为 。（π取3） 变式1．（2025·重庆江北·小升初真题）如图，在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段，图中阴影部分的面积占整个图形面积的___________。 变式2．（2026·广东·小升初模拟）如图，长方形ABCD把这个长方形绕顶点A向右旋转90度，求CD边扫过的阴影部分面积。（单位：厘米） 变式3．（2026·成都·小升初模拟）如图是一个直径为3厘米的半圆，AB是直径。让A点不动，把整个半圆逆时针旋转60°，此时B点移动到C点，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 变式4．（25-26六年级上·湖南怀化·期中）如图：O点是半圆的圆心，半圆的直径AB是4厘米，C、D是半圆弧上的三等分点，求图中阴影部分的面积。 题型3、和差法求面积 【解题技巧】常见模型 图形 转化后的图形 秘籍计算方法 例1．（2025·河北石家庄·小升初真题）图中圆的直径为20厘米，求涂色部分的面积。 例2．（2025·湖北襄阳·小升初真题）在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2厘米和4厘米，求两个阴影部分的面积差。（圆周率取3.14） 例3．（2025·四川绵阳·小升初真题）如图，正方形ABCD的边长为4厘米，点E在BC上，四边形BEFG也是正方形，以点B为圆心，BA长为半径画弧AC。连接AF、CF，试求图中阴影部分的面积。 例4．（2025·重庆北碚·小升初真题）如图，大、中、小3个正方形的边长分别为8、4、2，那么图中阴影三角形的面积为______。 变式1．（2025·四川绵阳·小升初真题）求阴影部分的面积是多少平方分米？ 变式2．（2025·浙江宁波·小升初真题）如图，圆的半径为4dm，四边形OABC为梯形，求阴影部分的面积？ 变式3．（2025·湖南长沙·小升初真题）如图，ABCD是边长为10厘米的正方形，AB是半圆的直径，则阴影部分的面积是( )平方厘米。（π取3.14） 变式4．（2025·湖北武汉·小升初真题）如图，正方形ABCD的面积为9，正方形AEFG的面积为8，∠DAE＝45°，连接BE、CF，交于点O，则△BOC与△EOF的面积之差为______。 变式5．（2025·浙江杭州·小升初真题）图形计算。 请计算该“右转危险区”的面积。（本题取3） 卡车、货车等车身较长的大型车辆在转弯时，驾驶员都会产生视觉盲区，容易造成交通事故，为此设置了“右转危险区”标线。下图中圆弧CD是以F为圆心所画的四分之一圆，圆弧BE是以A为圆心所画的四分之一圆。 题型4、整体代换法 【解题技巧】有些参数（如圆的半径）直接求很困难，但是可以直接求的半径的平方，采用设而不求，整体代换即可。 例1．（2025·四川成都·小升初真题）如图中，大圆直径是小圆直径的2倍，阴影部分的面积是18cm2，那么圆环的面积是( )cm2。 例2．（25-26六年级上·成都·校考期中）中国建筑中经常能见到如下图的设计。如果图中圆的面积是6.28平方米，那么整个图形中所有涂色部分的面积是多少？ 例3．（25-26六年级上·广东揭阳·期末）如图，已知平行四边形的面积是8m2，则圆的面积是( )m2。 变式1．（2026·成都·小升初模拟）图中圆环的面积是157平方厘米，那么图中直角三角形的阴影部分的面积是( )平方厘米。 例2．（24-25六年级上·北京延庆·期末）下图中正方形的面积是，圆的面积是( )。（取3.14） 变式3．（25-26六年级上·湖南常德·期末）如下图，已知半圆中空白部分等腰直角三角形的面积是10，则阴影部分的面积是（    ）。 A．21.4 B．11.4 C．31.4 D．20 变式4．（25-26六年级上·山东临沂·期末）如图中，大正方形的面积是25cm2，小正方形的面积是9cm2，那么圆环的面积是( )。 题型5、等积变换法求面积 【解题技巧】合理使用边、高的比求面积的比例，灵活掌握边、高、面积之间的关系。 例1．（2025·河南郑州·小升初真题）如图，的长是长的，的长是长的中，涂色部分的面积是20平方厘米，三角形的面积是( )平方厘米。 例2．（2025·重庆江北·小升初真题）下图中四边形ABCD是梯形，四边形ABED是平行四边形，已知部分面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是___________平方厘米。 例3．（2025·湖南长沙·小升初真题）设正方形的面积为1，下图中E、F分别为AB、AD的中点。，则阴影部分的面积为多少？ 例4．（2025·湖南长沙·小升初真题）如图，三角形ABC的面积为10，AD与BF交于点E，且，求图中阴影部分的面积和。 例5．（2025·重庆渝北·小升初真题）如图，在中，，，，与的面积和等于四边形的面积，那么的长是多少？ 变式1．（2025·吉林·小升初真题）如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E在AD上，AE＝2DE，点F在CE上，CF＝2EF，且△ABC的面积是18cm2，则△BEF的面积是( )cm2。 变式2．（2025·吉林长春·小升初真题）如图，四边形ABCD是矩形，点E、F分别在边AB、CD上。若△AED、△DEF、四边形BCFE的面积比是1∶3∶5，则AE∶EB＝( )。 变式4．（2025·湖北十堰·小升初真题）如图，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm。D、E分别为BC、AC边上一点。现将三角形ABC沿线段AD对折，使得点E与点B重合。三角形ABC的面积是( )cm2，阴影部分三角形CDE的面积是( )cm2。 变式5．（25-26六年级上·四川攀枝花·期中）平行四边形外有一点，连接平行四边形的顶点后形成了两个三角形（如图阴影部分），这两个三角形的面积之和与原来平行四边形的面积之比是___________。 题型5、等积变换法求体积 例1．（2020·湖北黄冈·小升初真题）准备一个有刻度的容器，先注入一些水，然后把土豆放入水中，观察水面高度上升的情况，通过以上方法来测量一个土豆的体积，运用了（    ）数学思想方法。 A．对应 B．转化 C．统计 D．倒推 例2．（2025·河北保定·小升初模拟）在一个圆柱形的水桶里，垂直放入一段半径是2cm的圆钢，如果把它完全放入水中，桶里的水就上升10cm，如果把水中的圆钢露出水面6cm，那么这时桶里的水就下降3cm。这根圆钢的高是( )cm，体积是( )cm3。 例3．（2025·湖北武汉·小升初真题）沙漏是古人用的一种计时仪器。如图这个沙漏里（装满沙子）的沙子一点点漏入下面的长方形木盒中，如果沙子漏完了，那么在长方形木盒中会平铺大约多少厘米高的沙子？ 例4．（2025·湖南长沙·小升初真题）有甲、乙两种长方体容器。甲容器长、宽、高分别为10厘米、3厘米、10厘米，乙容器长、宽、高分别是5厘米、4厘米、15厘米。已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。如果将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？ 变式1．（2025·浙江杭州·小升初模拟）科学组的同学们在做实验，先将两个大小相同的烧杯中，都盛有480毫升的水，再将等底等高的圆柱与圆锥实心零件（材质相同）分别放入两个烧杯中，则甲烧杯水面刻度如图所示。乙烧杯水面刻度显示应是多少毫升？ 变式2．（2025·湖南长沙·小升初真题）如图①，在底面积为100平方厘米、高为20厘米的长方体水槽内放一个圆柱烧杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②所示。 （1）图②中，点_____表示烧杯中刚好注满水，点_____表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）求烧杯的底面积及注满水槽所用的时间。 变式3．（2025·浙江温州·小升初真题）小亮要用一个底面是边长7厘米的正方形、高为15厘米的长方体容器，容器中装的水距容器口还有1厘米。现在要测量一个球形铁块的体积，当铁块放入容器中，就有部分水溢出，而当把铁块取出后，则水面下降4厘米，求铁块的体积。 变式4．（25-26六年级下·成都·期中）牙膏天天使用，牙膏管口直径悄然增大，与20年前相比，国内市场上出售的牙膏管开口直径已悄悄地从4毫米增至8毫米左右。这样引发了浪费，还不利于健康。 (1)小红使用某品牌的牙膏，出口处直径是8毫米，小红按习惯每次刷牙都挤出1厘米长的牙膏，可用60次。这支牙膏的容量大约多少毫升？(2)有人曾做过推算，当牙膏管口径直径是4毫米时，能比现在的8毫米口径节约牙膏75%。你赞同他的观点吗？为什么？ 变式5．（25-26六年级下·河南南阳·期中）像长方体、正方体和圆柱这样的立体图形都属于柱体。柱体的体积都可以用底面积乘高来表示，即。将图1所示圆柱沿底面半径（r）分成16等份，再按图3所示方式摆放拼成一个近似的长方体。转化后，长方体的体积等于圆柱的体积，长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高。 (1)如果圆柱切分后按图2所示方式摆放，此时长方体的底面积＝( )，长方体的高＝( )，( )。（用字母r、h、π表示） (2)把高是8cm的圆柱切分后按图3所示方式摆放，表面积增加了，这个圆柱的体积是( )。 题型7、差不变思想（原理） 【解题技巧】差不变思想，即利用等式的性质来求面积，如果S甲=S乙，那么S甲+S空白=S乙+S空白，反之亦可。 例1．（2024·湖北荆门·小升初真题）如图，三角形ABC是直角三角形，阴影部分甲比阴影部分乙的面积大28平方厘米，已知直径AB长40厘米，π取近似值3.14，求BC的长。 例2．（2026·四川成都·小升初模拟）如图，在一组平行线之间作了一个半圆和一个三角形，问：阴影部分甲与阴影部分乙的面积相差多少？（π取3.14） 变式1．（25-26六年级·湖北黄冈·期末）如图，半圆的直径是10厘米，阴影部分甲比乙的面积少1.25平方厘米，求直角三角形ABO的边OA的长。 变式2．（2025六年级·广东·培优）如图，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米．已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD的面积． 变式3.（2025.四川成都 六年级期中）如下图，ABCD是边长为10厘米的正方形，三角形ABF比三角形CEF的面积大20平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？ 题型7、容斥原理（韦恩图） 【解题技巧】容斥原理这个词可能听起来比较陌生，它还有另一个名词，重叠法。如果运用得当，掌握其精髓，在求解阴影部分面积，以及相关应用题时，能起到事半功倍的作用。本文就来重点讲一下，容斥原理在求解阴影部分面积时的妙用。 例1．（2026·成都·小升初模拟）如图，已知ABC为扇形，BDF为扇形，CBDE为长方形。CE＝6厘米，CB＝8厘米，那么图中阴影部分的面积是多少？ 例2．（25-26六年级上·天津河西·期末）如图，正方形的边长是6厘米，以点为圆心，6厘米为半径画四分之一圆，再以点为圆心，4厘米为半径画四分之一圆。则甲阴影部分与乙阴影部分面积的差是( )平方厘米。 例3．（25-26六年级·重庆·期中）如图，两阴影部分的面积分别是S1、S2，S1－S2＝2.44平方厘米。求图中扇形所在圆的半径。 例4．（25-26六年级·吉林·期末）求下图阴影部分的面积。（单位：米。）    变式1．（25-26六年级上·成都·期末）求图中阴影部分的面积。（单位：dm） 变式2．（2025六年级下·成都·培优）如图，已知AC＝4厘米，CB＝6厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？ 变式3．（24-25六年级下·河南郑州·开学考试）已知等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4厘米，以AC为直径作圆，又以点B为圆心，BC为半径画弧，交BA于点D，如下图所示，计算图中阴影部分的面积之和（π取3）。 变式4．（2024六年级下·广东·培优）如图，三角形ABC是等腰直角三角形，AC=BC=10cm，分别以A、B为圆心，以AC、BC为半径在三角形ABC内画弧，求阴影部分的面积． 变式5.（2026.成都小升初模拟）在桌面上放置个两两重叠、形状相同的圆形纸片.它们的面积都是平方厘米，盖住桌面的总面积是平方厘米，张纸片共同重叠的面积是平方厘米.那么图中个阴影部分的面积的和多少是平方厘米？ 题型8、平面图形的拼切重组问题（含翻折） 【解题技巧】平面图形的拼接裁剪是小升初比较常考的图形变化问题，从知识综合与难度层次方面来看，与圆形相关的拼切裁剪问题是主要考察点，其次是特殊四边形的拼接裁剪，一般来讲，拼接裁剪造成的图形变化，相对容易理解，可以尝试画出示意图再观察变化特点。 例1．（25-26六年级上·湖南张家界·期末）像这样把一个三角形沿虚线折叠后得到图2，这个多边形的面积是原三角形面积的，已知图2中阴影部分的面积和为24平方厘米，那么原三角形的面积是( )平方厘米。 例2．（25-26六年级上·江苏宿迁·期中）桌上有一张长15厘米的长方形纸片，折叠后得到图形所覆盖桌面的面积是原来长方形面积的。已知阴影部分的面积是15平方厘米，那么原来长方形的面积是( )平方厘米，阴影部分的周长是( )厘米。 例3．（24-25六年级下·福建厦门·期中）如下图，取一张长60cm、宽5cm的长方形纸条，使两条宽相对，然后把其中一边的纸条扭转，与相对的另一边连接，用固定胶粘起来，一只蚂蚁从某点开始沿着所标出的线爬行，直到回到出发点为止，它爬行的距离是（    ）cm。 A．60 B．65 C．120 D．180 例4．（24-25六年级·江苏·期中）如图，把正方形剪成一个特殊的三角形。 (1)∠1＝( )°，∠2＝( )°。 (2)如果正方形的边长是5厘米，那么得到的三角形的周长是( )厘米。 (3)如果把这个特殊的三角形沿虚线剪去一个角（如图），在剩下的四边形中，∠3＋∠4＝( )°。 变式1.（25-26六年级·北京·期末）折叠一张长方形纸ABCD，如图，折叠时，C点和A点重合，产生折痕为EF。量得AE长22厘米，如果长方形的宽是20厘米，折叠后图形的面积比原来长方形面积少了( )平方厘米。 变式2．（24-25六年级上·江苏无锡·期末）如图，桌上有一张梯形纸片，折叠后，得到图形所覆盖桌面的面积是原来梯形面积的，已知阴影部分的面积是4平方厘米，原来梯形的面积是( )平方厘米。 变式3．（2025六年级·江苏培优）如图1，长方形木块长12厘米、宽5厘米，长方形的对角线长13厘米，正方形木桩边长为17厘米。木块从图1的位置开始，沿木桩的边缘滚动，滚动过程如图2、图3所示。木块滚动一周后回到原位置，那么点A经过的路径长 厘米。（π＝3） 题型9、立体图形的拼切重组问题 【解题技巧】几何体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相应增加，二是是拼接问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。 例1．（2025·湖北武汉·小升初真题）小刚在手工课上拿到一根高30厘米的圆柱形木棒，如图所示，将它截成相同的两段后，表面积比原来增加了50.24平方厘米。小刚想把其中一段木棒削成一个最大的圆锥体摆件，削去的体积是多少立方厘米？ 例2．（2025·吉林长春·小升初真题）如图是几个相同小正方体拼成的大正方体，由AB向C点斜切，没被切到的小正方体有（    ）个。 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 例3．（2025·云南昆明·小升初真题）阅读下面资料，解决问题。 生物在进化过程中，为了求得生存，有些动物的骨、植物的茎是空心的，而且截面的内圆直径和外圆直径之比大约都是8∶11，研究表明，当一根空心管的底面的内圈直径和外圆直径之比是8∶11时最不容易弯曲。根据这个研究，人们制成了空心零件、自行车的车身架等，以达到耗费最少材料而使其最坚固的目的。 （1）要加工这样一个零件，有一块长方体木料（如图1），先把这块木料加工成一个圆柱。这个圆柱的体积是多少？（π取3）；（2）按照上面的研究，用刚才加工的圆柱制作这样一个零件（如图2）。这个零件底面的内圆直径是多少厘米？（3）这个零件（如图3）的体积是多少立方厘米？（π取3） 例4．（2025·浙江宁波·小升初真题）下图中明明用6个体积是1立方厘米的小正方体，测量了长方体木块的长、宽、高。请根据图中信息算一算。 （1）这个长方体木块的表面积是多少平方厘米？ （2）如果把这个长方体木块削成一个圆柱，能削成的圆柱体积最大是多少立方厘米？ 变式1．（2025·重庆江北·小升初真题）如图所示，从长、宽、高为15，5，4的长方体中切除一块长、宽、高为y，5，x的长方体（x，y为整数），余下部分的体积为120，求和。 变式2．（25-26六年级上·江苏泰州·期中）用9个如图甲所示的小长方体拼成一个如图乙所示的大长方体，已知小长方体的体积是750立方厘米，则大长方体的表面积是多少平方厘米？ 变式3．（25-26六年级上·江苏扬州·期末）下图是用棱长为1厘米的小正方体摆成的物体，现将它靠墙摆放，露在外面的面积是( )平方厘米，如果在它的表面贴上装饰画（靠墙面、地面除外），三个面都有装饰画的小正方体有( )个。 变式4．（25-26六年级上·江苏泰州·期末）在透明的长方体盒子内放置棱长为1cm的小正方体，如图所示，这个透明长方体盒子内最多还能再放( )个这样的小正方体。 变式5．（25-26六年级上·江苏南京·期中）东东想要在一个棱长5厘米的正方体上挖去一块长5厘米，宽和高都为1厘米的小长方体，在图（    ）的位置挖去后剩下部分的表面积最大。 A． B． C． 1．（2025·辽宁沈阳·小升初真题）淘气借助旋转的方法探索图形之间的面积关系。他将图①中的小三角形绕它的中心旋转得到图②，发现小三角形的面积是大三角形的。用这种方法，图③中小正方形的面积是大正方形的（    ）。 A． B． C． D． 2．（25-26六年级上·河南周口·期中）如图，从一个长方体木块上边和下边分别截去高为2厘米和3厘米的长方体后，便成为一个正方体，表面积比原来减少了120平方厘米，原来长方体的体积是（    ）立方厘米。 A．360 B．396 C．400 3．（24-25六年级下·广西梧州·期中）在一个面积是113.04cm2的圆内画一个最大的正方形，继续在这个正方形内画一个最大的圆，正方形内的圆的面积是（    ）cm2。 A．56.52 B．36 C．28.26 D．14.13 4．（2025六年级下·江苏·专题练习）如图（单位：厘米），阴影部分的面积是（    ）平方厘米。取 A．50.24 B．18.24 C．32 D．16 5．（2025六年级下·江苏·培优）如图，半圆的半径是4厘米，图形甲面积比图形乙面积大1.12平方厘米，则BC的长为 。 6．（25-26六年级上·贵州贵阳·期末）通常意义下的魔方，是指狭义的三阶魔方（即6个面，每个面各有三行三列可活动的小方块），形状通常是正方体。现有一个正方体魔方，表面均涂有颜色，若其中只有一面涂色的小方块有24个，则这个魔方是( )阶魔方，这个魔方两面涂色的小方块有( )个。 7．（25-26六年级上·江苏苏州·期末）如图，两条线段把一个长方形分成甲、乙、丙三个三角形，甲的面积比乙大25平方厘米，乙与丙的面积比是6∶5，则原来长方形的面积是( )平方厘米。 8．（2025·湖北武汉·小升初真题）如图，在三角形ABC中，D、E分别为线段AC、BC上的点，且CD＝3AD，BE＝2EC，连接AE、BD，交于点F，若三角形ADF的面积为1，则三角形ABC的面积为______。 9．（2026六年级下·成都·培优）如图阴影部分的面积是50平方米，圆环面积是( )平方米。 10．（25-26六年级上·天津南开·期末）下图中阴影部分的面积是，圆环的面积是( )。 11.（25-26六年级上·北京朝阳·期末）如图，涂色部分的三角形面积是12cm2，那么图中一个小圆的面积是( )cm2。 12．（25-26六年级下·四川成都·校考期末）如图，在一个三角形中剪掉一个最大的正方形，剩下的阴影部分的面积是( )。 13．（24-25六年级下·浙江·期末）长方形的长10cm，宽4.8cm，沿对角线对折后，得到如图的几何图形，阴影部分的周长是( )cm。 14．（25-26六年级下·重庆·期中）做一做，剪一剪。 （1）用剪刀沿着“莫比乌斯带”的中线剪开，你有什么发现？ （2）如果沿着“莫比乌斯带”边缘的一宽度的地方一直剪下去，你有什么发现？ 15.（2026六年级下·江苏·培优）如图，有三个面积各为20平方厘米的圆纸片放在桌上．三个纸片共同重叠的面积是8平方厘米，三个纸片盖住桌面的总面积是36平方厘米．图中阴影部分的面积之和是多少平方厘米？ 16．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）如图，在梯形ABCD中，，。若的面积比的面积小8平方厘米，求梯形ABCD的面积。 17．（24-25六年级下·山东·期末）求阴影部分的面积（单位：cm）。    18．（24-25六年级下·浙江温州·期末）求阴影部分的面积。（单位：厘米）    19．（24-25六年级下·陕西咸阳·期末）如图BC＝12cm，CD＝DE＝6cm，①与②两阴影部分的面积的差（较大的减去较小的）是多少？ 20．（25-26六年级·江苏·期末）数学思考：如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形BC边上的中点，求空白部分的面积。（单位：平方厘米）。 21．（2024·浙江宁波·小升初真题）（如图）一个圆锥和圆柱拼接成透明模具，小仑装了一些水，正放时水的高度是6厘米，倒放时无水部分高14厘米，这个模具的容积是多少毫升？ 22．（2026六年级下·山东·专题练习）求阴影部分的面积，如图，正方形ABCD的边长是4厘米，E、F、G、H是正方形各边上的中点，请计算四个扇形的弧围成的阴影部分面积。 23．（2025六年级下·成都·培优）如图，AB是以点0为圆心的半圆的直径，C、D是弧AB的三等分点，点E是线段AB上的任意点，已知圆0的半径为3，那么图中阴影部分的面积是多少？ 24．（2025·重庆江北·小升初真题）图（1）和图（2）是以正方形和等边三角形为面的立体图形的展开图，图中所有的边长都相同，请问：图（1）能围起来的立体图形的体积是图（2）能围起来的立体图形的体积的几倍？ 25．（2026·浙江宁波·小升初模拟）我市游泳健身中心的室内泳池长50米，宽25米。最浅处水深1.2米，最深处水深1.6米。 （1）“泳池的容积是多少立方米？”对这一数学问题以下两位同学展开过论。请据他们的思考过程解决问题。 ①小朱同学：“它不是一个长方体，但可以通过割或补的方法（如下图），就可以变成长方体了，所以它的容积大小范围就在（    ）立方米和（    ）立方米之间。” ②小锋同学：“两个完全一样的泳池可以拼成一个大长方体（如下图）。这样就能计算出它的容积啦。” 请根据小锋的方法计算该泳池的容积。 （2）如果在空的泳池内以均匀的注水速度（140立方米/小时）往池内灌水，选一选，下面哪幅图能表示出泳池最深处水位的变化情况？（    ） （3）根据以上信息综合思考。第（2）题图中的a表示的数是（    ）小时。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 衔接点04 几何图形 小学视角 初中展望 小学阶段主要学习了常见的平面几何图形（三角形、四边形、圆）的周长与面积、立体图形（长、正方体、圆柱、圆锥）的表面积与体积。培养的核心数学素养是学生的几何直观、空间观念和运算能力。 初中阶段较小学阶段在几何图形方面变化极大：不再是停留在建立图形的直观表象和对图形特征的研究上，而要转入对其性质较为系统的研究。中学数学还要求进行数学证明，这对从来没有进行过数学证明的学生来说，要掌握从论据推出结论的方法，来表明论据与结论之间必然的逻辑联系是有一定难度的。培养的核心数学素养是学生的几何直观、抽象能力、推理能力等。 衔接引导 在初中几何中，随着变量和演绎推理证明等知识的进入，初中学生学习几何就需要提高相应的思维能力，比如抽象思维，推理能力等等。难度提升，思维的层次也大为不同。如“三角形的内角和等于180°”这个定理，小学教材中是由实验得出的。初中要强调说明不能满足于实验，而必须从理论上给予严格论证。 考点阐释 基本公式 正方形：；。 长方形：；。 平行四边形：；。 三角形：。 梯形：。 圆：；。 正方体 表=； 长方体 表； 圆柱体、圆锥体 （:高；：底面积；:底面半径） 圆柱侧面积：； 圆柱表面积：； 圆柱体积：； 圆锥体积： 解题方略 求几何图形面积常见方法及运用： 1）割补法求面积（平移、对称、旋转等）；2）和差法求面积；3）等积变换（化线段比为面积比）；4）运用整体思想；5）差不变；6）容斥原理（韦恩图）等。 公式法：所求面积的图形是规则图形，如扇形、特殊三角形、特殊四边形等，可直接利用公式计算。 割补法：就是从割和补两种不同角度认识同一个面积。还有的是从不同的角度认识某个长方形面积的一半。通过对面积问题的训练可以打开思维。特别是结合算两次的思想能让我们的思维理念得到很大提升。最后我写了算两次解决面积问题，来诠释前面的理论。 和差法：所求面积的图形是不规则图形，可通过转化变成规则图形面积的和或差，这是求阴影部分面积最常用的方法。 等积变换法：以线段比为对象运用两个面积比表示同一个面积比，有的是运用整体与局部思想整体由各个局部合成。有的抓住面积不变，从两个不同的底和高来表示同一个三角形的面积或随便求出直角边的平方。 差不变思想（原理）：即利用等式的性质来求面积，若S甲=S乙，则S甲+S空白=S乙+S空白，S甲-S空白=S乙-S空白。 容斥原理：即重叠、分层思路，把图形中不规则的阴影部分看作几个规则图形用不同的方法重叠的结果，利用分层把重叠部分分出来，组成重叠图形各个规则图形的面积总和减去分掉的那面积，就是剩下所求那部分面积。 题型1、割补法求面积（一）平移与对称 【解题技巧】常见模型 图形 转化后的图形 秘籍计算方法 例1．（25-26六年级上·天津河西·期末）如图中，大半圆的半径为，三角形为等腰三角形，阴影部分的面积为( )。 【答案】17.12 【详解】这道题的核心是图形的割补转化，通过把阴影部分切割后重新拼接，把复杂的组合图形变成学过的基本图形来计算面积。如下图：将阴影部分切割拼接后转化成从一个半圆中减去一个直角三角形。 根据分析： ； 所以，阴影部分的面积为17.12。 例2．（2026六年级·成都·小升初模拟）如图中三个圆的半径都是5，三个圆两两相交于圆心．则阴影部分的面积和为 ．(圆周率取) 【答案】39.25 【详解】 将原图割补成如图，阴影部分正好是一个半圆，面积为 例3.（2026·成都·小升初模拟）如图所示，正方形的对角线长为10，小圆和大圆的圆心分别是正方形的中心和顶点，则图中灰色部分的面积等于( )（π取3.14）。 【答案】28.5 【详解】如上图割补，则灰色部分的面积＝大扇形的面积－正方形的面积，大扇形的半径等于正方形对角线的长；据此解答即可。 3.14×102÷4－10×10÷2＝78.5－50＝28.5 则图中灰色部分的面积等于28.5。 变式1．（25-26六年级上·浙江杭州·期末）求阴影部分的面积（单位：cm）。 【答案】47.5cm² 【详解】如图：将右侧的弓形割补到左侧，正好拼成一个直角梯形，上底：12－5＝7（cm） 面积：（12＋7）×5÷2＝19×5÷2＝95÷2＝47.5（cm²） 阴影部分的面积是47.5cm²。 变式2．（2026·重庆·小升初模拟）如图中阴影部分的面积是( )平方厘米。 【答案】114 【详解】如图所示，观察图形后发现可以将下面两部分的阴影部分割补到上面，然后就可以用一个四分之一的圆的面积减去内部一个正方形的面积，即可求出阴影部分的面积。 四分之一的圆面积：（平方厘米） 正方形的面积：（平方厘米） 阴影面积：（平方厘米） 故阴影部分的面积是114平方厘米。 变式3．（25-26六年级上·江西赣州·期末）欢欢和乐乐用不同方法计算出下图阴影部分面积，你觉得谁做对了？那错的能帮他改正过来吗？ 欢欢：3.14×（4÷2）2×＝6.28（cm2） （6.28－4×2÷2）×2＝4.56（cm2） 乐乐：3.14×42－42＝34.24（cm2） ( )做对了，请帮( )改正： _______________________________。 【答案】 欢欢 乐乐 3.14×（4÷2）2－4×2÷2×2＝12.56－8＝4.56（cm2） 【详解】分别分析欢欢和乐乐的计算方法，判断其正确性。根据圆的面积，那么半圆的面积就是，三角形面积＝底×高÷2，解答。根据已知算式可知： 如图所示，欢欢将大三角形分成两个小三角形。先计算出来半圆的面积，再通过半圆面积减去小三角形面积再乘2来计算阴影部分面积。如图所示，乐乐的计算方法是将图形旋转后，可得到 “直径4cm的圆内接正方形”，阴影面积为圆与正方形面积的差值。 （1）分析欢欢的计算：圆的半径：r＝4÷2＝2（cm） 半圆的面积：3.14×（4÷2）2×＝3.14×22×＝3.14×4×＝12.56×＝6.28（cm2） 三角形面积： 4×2÷2＝4（cm2）。 计算阴影部分－部分面积：6.28－4＝2.28（cm2） 计算整个阴影部分面积： 2.28×2＝4.56 （cm2），因此欢欢的计算正确。 （2）乐乐的错误原因：乐乐用3.14×42－42，这里3.14×42是半径为4的圆的面积，并且用42错误的计算了正方形的面积。 乐乐的改正：先计算半径为2cm的圆的面积：3.14×（4÷2）2＝3.14×22＝3.14×4＝12.56 （cm2） 再计算两个三角形面积和（即正方形的面积）：4×2÷2×2＝8 （cm2） 计算阴影部分面积：12.56－8＝4.56（cm2） 因此，欢欢做对了，请帮乐乐改正：3.14×（4÷2）2－4×2÷2×2＝4.56（cm2）。 题型2、割补法求面积（二）旋转 【解题技巧】常见模型 图形 转化后的图形 秘籍计算方法 例1．（2026·四川成都·小升初模拟）求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）（取） 【答案】平方厘米 【分析】如图，通过割补知阴影部分面积等于半径为6厘米圆面积的。根据，代入数据计算即可。 【详解】（平方厘米） 即阴影部分面积是平方厘米。 例2．（25-26六年级上·湖北武汉·期末）在大圆中画若干个大小不等的半圆（如图）。已知AC＝CD＝DB＝4dm，O是圆心，那么涂色部分的面积是( )dm2。 【答案】50.24 【详解】如图，利用割补的方法整合涂色部分，涂色部分的面积等于半径为（4＋4＋4）÷2＝6（dm）的大半圆面积减去1个半径为4÷2＝2（dm）的小半圆面积。 大半圆半径：（4＋4＋4）÷2＝（8＋4）÷2＝12÷2＝6（dm） 小半圆半径：4÷2＝2（dm） 涂色部分的面积：3.14×62÷2－3.14×22÷2＝3.14×36÷2－3.14×4÷2＝3.14×（36÷2－4÷2） ＝3.14×（18－2）＝3.14×16＝50.24（dm2） 涂色部分的面积是50.24dm2。 例3．（2026·江苏·小升初模拟）如图是由两个圆心角为90°半径为3厘米的扇形组合而成，重叠部分是个正方形（见图①）。要求涂色部分的面积，可以先用转化的策略（见图②），通过( )（填平移或旋转），最后转化成了一个半圆（见图③），涂色部分的面积是( )平方厘米。 【答案】 旋转 5.13 【详解】通过分析可得：要求涂色部分的面积，可以先用转化的策略，通过旋转，最后转化成了一个半圆。 3.14×32÷2－3×3÷2×2＝3.14×9÷2－9＝14.13－9＝5.13（平方厘米）则涂色部分的面积是5.13平方厘米。 例4．（25-26六年级下·成都·校考期中）如图，ABCD是一个长为4，宽为3的长方形。它绕C点按顺时针方向旋转90度，则AB边扫过图形的面积为 。（π取3） 【答案】12 【详解】AB边扫过的面积就是图中阴影部分的面积，如图， 因为长方形ABCD是一个长为4，宽为3，42＋32＝25＝52，所以长方形ABCD的对角线的长5 S阴影＝S扇形CAA′－S扇形CBB′3×523×32＝12 。 变式1．（2025·重庆江北·小升初真题）如图，在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段，图中阴影部分的面积占整个图形面积的___________。 【答案】 【详解】见下图；观察拼成的长方形可知，图中涂色部分的面积占整个图形面积的。 变式2．（2026·广东·小升初模拟）如图，长方形ABCD把这个长方形绕顶点A向右旋转90度，求CD边扫过的阴影部分面积。（单位：厘米） 【答案】28.26平方厘米 【详解】观察图形，CD扫过的面积阴影部分为不规则图形，考虑整体－空白的算法。在图中画出AC旋转后AE如图所示，可得总面积为扇形CAE面积＋△AFE面积，空白部分面积为△ADC面积＋扇形DAF面积，由题可知△AFE面积＝△ADC面积，所以阴影部分面积为扇形CAE面积－扇形DAF面积 （平方厘米） （平方厘米） 78.5－50.24＝28.26（平方厘米） 变式3．（2026·成都·小升初模拟）如图是一个直径为3厘米的半圆，AB是直径。让A点不动，把整个半圆逆时针旋转60°，此时B点移动到C点，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】4.71平方厘米 【详解】观察图形可知，阴影部分为不规则图形可考虑整体减去空白。AC左边为半圆，右边为扇形CAB，所以图形总面积为半圆面积＋扇形CAB面积，阴影部分面积为半圆面积＋扇形CAB面积－半圆面积＝扇形CAB面积，所以阴影部分面积转化为扇形CAB的面积，旋转轴AB长3厘米为扇形CAB的半径。 （平方厘米） 变式4．（25-26六年级上·湖南怀化·期中）如图：O点是半圆的圆心，半圆的直径AB是4厘米，C、D是半圆弧上的三等分点，求图中阴影部分的面积。 【答案】平方厘米 【详解】因为C、D是半圆弧上的三等分点，所以圆心角∠COD＝60° 分析可知，阴影部分的面积＝扇形OCD的面积（平方厘米） 答：阴影部分的面积是平方厘米。 题型3、和差法求面积 【解题技巧】常见模型 图形 转化后的图形 秘籍计算方法 例1．（2025·河北石家庄·小升初真题）图中圆的直径为20厘米，求涂色部分的面积。 【答案】93平方厘米 【详解】本题的解题关键在于，利用角推导梯形下底长度、梯形高与圆半径的等量关系，然后通过“梯形的面积半圆的面积”间接求解涂色部分的面积 20÷2＝10（厘米） 20＋10＝30（厘米） （20＋30）×10÷2－3.14×102÷2＝50×10÷2－3.14×100÷2＝500÷2－314÷2＝250－157＝93（平方厘米） 答：涂色部分的面积是93平方厘米。 例2．（2025·湖北襄阳·小升初真题）在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2厘米和4厘米，求两个阴影部分的面积差。（圆周率取3.14） 【答案】1.42平方厘米 【详解】根据圆的面积公式：S＝πr2，用大圆面积减去小圆面积，这时剩下的面积是大阴影部分和长方形白色部分的面积之和，用它们的和减去长方形的面积就是两个阴影部分的面积差。 3.14×42×－3.14×22×＝3.14×16×－3.14×4×＝12.56－3.14＝9.42（平方厘米） 9.42－4×2＝9.42－8＝1.42（平方厘米） 答：两个阴影部分的面积差1.42平方厘米。 例3．（2025·四川绵阳·小升初真题）如图，正方形ABCD的边长为4厘米，点E在BC上，四边形BEFG也是正方形，以点B为圆心，BA长为半径画弧AC。连接AF、CF，试求图中阴影部分的面积。 【答案】12.56平方厘米 【详解】观察图形可知：阴影部分面积＝扇形ABC的面积＋梯形FGBC的面积－三角形AGF的面积，且扇形的面积＝圆的面积，设小正方形BEFG的边长是a厘米 三角形AGF的面积：（平方厘米） 梯形FGBC的面积：（平方厘米） 所以三角形AGF的面积和梯形FGBC的面积相等。 阴影部分的面积＝扇形ABC的面积＋梯形FGBC的面积－三角形AGF的面积＝扇形ABC的面积 ＝4×3.14＝12.56（平方厘米） 答：阴影部分的面积是12.56平方厘米。 例4．（2025·重庆北碚·小升初真题）如图，大、中、小3个正方形的边长分别为8、4、2，那么图中阴影三角形的面积为______。 【答案】16 【分析】加辅助线后，用长方形的面积减去左上、右上、右下三角形的面积，即可求得阴影三角形的面积。 【详解】加辅助线如图： 图中阴影三角形的面积为： ＝8×10－32－－2＝80－32－30－2＝16 变式1．（2025·四川绵阳·小升初真题）求阴影部分的面积是多少平方分米？ 【答案】25.12平方分米 【详解】通过观察图形可知，阴影部分的面积可用四分之一圆与空白的半圆的面积差来求。 3.14×82×＝3.14×64×＝200.96×＝50.24（平方分米） 3.14×（8÷2）2×＝3.14×42×＝3.14×16×＝50.24×＝25.12（平方分米） 50.24－25.12＝25.12（平方分米） 所以，阴影部分的面积是25.12平方分米。 变式2．（2025·浙江宁波·小升初真题）如图，圆的半径为4dm，四边形OABC为梯形，求阴影部分的面积？ 【答案】45.12dm2 【详解】阴影部分的面积等于圆面积加上右下角不规则图形的面积，右下角不规则图形的面积等于直角梯形的面积减去圆面积。 ×3.14×42＋（4＋6）×4÷2－＝3×3.14×4＋10×2－3.14×4＝37.68＋20－12.56＝45.12（dm2） 阴影部分的面积是45.12dm2。 变式3．（2025·湖南长沙·小升初真题）如图，ABCD是边长为10厘米的正方形，AB是半圆的直径，则阴影部分的面积是( )平方厘米。（π取3.14） 【答案】17.875 【详解】将阴影所在的大三角形ABC视为“整体”，减去大三角形内的两个空白部分（小直角三角形、扇形），即可得到阴影面积。 计算三角形ABC的面积：（平方厘米） 计算小三角形面积：（厘米） （平方厘米） 计算扇形的面积：（平方厘米） 计算阴影部分面积：（平方厘米） 阴影部分的面积是17.875平方厘米。 变式4．（2025·湖北武汉·小升初真题）如图，正方形ABCD的面积为9，正方形AEFG的面积为8，∠DAE＝45°，连接BE、CF，交于点O，则△BOC与△EOF的面积之差为______。 【答案】3.5 【详解】连接AF，作EH垂直于AF，如下图所示。 正方形AEFG的面积为8，∠DAE＝45°，∠FAE的度数是：90°－45°＝45°，则正方形AEFG被AF平分，可得△AEF的面积是：8÷2＝4，线段AF把正方形AEFG平均分为两份，EH把△AEF平分为两份，则△AEF的底AF是高EH的2倍。△ABE的底与AB在同一条线段上。 4×2÷2＝8÷2＝4 则△AEF的底是4，高是2。 正方形ABCD的面积为9，3×3＝9，则正方形ABCD的边长是3。 BF的长是：4＋3＝7。 △BFC的面积是：7×3÷2＝21÷2＝10.5 △BFE的面积是：7×2÷2＝14÷2＝7 10.5－7＝3.5，则△BFC减去△BFE的面积是3.5，即△BOC与△EOF的面积之差为3.5。 变式5．（2025·浙江杭州·小升初真题）图形计算。 请计算该“右转危险区”的面积。（本题取3） 卡车、货车等车身较长的大型车辆在转弯时，驾驶员都会产生视觉盲区，容易造成交通事故，为此设置了“右转危险区”标线。下图中圆弧CD是以F为圆心所画的四分之一圆，圆弧BE是以A为圆心所画的四分之一圆。 【答案】21平方米 【详解】如图所示，延长ED、BC交于点G，①的面积等于正方形CFDG的面积减去小扇形的面积，小扇形的面积等于半径为4米圆面积的，②的面积等于半径为10米圆面积的，“右转危险区”的面积＝正方形ABGE的面积－①的面积－②的面积，据此解答。 ①的面积：4×4－3×42×＝16－3×16×＝16－3×（16×）＝16－3×4＝16－12＝4（平方米） ②的面积：3×102×＝3×100×＝3×（100×）＝3×25＝75（平方米） “右转危险区”的面积：10×10－4－75＝100－4－75＝96－75＝21（平方米） 所以，“右转危险区”的面积是21平方米。 题型4、整体代换法 【解题技巧】有些参数（如圆的半径）直接求很困难，但是可以直接求的半径的平方，采用设而不求，整体代换即可。 例1．（2025·四川成都·小升初真题）如图中，大圆直径是小圆直径的2倍，阴影部分的面积是18cm2，那么圆环的面积是( )cm2。 【答案】56.52 【详解】通过观察图形可知，大正方形的边长等于外圆的半径，小正方形的边长等于内圆半径，根据正方形的面积公式：S＝，由此可知，阴影部分的面积等于大小正方形的面积差，也就是外圆半径的平方与内圆半径的平方的差，根据环形面积公式：，把数据代入公式解答。 3.14×18＝56.52（cm2） 即圆环的面积是56.52cm2。 例2．（25-26六年级上·成都·校考期中）中国建筑中经常能见到如下图的设计。如果图中圆的面积是6.28平方米，那么整个图形中所有涂色部分的面积是多少？ 【答案】5.72平方米 【详解】根据圆面积公式，可求得r2，根据大正方形的边长为圆的直径2r，正方形的面积＝边长×边长=r2，即可求得大正方形的面积，用大正方形的面积减去圆的面积，即可求得四个角的涂色面积。 设圆的半径为r米。3.14×r2＝6.28；r2＝6.28÷3.14；r2＝2 2r×2r－3.14×r2＝4r2－3.14r2＝（4－3.14）r2＝0.86r2＝0.86×2＝1.72 r×r÷2×4＝＝2r2＝2×2＝4 1.72＋4＝5.72（平方米） 答：整个图形中所有涂色部分的面积是5.72平方米。 例3．（25-26六年级上·广东揭阳·期末）如图，已知平行四边形的面积是8m2，则圆的面积是( )m2。 【答案】12.56 【详解】2×r×r＝8 2r2＝8 2r2÷2＝8÷2 r2＝4 3.14×r2＝3.14×4＝12.56（m2）所以圆的面积是12.56m2。 变式1．（2026·成都·小升初模拟）图中圆环的面积是157平方厘米，那么图中直角三角形的阴影部分的面积是( )平方厘米。 【答案】25 【详解】设大圆的半径为R，小圆的半径为r 阴影部分的面积为：（平方厘米） 因此图中直角三角形的阴影部分的面积是25平方厘米。 例2．（24-25六年级上·北京延庆·期末）下图中正方形的面积是，圆的面积是( )。（取3.14） 【答案】31.4 【详解】如图，将正方形分成4个完全一样的等腰直角三角形，直角三角形的两直角边都是圆的半径，且直角三角形两直角边可以看作底和高。 设圆的半径是。×÷2×4＝20；×2＝20；×2÷2＝20÷2；＝10 3.14×10＝31.4（）；圆的面积是31.4。 变式3．（25-26六年级上·湖南常德·期末）如下图，已知半圆中空白部分等腰直角三角形的面积是10，则阴影部分的面积是（    ）。 A．21.4 B．11.4 C．31.4 D．20 【答案】A 【详解】r×r÷2＝10 r2＝10×2 r2＝20（） 3.14×r2÷2－10＝3.14×20÷2－10＝62.8÷2－10＝31.4－10＝21.4（） 阴影部分的面积是21.4。故答案为：A 变式4．（25-26六年级上·山东临沂·期末）如图中，大正方形的面积是25cm2，小正方形的面积是9cm2，那么圆环的面积是( )。 【答案】50.24cm2 【详解】由题图可知，大正方形的边长就是大圆的半径，小正方形的边长就是小圆的半径，所以大正方形的面积就是R2，小正方形的面积就是r2，根据环形面积公式：S＝π（R2－r2）计算。 根据分析得出：3.14×（25－9）＝3.14×16＝50.24（cm2） 故答案为：50.24cm2。 题型5、等积变换法求面积 【解题技巧】合理使用边、高的比求面积的比例，灵活掌握边、高、面积之间的关系。 例1．（2025·河南郑州·小升初真题）如图，的长是长的，的长是长的中，涂色部分的面积是20平方厘米，三角形的面积是( )平方厘米。 【答案】40 【详解】＝1∶4 在高相同的情况下，面积比等于底边长之比，所以＝AE∶AC＝1∶4； 1－＝＝2∶3 在高相同的情况下，面积比等于底边长之比， 所以＝AD∶AB＝2∶3＝4∶6。＝1∶4∶6 20÷（4－1）＝20÷3＝（平方厘米） ×6＝40（平方厘米） 如题图，的长是长的，的长是长的中，涂色部分的面积是20平方厘米，三角形的面积是40平方厘米。 例2．（2025·重庆江北·小升初真题）下图中四边形ABCD是梯形，四边形ABED是平行四边形，已知部分面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是___________平方厘米。 【答案】4 【详解】如图：平行四边形ABED的面积是16＋8＝24（平方厘米） 连接AE，三角形AED的面积是24÷2＝12（平方厘米） 四边形ABCD是梯形，所以AD∥BC，所以三角形AED和三角形ACD是等底等高的三角形，面积相等。 阴影部分的面积是12－8＝4（平方厘米） 例3．（2025·湖南长沙·小升初真题）设正方形的面积为1，下图中E、F分别为AB、AD的中点。，则阴影部分的面积为多少？ 【答案】 【详解】1＝1×1 所以正方形的边长为1。 过G做AD和BC的平行线交AB于P，交CD于Q，连接GD如下图： 因为，所以三角形FCD和三角形DGC的面积比是3∶1，可知FD∶GQ＝3∶1； 因为F是AD的中点，所以AD∶GQ＝（2×3）∶1＝6∶1 因为PQ＝AD所以GQ∶PQ＝1∶6 GP＝1－＝ EB＝1÷2＝ ×÷2＝÷2＝×＝ 答：阴影部分的面积为。 例4．（2025·湖南长沙·小升初真题）如图，三角形ABC的面积为10，AD与BF交于点E，且，求图中阴影部分的面积和。 【答案】4 【详解】连接DF，如下图：因为AE＝ED 所以， 又因为（BD占2份，DC占1份）所以（和等高） 所以（，即） 所以（） 又因为所以所以 阴影部分的总面积是4。 例5．（2025·重庆渝北·小升初真题）如图，在中，，，，与的面积和等于四边形的面积，那么的长是多少？ 【答案】1 【详解】因为BD＝AD，所以S△ADC＝S△ABC； 已知△ADH与△AGC的面积和等于四边形EFGH的面积，且S△AHG是公共部分， 所以S△AEF＝S△ADC＝S△ABC，观察图可知S△ABE＋S△AFC＝S△ABC－S△AEF， 所以S△ABE＋S△AFC＝S△ABC。所以S△ABE＋S△AFC＝S△AEF； 又因为S△ABE＋S△AFC的和与S△AEF等高，所以BE＋FC＝EF。 BE＝EF－FC＝3－2＝1 答：BE的长是1。 变式1．（2025·吉林·小升初真题）如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E在AD上，AE＝2DE，点F在CE上，CF＝2EF，且△ABC的面积是18cm2，则△BEF的面积是( )cm2。 【答案】2 【详解】因为AE＝2DE，所以DE∶AD＝1∶3， 所以△BDE的面积∶△ABD的面积＝△CDE的面积∶△ACD的面积＝1∶3 而△BCE的面积＝△BDE的面积＋△CDE的面积，△ABC的面积＝△ABD的面积＋△ACD的面积， 所以△BCE的面积∶△ABC的面积＝1∶3 又因为△ABC的面积＝18cm2所以△BCE的面积＝△ABC的面积÷3＝18÷3＝6（cm2） 因为CF＝2EF，所以EF∶CE＝1∶3所以△BEF的面积∶△BCE的面积＝1∶3 即△BEF的面积×△BCE的面积6＝2（cm2）故△BEF的面积是2cm2。 变式2．（2025·吉林长春·小升初真题）如图，四边形ABCD是矩形，点E、F分别在边AB、CD上。若△AED、△DEF、四边形BCFE的面积比是1∶3∶5，则AE∶EB＝( )。 【答案】2∶7 【详解】因为△AED的面积与△DEF的面积比是，且这两个三角形的高相等，所以DFAE； 因为△AED的面积与梯形BCFE的面积的比是，且△AED与梯形BCFE的高相等， 所以BECFAE；而AEBEDFCF，所以AEBEAEAEBE， 则BEAE，所以AEBE故答案为： 变式4．（2025·湖北十堰·小升初真题）如图，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm。D、E分别为BC、AC边上一点。现将三角形ABC沿线段AD对折，使得点E与点B重合。三角形ABC的面积是( )cm2，阴影部分三角形CDE的面积是( )cm2。 【答案】 24 6 【详解】8×6÷2＝48÷2＝24（cm2）所以三角形ABC的面积是24cm2。 由题图可知三角形CDE、三角形AED、三角形ABD的高相等； 解：设高为hcm。 6×h÷2＋6×h÷2＋（10－6）×h÷2＝24 3h＋3h＋2h＝24 8h＝24 8h÷8＝24÷8 h＝3 （10－6）×3÷2＝4×3÷2＝12÷2＝6（cm2） 所以阴影部分三角形CDE的面积是6cm2。 变式5．（25-26六年级上·四川攀枝花·期中）平行四边形外有一点，连接平行四边形的顶点后形成了两个三角形（如图阴影部分），这两个三角形的面积之和与原来平行四边形的面积之比是___________。 【答案】1∶2 【详解】设两个三角形的底为b，两个三角形的高分别为h1和h2，平行四边形的高为h。 因此，这两个三角形的面积之和与原来平行四边形的面积之比是1∶2。 题型5、等积变换法求体积 【解题技巧】 例1．（2020·湖北黄冈·小升初真题）准备一个有刻度的容器，先注入一些水，然后把土豆放入水中，观察水面高度上升的情况，通过以上方法来测量一个土豆的体积，运用了（    ）数学思想方法。 A．对应 B．转化 C．统计 D．倒推 【答案】B 【详解】在测量不规则物体的体积时，经常用到转化的思想，即把不规则物体的体积转化为求规则物体的体积，如本题准备一个刻度的容器，先注入一些水，然后把土豆放入水中，观察水面高度上升的情况，通过以上方法来测量一个土豆的体积，运用了转化数学思想方法。 由分析可得，题干测量土豆体积的方法，运用了转化数学思想方法。故答案为：B 例2．（2025·河北保定·小升初模拟）在一个圆柱形的水桶里，垂直放入一段半径是2cm的圆钢，如果把它完全放入水中，桶里的水就上升10cm，如果把水中的圆钢露出水面6cm，那么这时桶里的水就下降3cm。这根圆钢的高是( )cm，体积是( )cm3。 【答案】 20 251.2 【详解】圆钢的底面积：3.14×22＝3.14×4＝12.56（cm2）露出水面的圆钢体积：12.56×6＝75.36（cm3） 水桶底面积：75.36÷3＝25.12（cm2）圆钢的体积：25.12×10＝251.2（cm3） 圆钢的高：251.2÷12.56＝20（cm）所以这根圆钢的高是20cm，体积是251.2cm3。 例3．（2025·湖北武汉·小升初真题）沙漏是古人用的一种计时仪器。如图这个沙漏里（装满沙子）的沙子一点点漏入下面的长方形木盒中，如果沙子漏完了，那么在长方形木盒中会平铺大约多少厘米高的沙子？ 【答案】0.628厘米 【详解】×3.14×（12÷2）2×10÷（30×20）＝×3.14×62×10÷（30×20）＝×3.14×36×10÷600 ＝×36×3.14×10÷600＝12×3.14×10÷600＝37.68×10÷600＝376.8÷600＝0.628（厘米） 答：在长方形木盒中会平铺大约0.628厘米高的沙子。 例4．（2025·湖南长沙·小升初真题）有甲、乙两种长方体容器。甲容器长、宽、高分别为10厘米、3厘米、10厘米，乙容器长、宽、高分别是5厘米、4厘米、15厘米。已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。如果将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？ 【答案】60立方厘米 【详解】甲容器中水的体积：10×3×10÷2＝30×10÷2＝300÷2＝150（立方厘米） 底面积之和：10×3＋5×4＝30＋20＝50（平方厘米） 高：150÷50＝3（厘米） 乙容器中水的体积：5×4×3＝20×3＝60（立方厘米）答：需要从甲容器中倒出60立方厘米的水。 变式1．（2025·浙江杭州·小升初模拟）科学组的同学们在做实验，先将两个大小相同的烧杯中，都盛有480毫升的水，再将等底等高的圆柱与圆锥实心零件（材质相同）分别放入两个烧杯中，则甲烧杯水面刻度如图所示。乙烧杯水面刻度显示应是多少毫升？ 【答案】520毫升 【详解】（毫升） （毫升） 答：乙烧杯水面刻度显示应是520毫升。 变式2．（2025·湖南长沙·小升初真题）如图①，在底面积为100平方厘米、高为20厘米的长方体水槽内放一个圆柱烧杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②所示。 （1）图②中，点_____表示烧杯中刚好注满水，点_____表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）求烧杯的底面积及注满水槽所用的时间。 【答案】（1）A；B （2）烧杯底面积是20平方厘米；注满水槽所用的时间是180秒 【详解】（1）根据分析，可知： 图②中，点A表示烧杯中刚好注满水，点B表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）设烧杯的底面积为S平方厘米、高为厘米，注水速度为每秒v立方厘米，注满水槽所用时间为秒。 由图②知，当注水18秒时，烧杯刚好注满；当注水90s时，水槽内的水面高度恰好是厘米（即烧杯高度），于是S＝18V，100＝90V，因为90V=5×18V，则有100＝5S，所以S＝100÷5＝20（平方厘米） 由图可知注满烧杯和水槽一半所用的时间比是18∶90＝1∶5， 烧杯的体积：100×10÷5＝200（立方厘米） 注水速度：200÷18＝（立方厘米/秒） 注满水槽所用时间：100×20÷＝2000÷＝2000×＝180（秒） 答：烧杯的底面积为20平方厘米，注满水槽所用的时间为180秒。 变式3．（2025·浙江温州·小升初真题）小亮要用一个底面是边长7厘米的正方形、高为15厘米的长方体容器，容器中装的水距容器口还有1厘米。现在要测量一个球形铁块的体积，当铁块放入容器中，就有部分水溢出，而当把铁块取出后，则水面下降4厘米，求铁块的体积。 【答案】196立方厘米 【详解】（立方厘米） 答：铁块的体积是立方厘米。 变式4．（25-26六年级下·成都·期中）牙膏天天使用，牙膏管口直径悄然增大，与20年前相比，国内市场上出售的牙膏管开口直径已悄悄地从4毫米增至8毫米左右。这样引发了浪费，还不利于健康。 (1)小红使用某品牌的牙膏，出口处直径是8毫米，小红按习惯每次刷牙都挤出1厘米长的牙膏，可用60次。这支牙膏的容量大约多少毫升？(2)有人曾做过推算，当牙膏管口径直径是4毫米时，能比现在的8毫米口径节约牙膏75%。你赞同他的观点吗？为什么？ 【答案】(1)30.144毫升 (2)赞同；原因见详解 【详解】（1）8毫米＝0.8厘米 3.14×（0.8÷2）2×1×60＝3.14×0.42×1×60＝3.14×0.16×1×60＝0.5024×1×60＝0.5024×60＝30.144（立方厘米） 30.144立方厘米＝30.144毫升 答：这支牙膏的容量大约30.144毫升。 （2）赞同他的观点。设高为h毫米。 3.14×（4÷2）2×h＝3.14×22×h＝3.14×4×h＝12.56h（立方厘米） 3.14×（8÷2）2×h＝3.14×42×h＝3.14×16×h＝50.24h（立方厘米） （50.24h－12.56h）÷50.24h×100%＝37.68h÷50.24h×100%＝0.75×100%＝75% 所以当牙膏管口径直径是4毫米时，能比现在的8毫米口径节约牙膏75%。 答：赞同他的观点。 变式5．（25-26六年级下·河南南阳·期中）像长方体、正方体和圆柱这样的立体图形都属于柱体。柱体的体积都可以用底面积乘高来表示，即。将图1所示圆柱沿底面半径（r）分成16等份，再按图3所示方式摆放拼成一个近似的长方体。转化后，长方体的体积等于圆柱的体积，长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高。 (1)如果圆柱切分后按图2所示方式摆放，此时长方体的底面积＝( )，长方体的高＝( )，( )。（用字母r、h、π表示） (2)把高是8cm的圆柱切分后按图3所示方式摆放，表面积增加了，这个圆柱的体积是( )。 【答案】(1) / (2)628 【详解】（1）长方体的底面积＝长×宽＝（或） 长方体的高 （2）已知， 题型7、差不变思想（原理） 【解题技巧】差不变思想，即利用等式的性质来求面积，如果S甲=S乙，那么S甲+S空白=S乙+S空白，反之亦可。 例1．（2024·湖北荆门·小升初真题）如图，三角形ABC是直角三角形，阴影部分甲比阴影部分乙的面积大28平方厘米，已知直径AB长40厘米，π取近似值3.14，求BC的长。 【答案】30厘米 【详解】甲的面积加上空白部分的面积等于以AB为直径的半圆的面积，乙的面积加上空白部分的面积等于以AB为底、BC为高的三角形的面积，由此可知，半圆的面积－三角形ABC的面积＝28平方厘米，所以半圆的面积－28＝三角形ABC的面积。 3.14×（40÷2）2÷2＝3.14×÷2＝3.14×400÷2＝1256÷2＝628（平方厘米） 628－28＝600（平方厘米） 600×2÷40＝1200÷40＝30（厘米） 答：BC的长是30厘米。 例2．（2026·四川成都·小升初模拟）如图，在一组平行线之间作了一个半圆和一个三角形，问：阴影部分甲与阴影部分乙的面积相差多少？（π取3.14） 【答案】9.12平方厘米 【详解】如图： 甲的面积﹣乙的面积，=π（8÷2）2﹣8×（8÷2）÷2=3.14××16﹣8×4÷2=25.12﹣16=9.12（平方厘米） 答：阴影部分甲与阴影部分乙的面积相差9.12平方厘米。 变式1．（25-26六年级·湖北黄冈·期末）如图，半圆的直径是10厘米，阴影部分甲比乙的面积少1.25平方厘米，求直角三角形ABO的边OA的长。 【答案】8.1厘米 【详解】根据题意可知，乙的面积－甲的面积＝1.25平方厘米，给甲、乙分别补上空白部分，它们的面积差不变，即（乙的面积＋空白部分的面积）－（甲的面积＋空白部分的面积）＝1.25平方厘米，可以得出：直角三角形ABO的面积－半圆的面积＝1.25平方厘米； 半圆的面积：3.14×（10÷2）2÷2＝3.14×25÷2＝78.5÷2＝39.25（平方厘米） 直角三角形的面积：39.25＋1.25＝40.5（平方厘米） OA的长：40.5×2÷10＝81÷10＝8.1（厘米）答：直角三角形ABO的边OA的长是8.1厘米。 变式2．（2025六年级·广东·培优）如图，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米．已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD的面积． 【答案】50平方厘米． 【详解】因为阴影部分比三角形EFG的面积大10平方厘米，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10平方厘米． 三角形EFG的面积为：10×8÷2=40（平方厘米）． 平行四边形ABCD的面积为：40+10=50（平方厘米）．答：平行四边形的面积为50平方厘米． 变式3.（2025.四川成都 六年级期中）如下图，ABCD是边长为10厘米的正方形，三角形ABF比三角形CEF的面积大20平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【解析】因为三角形ABF比三角形CEF的面积大20平方厘米，都加上梯形ADCF后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即正方形ABCD比直角三角形ADE的面积大20平方厘米，从而求得直角三角形ADE的面积，再减去直角三角形ADC的面积，即得出阴影部分的面积． 10×10－20－10×10÷2=100-20-50＝30（平方厘米）答：阴影部分的面积是30平方厘米。 题型7、容斥原理（韦恩图） 【解题技巧】容斥原理这个词可能听起来比较陌生，它还有另一个名词，重叠法。如果运用得当，掌握其精髓，在求解阴影部分面积，以及相关应用题时，能起到事半功倍的作用。本文就来重点讲一下，容斥原理在求解阴影部分面积时的妙用。 例1．（2026·成都·小升初模拟）如图，已知ABC为扇形，BDF为扇形，CBDE为长方形。CE＝6厘米，CB＝8厘米，那么图中阴影部分的面积是多少？ 【答案】平方厘米 【详解】观察图形可知，图中有3个图形重叠而成，也称为图形的容斥。现将重叠后分成的小图形进行编号，如图。可得，，，所求阴影部分。观察等量关系可得 （平方厘米）；（平方厘米） （平方厘米）；（平方厘米） 例2．（25-26六年级上·天津河西·期末）如图，正方形的边长是6厘米，以点为圆心，6厘米为半径画四分之一圆，再以点为圆心，4厘米为半径画四分之一圆。则甲阴影部分与乙阴影部分面积的差是( )平方厘米。 【答案】4.82 【详解】仔细观察图形可知：把以点为圆心，6厘米为半径的扇形叫大扇形，把以点为圆心，4厘米为半径的扇形叫小扇形，则正方形的面积＝大扇形的面积＋小扇形的面积－甲的面积＋乙的面积，即正方形的面积＝大扇形的面积＋小扇形的面积－（甲的面积－乙的面积），由此得出甲的面积－乙的面积＝大扇形的面积＋小扇形的面积－正方形的面积 3.14×÷4＋3.14×÷4－6×6＝3.14×36÷4＋3.14×16÷4－36＝3.14×（36÷4＋16÷4）－36 ＝3.14×（9＋4）－36＝3.14×13－36＝40.82－36＝4.82（平方厘米） 所以甲阴影部分与乙阴影部分面积的差是4.82平方厘米。 例3．（25-26六年级·重庆·期中）如图，两阴影部分的面积分别是S1、S2，S1－S2＝2.44平方厘米。求图中扇形所在圆的半径。 【答案】4厘米 【详解】根据图形可知，两个阴影部分的面积分别是S1，S2，由于S1－S2＝2.44平方厘米；说明上面阴影部分面积比下面阴影部分面积多2.44平方厘米，由于空白部分加上S2是扇形的面积，空白部分加S1是长方形面积，那么可知长方形面积比扇形面积多了2.44平方厘米。 （3×5－2.44）×4÷3.14＝（15－2.44）×4÷3.14＝12.56×4÷3.14＝50.24÷3.14＝16（平方厘米） 4×4＝16，扇形所在圆的半径是4厘米。 答：图中扇形所在圆的半径是4厘米。 例4．（25-26六年级·吉林·期末）求下图阴影部分的面积。（单位：米。）    【答案】6平方米 【详解】观察图形可知，阴影部分面积＝直径是3米的圆的面积一半＋直径是4米的圆的面积一半＋底是3米，高是4米的三角形面积－直径是5米的圆的面积一半。 3.14×（3÷2）2÷2＋3.14×（4÷2）2÷2＋3×4÷2－3.14×（5÷2）2÷2 ＝3.14×1.52÷2＋3.14×22÷2＋12÷2＋3.14×2.52÷2＝3.14×2.25÷2＋3.14×4÷2＋6＋3.14×6.25÷2 ＝3.5325＋6.28＋6－9.8125＝6（平方米）阴影部分的面积是6平方米。 变式1．（25-26六年级上·成都·期末）求图中阴影部分的面积。（单位：dm） 【答案】 【详解】本题考查图形的面积计算，圆的面积＝，长方形的面积＝长宽，观察图形可发现阴影部分的面积＝大圆面积的＋小圆面积的－长方形的面积。 大圆面积的：（）；小圆面积的：（） 长方形面积：（）；（）；所以阴影部分的面积是。 变式2．（2025六年级下·成都·培优）如图，已知AC＝4厘米，CB＝6厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】8.41平方厘米 【详解】观察图形可知，图中有3个图形重叠而成，也称为图形的容斥。现将重叠后分成的小图形进行编号，如图。可得，，，所求阴影部分。观察等量关系可得 （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 6.28＋14.13－12＝8.41（平方厘米） 变式3．（24-25六年级下·河南郑州·开学考试）已知等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4厘米，以AC为直径作圆，又以点B为圆心，BC为半径画弧，交BA于点D，如下图所示，计算图中阴影部分的面积之和（π取3）。 【答案】10平方厘米 【详解】3×（4÷2）2＝3×22＝3×4＝12（平方厘米） 3×42×＝3×16×＝3×16×＝6（平方厘米） 4×4÷2＝8（平方厘米） 12＋6－8＝10（平方厘米） 答：图中阴影部分的面积之和是10平方厘米。 变式4．（2024六年级下·广东·培优）如图，三角形ABC是等腰直角三角形，AC=BC=10cm，分别以A、B为圆心，以AC、BC为半径在三角形ABC内画弧，求阴影部分的面积． 【答案】28.5平方厘米 【详解】如图：阴影部分面积是扇形DBC与扇形EAC的重叠部分，所以阴影部分面积等于扇形DBC，扇形EAC面积之和减去三角形ABC的面积 3.14×102××2-×10×10=28.5（平方厘米） 变式5.（2026.成都小升初模拟）在桌面上放置个两两重叠、形状相同的圆形纸片.它们的面积都是平方厘米，盖住桌面的总面积是平方厘米，张纸片共同重叠的面积是平方厘米.那么图中个阴影部分的面积的和多少是平方厘米？ 【解析】根据容斥原理得，所以（平方厘米） 题型8、平面图形的拼切重组问题（含翻折） 【解题技巧】平面图形的拼接裁剪是小升初比较常考的图形变化问题，从知识综合与难度层次方面来看，与圆形相关的拼切裁剪问题是主要考察点，其次是特殊四边形的拼接裁剪，一般来讲，拼接裁剪造成的图形变化，相对容易理解，可以尝试画出示意图再观察变化特点。 例1．（25-26六年级上·湖南张家界·期末）像这样把一个三角形沿虚线折叠后得到图2，这个多边形的面积是原三角形面积的，已知图2中阴影部分的面积和为24平方厘米，那么原三角形的面积是( )平方厘米。 【答案】56 【详解】把原三角形的面积看作单位“1”。多边形白色部分的面积相当于原三角形面积的（1－）。阴影部分的面积相当于原三角形面积的（）。根据对应量除以对应分率等于单位“1”的量解决。 1－ ＝＝＝56（平方厘米） 所以，原三角形的面积是56平方厘米。 例2．（25-26六年级上·江苏宿迁·期中）桌上有一张长15厘米的长方形纸片，折叠后得到图形所覆盖桌面的面积是原来长方形面积的。已知阴影部分的面积是15平方厘米，那么原来长方形的面积是( )平方厘米，阴影部分的周长是( )厘米。 【答案】 75 40 【详解】①设重叠部分的面积为平方厘米，则纸片折叠后所覆盖桌面的面积是平方厘米，原长方形的面积是平方厘米，则 即原来长方形的面积是75平方厘米； ②（厘米） 即阴影部分的周长是40厘米。 例3．（24-25六年级下·福建厦门·期中）如下图，取一张长60cm、宽5cm的长方形纸条，使两条宽相对，然后把其中一边的纸条扭转，与相对的另一边连接，用固定胶粘起来，一只蚂蚁从某点开始沿着所标出的线爬行，直到回到出发点为止，它爬行的距离是（    ）cm。 A．60 B．65 C．120 D．180 【答案】C 【详解】据题意得：按照题中扭转方法，蚂蚁沿着标线爬的路程是长方形纸条长的2倍，即60×2＝120（厘米）。故答案为：C 例4．（24-25六年级·江苏·期中）如图，把正方形剪成一个特殊的三角形。 (1)∠1＝( )°，∠2＝( )°。 (2)如果正方形的边长是5厘米，那么得到的三角形的周长是( )厘米。 (3)如果把这个特殊的三角形沿虚线剪去一个角（如图），在剩下的四边形中，∠3＋∠4＝( )°。 【答案】(1) 30 60(2)15(3)240 【详解】（1）60°÷2＝30°，所以∠1＝30°，∠2＝60°。 （2）5＋5＋5＝15（厘米），那么得到的三角形的周长是15厘米。 （3）360°－60°－60°＝240°，所以∠3＋∠4＝240°。 变式1.（25-26六年级·北京·期末）折叠一张长方形纸ABCD，如图，折叠时，C点和A点重合，产生折痕为EF。量得AE长22厘米，如果长方形的宽是20厘米，折叠后图形的面积比原来长方形面积少了( )平方厘米。 【答案】220 【详解】折叠后图形减少的面积等于三角形CEF面积，三角形CEF底边长度等于AE长度、三角形CEF的高是长方形的宽。20×22÷2＝440÷2＝220（平方厘米） 变式2．（24-25六年级上·江苏无锡·期末）如图，桌上有一张梯形纸片，折叠后，得到图形所覆盖桌面的面积是原来梯形面积的，已知阴影部分的面积是4平方厘米，原来梯形的面积是( )平方厘米。 【答案】20 【详解】把原来梯形的面积看作单位“1”，折叠后，得到图形所覆盖桌面的面积是原来梯形面积的，则①＋②＋③＋④的面积是原来梯形面积的，②＋④＝⑤，也就是说①＋③＋⑤的面积是原来梯形面积的，而①＋③＋④＋⑤的面积就是原来梯形的面积，那么④的面积占原来梯形面积的1－＝，阴影部分的面积占原来梯形面积的－＝。 1－＝ 4÷（－）＝4÷＝4×5＝20（平方厘米） 所以，原来梯形的面积是20平方厘米。 变式3．（2025六年级·江苏培优）如图1，长方形木块长12厘米、宽5厘米，长方形的对角线长13厘米，正方形木桩边长为17厘米。木块从图1的位置开始，沿木桩的边缘滚动，滚动过程如图2、图3所示。木块滚动一周后回到原位置，那么点A经过的路径长 厘米。（π＝3） 【答案】129 【详解】如图： 通过观察可知，点A经过的路径＝一个半径是5厘米的圆周长的一半＋一个半径是13厘米的圆周长＋一个半径是12厘米的圆周长的一半，。 2×3×5÷2＋2×3×13＋2×3×12÷2＝15＋78＋36＝129（厘米） 点A经过的路径长129厘米。 题型9、立体图形的拼切重组问题 【解题技巧】几何体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相应增加，二是是拼接问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。 例1．（2025·湖北武汉·小升初真题）小刚在手工课上拿到一根高30厘米的圆柱形木棒，如图所示，将它截成相同的两段后，表面积比原来增加了50.24平方厘米。小刚想把其中一段木棒削成一个最大的圆锥体摆件，削去的体积是多少立方厘米？ 【答案】251.2立方厘米 【详解】50.24÷2＝25.12（平方厘米） 30÷2＝15（厘米） 25.12×15×（1－）＝376.8×＝251.2（立方厘米） 答：削去的体积是251.2立方厘米。 例2．（2025·吉林长春·小升初真题）如图是几个相同小正方体拼成的大正方体，由AB向C点斜切，没被切到的小正方体有（    ）个。 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【详解】如图：该正方体是由8个小正方体组成，设AB的中点为D点，从D点切到C点一定经过3号正方体上面的正方体，所以被切到的正方体有4个，没被切到的也是4个；故答案为：B 例3．（2025·云南昆明·小升初真题）阅读下面资料，解决问题。 生物在进化过程中，为了求得生存，有些动物的骨、植物的茎是空心的，而且截面的内圆直径和外圆直径之比大约都是8∶11，研究表明，当一根空心管的底面的内圈直径和外圆直径之比是8∶11时最不容易弯曲。根据这个研究，人们制成了空心零件、自行车的车身架等，以达到耗费最少材料而使其最坚固的目的。 （1）要加工这样一个零件，有一块长方体木料（如图1），先把这块木料加工成一个圆柱。这个圆柱的体积是多少？（π取3）；（2）按照上面的研究，用刚才加工的圆柱制作这样一个零件（如图2）。这个零件底面的内圆直径是多少厘米？（3）这个零件（如图3）的体积是多少立方厘米？（π取3） 【答案】（1）3630立方厘米（2）16厘米（3）1710立方厘米 【详解】（1）（立方厘米） 答：这个圆柱的体积是3630立方厘米。 （2）设内圆直径为厘米， ；；；； 答：这个零件底面的内圆直径是16厘米。 （3）（立方厘米）；（立方厘米） 答：这个零件（如图3）的体积是1710立方厘米。 例4．（2025·浙江宁波·小升初真题）下图中明明用6个体积是1立方厘米的小正方体，测量了长方体木块的长、宽、高。请根据图中信息算一算。 （1）这个长方体木块的表面积是多少平方厘米？ （2）如果把这个长方体木块削成一个圆柱，能削成的圆柱体积最大是多少立方厘米？ 【答案】（1）52平方厘米；（2）14.13立方厘米 【详解】（1）1×4＝4（厘米），1×3＝3（厘米），1×2＝2（厘米）。 （4×3＋4×2＋3×2）×2＝（12＋8＋6）×2＝26×2＝52（平方厘米） 答：这个长方体木块的表面积是52平方厘米。 （2）3.14×（3÷2）2×2＝3.14×1.52×2＝3.14×2.25×2＝7.065×2＝14.13（立方厘米） 答：削成的圆柱体积最大是14.13立方厘米。 变式1．（2025·重庆江北·小升初真题）如图所示，从长、宽、高为15，5，4的长方体中切除一块长、宽、高为y，5，x的长方体（x，y为整数），余下部分的体积为120，求和。 【答案】； 【详解】 解： 从图中可知，x是切除部分的高，因此（且x为整数）；y是切除部分的长，因此（且y为整数）。对进行整数分解：；；； 时，（，符合）。答：，。 变式2．（25-26六年级上·江苏泰州·期中）用9个如图甲所示的小长方体拼成一个如图乙所示的大长方体，已知小长方体的体积是750立方厘米，则大长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】2250平方厘米 【详解】假设小长方体的高为a，则长为3a，宽为3a×2÷3＝2a。3a×2a×a＝6a3 所以6a3＝750；6a3÷6＝750÷6；a3＝125 因为5×5×5＝125；所以a＝5；所以小长方体的长是：3×5＝15（厘米） 小长方体的宽是2×5＝10（厘米）；小长方体的高是1×5＝5（厘米） 大长方体的长：15×2＝30（厘米）；大长方体的宽：15×1＝15（厘米）；大长方体的高：10＋5＝15（厘米） （30×15＋30×15＋15×15）×2＝（450＋450＋225）×2＝1125×2＝2250（平方厘米） 答：大长方体的表面积是2250平方厘米。 变式3．（25-26六年级上·江苏扬州·期末）下图是用棱长为1厘米的小正方体摆成的物体，现将它靠墙摆放，露在外面的面积是( )平方厘米，如果在它的表面贴上装饰画（靠墙面、地面除外），三个面都有装饰画的小正方体有( )个。 【答案】 27 4 【详解】（1）计算露在外面的面积；每个小正方体的一个面的面积为1×1＝1平方厘米。物体靠墙摆放，我们只需数出正面、右面、上面三个方向的外露面数量。 正面：可以看到9个小正方形的面。 右面：可以看到9个小正方形的面。 上面：可以看到9个小正方形的面。总外露面数为9×3＝27个，因此露在外面的面积为27×1＝27平方厘米。 （2）统计三个面都有装饰画的小正方体“三个面都有装饰画” 意味着小正方体的正面、右面、上面都外露。我们逐层排查： 底层：1个；中层：1个；顶层：2个。1＋1＋2＝4个，因此，共有4个小正方体三个面都有装饰画。 变式4．（25-26六年级上·江苏泰州·期末）在透明的长方体盒子内放置棱长为1cm的小正方体，如图所示，这个透明长方体盒子内最多还能再放( )个这样的小正方体。 【答案】78 【详解】1×6＝6（个） 1×5＝5（个） 1×3＝3（个） 6×5×3－12＝30×3－12＝90－12＝78（个） 在透明的长方体盒子内放置棱长为1cm的小正方体，如图所示，这个透明长方体盒子内最多还能再放78个这样的小正方体。 变式5．（25-26六年级上·江苏南京·期中）东东想要在一个棱长5厘米的正方体上挖去一块长5厘米，宽和高都为1厘米的小长方体，在图（    ）的位置挖去后剩下部分的表面积最大。 A． B． C． 【答案】B 【详解】A．5×5×6－1×1×2＝150－2＝148（平方厘米） B．5×5×6＋5×1×4－1×1×2＝150＋20－2＝168（平方厘米） C．5×5×6＋5×1×2－1×1×2＝150＋10－2＝158（平方厘米） 168＞158＞148；在图的位置挖去后剩下部分的表面积最大。故答案为：B 1．（2025·辽宁沈阳·小升初真题）淘气借助旋转的方法探索图形之间的面积关系。他将图①中的小三角形绕它的中心旋转得到图②，发现小三角形的面积是大三角形的。用这种方法，图③中小正方形的面积是大正方形的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】旋转图③中的小正方形，使得小正方形四个顶点分别旋转到大正方形每条边长的中心位置，可以把大正方形平均分成8份，小正方形占了其中的4份，小正方形的面积是大正方形的。故答案为：A 2．（25-26六年级上·河南周口·期中）如图，从一个长方体木块上边和下边分别截去高为2厘米和3厘米的长方体后，便成为一个正方体，表面积比原来减少了120平方厘米，原来长方体的体积是（    ）立方厘米。 A．360 B．396 C．400 【答案】B 【详解】截去总高：2＋3＝5（厘米） 底面周长：120÷5＝24（厘米） 底面边长：24÷4＝6（厘米） 原长方体高：6＋5＝11（厘米） 体积：6×6×11＝36×11＝396（立方厘米）所以原来长方体的体积是396立方厘米。故答案为：B 3．（24-25六年级下·广西梧州·期中）在一个面积是113.04cm2的圆内画一个最大的正方形，继续在这个正方形内画一个最大的圆，正方形内的圆的面积是（    ）cm2。 A．56.52 B．36 C．28.26 D．14.13 【答案】A 【详解】113.04÷3.14＝36（cm2） 因为6×6＝36，所以外圆半径是6cm。 外圆直径是：6×2＝12（cm） 正方形的面积是：12×6÷2×2＝72÷2×2＝36×2＝72（cm2） 设内圆的半径是cm。内圆的直径是正方形的边长，所以： 内圆面积是：3.14×18＝56.52（cm2） 正方形内的圆的面积是56.52cm2。 4．（2025六年级下·江苏·专题练习）如图（单位：厘米），阴影部分的面积是（    ）平方厘米。取 A．50.24 B．18.24 C．32 D．16 【答案】B 【详解】阴影面积是一个不规则图形，可以利用割补法和移补法，将左下角正方形的阴影部分移补到右上角小正方形左上角的空白处，如图：这样阴影部分的面积＝以8厘米为半径的扇形BAD面积＋长方形BCFE面积－大正方形ABCD的面积。扇形面积公式：S＝πR2，正方形的四个角是直角90°，所以扇形的圆心角是90°，据此列式解答即可。 根据分析：4＋4＝8（厘米） ×π×82＝×3.14×64＝50.24（平方厘米） 4×8＝32（平方厘米） 8×8＝64（平方厘米） 50.24＋32－64＝18.24（平方厘米） 阴影部分的面积是18.24平方厘米。故答案为：B 5．（2025六年级下·江苏·培优）如图，半圆的半径是4厘米，图形甲面积比图形乙面积大1.12平方厘米，则BC的长为 。 【答案】6厘米 【详解】观察图形可知，图为一个直角三角形和一个半圆重叠而成，重叠部分（空白部分）面积相等。，，可知与的差为与的差。 （平方厘米） （平方厘米） 4×2＝8（厘米） 24×2÷8＝6（厘米） 6．（25-26六年级上·贵州贵阳·期末）通常意义下的魔方，是指狭义的三阶魔方（即6个面，每个面各有三行三列可活动的小方块），形状通常是正方体。现有一个正方体魔方，表面均涂有颜色，若其中只有一面涂色的小方块有24个，则这个魔方是( )阶魔方，这个魔方两面涂色的小方块有( )个。 【答案】 四 24 【详解】解：设这个魔方是n阶魔方。 6（n－2）2＝24 （n－2）2＝24÷6 （n−2）×（n－2）＝2×2 n−2＝2 n＝2＋2 n＝4 两面涂色数量：12×（4－2）＝12×2＝24 所以，这个魔方是四阶魔方，这个魔方两面涂色的小方块有24个。 7．（25-26六年级上·江苏苏州·期末）如图，两条线段把一个长方形分成甲、乙、丙三个三角形，甲的面积比乙大25平方厘米，乙与丙的面积比是6∶5，则原来长方形的面积是( )平方厘米。 【答案】110 【详解】乙与丙的面积比，丙的面积是乙的。 甲比乙大25平方厘米，丙的面积为25 平方厘米。 乙的面积：（平方厘米） 乙与丙的面积和：（ 平方厘米） 长方形面积： （ 平方厘米）所以原来长方形的面积是110平方厘米。 8．（2025·湖北武汉·小升初真题）如图，在三角形ABC中，D、E分别为线段AC、BC上的点，且CD＝3AD，BE＝2EC，连接AE、BD，交于点F，若三角形ADF的面积为1，则三角形ABC的面积为______。 【答案】36 【详解】因为CD＝3AD，＝1，且△ADF和△CDF的高相等，所以＝1×3＝3。 即：＝＋＝1＋3＝4。 在△ABF和△ACF中，底都是AF，且BE＝2EC， 所以＝2＝2×4＝8；＝＋＝8＋1＝9； 在△ABD和△BDC中，CD＝3AD，且高相同，所以＝3＝9×3＝27； 所以＝＋＝27＋9＝36。 9．（2026六年级下·成都·培优）如图阴影部分的面积是50平方米，圆环面积是( )平方米。 【答案】314 【详解】观察图形可知，圆环面积无法直接根据公式求出，题中给出的信息为阴影部分面积，阴影部分面积利用整体减空白部分来求。50×2＝100（平方米） 3.14×100＝314（平方米） 10．（25-26六年级上·天津南开·期末）下图中阴影部分的面积是，圆环的面积是( )。 【答案】15.7 【详解】大圆半径²－小圆半径²＝5cm² 圆环面积＝π大圆半径²－π小圆半径²＝π×（大圆半径²－小圆半径²）＝π×5＝3.14×5＝15.7（cm²） 所以圆环的面积是15.7 cm²。 11.（25-26六年级上·北京朝阳·期末）如图，涂色部分的三角形面积是12cm2，那么图中一个小圆的面积是( )cm2。 【答案】12.56 【详解】由图可知，大圆的半径R为小圆的半径r的2倍，即R＝2r；涂色部分的三角形的底长为2r，高为R＋r＝2r＋r＝3r，根据三角形的面积＝底×高÷2＝2r×3r÷2＝3r2，则用三角形的面积12cm2除以3即可求出r2的值，再根据圆的面积＝即可求出小圆的面积。 12÷3×3.14＝4×3.14＝12.56（cm2）即一个小圆的面积是12.56cm2。 【点睛】根据图中找到大圆半径，小圆半径以及三角形的底和高的关系，由此即可计算。 12．（25-26六年级下·四川成都·校考期末）如图，在一个三角形中剪掉一个最大的正方形，剩下的阴影部分的面积是( )。 【答案】99 【详解】如图：把小阴影三角形以O点为旋转中心，逆时针旋转90°，则红色阴影的小三角形就是原黑色小阴影三角形，剩下的阴影部分的面积就转化成红色小三角形与大黑色直角三角形组成的底为9、高为22的直角三角形，根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据解答即可。 9×22÷2＝9×（22÷2）＝9×11＝99 所以剩下的阴影部分的面积是99。 13．（24-25六年级下·浙江·期末）长方形的长10cm，宽4.8cm，沿对角线对折后，得到如图的几何图形，阴影部分的周长是( )cm。 【答案】29.6 【详解】（10＋4.8）×2＝14.8×2＝29.6（cm） 所以阴影部分的周长是29.6cm。 14．（25-26六年级下·重庆·期中）做一做，剪一剪。 （1）用剪刀沿着“莫比乌斯带”的中线剪开，你有什么发现？ （2）如果沿着“莫比乌斯带”边缘的一宽度的地方一直剪下去，你有什么发现？ 【答案】（1）纸带会变成一个更大的细纸环。（2）一个小环套着一个大环。 【详解】（1）用剪刀沿着“莫比乌斯带”的中线剪开， 发现：纸带会变成一个更大的细纸环。 （2）如果沿着“莫比乌斯带”边缘的一宽度的地方一直剪下去，发现：一个小环套着一个大环。 15.（2026六年级下·江苏·培优）如图，有三个面积各为20平方厘米的圆纸片放在桌上．三个纸片共同重叠的面积是8平方厘米，三个纸片盖住桌面的总面积是36平方厘米．图中阴影部分的面积之和是多少平方厘米？ 【答案】8平方厘米 【详解】根据本题题意和容斥原理知道，从三个圆片的总面积里去掉盖住桌面的总面积以及三张纸片重叠的面积的2倍（因为是两个重叠在一起，所以乘2）．20×3-36-8×2=60-36-16=8（平方厘米） 答：图中阴影部分的面积和是8平方厘米． 16．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）如图，在梯形ABCD中，，。若的面积比的面积小8平方厘米，求梯形ABCD的面积。 【答案】83平方厘米 【详解】因为＝8（平方厘米）；所以＝ ＝＝＝8（平方厘米） 假设梯形的高为h，则△ABE和△ABD的高都为h： ＝（×BE×h）∶（×AD×h）＝BE∶AD＝7∶5 已知＝7∶5，（平方厘米），按比分配，先求一份量，再求多份量： 一份量：8÷（7－5）＝8÷2＝4（平方厘米） ＝4×7＝28（平方厘米）； ＝4×5＝20（平方厘米） ＝（×BE×h）∶（×BC×h）＝BE∶BC＝4∶9 已知＝4∶9，＝28（平方厘米），按比分配求△DBC的面积： ＝28÷4×9＝7×9＝63（平方厘米） ＝＝20＋63＝83（平方厘米） 答：梯形ABCD的面积是83平方厘米。 17．（24-25六年级下·山东·期末）求阴影部分的面积（单位：cm）。    【答案】6.86cm2 【详解】观察图形可知，阴影部分的面积＝梯形的面积－圆的面积－直角三角形的面积 梯形的面积：（2＋4）×（2＋4）÷2＝6×6÷2＝18（cm2） 圆的面积：3.14×22×＝3.14×4×＝3.14（cm2） 直角三角形的面积：4×4÷2＝8（cm2） 阴影部分的面积：18－3.14－8＝6.86（cm2）阴影部分的面积是6.86cm2。 18．（24-25六年级下·浙江温州·期末）求阴影部分的面积。（单位：厘米）    【答案】28.5平方厘米 【详解】如下图，连接BD。阴影①和阴影②的面积和＝以BC为直径的半圆面积－△BDC的面积；阴影③的面积＝以AB为半径的圆面积的－△ABD的面积；用阴影①和阴影②的面积和加上阴影③的面积即可求出图中阴影部分的面积。因为△ABC是等腰直角三角形，所以△BDC和△ABD是完全一样的等腰直角三角形，即△BDC的面积和△ABD的面积相等，都等于△ABC面积的一半。      [3.14×（10÷2）2÷2－10×10÷2÷2]＋[3.14×102×－10×10÷2÷2] ＝[3.14×52÷2－100÷2÷2]＋[3.14×100×－100÷2÷2]＝[3.14×25÷2－25]＋[314×－25] ＝[78.5÷2－25]＋[39.25－25]＝[39.25－25]＋[39.25－25]＝14.25＋14.25＝28.5（平方厘米） 19．（24-25六年级下·陕西咸阳·期末）如图BC＝12cm，CD＝DE＝6cm，①与②两阴影部分的面积的差（较大的减去较小的）是多少？ 【答案】12.78cm2 【详解】如下图所示，用③表示一块阴影部分的面积，则①－②＝（①＋③）－（②＋③）。用半径是12cm的大扇形的面积减去半径是6cm的小扇形的面积即可得出①与③两阴影部分的面积之和，而②与③两阴影部分的面积之和等于长方形的面积，那么用大扇形的面积减去小扇形的面积，再减去长方形的面积，即可求出①与②两阴影部分的面积的差。图中扇形的面积是整圆面积的，根据S＝πr2求出整圆面积，再除以4分别求出两个扇形的面积；根据长方形的面积＝长×宽，求出长方形的面积。最后根据上面的分析结果进行解答。 ＝3.14×27－72（cm2） 答：①与②两阴影部分的面积的差是12.78cm2。 20．（25-26六年级·江苏·期末）数学思考：如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形BC边上的中点，求空白部分的面积。（单位：平方厘米）。 【答案】87.5平方厘米 【详解】如下图所示；连接PB，P点为半圆周的中点，作三角形PAB的高PG，则G是AB的中点，所以PG的长度为正方形的边长加半圆的半径，正方形的边长是10厘米，半圆的直径是10厘米，所以PG的长度是10＋10÷2＝15厘米，所以三角形PAB的面积是10×15÷2＝75平方厘米；Q点为正方形一边的中点，所以三角形PBQ的面积是5×5÷2＝12.5平方厘米，据此列式解答即可。 10×15÷2＝150÷2＝75（平方厘米） 5×5÷2＝25÷2＝12.5（平方厘米） 75＋12.5＝87.5（平方厘米） 答：空白部分的面积是87.5平方厘米。 21．（2024·浙江宁波·小升初真题）（如图）一个圆锥和圆柱拼接成透明模具，小仑装了一些水，正放时水的高度是6厘米，倒放时无水部分高14厘米，这个模具的容积是多少毫升？ 【答案】1004.8毫升 【详解】3.14×（8÷2）2×6＋3.14×（8÷2）2×14＝3.14×42×6＋3.14×42×14＝3.14×16×6＋3.14×16×14 ＝3.14×16×（6＋14）＝3.14×16×20＝1004.8（立方厘米） 1004.8立方厘米＝1004.8毫升 答：这个模具的容积是1004.8毫升。 22．（2026六年级下·山东·专题练习）求阴影部分的面积，如图，正方形ABCD的边长是4厘米，E、F、G、H是正方形各边上的中点，请计算四个扇形的弧围成的阴影部分面积。 【答案】8平方厘米 【详解】如下图箭头所示移动阴影部分，这样阴影部分的面积＝正方形的面积－4个等腰直角三角形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算即可求解。 （平方厘米） 答：四个扇形的弧围成的阴影部分面积是8平方厘米。 23．（2025六年级下·成都·培优）如图，AB是以点0为圆心的半圆的直径，C、D是弧AB的三等分点，点E是线段AB上的任意点，已知圆0的半径为3，那么图中阴影部分的面积是多少？ 【答案】9.42 【详解】连接CD、OC、OD，观察图形，根据题意，AB∥CD，所以△OCD与△ECD等底等高，所以，根据图形可知，阴影部分面积＝半圆面积－扇形OCD的面积。因为C、D是弧AB的三等分点，所以，所以阴影部分面积为半圆面积。 3.14×÷2＝14.13； 24．（2025·重庆江北·小升初真题）图（1）和图（2）是以正方形和等边三角形为面的立体图形的展开图，图中所有的边长都相同，请问：图（1）能围起来的立体图形的体积是图（2）能围起来的立体图形的体积的几倍？ 【答案】20倍 【详解】首先，把展开图折成立体图形，见下列示意图： 采用“套模法”，即用一个熟悉的基本立体图形来套，这样做基于两点考虑，一是如果有类似的模型，可以直接应用其计算公式；二是如果可以补上一块或者放到某个模型里面，那么可以从这个模型入手．我们把图（1）中的立体图形切成两半，再转一转，正好放进去。我们看到图（1）与图（3）的图形位置的关系： 由图（4）可见，图（1）这个立体的体积与图（3）这个被切去了8个角后的立体图形的体积相等。 设立方体的1条边的长度是1。 ； 答：图（1）能围起来的立体图形的体积是图（2）能围起来的立体图形的体积的20倍。 25．（2026·浙江宁波·小升初模拟）我市游泳健身中心的室内泳池长50米，宽25米。最浅处水深1.2米，最深处水深1.6米。 （1）“泳池的容积是多少立方米？”对这一数学问题以下两位同学展开过论。请据他们的思考过程解决问题。 ①小朱同学：“它不是一个长方体，但可以通过割或补的方法（如下图），就可以变成长方体了，所以它的容积大小范围就在（    ）立方米和（    ）立方米之间。” ②小锋同学：“两个完全一样的泳池可以拼成一个大长方体（如下图）。这样就能计算出它的容积啦。” 请根据小锋的方法计算该泳池的容积。 （2）如果在空的泳池内以均匀的注水速度（140立方米/小时）往池内灌水，选一选，下面哪幅图能表示出泳池最深处水位的变化情况？（    ） （3）根据以上信息综合思考。第（2）题图中的a表示的数是（    ）小时。 【答案】（1）①1500；2000；②1750立方米；（2）C；（3）12.5 【详解】（1）①50×25×1.2＝1500（立方米） 50×25×1.6＝2000（立方米） 所以容积大小范围就在1500立方米和2000立方米之间。 ②50×25×（1.6＋1.2）÷2＝1250×2.8÷2＝3500÷2＝1750（立方米）答：泳池的容积是1750立方米。 （2）根据分析得，下面图C能表示泳池最深处水位的变化情况。 （3）1750÷140＝12.5（小时） 所以图中的a表示的数是12.5小时。 2 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