专题13 有理数的除法与乘除混合运算-2025年小升初数学无忧衔接（北师大版2024）

专题13 有理数的除法与乘除混合运算 预习目标 1 新课轻松学 1 新知速通 2 题型探究 3 题型1、有理数的除法运算 3 题型2、有理数除法法则的辨析 4 题型3、有理数乘除法的混合运算 5 题型4、有理数除法的简算 7 题型5、有理数除法与绝对值结合 9 题型6、利用有理数除法辨别符号问题 11 题型7、有理数除法的应用 12 题型8、有理数除法的新定义问题 14 基础通关 16 拓展提优 20 1. 理解有理数除法的意义，掌握有理数除法的法则，正确进行有理数的除法运算； 2. 在归纳、探索有理数法则的过程中体“转化”的思想； 3. 能利用有理数的除法解决生活中的实际问题； 4. 熟练掌握有理数混合（加减乘除）运算及相关运算律，培养运算能力及良好的习惯． 5. 体会“分类”、“归纳”、“转化”的数学思想，培养严谨的科学态度。 【思考1】江苏南京2025年春节一周的最低气温的平均值是多少？ 【思考2】能否根据除法的乘法逆运算，以及小学学习过的除法运算的经验，计算江苏南京2025年春节一周的最低气温的平均值？ 【乘除号的历史】你知道吗，以符号“×”代表乘是谁创造的呢？对了，他就是英国数学家奥特雷德首创的。奥特雷德对数学符号的发展产生很大的影响，他大量的运用符号代替冗杂的算数描述。他是在其著作《数学之钥》中首次以“×”表示两数相乘，即现代的乘号，后日渐流行。 在四种运算符号中，最复杂的就是除法的符号“÷”了，除法符号“÷”率先是英国的沃利斯最初使用的，后来在英国和全世界得到了推广。 【除法的高光时刻】在古代，人们还没有像我们现在这样便捷的计算器和电脑，在进行除法运算时则显得略有困难。于是，古代的智者们便开始钻研除法，发明了许多算法来简化除法运算。其中的代表算法之一，就是辗转相除法，也称欧几里得算法，是数学中一个求解最大公约数的重要方法，也可以用来执行简单的除法运算。首次被详细描述在欧几里得的《几何原本》第七卷，早在中国东汉时期的《九章算术》中也有所体现。辗转相除法的历史悠久，起源于公元前300年左右的欧几里得时代，它不仅限于自然数，19世纪后被推广至高斯整数和一元多项式等领域，推动了现代抽象代数的发展，如欧几里得整环。它在音乐节奏生成、密码学（如RSA算法）中起着关键作用，还能解丢番图方程，寻找满足中国剩余定理的数，以及在有限域的倒数计算和连分数构造等领域得到应用。 1.有理数的除法法则1 除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 2.有理数的除法法则2 两个不等于0数相除，同号得正，异号得负，且把绝对值相除，商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。 3.有理数的除法法则3 除以任何一个不等于的数，都得。 4.有理数除法的运算步骤 先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 5.有理数的乘除混合运算步骤 先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 注意： 1）乘除混合运算要“从左到右”运算，有括号的先算括号里面的，分数可以理解为分子除以分母． 2）若被除数是和的形式，则可以把除数分配给“和”中的每一个数，其原理为乘法分配律；若除数是和的形式，则不能把被除数分配给“和”中的每一个数。 题型1、有理数的除法运算 【解题技巧】有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 例1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 例2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 例3．（24-25七年级上·云南楚雄·期末）已知，且，则的值是（　　　） A．6 B． C． D． 例4．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）下列各式中，与的运算结果相同的是（   ） A． B． C． D． 例5．（24-25六年级上·上海青浦·期中）在数字6、、5、1、中抽取两个数相除，所得的商最小是 ． 变式1．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： (1) (2) (3) (4) 变式2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：． 变式3．（24-25七年级下·全国·假期作业）《九章算术》是中国古代第一部数学专著．它介绍了分数除以分数的另一种方法：先通分，再把分子直接相除．例如：．下面（ ）是采用这种方法计算的． A． B． C． D． 变式4．（24-25七年级下·陕西榆林·开学考试）某同学在计算时，误将“”看成“+”而算得结果是，则的正确结果是 ． 变式5．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知，， (1)若，求的值； (2)若，求． 题型2、有理数除法法则的辨析 【解题技巧】有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右。 例1．（24-25七年级上·全国·假期作业）下列说法正确的是（ ）（多选题） A．互为相反数的两数相除商必等于1 B．非零的两数相除，同号得正，异号得负； C．大于1的两数之积一定大于任何一个因数 D．小于1的两数之商一定小于被除数 例2．（24-25·浙江·七年级统考期末）如果，则的值与0的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 例3．（24-25七年级上·广东广州·期中）如果，，那么下列成立的是（   ） A．， B．， C．， D．， 变式1．（23-24七年级上·浙江温州·期中）若两个数的商是正数，则下列选项中一定成立的是（    ） A．这两数的和为正数 B．这两数的差为正数 C．这两数的积为正数 D．这两数的和、差、积的正负都不能确定 变式2．（24-25·江苏·七年级阶段练习）已知a，b为有理数，则下列说法正确的个数为（      ） ①若，，则，． ②若，，则，且． ③若，，则，． ④若，，则，且． A．1 B．2 C．3 D．4 变式3．（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知实数，，满足，，则，，中正数的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型3、有理数乘除法的混合运算 【解题技巧】先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 注意：乘除混合运算要“从左到右”运算．分数可以理解为分子除以分母。 例1．（24-25七年级下·山东青岛·开学考试）下列计算①；②；③；④，正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 例2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 例3．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 例4．（24-25七年级上·贵州毕节·阶段练习）下面是小虎同学的计算； ＝……第①步 ＝……第②步 ＝……第③步 (1)请指出第 步错误 (2)写出正确的解答过程． 变式1．（24-25七年级上·河南商丘·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列计算正确的是 （    ） A． B． C． D． 变式3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 变式4．（2023·山东·七年级专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 题型4、有理数除法的简算 【解题技巧】同有理数的乘法运算技巧类似。 例1．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 例2．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）计算： (1) (2) (3) 例3．（24-25七年级上·山东临沂·期末）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目： 计算：，看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下： 聪聪：原式． 明明：原始． (1)上面的解法对你有何启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来； (2)用你认为最合适的方法计算：． 例4．（24-25七年级上·云南文山·期中）阅读下列材料，计算：． 小云的方法：原式； 小南的方法：先计算原式的倒数，，故原式等于． (1)你认为小云的方法对吗？如果不对，请按照有理数混合运算法则给出正确做法； (2)小南的方法你学会了吗？请你根据你的所学所悟计算：． 变式1．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）下列算式中运用分配律带来简便的是（　　） A． B． C． D． 变式2．（24-25·成都市七年级课时练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 变式3．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)；（用简便方法计算） (6)； 变式4．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）阅读下面材料： 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数，故原式． (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法______是错误的； (2)请你进行简便计算：． 题型5、有理数除法与绝对值结合 例1．（2025·山东济南·二模）已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 例2．（2024·山东青岛·一模）设a，b，c为有理数，则由构成的各种数值是 ． 例3．（24-25七年级上·陕西西安·期中）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，那么的值是（   ） A．4 B．2 C．0 D． 例4．（23-24七年级上·安徽滁州·期中）下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则； ⑤已知、、均为非零有理数，若，，，则的值为2或． 其中，正确的结论是 （填写序号）． 例5．（24-25七年级上·山西晋中·期末）我们知道，所以当时，；当时，．下列结论序号正确的是（   ） ①已知，是有理数，当时，的值为或； ②已知，是不为0的有理数，当时，则的值为； ③已知，，是有理数，，，则或； ④已知，，是非零的有理数，且，则的值为或； ⑤已知，，是非零的有理数，，则的所有可能的值为； A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 变式1．（23-24七年级上·四川达州·期中）若，则的值可能是（    ） A．1和3 B．和3 C．1和 D．和 变式2．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）若有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则 ． 变式3．（24-25七年级上·全国·期中）已知有理数a、b、c满足，则 ． 变式4．（23-24七年级上·河南平顶山·阶段练习）已知，且．则的值为（    ） A．0 B．0或1 C．或或 D．或或 变式5．（24-25七年级上·山东德州·期中）下列说法正确的序号是（   ） ①已知，是非零的有理数，若，则； ②若，为两个负有理数且，则； ③已知，，是非零的有理数，若，则结果的符号为正； ④已知，，是非零的有理数，且时，则的值为1或−3； A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 题型6、利用有理数除法辨别符号问题 例1．（24-25七年级上·四川绵阳·期末）已知a，b，c是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，若， 则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25七年级上·重庆石柱·期中）数轴上，，三个数表示的点如图所示，则下面结论正确的个数是（   ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 例3．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）已知a，b为实数，下列说法：①若，且c，b互为相反数，则；②若，则是正数；③若，则；④若，，且，则，其中正确的是 ．（填序号，填不全得1分，不填或有错误答案均得0分）． 变式1．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）已知a，b为有理数，下列式子：①；②；③；④．其中一定能够表示a，b异号的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，数轴上点A，B，C对应的有理数分别为a，b，c，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 变式3．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a、b，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号为 ． 变式4．（24-25八年级上·四川眉山·期中）如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a，b，下列结论中不正确的是（　　） A． B． C． D． 题型7、有理数除法的应用 【解题技巧】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。 例1．（23-24七年级上·湖北恩施·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支依次相配，每个组合代表××年，60年为一个循环．如表，我们把天干、地支按顺序排列，给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数以2022年为例：天干为：；地支为：．对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年，那么2053年为农历 年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 例2．（24-25七年级下·山西晋城·期中）某校准备购买一批如图所示的新课桌和椅子，已知购买3张课桌和1把椅子共需要350元，购买1张课桌和3把椅子共需要250元，则购买1张课桌和1把椅子共需要（    ） A．140元 B．150元 C．160元 D．180元 例3．（24-25七年级上·四川广安·期末）近年来，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．某汽车生产厂家去年前七个月的新能源汽车销售数据记录如下表，以每月销售10万辆为标准，多于10万辆的部分记为“”，不足10万辆的部分记为“”，刚好10万辆的记为“0”． 时间 一月 二月 三月 四月 五月 六月 七月 与标准数量的差值/万辆                                    (1)该汽车生产厂家这七个月一共销售了多少万辆新能源汽车？ (2)小明家购置的新能源汽车平均每千米耗电千瓦时，该汽车的电池容量为52千瓦时，目前汽车显示还有的电量，小明的爸爸习惯在电量剩余时去充电，请计算该汽车充电前还能行驶多远？ 例4．（24-25七年级上·河北唐山·期中）下表统计了某公司一月份6名销售人员销售某产品数量（单位：台）与团队平均销量的差，销售团队人数大于6人． 销售员工 与团队平均数的差/台 6 4 14 10 (1)若一月份的销量为27台，求的销量； (2)求这6名销售人员销量最高的员工比销量最低的员工多几台； (3)在（1）的条件下，销售人员的平均销量与团队平均销量相比高了还是低了，高了或低了几台． 变式1．（24-25七年级上·黑龙江·期中）岁儿童一顿午餐需要摄入克蛋白质，已知克豆制品含蛋白质克．如果这些蛋白质都从豆制品中摄取，一个儿童一顿午餐大约要吃豆制品 克． 变式2．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图，已知点A、点B是直线上的两点，厘米，点C在线段上，且厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发，在直线上运动且运动方向不同，则经过 秒时，线段的长为6厘米． 变式3．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）已知某粮库已存有粮食100吨，本周内粮库进出粮食的记录如下（运进为正）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 进、出记录 (1)通过计算，说明本周内哪天粮库剩余的粮食最多？ (2)若运进的粮食为购进的，购买价格为每吨2000元，运出的粮食为卖出的，卖出的价格为每吨2500元，则这一周的利润为多少？ (3)若每周平均进出的粮食大致相同，则再过几周粮库存的粮食可达到180吨？ 变式4．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）辆大卡车和辆小卡车小时可运货吨，现在有一批货物，辆大卡车和辆小卡车用小时可运完，运了小时后，辆大卡车和 辆小卡车被调走执行其他任务．剩下的货物 小时可运完． 题型8、有理数除法的新定义问题 【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念。这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题。 例1．（24-25七年级上·云南昭通·阶段练习）我们规定，则（   ） A． B．1 C． D． 例2．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）规定“”是一种特殊的运算符号，且，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）【阅读材料】 当有理数x不等于0时， 把2个相同的有理数x的除法运算记作； 把3个相同的有理数x的除法运算记作； 把4个相同的有理数x的除法运算记作； …． 特别地，规定． 【解决问题】 (1)若，则______； (2)计算：； (3)计算：． 例4．（23-24七年级上·广东广州·期中） （其中表示不超过的最大整数，如，等等）． 变式1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如果对于任何有理数a，b定义运算“”如下：，如． (1)； (2)求的值． 变式2．（2024七年级上·全国·专题练习）我们把记作记作，那么计算的结果为（   ） A．1 B．3 C． D． 变式3．（24-25九年级下·福建莆田·阶段练习）任何一个正整数n都可以进行这样的分解：（p、q是正整数，且），如果在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，并规定：例如35可以分解成，则，则的值是（   ） A． B． C． D． 变式4．（24-25六年级上·上海·期中）小明是一个聪明而又富有想象力的孩子． 学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念． 于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如 等，类比有理数的乘方．小明把记作， 记作． (1)直接写出计算结果： ； ； (2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号） ①对于任何正整数n，都有； ②； ③； ④对于任何正整数n，都有； (3)计算： （直接写答案） 1．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）计算：． 2．（24-25七年级上·河南安阳·期中）若使的计算结果为正数，则代表的运算不可以是（    ） A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法 3．（2024七年级上·全国·专题练习）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）老师设计了计算接力游戏，规则是每名同学只能利用前面一个同学的式子进一步计算，将计算的结果传给下一个同学，最后解决问题．过程如下，自己负责的那一步错误的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．（24-25七年级上·陕西商洛·期中）计算：． 6．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）小慧用计算器计算，她误操作输入了．若想得到正确结果，则小慧接下来应输入（   ） A． B． C． D． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读下列材料：计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数．所以原式． (1)上述得到的结果不同，你认为解法______是错误的； (2)计算：______． (3)请你选择合适的解法计算：． 8．（23-24七年级上·广东深圳·期中）简便运算能使学生思维的灵活性得到充分锻炼，对提高学生的计算能力起到非常大的作用．阅读下列相关材料． 材料一，计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算． 解：． ． 材料二，下列算式是一类两个两位数相乘的一种特殊计算方法． ； ； 根据以上材料，完成下列问题： (1)请你根据对材料一的理解，计算：； (2)请你根据对材料二的理解，计算：． 9．（24-25七年级上·河南许昌·期末）（1）若，，且，求的值； （2）已知有理数，满足，求的值． 10．（23-24七年级上·北京海淀·阶段练习）有理数a，b，c都不为零，且，则 ． 11．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）【总结提炼】 小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则． 【解决问题】 （1）若，则 ． （2）若，则 ． 【拓展提升】 （3）若，计算：_________． 12．（24-25七年级下·湖南长沙·开学考试）如图，数轴上的点，，分别表示数，，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的序号有 ． 13．（24-25七年级上·广东中山·期中）点，在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是和，对于以下结论：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号） 14．（24-25七年级上·湖北黄冈·期末）已知是有理数，且，下列结论：①；②；③；④若，是有理数，且满足，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 15．（24-25七年级上·广东广州·期中）在质量检测中，从每盒标准质量为125克的酸奶中，抽取6盒，结果如下超出的克数记为正数，不足的克数记为负数： 编号 1 2 3 4 5 6 质量/克 126 127 124 126 123 125 差值/克 (1)补全表格中相关数据； (2)请计算这6盒酸奶的质量和． (3)平均每盒与标准质量相差多少克？ 16．（24-25七年级上·河南周口·期中）跑步是有效的有氧运动，小马同学在手机上下载了一款跑步软件，某天他在一条南北走向的马路上锻炼，他从家出发，每隔记录下自己的跑步情况（向南为正，单位：）： (1)后停下来休息，此时他在哪里？ (2)设小马平均每跑消耗0.6卡路里能量，求这他共消耗了多少能量． (3)如果消耗3000卡路里能量，身体将减少0.45千克的脂肪，小马今天晨练减少多少脂肪？ 17．（24-25七年级上·安徽六安·期中）a是不为2的有理数，我们把称为a的“伴随数”，如3的“伴随数”是的“伴随数”是，已知是的“伴随数”是的“伴随数”，是的“伴随数”，…，以此类推，则等于（   ） A． B． C． D．4 18．（23-24七年级上·山东滨州·期末）对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：，则的值为（   ） A． B． C． D． 19．（24-25七年级上·全国·期中）若“!!”是一种数学运算符号，并且，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 20．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）【阅读材料】 当有理数x不等于0时， 把2个相同的有理数的除法运算记作； 把3个相同的有理数的除法运算记作； 把4个相同的有理数的除法运算记作； ； 特别地，规定． 【解决问题】 (1)若，则__________； (2)__________；__________．； (3)计算：． 1．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）三个互不相等的有理数，可以表示为0，b，的形式，也可以表示为1，a，的形式，那么a的值为 2．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）一个自然数，用它去除余，用它去除余，用它去除余，则 ． 3．（23-24七年级上·江苏淮安·开学考试）小明在计算除法时，把被除数472错看成427，结果商比原来小5，但余数恰好相同，则该题的余数是 ． 4．（24-25七年级上·山东济南·期中）已知非零实数，，满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为 ． 6．（24-25七年级上·北京·期中）若，且，，，……，，这个数中有个正数，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·四川遂宁·阶段练习）探究题：阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道，所以当时，；当时，． 请用上面的结论解决下列问题： (1)已知，是有理数，当时， ． (2)已知，，是有理数，当时， ． (3)已知，，，是有理数，当时，的最大值是 ． 8．（2024·山西吕梁·二模）已知“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1=24，…，若公式 Cnm=（n＞m），则C125 =（  ） A．60 B．792 C．812 D．5040 9．（2024七年级上·全国·专题练习）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．例如：． （1）计算： ； （2）从，中任选两个有理数作为和，并计算，那么所有运算结果中的最大值是 ． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 有理数的除法与乘除混合运算 预习目标 1 新课轻松学 1 新知速通 2 题型探究 3 题型1、有理数的除法运算 3 题型2、有理数除法法则的辨析 8 题型3、有理数乘除法的混合运算 11 题型4、有理数除法的简算 17 题型5、有理数除法与绝对值结合 24 题型6、利用有理数除法辨别符号问题 32 题型7、有理数除法的应用 37 题型8、有理数除法的新定义问题 43 基础通关 48 拓展提优 63 1. 理解有理数除法的意义，掌握有理数除法的法则，正确进行有理数的除法运算； 2. 在归纳、探索有理数法则的过程中体“转化”的思想； 3. 能利用有理数的除法解决生活中的实际问题； 4. 熟练掌握有理数混合（加减乘除）运算及相关运算律，培养运算能力及良好的习惯． 5. 体会“分类”、“归纳”、“转化”的数学思想，培养严谨的科学态度。 【思考1】江苏南京2025年春节一周的最低气温的平均值是多少？ 【思考2】能否根据除法的乘法逆运算，以及小学学习过的除法运算的经验，计算江苏南京2025年春节一周的最低气温的平均值？ 【乘除号的历史】你知道吗，以符号“×”代表乘是谁创造的呢？对了，他就是英国数学家奥特雷德首创的。奥特雷德对数学符号的发展产生很大的影响，他大量的运用符号代替冗杂的算数描述。他是在其著作《数学之钥》中首次以“×”表示两数相乘，即现代的乘号，后日渐流行。 在四种运算符号中，最复杂的就是除法的符号“÷”了，除法符号“÷”率先是英国的沃利斯最初使用的，后来在英国和全世界得到了推广。 【除法的高光时刻】在古代，人们还没有像我们现在这样便捷的计算器和电脑，在进行除法运算时则显得略有困难。于是，古代的智者们便开始钻研除法，发明了许多算法来简化除法运算。其中的代表算法之一，就是辗转相除法，也称欧几里得算法，是数学中一个求解最大公约数的重要方法，也可以用来执行简单的除法运算。首次被详细描述在欧几里得的《几何原本》第七卷，早在中国东汉时期的《九章算术》中也有所体现。辗转相除法的历史悠久，起源于公元前300年左右的欧几里得时代，它不仅限于自然数，19世纪后被推广至高斯整数和一元多项式等领域，推动了现代抽象代数的发展，如欧几里得整环。它在音乐节奏生成、密码学（如RSA算法）中起着关键作用，还能解丢番图方程，寻找满足中国剩余定理的数，以及在有限域的倒数计算和连分数构造等领域得到应用。 1.有理数的除法法则1 除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 2.有理数的除法法则2 两个不等于0数相除，同号得正，异号得负，且把绝对值相除，商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。 3.有理数的除法法则3 除以任何一个不等于的数，都得。 4.有理数除法的运算步骤 先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 5.有理数的乘除混合运算步骤 先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 注意： 1）乘除混合运算要“从左到右”运算，有括号的先算括号里面的，分数可以理解为分子除以分母． 2）若被除数是和的形式，则可以把除数分配给“和”中的每一个数，其原理为乘法分配律；若除数是和的形式，则不能把被除数分配给“和”中的每一个数。 题型1、有理数的除法运算 【解题技巧】有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 例1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】本题主要考查有理数的除法，掌握有理数除法的运算法则是解题的关键． （1）将除法化为乘法，再计算即可； （2）根据0除任何数都等于0，计算即可； （3）根据有理数除法的运算法则计算即可． 【详解】（1） ． （2）． （3） ． 例2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算，熟练掌握有理数除法运算法则，是解题的关键． （1）先变除法为乘法，然后进行计算即可； （2）先变除法为乘法，然后再进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 例3．（24-25七年级上·云南楚雄·期末）已知，且，则的值是（　　　） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的除法、绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．根据绝对值的性质以及求出的值，再根据除法法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴分两种情况：①时，；　②时， 故选：B． 例4．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）下列各式中，与的运算结果相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用有理数的乘除混合运算法则逐一计算，并与题中的计算结果比较即可． 本题考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除混合运算法则是解题的关键． 【详解】解： A中、，不相同，故选项不符合题意； B中、相同，故选项符合题意： C中、，不相同，故选项不符合题意； D中、，不相同，故选项不符合题意； 故选：B． 例5．（24-25六年级上·上海青浦·期中）在数字6、、5、1、中抽取两个数相除，所得的商最小是 ． 【答案】 【分析】本题有理数除法，有理数大小比较，灵活应用除法法则解题是关键．取异号两数相除，商绝对值较大． 【详解】解：∵， ∴商最小的是：． 故答案为：． 变式1．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)4 (2) (3)0 (4) 【分析】（1）根据有理数除法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数除法运算法则进行计算即可； （3）根据有理数除法运算法则进行计算即可； （4）根据有理数除法运算法则进行计算即可． 本题主要考查了有理数除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数除法运算法则，准确计算． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解： ． 变式2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查了有理数的除法，首先根据有理数的除法法则，求出的值是多少；然后用除以所得的商，求出算式的值是多少即可． 【详解】解： ． 变式3．（24-25七年级下·全国·假期作业）《九章算术》是中国古代第一部数学专著．它介绍了分数除以分数的另一种方法：先通分，再把分子直接相除．例如：．下面（ ）是采用这种方法计算的． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分数除法的计算方法，根据《九章算术》的方法，分数除以分数需先通分使分母相同，再将分子直接相除，熟练掌握通分和分子直接相除的方法是解题的关键．通过以上知识点，逐个选项进行分析，判断是否符合此步骤． 【详解】解：选项A：将分数转化为小数后计算，未通分，不符合题意； 选项B：通过乘以倒数计算，属于常规分数除法，未通分，不符合题意； 选项C：通过分子分母同乘一个数使除数变为1，属于商不变规律的应用，未通分成同分母，不符合题意； 选项D：将和通分为和，再直接相除分子9和8，完全符合题目所述方法； 故选：D． 变式4．（24-25七年级下·陕西榆林·开学考试）某同学在计算时，误将“”看成“+”而算得结果是，则的正确结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的除法，有理数的加法．根据题意得出，即可求出a的值，然后写出正确算式计算即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， 所以， 故答案为：． 变式5．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知，， (1)若，求的值； (2)若，求． 【答案】(1)或． (2)或 【分析】本题考查了求一个数的绝对值和有理数的加减法，能够根据题意得出与的值是解题的关键． （1）根据，得出，再进行计算即可； （2）根据，得出与异号，再进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ，， 若， 当时， 当时． 故或． （2）∵， 当时， 当时， 故或； 【点睛】本题考查有理数的加减法，能够根据题意得出与的值是解题的关键． 题型2、有理数除法法则的辨析 【解题技巧】有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右。 例1．（24-25七年级上·全国·假期作业）下列说法正确的是（ ）（多选题） A．互为相反数的两数相除商必等于1 B．非零的两数相除，同号得正，异号得负； C．大于1的两数之积一定大于任何一个因数 D．小于1的两数之商一定小于被除数 【答案】BC 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算法则，按照有理数的计算法则和特例进行辨别选择． 【详解】解：∵互为相反数（0除外）的两数相除商必等于1， ∴选项A不符合题意； ∵非零的两数相除，同号得正，异号得负， ∴故选项B符合题意； ∵大于1的两数之积一定大于任何一个因数， ∴选项C符合题意； ∵当除数是小于1的正数，且被除数是正数时，商大于被除数， ∴选项D不符合题意， 故选：． 例2．（24-25·浙江·七年级统考期末）如果，则的值与0的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【详解】解：，，故选：B． 例3．（24-25七年级上·广东广州·期中）如果，，那么下列成立的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加法、除法运算法则，熟知两种运算的法则是正确解答此题的关键． 根据有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，依此即可作出判断． 【详解】解：， ，同为正或同为负， ， ，同为负，即：，； 故选：C． 变式1．（23-24七年级上·浙江温州·期中）若两个数的商是正数，则下列选项中一定成立的是（    ） A．这两数的和为正数 B．这两数的差为正数 C．这两数的积为正数 D．这两数的和、差、积的正负都不能确定 【答案】C 【分析】应用有理数的乘除法及有理数的加减法法则进行判定即可得出答案． 【详解】解：A．当两个数都为负数时，这两个数的商是正数，这两个数的和为负数，故A选项不符合题意； B．当两个数都为负数时，这两个数的商是正数，这两个数的差可能为负数，故B选项不符合题意； C．若两个数的商是正数，则这个两数为同号，这两个数的积为正数，故C选项符合题意； D．若两个数的商是正数，这两数的和、积的正负不能确定，积的正负能确定，故D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘除法及有理数的加减法，熟练掌握有理数的乘除法及有理数的加减法法则进行判定即可得出答案． 变式2．（24-25·江苏·七年级阶段练习）已知a，b为有理数，则下列说法正确的个数为（      ） ①若，，则，． ②若，，则，且． ③若，，则，． ④若，，则，且． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据有理数的加法法则以及有理数的除法法则分别分析得出即可． 【详解】解：①若，，则，，故①结论正确； ②若，，则a＞0，b＜0且|a|＞|b|或a＜0，b＞0且|a|＜|b|，故②结论错误； ③若，，则a＜0，b＜0，故③结论正确； ④若，，则a＞0，b＜0且|b|＞|a|或a＜0，b＞0且|b|＜|a|，故结论错误． 故正确的有2个． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了有理数的除法法则以及有理数加法法则的应用，熟练掌握法则是解题关键． 变式3．（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知实数，，满足，，则，，中正数的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】解：，，，, ，，，， 当时，，则；当时，，则；当时，，则； 综上可知，，，中正数的个数为2个，故选：C． 题型3、有理数乘除法的混合运算 【解题技巧】先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 注意：乘除混合运算要“从左到右”运算．分数可以理解为分子除以分母。 例1．（24-25七年级下·山东青岛·开学考试）下列计算①；②；③；④，正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查了多个有理数的乘法运算，有理数的除法运算，有理数乘除混合运算等知识点，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 按照有理数的乘法法则和除法法则进行计算即可．注意结果符号的判断． 【详解】解：①，故原计算错误； ②，故原计算错误； ③，故计算正确； ④，故计算正确； 综上，计算正确的有：，共个， 故选：． 例2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，掌握有理数乘除混合运算法则成为解题的关键． （1）先化乘为除，然后按有理数乘法运算法则计算即可； （2）先化乘为除，然后按有理数乘法运算法则计算即可； （3）先化乘为除，然后按有理数乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 例3．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算，注意明确有理数混合运算顺序． （1）先确定运算符号并将带分数转化成假分数，再根据有理数的乘除混合运算的法则计算即可；如果有括号，要先做括号内的运算； （2）先确定运算符号并做括号内的运算，再将带分数转化成一个整数和一个分数的和，然后根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 例4．（24-25七年级上·贵州毕节·阶段练习）下面是小虎同学的计算； ＝……第①步 ＝……第②步 ＝……第③步 (1)请指出第 步错误 (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)① (2)正确过程见解析 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算： （1）同级运算，从左到右依次运算，故第①步出现错误； （2）除法变乘法，约分化简进行计算即可． 【详解】（1）解：同级运算，从左到右依次运算，故第①步出现错误； 故答案为：① （2）解： ． 变式1．（24-25七年级上·河南商丘·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数运算的基本顺序和基本法则计算判断解答即可． 本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A.     ， 故本选项错误； B. ， 故本选项错误； C. 故本选项错误； D. 故本选项正确； 故选：D． 变式2．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列计算正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算．选项A利用乘法分配律进行简便计算；选项B先算小括号里面的，然后再算括号外面的；选项C先算小括号里面的，再算括号外面的乘除法；选项D从左往右依次进行计算；从而作出判断． 【详解】解：A、原式，故此选项不符合题意； B、原式，故此选项符合题意； C、原式，故此选项不符合题意； D、原式，故此选项不符合题意； 故选：B． 变式3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)588 (3) 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）将除法化为乘法计算即可； （2）将除法化为乘法计算即可； （3）连乘，约分计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 变式4．（2023·山东·七年级专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)18 (2) (3)54 【分析】根据有理数的加减乘除混合运算法则及运算顺序计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数加减乘除的运算法则及运算顺序是解决问题的关键． 题型4、有理数除法的简算 【解题技巧】同有理数的乘法运算技巧类似。 例1．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1);(2);(3);(4)1;(5)－2;(6)－14 【详解】试题分析：（1）（2）（3）利用带分数的性质，把复杂的数写成两个数的和，再用乘法分配律计算；（4）（5）（6）把乘数运算，带分数，统一成假分数的乘积形式，约分求解. 试题解析：(1). (2). (3). (4). (5). (6). 例2．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)；(2)．(3)64 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 例3．（24-25七年级上·山东临沂·期末）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目： 计算：，看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下： 聪聪：原式． 明明：原始． (1)上面的解法对你有何启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来； (2)用你认为最合适的方法计算：． 【答案】(1)有，见解析 (2) 【分析】本题主要考查有理数的乘除混合运算，乘法分配律的运用，掌握乘法分配律的运用是解题的关键． （1）将原式变形为，运用乘法分配律计算即可； （2）将原式变形为，运用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：有，如下 ； （2）解： ． 例4．（24-25七年级上·云南文山·期中）阅读下列材料，计算：． 小云的方法：原式； 小南的方法：先计算原式的倒数，，故原式等于． (1)你认为小云的方法对吗？如果不对，请按照有理数混合运算法则给出正确做法； (2)小南的方法你学会了吗？请你根据你的所学所悟计算：． 【答案】(1)小云的方法不对，正确做法见解析； (2)． 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握有理数混合运算运算法则和运算顺序，运算律是解题的关键． （）小云的方法不对，根据有理数的混合运算的计算方法可以解答本题； （）根据小南的方法可以解答本题． 【详解】（1）解：小云的方法不对， 正确做法： ； （2）解： ． 变式1．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）下列算式中运用分配律带来简便的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是理解乘法分配律的意义，以及除以一个数等于乘以这个数的倒数，乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，等于把这两个数分别与这个数相乘，再把乘得的两个积加起来，掌握概念并灵活运用即可解题． 【详解】解：A、除法不具有分配律，不符合题意． B、，可以使用分配律，但运算没有更简便，不符合题意． C、，可以使用分配律，且运算更简便，符合题意． D、，可以使用分配律，但运算没有更简便，不符合题意． 故选：C． 变式2．（24-25·成都市七年级课时练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1);(2);(3);(4)1;(5)－2;(6)－14 【详解】(1). (2). (3). (4). (5). (6). 变式3．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)；（用简便方法计算） (6)； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）先把减法统一为加法运算，再把同号的两数先加，从而可得答案； （2）先确定运算结果的符号，再把除法转化为乘法运算，约分后可得结果； （3）先把运算统一为加法运算，同步把小数化为分数，再利用加法的运算律进行简便运算即可； （4）利用乘法的分配律进行简便运算即可； （5）把原式化为再利用分配律进行简便运算即可； （6）先计算，把除法化为乘法，利用分配律，再根据倒数的含义可得答案． 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） （6） ∴ 【点睛】本题考查的是有理数的四则混合运算，掌握“四则混合运算的运算顺序”是解本题的关键． 变式4．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）阅读下面材料： 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数，故原式． (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法______是错误的； (2)请你进行简便计算：． 【答案】(1)一 (2) 【分析】本题考查有理数四则混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． （1）在利用分配律计算时，除法需要先变成乘法，才能够使用，并且需要连同其前面的正负号带上，通过观察三种解法即可得到答案； （2）通过观察可得到解法三最简便，所以利用解法三的方法即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在利用分配律的时候，除法需要先变成乘法，才能够使用，且解法一的计算结果与其它两种不同， ∴解法一不正确； 故答案为：一； （2）解：原式的倒数 ， 故原式． 题型5、有理数除法与绝对值结合 例1．（2025·山东济南·二模）已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的除法计算，根据数轴可得，据此化简绝对值后计算求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴ ， ， 故选：C． 例2．（2024·山东青岛·一模）设a，b，c为有理数，则由构成的各种数值是 ． 【答案】，0 【分析】此题要分类讨论a，b，c与0的关系，然后根据绝对值的性质进行求解； 【详解】解：∵a，b，c为有理数， ①若， ∴； ②若a，b，c中有两个负数，则， ∴， ③若a，b，c中有一个负数，则， ∴， ④若a，b，c中有三个负数，则， ∴， 故答案为：，0． 【点睛】此题主要考查绝对值的性质，解题的关键是如何根据已知条件，去掉绝对值，还考查了分类讨论的思想，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 例3．（24-25七年级上·陕西西安·期中）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，那么的值是（   ） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查化简绝对值，有理数的混合运算，有理数与数轴，根据数轴，判断出有理数的符号，式子的符号，根据绝对值的意义进行化简，再进行计算即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴； 故选：D． 例4．（23-24七年级上·安徽滁州·期中）下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则； ⑤已知、、均为非零有理数，若，，，则的值为2或． 其中，正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①⑤/⑤① 【分析】本题主要考查了相反数，绝对值的意义．利用相反数的意义，绝对值的意义对每个说法进行判断，错误的举出反例即可． 【详解】解：①若，则，正确，符合题意； ②若，则，原结论不正确，不符合题意； ③若，则，原结论不正确，不符合题意； ④若，当时，则，原结论不正确，不符合题意； ⑤∵a、b、c均为非零有理数，若，，， ∴a、b、c有四种情形：，，或，，或，，或，，， 当，，时，原式； 当，，时，原式， 当，，时，原式， 当，，时，原式． 综上，已知a、b、c均为非零有理数，若，，，则的值为2或．正确，符合题意； 故答案为：①⑤． 例5．（24-25七年级上·山西晋中·期末）我们知道，所以当时，；当时，．下列结论序号正确的是（   ） ①已知，是有理数，当时，的值为或； ②已知，是不为0的有理数，当时，则的值为； ③已知，，是有理数，，，则或； ④已知，，是非零的有理数，且，则的值为或； ⑤已知，，是非零的有理数，，则的所有可能的值为； A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的乘除法符号问题，根据，分三种情况分别求得的值，即可判断①；根据，可得，得出，或，，然后根据绝对值的意义化简绝对值进而判断②，根据，得出，，，求出，根据，，得出、、中一负两正，再化简绝对值即可判断③，根据，可得，得出a、b、c中有3个负数或一负两正，分类讨论化简绝对值，根据③的方法即可判断④和⑤． 【详解】解：①∵， 当同号时，即或，时， 或， 当异号，即，或，， ∴或 ∴当时，的值为或；故①正确； 当时，即， ∴a、b异号，即，或，， ∴或； ∴当时，的值为；故②正确； ∵， ∴，，， ∴， ∵，， ∴a、b、c中一负两正， 不妨设, ∴． ∴的值为．故③不正确； ∵，则 ∴， ∴a、b、c中有3个负数或一负两正， 当a、b、c都是负数时，； 当a、b、c中有一负两正时，； ∴的值为或；故④正确； ∵， ∴a、b、c中一负两正或一正两负， 当a、b、c中一负两正， 不妨设, ∴ 当a、b、c中一正两负， 不妨设, ∴ ∴的所有可能的值为，故⑤正确， 故正确的有①②④⑤， 故选：C． 变式1．（23-24七年级上·四川达州·期中）若，则的值可能是（    ） A．1和3 B．和3 C．1和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查的绝对值的应用，以及化简求值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，根据，即a、b全为正数时，或a、b为一正一负时，或a、b全负时分类讨论计算即可． 【详解】解：， 设时， ， 或时， ，或， 时， ， 综上可得：或， 故选：B． 变式2．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）若有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴与有理数，化简绝对值，有理数的运算，根据点在数轴上的位置，判断数的符号，化简绝对值后，进行计算即可． 【详解】解：由图可知：， ∴原式； 故答案为：． 变式3．（24-25七年级上·全国·期中）已知有理数a、b、c满足，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查有理数的运算，化简绝对值，根据，得到的符号为一负两正，进而得到，根据绝对值的意义，化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴的符号为一负两正， ∴， ∴； 故答案为：4． 变式4．（23-24七年级上·河南平顶山·阶段练习）已知，且．则的值为（    ） A．0 B．0或1 C．或或 D．或或 【答案】A 【分析】由，，可得、、三个数中有一个负因数，且正因数绝对值的和大于负因数的绝对值，由此可得、、的符号有三种情况（，，或，，或，，），再根据绝对值的性质分三种情况求得的值即可解答 【详解】∵，， ∴、、三个数中有一个负因数，且正因数绝对值的和大于负因数的绝对值， ∴，，或，，或，，， 当，，时，，，， ∴ ； 当，，时，，，， ∴ ； 当，，时，，，， ∴ 综上，当，时， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的运算法则及绝对值的性质，正确得到、、的符号有三种情况（，，或，，或，，）是解决问题的关键 变式5．（24-25七年级上·山东德州·期中）下列说法正确的序号是（   ） ①已知，是非零的有理数，若，则； ②若，为两个负有理数且，则； ③已知，，是非零的有理数，若，则结果的符号为正； ④已知，，是非零的有理数，且时，则的值为1或−3； A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的运算法则，熟知绝对值的意义是解题的关键． ①已知，是非零的有理数，若，即可得出，可判断①；②根据，为两个负有理数且，，得出，即可判断②；③举例当为负数时，即可判断③；④分两种情况：一是、、皆为负数，二是、、中只有一个负数，即可判断④． 【详解】解：①已知，是非零的有理数，若， ∴， ∴， 则； 故①正确； ②若，为两个负有理数， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵，为两个负有理数， ∴； 故②正确； ③已知，，是非零的有理数，若， ∴中有个或个负数． 当为负数时，； 故③错误； ④已知，，是非零的有理数， 当时， 则， ∴中有个或个负数． 分两种情况： 一是、、皆为负数， 此时； 二是、、中只有一个负数， 令，、， 此时， 故④正确； 综上所述：正确的有①②④． 故选：B． 题型6、利用有理数除法辨别符号问题 例1．（24-25七年级上·四川绵阳·期末）已知a，b，c是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，若， 则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数与数轴，有理数的运算，根据，得到的中间位置为原点，进而得到，，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴的中间位置为原点，， ∴，， ∴，，， 故选A． 例2．（24-25七年级上·重庆石柱·期中）数轴上，，三个数表示的点如图所示，则下面结论正确的个数是（   ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，绝对值，有理数的四则运算，熟练掌握数轴的性质是解题的关键．由数轴得出，，再进一步判断每个选项即可． 【详解】解：由数轴得，，， ，故①正确； ， ， ∴，故②正确； ∵，， ，故③正确； ，， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 例3．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）已知a，b为实数，下列说法：①若，且c，b互为相反数，则；②若，则是正数；③若，则；④若，，且，则，其中正确的是 ．（填序号，填不全得1分，不填或有错误答案均得0分）． 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了相反数定义，有理数的运算，绝对值意义，解题的关键是熟练掌握绝对值意义，有理数运算法则． ①根据得出定a、b异号，不能判断，即可判断①错误； ②根据，分，时，，时，，时，，时，进行讨论，即可判断②正确； ③根据，得出，求出，即可判断③错误； ④根据，，得出，，得出，根据，得出，根据，得出要使成立必须使，根据，得出，即可判断④正确． 【详解】解：①若，只能判定a、b异号，不能判断，且c，b互为相反数与没有关系，故①错误； ②若， 当，时，，， ∴； 当，时，，， ∴； 当，时，，， ∴； 当，时，，， ∴； ∴若，则是正数，故②正确； ③∵， ∴， ∴， ∴，故③错误； ④∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴要使成立必须使， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上分析可知，正确的有②④． 故答案为：②④． 变式1．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）已知a，b为有理数，下列式子：①；②；③；④．其中一定能够表示a，b异号的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘除法，加法运算法则和化简绝对值，根据有理数的乘除法运算，加法法则，与化简绝对值的方法逐项判断即可． 【详解】①，则，（否则，可推出，矛盾），即a与b异号，符合题意； ②， a与b异号，符合题意； ③，若成立，a与b不一定异号，不符合题意； ④，当时成立，不符合题意； 则其中一定能够表示a、b异号的有2个． 故选：B． 变式2．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，数轴上点A，B，C对应的有理数分别为a，b，c，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，有理数的运算以及绝对值的性质，解题的关键是根据数轴判断出a，b，c的正负性和大小关系． 先根据数轴确定a，b，c的正负和取值范围，再据此对每个选项逐一分析判断． 【详解】由数轴可知， A、因为，则，该选项正确，不符合题意； B、因为，所以；又因为，所以，该选项正确，不符合题意； C、|a|的取值范围是的取值范围是的取值范围是，则，且，所以，该选项错误，符合题意； D、由可得；由可得；由可得，所以，该选项正确，不符合题意． 故选：C． 变式3．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a、b，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号为 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查利用数轴判断式子的符号，有理数的运算，根据数轴，易知，，再逐一判断每个选项即可． 【详解】解：根据数轴可知，， 则：，故选项①正确，符合题意； ，故选项②正确，符合题意； ∵，， ∴，故选项③正确，符合题意； ∵， ∴，故选项④正确，符合题意； 综上，正确选项为：①②③④． 故答案为：①②③④． 变式4．（24-25八年级上·四川眉山·期中）如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a，b，下列结论中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的大小比较、有理数加(减)法、有理数的乘除法法则．根据数轴判断出，，，再由有理数加(减)法法则、有理数的乘除法法则，有理数的大小比较方法、与的符号，进行逐一判断即可． 【详解】解：由数轴得：，，， ∴，，，， ∴，， 四个选项中，选项C不正确，符合题意． 故选：C． 题型7、有理数除法的应用 【解题技巧】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。 例1．（23-24七年级上·湖北恩施·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支依次相配，每个组合代表××年，60年为一个循环．如表，我们把天干、地支按顺序排列，给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数以2022年为例：天干为：；地支为：．对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年，那么2053年为农历 年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 【答案】癸酉 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，根据题干中信息列出关于天干和地支的计算式，然后求解即可． 【详解】解：2053年的天干为：， 地支为：， ∴2053年为农历癸酉年． 故答案为：癸酉． 例2．（24-25七年级下·山西晋城·期中）某校准备购买一批如图所示的新课桌和椅子，已知购买3张课桌和1把椅子共需要350元，购买1张课桌和3把椅子共需要250元，则购买1张课桌和1把椅子共需要（    ） A．140元 B．150元 C．160元 D．180元 【答案】B 【分析】题目主要考查有理数的四则混合运算，理解题意得出购买4张课桌和4把椅子共需要元，然后求解即可． 【详解】解：∵购买3张课桌和1把椅子共需要350元，购买1张课桌和3把椅子共需要250元， ∴购买4张课桌和4把椅子共需要元， ∴购买1张课桌和1把椅子共需要元， 故选：B． 例3．（24-25七年级上·四川广安·期末）近年来，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．某汽车生产厂家去年前七个月的新能源汽车销售数据记录如下表，以每月销售10万辆为标准，多于10万辆的部分记为“”，不足10万辆的部分记为“”，刚好10万辆的记为“0”． 时间 一月 二月 三月 四月 五月 六月 七月 与标准数量的差值/万辆                                    (1)该汽车生产厂家这七个月一共销售了多少万辆新能源汽车？ (2)小明家购置的新能源汽车平均每千米耗电千瓦时，该汽车的电池容量为52千瓦时，目前汽车显示还有的电量，小明的爸爸习惯在电量剩余时去充电，请计算该汽车充电前还能行驶多远？ 【答案】(1)万辆 (2) 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数混合运算的实际应用．理解题意，正确列出等式是解题关键． （1）先求出这七个月高于（或低于）10万的标准所销售的数量，再加上七个月按标准销售的数量，即可求解； （2）求出的电量的里程即可． 【详解】（1）解： （万辆）． 答：该汽车生产厂家这七个月一共销售了万辆新能源汽车． （2）解： ． 答：该汽车充电前还能行驶． 例4．（24-25七年级上·河北唐山·期中）下表统计了某公司一月份6名销售人员销售某产品数量（单位：台）与团队平均销量的差，销售团队人数大于6人． 销售员工 与团队平均数的差/台 6 4 14 10 (1)若一月份的销量为27台，求的销量； (2)求这6名销售人员销量最高的员工比销量最低的员工多几台； (3)在（1）的条件下，销售人员的平均销量与团队平均销量相比高了还是低了，高了或低了几台． 【答案】(1)的销量为42台 (2)这6名销售人员销量最高的员工比销量最低的员工多27台 (3)销售人员的平均销量与团队平均销量相比高了，高了2台 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的四则混合运算，熟练掌握知识点，正确计算是解题的关键． （1）根据有理数的加减法计算 ； （2）根据有理数的减法求解； （3）根据正负数的实际意义进行有理数的四则运算． 【详解】（1）解：由题得，（台）， 答：的销量为42台； （2）解：（台）， 答：这6名销售人员销量最高的员工比销量最低的员工多27台； （3）解：由题得，， （台） 答：销售人员的平均销量与团队平均销量相比高了，高了2台． 变式1．（24-25七年级上·黑龙江·期中）岁儿童一顿午餐需要摄入克蛋白质，已知克豆制品含蛋白质克．如果这些蛋白质都从豆制品中摄取，一个儿童一顿午餐大约要吃豆制品 克． 【答案】 【分析】本题考查了有理数除法的应用，根据题意列出算式，然后根据运算法则即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， （克）， 故答案为：． 变式2．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图，已知点A、点B是直线上的两点，厘米，点C在线段上，且厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发，在直线上运动且运动方向不同，则经过 秒时，线段的长为6厘米． 【答案】或 【分析】此题考查了两点间的距离有理数混合运算的应用，以及分类讨论思想的应用，要熟练掌握．首先根据厘米，厘米，求出的长度是多少；然后分两种情况：点P向左运动，点Q向右运动；点P向右运动，点Q向左运动；求出经过多少秒时线段的长为6厘米即可． 【详解】解：∵厘米，厘米， ∴（厘米）； （1）点P向左运动，点Q向右运动时， （秒） （2）点P向右运动，点Q向左运动时， （秒） ∴经过或秒时线段的长为6厘米． 故答案为：或． 变式3．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）已知某粮库已存有粮食100吨，本周内粮库进出粮食的记录如下（运进为正）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 进、出记录 (1)通过计算，说明本周内哪天粮库剩余的粮食最多？ (2)若运进的粮食为购进的，购买价格为每吨2000元，运出的粮食为卖出的，卖出的价格为每吨2500元，则这一周的利润为多少？ (3)若每周平均进出的粮食大致相同，则再过几周粮库存的粮食可达到180吨？ 【答案】(1)星期六 (2)30000元 (3)7周 【分析】本题考查正负数的应用，有理数运算的应用： （1）求出每一天粮库剩余的粮食数，进行判断即可； （2）用卖出的总费用减去购买的总费用，进行计算即可； （3）求出每周平均进出的粮食数，进行计算即可． 【详解】（1）解：周一：（吨）； 周二：（吨）； 周三：（吨）； 周四：（吨）； 周五：（吨）； 周六：（吨）； 周天：（吨）； 故星期六粮库剩余的粮食最多； （2）解：（元）； 答：这一周的利润为30000元； （3）解：， ； 答：再过7周粮库存的粮食可达到180吨． 变式4．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）辆大卡车和辆小卡车小时可运货吨，现在有一批货物，辆大卡车和辆小卡车用小时可运完，运了小时后，辆大卡车和 辆小卡车被调走执行其他任务．剩下的货物 小时可运完． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算的应用，根据题意找出数量关系即可求解，理解题意，列出算式是解题的关键． 【详解】解：∵辆大卡车和辆小卡车小时可运货吨， ∴辆大卡车和辆小卡车小时可运货（吨）， ∴辆大卡车和辆小卡车小时可运货（吨）， ∴辆大卡车和辆小卡车小时可运货（吨）， 由辆大卡车和辆小卡车小时可运货（吨）， 则剩余货物：（吨）， ∵辆大卡车和辆小卡车被调走执行其他任务， ∴剩下大卡车数量为（辆），剩下小卡车数量为（辆）， ∴辆大卡车和辆小卡车运货吨， ∴需要的时间为：（小时）， 故答案为：． 题型8、有理数除法的新定义问题 【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念。这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题。 例1．（24-25七年级上·云南昭通·阶段练习）我们规定，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘除法、有理数的大小比较，正确理解规定的运算法则是解题关键． 先根据规定的运算法则进行转化，再计算有理数的乘除法求解即可得． 【详解】解：由题意得： ， 故选：C． 例2．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）规定“”是一种特殊的运算符号，且，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，根据新定义计算即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 故选：． 例3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）【阅读材料】 当有理数x不等于0时， 把2个相同的有理数x的除法运算记作； 把3个相同的有理数x的除法运算记作； 把4个相同的有理数x的除法运算记作； …． 特别地，规定． 【解决问题】 (1)若，则______； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的除法新运算，有理数的乘除混合运算，理解新运算是解题的关键． （1）根据运算的定义即可得到答案； （2）根据运算的定义计算即可得到答案； （3）根据运算的定义和有理数的运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：； （3）解：原式 ， ， ． 例4．（23-24七年级上·广东广州·期中） （其中表示不超过的最大整数，如，等等）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，能够理解取整的函数是解答本题的关键．利用取整函数把算式变为，再进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 变式1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如果对于任何有理数a，b定义运算“”如下：，如． (1)； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】此题考查新定义运算，有理数的混合运算，掌握运算顺序与运算法则是解决问题的关键． （1）按照规定的运算方法把式子改为有理数的混合运算，进而计算得出结果即可． （2）按照规定的运算方法把式子改为有理数的混合运算，先计算括号内的运算，进而计算得出结果即可． 【详解】（1）解：， ∴ ； （2）， ∴ ， ∴ ． 变式2．（2024七年级上·全国·专题练习）我们把记作记作，那么计算的结果为（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的除法，解题的关键是理解并掌握新定义及有理数乘除运算法则．根据新定义列出算式，再根据有理数的乘除运算法则计算可得． 【详解】解：， 故选：C． 变式3．（24-25九年级下·福建莆田·阶段练习）任何一个正整数n都可以进行这样的分解：（p、q是正整数，且），如果在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，并规定：例如35可以分解成，则，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的混合运算．理解题意掌握最佳分解的定义是解题的关键． 由结合最佳分解的定义即可知． 【详解】解：∵， ， 故选：A． 变式4．（24-25六年级上·上海·期中）小明是一个聪明而又富有想象力的孩子． 学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念． 于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如 等，类比有理数的乘方．小明把记作， 记作． (1)直接写出计算结果： ； ； (2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号） ①对于任何正整数n，都有； ②； ③； ④对于任何正整数n，都有； (3)计算： （直接写答案） 【答案】(1)2；； (2)③ (3) 【分析】本题主要考查了定义新运算，有理数的乘除法计算．熟练掌握新定义，有理数的除法法则是解决本题的关键． （1）根据新定义和有理数的除法计算即可； （2）①分n为奇数和偶数的两种情况，计算判断；②等式两端分别计算，比较结果即可；③按新定义计算，可判断正确；④为偶数，偶数个负数相除，结果应为正． （3）先按照新定义计算，再按有理数的乘除法计算即可． 【详解】（1）解：；； 故答案为：2；； （2）解：对于任何正整数n，当n为偶数时，，当n为奇数时，，故①错误； ∵，， ∴，故②错误； ，故③正确； ∵表示的是个a相除，而， ∴根据除法计算法则可知，多个非零有理数进行除法计算时，负数的个数为偶数个数，最后的结果的符号为正，即，故④错误； 故答案为：③； （3）解： ， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的除法，先将除法改写为乘法，再进行计算即可． 【详解】解： ． 2．（24-25七年级上·河南安阳·期中）若使的计算结果为正数，则代表的运算不可以是（    ） A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的运算．利用有理数的加减乘除运算法则进行计算即可． 【详解】解：，，，． 综上，代表的运算不可以是加法． 故选：A． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了把有理数乘除混合运算统一为乘法运算，熟练掌握有理数的乘除法法则是解题的关键． 根据有理数的乘除法法则，即可求解． 【详解】解：                       ． 故选：B． 4．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）老师设计了计算接力游戏，规则是每名同学只能利用前面一个同学的式子进一步计算，将计算的结果传给下一个同学，最后解决问题．过程如下，自己负责的那一步错误的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】根据乘除的混合运算，按照从左到右的顺序进行计算，先将除法转化为乘法计算，即可求解． 【详解】解： ， ∴甲负责的那一步错误了， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握运算顺序是解题的关键． 5．（24-25七年级上·陕西商洛·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘除的混合运算，先将带分数化为假分数，再利用有理数乘除的混合运算法则计算，即可解题． 【详解】解： ． 6．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）小慧用计算器计算，她误操作输入了．若想得到正确结果，则小慧接下来应输入（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：故选：B． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读下列材料：计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数．所以原式． (1)上述得到的结果不同，你认为解法______是错误的； (2)计算：______． (3)请你选择合适的解法计算：． 【答案】(1)一 (2)15 (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握倒数法，是解题的关键： （1）除法没有分配律，解法一错误； （2）利用乘法分配律进行计算即可； （3）利用倒数法进行计算即可。 【详解】（1）解：除法没有分配律，故解法一错误； 故答案为：一； （2）； （3）原式的倒数 ， 所以原式． 8．（23-24七年级上·广东深圳·期中）简便运算能使学生思维的灵活性得到充分锻炼，对提高学生的计算能力起到非常大的作用．阅读下列相关材料． 材料一，计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算． 解：． ． 材料二，下列算式是一类两个两位数相乘的一种特殊计算方法． ； ； 根据以上材料，完成下列问题： (1)请你根据对材料一的理解，计算：； (2)请你根据对材料二的理解，计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题以材料题为背景，介绍了有理数运算中的简便运算．正确理解题意加以运用是解题关键． （1）利用材料一所给方法，先计算即可求解； （2）利用材料二所给方法即可计算． 【详解】（1）解： ， ∴； （2）解： ． 9．（24-25七年级上·河南许昌·期末）（1）若，，且，求的值； （2）已知有理数，满足，求的值． 【答案】（1）或；（2）或 【分析】本题考查绝对值的定义和性质，有理数的加法、减法、乘法和除法，熟练掌握绝对值的性质和化简是解题的关键． （1）先利用绝对值的定义求，，得出或，或，根据，得，可知，分别判断符合条件的、，再进行计算的值； （2）先利用，得出，或，，再分别计算即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， 解得：或，或， ∵， ∴， ∴， 当，时，，故舍； 当，时，，故舍； 当，时，， 则； 当，时，， 则； 综上所述，或； （2）∵， ∴，或，， 当，时， ； 当，时， ； 综上所述，或． 10．（23-24七年级上·北京海淀·阶段练习）有理数a，b，c都不为零，且，则 ． 【答案】1或 【详解】根据题意分析可得：有理数a，b，c中一个为正，两个为负或一个为负，两个为正，分情况讨论，利用绝对值的意义化简运算即可． 【分析】解：∵， ∴，，． ∵有理数a，b，c都不为零，且， ∴有理数a，b，c不同时为正，也不同时为负， ∴有理数a，b，c中一个为正，两个为负或一个为负，两个为正， 当有理数a，b，c中一个为正，两个为负时，假定， ∴原式 ， 当有理数a，b，c中一个为负，两个为正时，假定， ∴原式 ． 综上，或． 故答案为：1或． 【点睛】本题主要考查了绝对值，有理数的加法，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 11．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）【总结提炼】 小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则． 【解决问题】 （1）若，则 ． （2）若，则 ． 【拓展提升】 （3）若，计算：_________． 【答案】（1）或2（2）或1；（3）或或3 【分析】（1）分和，两种情况进行讨论求解即可； （2）分 中有一个负数和三个均为负数，两种情况进行讨论求解； （3）分，和，两种情况，进行讨论求解． 【详解】解：（1）∵， ∴同号， 当时：； 当时：； 故答案为：或2； （2）∵， ∴有两种情况：有一个负数和两个正数或三个均为负数， 当时，则：； 当有两个正数和一个负数时，假设：，则：； 故答案为：或1； （3）∵， ∴中有两正一负， ①当时：则：均为正， ∴， ∴； ②当时，则：一正一负， 若，则：，此时：； 如，则：，此时：； 综上，原式或或3． 故答案为：或或3 【点睛】本题考查化简绝对值，有理数乘法的符号法则．熟练掌握绝对值的性质，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 12．（24-25七年级下·湖南长沙·开学考试）如图，数轴上的点，，分别表示数，，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的序号有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小．有理数的运算法则．根据数轴，可得结合有理数的运算法则逐项判定即可． 【详解】解：①∵ ∴， ∴①正确； ②∵ ∴， ∴②正确； ③∵ ∴， ∴③正确； ④∵， ∴， ∴④正确． ∴正确的有①②③④． 故答案为：①②③④． 13．（24-25七年级上·广东中山·期中）点，在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是和，对于以下结论：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了绝对值的意义，比较两个数大小的方法，有理数的运算．由数轴得，，然后绝对值意义，用理数的加法、除法法则判断两数的和、差、商的符号即可． 【详解】解：由数轴得，， ∴，故错误，不符合题意； 由数轴得，， ∴，故正确，符合题意； 由数轴得，， ∴，故不符合题意； 由数轴得，， ∴，故正确，符合题意． 故答案为：②④． 14．（24-25七年级上·湖北黄冈·期末）已知是有理数，且，下列结论：①；②；③；④若，是有理数，且满足，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数乘除法计算，有理数加减法计算，灵活运用所学知识是解题的关键．根据两数相乘同号为正，异号为负可知，再由，可得，即可判断①，②；由，，化简绝对值即可判断③；根据，，推出，再由，得到或，即可判断④． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，，故①②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴或， ∴或， ∴或， ∴或，故④错误； ∴正确的有①②③， 故选：A． 15．（24-25七年级上·广东广州·期中）在质量检测中，从每盒标准质量为125克的酸奶中，抽取6盒，结果如下超出的克数记为正数，不足的克数记为负数： 编号 1 2 3 4 5 6 质量/克 126 127 124 126 123 125 差值/克 (1)补全表格中相关数据； (2)请计算这6盒酸奶的质量和． (3)平均每盒与标准质量相差多少克？ 【答案】(1)； (2)751克； (3)克 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数混合运算的应用，正确列出算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义即可求得答案； （2）用6盒的标准质量和加上6盒出入的质量和即可； （3）求出6盒出入质量的平均数即可． 【详解】（1）解：127记作； 124记作； 126记作； 123记作； 125记作0； 故答案为：； （2）解： （克）， 即这6盒酸奶的质量和为751克； （3） （克）， 即平均每盒与标准质量相差克． 16．（24-25七年级上·河南周口·期中）跑步是有效的有氧运动，小马同学在手机上下载了一款跑步软件，某天他在一条南北走向的马路上锻炼，他从家出发，每隔记录下自己的跑步情况（向南为正，单位：）： (1)后停下来休息，此时他在哪里？ (2)设小马平均每跑消耗0.6卡路里能量，求这他共消耗了多少能量． (3)如果消耗3000卡路里能量，身体将减少0.45千克的脂肪，小马今天晨练减少多少脂肪？ 【答案】(1)恰好在他家南100米； (2)他共消耗了1260卡路里能量； (3)0.189千克． 【分析】本题考查的是正负数的应用，有理数的加减运算，混合运算的应用； （1）求解记录数据之和，根据结果可得答案； （2）先求解路程和，再乘以即可； （3）先求解1卡路里能量能够减少的脂肪数量，再乘以卡路里即可； 【详解】（1）解：， 则恰好在他家南100米． （2）解：回到家路程为， 消耗能量为（卡路里）， 答：这他共消耗了1260卡路里能量． （3）解：消耗掉脂肪千克； 17．（24-25七年级上·安徽六安·期中）a是不为2的有理数，我们把称为a的“伴随数”，如3的“伴随数”是的“伴随数”是，已知是的“伴随数”是的“伴随数”，是的“伴随数”，…，以此类推，则等于（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，有理数的运算等知识点，根据所给“伴随数”的定义，依次求出，，…，发现规律即可解决问题，能通过计算发现从开始，这列数按4，，，重复出现是解题的关键． 【详解】由题意知， ∵， ∴，，，，…， 由此可知，从开始，这列数按4，，，重复出现， ∵， ∴， 故选：C． 18．（23-24七年级上·山东滨州·期末）对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，根据题意得出是解题关键． 【详解】解：∵， ∴ 故选：D 19．（24-25七年级上·全国·期中）若“!!”是一种数学运算符号，并且，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．将化为即可计算． 【详解】解：， 故选：D． 20．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）【阅读材料】 当有理数x不等于0时， 把2个相同的有理数的除法运算记作； 把3个相同的有理数的除法运算记作； 把4个相同的有理数的除法运算记作； ； 特别地，规定． 【解决问题】 (1)若，则__________； (2)__________；__________．； (3)计算：． 【答案】(1)4 (2)27， (3)48 【分析】本题考查了有理数的除法新运算，有理数的乘除混合运算，理解新运算是解题的关键． （1）根据运算的定义即可得到答案； （2）根据运算的定义计算即可得到答案； （3）根据运算的定义和有理数的运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：4； （2）解：， 故答案为：27； ， 故答案为：； （3）解：原式 ． 1．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）三个互不相等的有理数，可以表示为0，b，的形式，也可以表示为1，a，的形式，那么a的值为 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数除法计算，根据分母不为0以及三个数互不相等可得，，则，进而得到，则． 【详解】解：∵有意义， ∴， 又∵0与不相等， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）一个自然数，用它去除余，用它去除余，用它去除余，则 ． 【答案】 【分析】本题考查带余除法，熟练掌握被除数，除数，商与除数的关系是解题的关键； 根据被除数，除数，商与除数的关系即可求解； 【详解】解：由题意可知用这个自然数去除余，去除余， 即用这个自然数去除，，的余数相同，均为， 又因为， ， 所以此自然数为； 而， 所以， 故答案为： 3．（23-24七年级上·江苏淮安·开学考试）小明在计算除法时，把被除数472错看成427，结果商比原来小5，但余数恰好相同，则该题的余数是 ． 【答案】4 【详解】因为把被除数472错看成427，结果商比原来小5，但余数恰好相同， 所以是商的5倍，所以原来的商为， 所以原来的余数为，故答案为：4． 4．（24-25七年级上·山东济南·期中）已知非零实数，，满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查绝对值的性质，对已知条件进行分析，借助有理数的加法法则，假设，，之间的关系，是本题解题关键．对已知条件进行分析，由，，的对称性，不妨设，则，由此即可求解 【详解】解∶∵，且， ∴，，中有一个为， 不妨设，则， ∴， 不妨设，则， ∴ 故选∶． 5．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为 ． 【答案】 【分析】先化简x的表达式，再利用a，b，c中负因数的个数为奇数个分别求出最大值与最小值即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴a，b，c中负因数的个数为奇数个 ∴当时，x的最大值为， 当时，x的最小值为， ∴x的最大值与最小值的成绩为， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了有理数的除法，有理数的乘法，绝对值的性质，熟记运算法则是解题的关键． 6．（24-25七年级上·北京·期中）若，且，，，……，，这个数中有个正数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的除法运算，绝对值的意义，根据个数中有个正数，则有个负数，进而推出中，有个1，个，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：个数中有个负数， ∴中，有个1，个， ∴； 故选：D． 7．（24-25七年级上·四川遂宁·阶段练习）探究题：阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道，所以当时，；当时，． 请用上面的结论解决下列问题： (1)已知，是有理数，当时， ． (2)已知，，是有理数，当时， ． (3)已知，，，是有理数，当时，的最大值是 ． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值的意义， （1）根据，得出，或，，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （2）根据，得出a、b、c中有3个负数或一负两正，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （3）根据，得出、、、中有1个或3个负数，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴a、b同号，即，或，， ∴或； ∴当时，； 故答案为：． （2）解：∵， ∴a、b、c中有3个负数或两正一负， 当a、b、c都是负数时，； 当a、b、c中有两正一负时，设，； ∴时，的值为或； 故答案为：或． （3）解：∵， ∴、、、中有1个或3个负数 设， 设， ∴的最大值是 8．（2024·山西吕梁·二模）已知“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1=24，…，若公式 Cnm=（n＞m），则C125 =（  ） A．60 B．792 C．812 D．5040 【答案】B 【分析】根据公式和新定义的运算将数值代入公式求解即可． 【详解】解：C125 = 故选：B． 【点睛】关键是根据给出的式子，找出新的运算方法，再利用新的运算方法进行解答． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．例如：． （1）计算： ； （2）从，中任选两个有理数作为和，并计算，那么所有运算结果中的最大值是 ． 【答案】 【分析】（）直接利用规定的运算方法计算即可； （）要使结果最大，必须使这两个数的和最大，且两个数的差最小，由此可知和符合题意，由此按照规定的运算计算得出答案即可； 此题考查了新定义，以及有理数的混合运算，理解题意，掌握规定的运算方法是解题的关键． 【详解】解：（）， 故答案为：； （）根据题意和两个有理数符合题意， 则， 故答案为：． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$