第02讲 认识有理数 小升初衔接讲义2025-2026学年北师大版数学七年级上册

编者寄语 本套小升初衔接讲义主要包括7年级上册初中数学的“丰富的图形世界”、“有理数及其运算”、“整式及其加减”、“基本平面图形”和“一元一次方程”等章节的内容，进度匹配北师大版数学教材，其他版本教材的知识点和常考题型基本一致，老师们只要调节一下讲义的顺序和每一讲的课前热身部分即可匹配（课前热身部分主要是对上一讲内容的复习），目标是让学生学完本套讲义且在基本掌握的情况下可以拿下下学期考试80%的分数，剩下的内容新学期学习，从而保证暑假的内容和新学期的上课内容不会大面积雷同，而且对于没有学过这套讲义的同学新学期一样适用。本套讲义题量较为充足，且基本覆盖了大部分中档题型，对于基础较弱的同学和做题速度较慢的同学，老师们可能需要适当的勾选讲解内容和安排练习。 由于编者的时间和能力有限，而且学生的水平和基础差异较大，本套讲义可能做不到让老师们任何场合都可以拿来就用，但一定能帮老师们大大缩短备课时间，并且在此基础上适当的修改和加入自己的理解，就可以形成独特风格的讲义。 第2讲 认识有理数 【课前热身】 1．（2024秋•锡山区校级期末）一个如图所示的圆柱形水杯中装了半杯水，无论怎么放置水杯，水杯中水面的形状都不可能是　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•鼓楼区校级期末）如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，有“祖”字一面的相对面上的字是　　 A．我 B．爱 C．伟 D．国 3．（2024秋•金沙县期末）在一张桌子上放着几叠碗，如图．小红分别从上面、前面、左面观察所得到的图形，那么桌子上一共放着　　只碗 A．5 B．6 C．7 D．8 4．（2024春•龙凤区校级期末）如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体，在保持主视图和左视图不变的情况下，最多可以拿掉 　　个小正方体． 5．（2023秋•秦州区期末）一个几何体由若干大小相同的小正方体搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，若组成这个几何体的小正方体最少需要个，最多需要个，则　　． 【学习目标】 1、掌握有理数的有关概念； 2、能准确对有理数进行分类； 3、掌握相反数的意义。 【考点分类】 考点一：正数与负数 1、具有相反意义的量：“收入200元与支出300元”、“向东走200米与向西走100米”、“上升2.3米与下降1.5米”、“零上4℃与零下6℃”等都是具有相反意义的量。为了表示具有相反意义的量，我们把其中一个量规定为正的，用正数来表示，而把与这个量意义相反的量规定为负的，用负数来表示。例如，规定收入200元记作+200元，支出300元则记作-300元；上升2.3米作+2.3米，下降1.5米则记作-1.5米。 2、正数与负数： 正数：+2,+7.88,π…,这些大于0的数叫做正数，正数前面的“+”可以省略。 负数：-2,-7.88,-1.010010001…，这些在数前面加上“-”号的数叫做负数。负数前面的“-”号不可以省略。 注意：对于正数和负数，不能简单理解为带“+”号的数就是正数，带“-”号的数就是负数，例如+(-5)不是正数，-(-1)也不是负数。0既不是正数也不是负数。 【例1】（2024秋•新宾县期中）中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．如果盈利90元记作元，那么亏本70元记作　　 A．元 B．元 C．元 D．元 【例2】（2024秋•东坡区校级期中）下列各组数据中，不是具有相反意义的量的是　　 A．前进和后退 B．节约3吨和浪费3吨 C．身高增加和体重减少 D．气温下降和气温上升 【例3】（2023秋•金堂县校级月考）连云港制药厂生产的某药品说明书上标明药品保存的温度是，该药品在　　范围内保存才合适． 【例4】（2024秋•锦江区校级月考）一种品牌大米袋上标有质量为的字样，任意拿出该品牌大米两袋，它们的质量最多相差　　． 【变式训练】 1．（2023秋•金堂县校级月考）秦始皇出生于公元前259年，我们记作，那么李白出生于公元（后年记作　　 A．701 B． C． D．442 2．（2025•港北区三模）如果一个物体向右移动3米记作移动米，那么这个物体又移动了米的意思是　　 A．物体又向右移动了3米 B．物体又向右移动了6米 C．物体又向左移动了3米 D．物体又向左移动了6米 3．（2024秋•朝阳区校级月考）一种产品的质量标识为“千克”，则下列产品质量中合格的是　　 A．27.70千克 B．27.75千克 C．28.1千克 D．28.70千克 4．（2024秋•锡林郭勒盟期中）一批零件超过规定长度记为正数．短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好．检查其中四个，结果如下：第一个为；第二个为；第三个为；第四个为．则这四个零件中质量最好的是　　 A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 5．（2024秋•成华区校级月考）某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为、、的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•龙泉驿区期中）下表是国外城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数） 城市 纽约 巴黎 东京 多伦多 时差（时 如果现在东京时间是，那么纽约时间是　 　． （以上均为24小时制） 7．（2023秋•锦江区校级期末）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为上沿着网格线运动，它从处出发去看望、、处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．例如从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． （1）图中　　，　　，　　； （2）若这只甲虫从处去处的行走路线依次为，，，，请在图中标出的位置； （3）若这只甲虫从处去处的行走路线依次为，，，，，，，则　　． 考点二：有理数的分类 1、有理数按定义分类： 和 ；七年级常见的非有理数是 ，如 和 ； 2、有理数按符号分类： 、 和 ； 注意：有限小数和循环小数都可以化成分数，所以都属于分数。 【例1】（2024秋•成华区校级月考）下列说法正确的是　　 A．整数分为正整数和负整数 B．有理数不包括分数 C．正分数和负分数统称为分数 D．不带“”号的数就是正数 【例2】（2024秋•青羊区校级月考）下列说法中正确的是　　 A．是负数 B．非负数都是正数 C．正数和负数统称为有理数 D．整数和分数统称有理数 【例3】（2024春•绥棱县期末）　　既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界线． 【例4】（2024秋•武侯区校级月考）把下列各数填在相应的大括号里： ，，0，，，，2013， 正分数集合：　 　 负有理数集合：　 　 无理数集合：　 　 非负整数集合：　 　 【例5】（2016秋•泗洪县校级期中）设是最小的正整数，是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，则、、三数的积为　　 A． B．0 C．1 D．不存在 【变式训练】 1．（2024秋•青羊区校级月考）以下说法正确的是　　 A．有理数可分为正数和负数两类 B．符号不同的两个数互为相反数 C．两数相加，和一定大于任何一个加数 D．0既可以表示没有，还可以用来表示某种量的基准 2．（2024秋•武侯区校级月考）下列说法中正确的是　　 A．一个有理数不是正数就是负数 B．正整数与负整数统称为整数 C．正分数、0、负分数统称为分数 D．整数与分数统称为有理数 3．（2022秋•平原县校级期末）下列说法：①有理数中，0的意义仅表示没有；②整数包括正整数和负整数；③正数和负数统称有理数；④0是最小的整数；⑤负分数是有理数．其中正确的个数　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 4．（2024秋•高新区月考）下列结论正确的是　　 A．不大于0的数一定是负数 B．海拔高度是0米表示没有高度 C．0是非正数 D．不是正数的数一定是负数 5．（2024秋•武侯区校级月考）把下列各数填在对应的大括号内： ；；0；；；；2021；；；0.75；；． 正分数集合：　 　； 负整数集合：　 　； 负数集合：　 　； 非负整数集合：　 　． 6．（2022秋•玉山县期末）设三个互不相等的有理数，既可分别表示为1、、的形式，又可分别表示为的形式，则的值为 　　． 考点三：数轴 1、数轴必须满足四个条件： ①是 线； ②有 点； ③规定了 方向； ④单位长度 ； 2、数轴的特征： ①原点左边的数全是 数，原点右边的数全是 数； ②右边的数比左边的数 ； ③数轴上每一个点对应一个 数； ④数轴比有理数范围 ； 【例1】（2024秋•成华区校级月考）如图，表示的数轴正确的是　　 A．B． C．D． 【例2】（2024秋•武侯区校级月考）（1）将下列各数表示在数轴上．，0，，3，0.5； （2）用“”连接上述各数． 【例3】（2024秋•成都期中）点在数轴上表示的数是3，从点出发向右移动4个单位长度，再向左移动6个单位长度到达点，则点表示的数是 　　． 【例4】（2024秋•郫都区校级期中）如图，数轴上的点，，，所表示的数最小的是 A．点 B．点 C．点 D．点 【例5】（2024秋•武侯区校级月考）、、三点在数轴上的位置如图所示，则、、的大小关系 　　． 【例6】（2024秋•青羊区校级月考）根据有理数、、，在数轴上的位置，比较、、的大小，则　　 A． B． C． D． 【例7】（2024秋•青羊区校级月考）如图，一条数轴上有点，，，其中点、表示的数分别是、9，现在以点为折点将数轴向右对折，若点落在射线上，且，则点表示的数是 　　． 【例8】（2024秋•成华区校级月考）如图，将一个半径为1个单位长度的圆片上的点放在原点，并把圆片沿数轴滚动1周，点到达点的位置，则点表示的数是 　　；若起点开始时是与重合的，则滚动2周后点表示的数是 　　． 【变式训练】 1．（2024秋•武侯区校级月考）下列图形中是数轴的是　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•锦江区校级月考）把如图的直线补充成一条数轴，在数轴上表示下列各数，并将它们用“”符号连接起来． ，0，，2.5，， 3．（2024秋•郫都区校级期中）如图，直尺上“”处对应数轴上的数是　　． 4．（2024秋•双流区校级月考）数轴上大于且不大于3之间的所有整数之和是　　． 5．（2024秋•温江区校级期中）在数轴上，点表示的数是1，若点到的距离是3，则点表示的数是　　 A．4 B． C．4或 D．3或 6．（2024•雁塔区校级三模）一只电子蚂蚁沿数轴从点向右爬行2个单位长度到达点，若点表示的数为，则点表示的数为 　　． 7．（2024秋•郫都区校级期中）有理数，在数轴上的位置如图所示，比较，，，的大小，正确的是　　 A． B． C． D． 8．（2024秋•武侯区校级期中）如图，数轴上点，，分别表示数，，，那么原点的位置是　　 A．在线段上 B．在线段上 C．在点的左侧 D．在点的右侧 9．（2024秋•双流区校级期中）有理数、在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是　　 A． B． C． D． 10．（2024秋•锦江区校级月考）在一条可以折叠的数轴上，，表示的数分别是，4，如图，以点为折点，将此数轴向右对折，若点在点的右边，且，则点表示的数是 　　． 11．（2024秋•武侯区校级月考）如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒个单位，大圆的运动速度为每秒个单位．若两圆同时在数轴上沿着同一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距，此时两圆与数轴重合的点所表示的数为　　． 考点四：相反数 1、在数轴上，如果两个数所对应的点位于原点的 ，且与原点的距离 ，那么这两个数互为相反数。 2、0的相反数是 ，互为相反数的两数相加和为 ，求一个数的相反数就是在这个数前面加上 号，如果这个数是一个代数式，先把整个代数式 ，再在括号前面加上 号，然后 。 【例1】（2024秋•成都月考）的相反数是　　 A．12 B． C． D． 【例2】如图，点，，，在数轴上的位置如图所示，其中表示的相反数的点是　　 A． B． C． D． 【例3】（2024秋•天山区校级月考）下列各对数中，互为相反数的是　　 A．与 B．与 C．与5 D．5与 【例4】（2020秋•金牛区校级月考）的相反数是，那么是　　 A．5 B． C．2 D．1 【例5】（2022秋•霸州市校级月考）若实数、互为相反数，则下列等式中恒成立的是　　 A． B． C． D． 【例6】（2020•徐州一模）下列各数中，相反数等于本身的数是　　 A． B．0 C． D．2020 【例7】（2023秋•夏津县校级月考）如果的相反数是最大的负整数，的相反数是最小的正整数，　　． 【例8】（2024秋•武侯区校级月考）若，为相反数，则为 　　． 【变式训练】 1．（2024秋•云梦县月考）下面说法正确的有　　 ①符号相反的数互为相反数； ②的相反数是3.8； ③一个数和它的相反数不可能相等；④正数与负数互为相反数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（2022秋•平山县校级期末）若，则的相反数是　 　． 3．（2024秋•南昌月考）的相反数是　　，的相反数是　　． 4．（2021秋•文登区期中）若，互为相反数，则下列各组数中不是互为相反数的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 5．（2022秋•上城区校级期中）若和互为相反数，且，则下列各组中，不是互为相反数的一组是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 6．（2021秋•安阳期中）数轴上，两点表示的数互为相反数，且点与点之间的距离是 8个单位长度，则点表示的数是　　 A．8或 B．4或 C．8 D． 7．（2023秋•子洲县期末）若代数式的值与代数式的值互为相反数，则　　． 8．（2024春•南岗区校级期中）如果，互为倒数，，互为相反数，那么　　． 9．（2024秋•福州期中）已知，若、互为相反数，则 　　． 【过关精练】 1．（2025春•哈尔滨校级期中）下列具有相反意义的两个量是　　 A．向东走20米和向南走20米 B．盈利200元和赚了200元 C．零上和零下 D．支出30元和标价30元 2．（2023秋•秀英区校级期中）（1）把下列各数分别填入表示它所在的数集图里： ，，0，，，，11，， （2）图中区表示 　　数集，区表示 　　数集． 3．有这样四句话：（1）是相反数；（2）和3都是相反数；（3）是3的相反数，同样3也是的相反数；（4）与3互为相反数，其中说得对的是　　 A．（1）与（2） B．（2）与（3） C．（1）与（4） D．（3）与（4） 4．（2024秋•成都月考）已知是数轴上的一点，把点向左移动3个单位后再向右移1个单位长度，那么点表示的数是 　　． 5．（2024秋•成华区校级月考）在数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离为5，则　　． 6．（2024秋•合肥月考）（1）如图，数轴的单位长度为1，如果点，表示的数互为相反数，那么点表示的数是 　　； （2）数轴上点表示，，两点表示的数互为相反数，且点到点的距离是2，则点表示的数应该是 　　． 7．（2024秋•金安区校级期中）一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是、9，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在点的右边，并且点与点的距离为3则点表示的数是 　　． 8．（2024春•永城市期末）如图所示，直径为1个单位长度的圆从表示的点沿数轴负半轴方向无滑动地滚动一周到达点，则点表示的数是　　 A． B． C． D． 9．（2025•献县一模）若和互为相反数，和互为倒数，是最大的负整数，则的值为　　 ． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2讲 认识有理数 【课前热身】 1．（2024秋•锡山区校级期末）一个如图所示的圆柱形水杯中装了半杯水，无论怎么放置水杯，水杯中水面的形状都不可能是　　 A． B． C． D． 【解答】解：对于选项， 当圆柱形水杯倾斜一定的角度时，水面的形状是椭圆， 该选项不符合题意； 对于选项， 无论将圆柱形水杯怎样放置，水面的形状都不是一般的平行四边形， 该选项符合题意； 对于选项， 当圆柱形水杯水平放置时，水面的形状是长方形， 该选项不符合题意； 对于选项， 当圆柱形水杯竖直放置时，水面的形状是圆， 该选项不符合题意， 故选：． 2．（2024秋•鼓楼区校级期末）如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，有“祖”字一面的相对面上的字是　　 A．我 B．爱 C．伟 D．国 【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、端是对面”可知， “祖”的对面是“伟”， 故选：． 3．（2024秋•金沙县期末）在一张桌子上放着几叠碗，如图．小红分别从上面、前面、左面观察所得到的图形，那么桌子上一共放着　　只碗 A．5 B．6 C．7 D．8 【解答】解：由上面看到的形状可知一共有3叠碗， （只， 所以桌子上一共放着7只碗． 故选：． 4．（2024春•龙凤区校级期末）如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体，在保持主视图和左视图不变的情况下，最多可以拿掉 　1　个小正方体． 【解答】解：该组合体的主视图如下：保持主视图不变可拿掉前两行的4个正方体； 该组合体的左视图如下：保持左视图不变可拿掉后面的4个正方体． 在保持主视图和左视图不变的情况下，最多可以拿掉重叠的1个正方体． 故答案为：1． 5．（2023秋•秦州区期末）一个几何体由若干大小相同的小正方体搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，若组成这个几何体的小正方体最少需要个，最多需要个，则　　． 【解答】解：最多有：（个，最少有：（个， ， 故答案为：． 【学习目标】 1、掌握有理数的有关概念； 2、能准确对有理数进行分类； 3、掌握相反数意义。 【考点分类】 考点一：正数与负数 1、具有相反意义的量：“收入200元与支出300元”、“向东走200米与向西走100米”、“上升2.3米与下降1.5米”、“零上4℃与零下6℃”等都是具有相反意义的量。为了表示具有相反意义的量，我们把其中一个量规定为正的，用正数来表示，而把与这个量意义相反的量规定为负的，用负数来表示。例如，规定收入200元记作+200元，支出300元则记作-300元；上升2.3米作+2.3米，下降1.5米则记作-1.5米。 2、正数与负数： 正数：+2,+7.88,π…,这些大于0的数叫做正数，正数前面的“+”可以省略。 负数：-2,-7.88,-1.010010001…，这些在数前面加上“-”号的数叫做负数。负数前面的“-”号不可以省略。 注意：对于正数和负数，不能简单理解为带“+”号的数就是正数，带“-”号的数就是负数，例如+(-5)不是正数，-(-1)也不是负数。0既不是正数也不是负数。 【例1】（2024秋•新宾县期中）中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．如果盈利90元记作元，那么亏本70元记作　　 A．元 B．元 C．元 D．元 【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果盈利90元记作元，那么亏本70元记作元． 故选：． 【例2】（2024秋•东坡区校级期中）下列各组数据中，不是具有相反意义的量的是　　 A．前进和后退 B．节约3吨和浪费3吨 C．身高增加和体重减少 D．气温下降和气温上升 【解答】解：．前进和后退是具有相反意义的量，故本选项不符合要求； ．节约3吨和浪费3吨是具有相反意义的量，故本选项不符合要求； ．身高增加和体重减少不是具有相反意义的量，故本选项不符合要求； ．气温下降和气温上升是具有相反意义的量，故本选项不符合要求； 故选：． 【例3】（2023秋•金堂县校级月考）连云港制药厂生产的某药品说明书上标明药品保存的温度是，该药品在 　　范围内保存才合适． 【解答】解：温度是，表示最低温度是，最高温度是，即之间是合适温度． 故答案为：． 【例4】（2024秋•锦江区校级月考）一种品牌大米袋上标有质量为的字样，任意拿出该品牌大米两袋，它们的质量最多相差　0.35　． 【解答】解：由题意得大米的最大质量为20.25千克，最小质量为19.9千克， 质量最多相差千克， 故答案为：0.35． 【变式训练】 1．（2023秋•金堂县校级月考）秦始皇出生于公元前259年，我们记作，那么李白出生于公元（后年记作　　 A．701 B． C． D．442 【解答】解：秦始皇出生于公元前259年，我们记作，那么李白出生于公元（后年记作． 故选：． 2．（2025•港北区三模）如果一个物体向右移动3米记作移动米，那么这个物体又移动了米的意思是　　 A．物体又向右移动了3米 B．物体又向右移动了6米 C．物体又向左移动了3米 D．物体又向左移动了6米 【解答】解：如果一个物体向右移动3米记作移动米，那么这个物体又移动了米的意思是物体又向左移动了3米， 故选：． 3．（2024秋•朝阳区校级月考）一种产品的质量标识为“千克”，则下列产品质量中合格的是　　 A．27.70千克 B．27.75千克 C．28.1千克 D．28.70千克 【解答】解：由题知， ，， 所以该产品合格的质量范围是千克． 因为， 所以选项不符合题意． 因为， 所以选项不符合题意． 因为， 所以选项符合题意． 因为， 所以选项不符合题意． 故选：． 4．（2024秋•锡林郭勒盟期中）一批零件超过规定长度记为正数．短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好．检查其中四个，结果如下：第一个为；第二个为；第三个为；第四个为．则这四个零件中质量最好的是　　 A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 【解答】解：，，，， ， 第一个零件质量最好， 故选：． 5．（2024秋•成华区校级月考）某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为、、的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差　　 A． B． C． D． 【解答】解：根据题意从中找出两袋质量波动最大的，则相差． 故选：． 6．（2023秋•龙泉驿区期中）下表是国外城市与北京的时差 （带 正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数） 城市 纽约 巴黎 东京 多伦多 时差 （时 如果现在东京时间是，那么纽约时间是　　． （以 上均为 24 小时制） 【解答】解：由表格可得， 东京时间比纽约时间快的时数为：， 当东京时间是时， 纽约时间为：（时， 即如果现在东京时间是，那么纽约时间是， 故答案为：． 7．（2023秋•锦江区校级期末）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为上沿着网格线运动，它从处出发去看望、、处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．例如从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． （1）图中　3　，　　，　　； （2）若这只甲虫从处去处的行走路线依次为，，，，请在图中标出的位置； （3）若这只甲虫从处去处的行走路线依次为，，，，，，，则　　． 【解答】解：（1）规定：向上向右走为正，向下向左走为负， 记为记为，记为； （2）点位置如图所示． （3）， 若这只甲虫从处去处的行走路线依次为，，，，，，，则． 故答案为：（1）3；4；；（3）7． 考点二：有理数的分类 1、有理数按定义分类：整数和分数；七年级常见的非有理数是无限不循环小数，如π和 3.010010001……； 2、有理数按符号分类： 正数 、 负数 和 0 ； 注意：有限小数和循环小数都可以化成分数，所以都属于分数。 【例1】（2024秋•成华区校级月考）下列说法正确的是　　 A．整数分为正整数和负整数 B．有理数不包括分数 C．正分数和负分数统称为分数 D．不带“”号的数就是正数 【解答】解：．整数分为正整数、零和负整数，原说法错误，故本选项不合题意； ．整数和负数统称有理数，原说法错误，故本选项不合题意； ．正分数和负分数统称为分数，说法正确，故本选项符合题意； ．不带“”号的数就是正数，说法错误，如0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意． 故选：． 【例2】（2024秋•青羊区校级月考）下列说法中正确的是　　 A．是负数 B．非负数都是正数 C．正数和负数统称为有理数 D．整数和分数统称有理数 【解答】解：当时，是正数， 选项不正确； 非负数包括0和正数， 选项不正确； 有理数包括正数、0和负数， 选项不正确； 有理数包括整数和分数，整数包括正整数、0和负整数，分数包括正分数和负分数， 选项正确． 故选：． 【例3】（2024春•绥棱县期末）　0　既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界线． 【解答】解：0既不是正数也不是负数，它是正数与负数的临界点． 故答案为：0． 【例4】（2024秋•武侯区校级月考）把下列各数填在相应的大括号里： ，，0，，，，2013， 正分数集合：　，　 负有理数集合：　　 无理数集合：　　 非负整数集合：　　 【解答】解：正分数集合：， 负有理数集合：， 无理数集合：， 非负整数集合： 0，， 故答案为：，；，；，； 0，2013． 【例5】（2016秋•泗洪县校级期中）设是最小的正整数，是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，则、、三数的积为　　 A． B．0 C．1 D．不存在 【解答】解：由题意可知： ，，， ． 故选：． 【变式训练】 1．（2024秋•青羊区校级月考）以下说法正确的是　　 A．有理数可分为正数和负数两类 B．符号不同的两个数互为相反数 C．两数相加，和一定大于任何一个加数 D．0既可以表示没有，还可以用来表示某种量的基准 【解答】解：、有理数可分为正有理数、0和负有理数，原说法错误，故此选项不符合题意； 、只有符号不同的两个数互为相反数，原说法错误，故此选项不符合题意； 、两数相加，和不一定大于任何一个加数，如，而，，原说法错误，故此选项不符合题意； 、0既可以表示没有，还可以用来表示某种量的基准，此选项符合题意； 故选：． 2．（2024秋•武侯区校级月考）下列说法中正确的是　　 A．一个有理数不是正数就是负数 B．正整数与负整数统称为整数 C．正分数、0、负分数统称为分数 D．整数与分数统称为有理数 【解答】解：．一个有理数不是正数就是负数或0，故不符合题意； ．正整数与负整数和0，统称为整数，故不符合题意； ．正分数、负分数统称为分数，故不符合题意； ．整数与分数统称为有理数，故符合题意； 故选：． 3．（2022秋•平原县校级期末）下列说法：①有理数中，0的意义仅表示没有；②整数包括正整数和负整数；③正数和负数统称有理数；④0是最小的整数；⑤负分数是有理数．其中正确的个数　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【解答】解：①在有理数中，0的意义不仅表示没有，在进行运算时，0还表示正数与负数的分界等，故①错误； ②整数包括正整数、负整数和0，故②错误； ③整数和分数统称为有理数，故③错误； ④整数包括正整数和负整数、0，因此0不是最小的整数，故错误； ⑤所有的分数都是有理数，因此正确； 综上，⑤正确， 故选：． 4．（2024秋•高新区月考）下列结论正确的是　　 A．不大于0的数一定是负数 B．海拔高度是0米表示没有高度 C．0是非正数 D．不是正数的数一定是负数 【解答】解：不大于0的数包括0和负数，则不符合题意； 海拔高度是0米表示它与海平面持平，则不符合题意； 非正数包括0和负数，则符合题意； 不是正数的数是0或负数，则不符合题意； 故选：． 5．（2024秋•武侯区校级月考）把下列各数填在对应的大括号内： ；；0；；；；2021；；；0.75；；． 正分数集合：　，0.75，，　； 负整数集合：　　； 负数集合：　　； 非负整数集合：　　． 【解答】解：正分数集合：，0.75，，． 负整数集合：，； 负数集合：，，，， 非负整数集合：，2021，． 故答案为：，0.75，，；；0，2021，． 6．（2022秋•玉山县期末）设三个互不相等的有理数，既可分别表示为1、、的形式，又可分别表示为的形式，则的值为 　0或　． 【解答】解：三个互不相等的有理数，既表示为1，，的形式，又可以表示为的形式， 这两个数组的数分别对应相等． 与中有一个是4，与中有一个是1， 若，，则， 则， 则； 若，或， 则时，，（不合题意舍去）； 时，，； 则． 故的值为0或． 故答案为：0或． 考点三：数轴 1、数轴必须满足四个条件： ①是直线； ②有原点（即“0”）； ③规定了正方向（即在最右端有一个向右的箭头）； ④单位长度相等（即距离相等的两个数之间的长度要相等）； 2、数轴的特征： ①原点左边的数全是负数，原点右边的数全是正数； ②右边的数比左边的数大； ③数轴上每一个点对应一个不同数； ④数轴比有理数范围大； 【例1】（2024秋•成华区校级月考）如图，表示的数轴正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：本题考查数轴定义故选：． 【例2】（2024秋•武侯区校级月考）（1）将下列各数表示在数轴上．，0，，3，0.5； （2）用“”连接上述各数． 【解答】解：（1）如图所示： （2）由（1）可知， 从小到大顺序为：． 【例3】（2024秋•成都期中）点在数轴上表示的数是3，从点出发向右移动4个单位长度，再向左移动6个单位长度到达点，则点表示的数是 　1　． 【解答】解：， 点表示的数是1． 故答案为：1． 【例4】（2024秋•郫都区校级期中）如图，数轴上的点，，，所表示的数最小的是　　 A．点 B．点 C．点 D．点 【解答】解：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大， 数轴上的点，，，中，点所表示的数最小， 故选：． 【例5】（2024秋•武侯区校级月考）、、三点在数轴上的位置如图所示，则、、的大小关系 　　． 【解答】解：由题意可得且， ． 故答案为：． 【例6】（2024秋•青羊区校级月考）根据有理数、、，在数轴上的位置，比较、、的大小，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：由数轴上，，的位置可知： ，，，， ，， ， ， ． 故选：． 【例7】（2024秋•青羊区校级月考）如图，一条数轴上有点，，，其中点、表示的数分别是、9，现在以点为折点将数轴向右对折，若点落在射线上，且，则点表示的数是 　或　． 【解答】解：分两种情况： ①如图所示： 点、表示的数分别是、9， ， 以点为折点将数轴向右对折，若点落在射线上，且， ， ， 点表示的数是； ②如图所示： 点、表示的数分别是、9， ， 以点为折点将数轴向右对折，若点落在射线上，且， ， ，点表示的数是； 综上所述，点表示的数是或． 【例8】（2024秋•成华区校级月考）如图，将一个半径为1个单位长度的圆片上的点放在原点，并把圆片沿数轴滚动1周，点到达点的位置，则点表示的数是 　或　；若起点开始时是与重合的，则滚动2周后点表示的数是 　　． 【解答】解：圆的半径为1个单位长度， 此圆的周长， 当圆片向左滚动一周时，点表示的数是；当圆片向右滚动一周时，点表示的数是， 若起点开始时是与重合的，圆片向左滚动2周时，则表示的数是；圆片向右滚动2周时，表示的数是， 故答案为：或；或． 【变式训练】 1．（2024秋•武侯区校级月考）下列图形中是数轴的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：、正确； 、没有原点，错误． 、的单位长度不一致，错误； 、原点左边数据标错，错误； 故选：． 2．（2024秋•锦江区校级月考）把如图的直线补充成一条数轴，在数轴上表示下列各数，并将它们用“”符号连接起来． ，0，，2.5，， 【解答】解：，，0，，2.5，，， ． 3．（2024秋•郫都区校级期中）如图，直尺上“”处对应数轴上的数是　　． 【解答】解：根据数轴上所给的信息分析可得：1个单位长度是， 原点的位置在处， 处所对应的数是． 故答案为：． 4．（2024秋•双流区校级月考）数轴上大于且不大于3之间的所有整数之和是　3　． 【解答】解：由题意可得：数轴上大于且不大于3的所有整数之和是， 故答案为：3． 5．（2024秋•温江区校级期中）在数轴上，点表示的数是1，若点到的距离是3，则点表示的数是　　 A．4 B． C．4或 D．3或 【解答】解：设点表示的数为，则，所以或； 故选：． 6．（2024•雁塔区校级三模）一只电子蚂蚁沿数轴从点向右爬行2个单位长度到达点，若点表示的数为，则点表示的数为 　　． 【解答】解：一只电子蚂蚁沿数轴从点向右爬行2个单位长度到达点，点表示的数为， 可以判断点在原点的左侧，且点与点的距离是2个单位长度， 点表示的数为：， 故答案为：． 7．（2024秋•郫都区校级期中）有理数，在数轴上的位置如图所示，比较，，，的大小，正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：由图可得，，且， 则有：． 故选：． 8．（2024秋•武侯区校级期中）如图，数轴上点，，分别表示数，，，那么原点的位置是　　 A．在线段上 B．在线段上 C．在点的左侧 D．在点的右侧 【解答】解：由点，，的位置可知，，且， ，即， ， ， 原点一定在上，且靠近点． 故选：． 9．（2024秋•双流区校级期中）有理数、在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：由数轴图可知，， ，，，， 选项错误，不符合题意，选项正确，符合题意． 故选：． 10．（2024秋•锦江区校级月考）在一条可以折叠的数轴上，，表示的数分别是，4，如图，以点为折点，将此数轴向右对折，若点在点的右边，且，则点表示的数是 　　． 【解答】解：设点表示的数是， 则，， ， 即， 解得：， 点表示的数是． 故答案为：． 11．（2024秋•武侯区校级月考）如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒个单位，大圆的运动速度为每秒个单位．若两圆同时在数轴上沿着同一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距，此时两圆与数轴重合的点所表示的数为　，或，　． 【解答】解：设时间为秒，分情况讨论： ①同向右滚动： 秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数：， 小圆与数轴重合的点所表示的数为：， ， ， ， ，， 所表示的数分别为、； ②同向左滚动： 秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数：， 小圆与数轴重合的点所表示的数：， ， ， ， ，， 表示的数分别为、． 两圆与数轴重合的点所表示的数为，或，． 故答案为：，或，． 考点四：相反数 1、在数轴上，如果两个数所对应的点位于原点的 两侧 ，且与原点的距离 相等 ，那么这两个数互为相反数。 2、0的相反数是 0 ，互为相反数的两数相加和为 0 ，求一个数的相反数就是在这个数前面加上 负 号，如果这个数是一个代数式，先把整个代数式 括起来 ，再在括号前面加上 负 号，然后 化简 。 【例1】（2024秋•成都月考）的相反数是　　 A．12 B． C． D． 【解答】解：的相反数是12． 故选：． 【例2】如图，点，，，在数轴上的位置如图所示，其中表示的相反数的点是　　 A． B． C． D． 【解答】解：表示的相反数的点在原点的右侧，且到原点的距离为3个单位长度的点，如图： 根据点、、、在数轴上的位置，可得点符合题意， 故选：． 【例3】（2024秋•天山区校级月考）下列各对数中，互为相反数的是　　 A．与 B．与 C．与5 D．5与 【解答】解：．，故本选项不符合题意； ．，5与互为相反数，故本选项符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意． 故选：． 【例4】（2020秋•金牛区校级月考）的相反数是，那么是　　 A．5 B． C．2 D．1 【解答】解：的相反数是， ， 解得． 故选：． 【例5】（2022秋•霸州市校级月考）若实数、互为相反数，则下列等式中恒成立的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为绝对值相等且符号不同的两个数互为相反数， 则互为相反数的两数和为零． 又与互为相反数， 所以． 故选：． 【例6】（2020•徐州一模）下列各数中，相反数等于本身的数是　　 A． B．0 C． D．2020 【解答】解：、的相反数是2019，故本选项错误； 、0的相反数是0，故本选项正确； 、的相反数是，故本选项错误； 、2020的相反数是，故本选项错误； 故选：． 【例7】（2023秋•夏津县校级月考）如果的相反数是最大的负整数，的相反数是最小的正整数，　0　． 【解答】解：最大的负整数为， 的相反数为， 则， 最小的正整数为1， 的相反数为1， 则， 则． 故答案为：0． 【例8】（2024秋•武侯区校级月考）若，为相反数，则为 　　． 【解答】解：，为相反数， ， ．故答案为：． 【变式训练】 1．（2024秋•云梦县月考）下面说法正确的有　　 ①符号相反的数互为相反数； ②的相反数是3.8； ③一个数和它的相反数不可能相等； ④正数与负数互为相反数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解答】解：①只有符号相反的数互为相反数，故此选项错误； ②，3.8的相反数是；故此选项错误； ③0的相反数等于0，故此选项错误； ④正数与负数不一定互为相反数，故此选项错误； 故正确的有0个， 故选：． 2．（2022秋•平山县校级期末）若，则的相反数是　3　． 【解答】解：， ， 即的相反数为3． 故答案为：3． 3．（2024秋•南昌月考）的相反数是　　，的相反数是　　． 【解答】解：的相反数是，的相反数是， 故答案为：，． 4．（2021秋•文登区期中）若，互为相反数，则下列各组数中不是互为相反数的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 【解答】解：、，互为相反数， 和也是互为相反数，故此选项不符合题意； 、，互为相反数， 和也是互为相反数，故此选项不符合题意； 、，互为相反数， 和也是互为相反数，故此选项不符合题意； 、，互为相反数， 和不是互为相反数，如，，，，和不是互为相反数，故此选项符合题意； 故选：． 5．（2022秋•上城区校级期中）若和互为相反数，且，则下列各组中，不是互为相反数的一组是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 【解答】解：由题意得：，． ．根据相反数的定义，由，得，故与互为相反数，那么不符合题意． ．根据有理数的乘方，由，得，故和不互为相反数，那么符合题意． ．由，得，故和互为相反数，那么不符合题意． ．由，得，故和互为相反数，那么不符合题意． 故选：． 6．（2021秋•安阳期中）数轴上，两点表示的数互为相反数，且点与点之间的距离是8个单位长度，则点表示的数是　　 A．8或 B．4或 C．8 D． 【解答】解：设、表示的数为、． 当在的左侧时，由题意得：． ． 点表示的数为． 当在的右侧时，由题意得． ． 点表示的数为4． 综上：点表示的数为． 故选：． 7．（2023秋•子洲县期末）若代数式的值与代数式的值互为相反数，则　　． 【解答】解：代数式的值与代数式的值互为相反数， ， 解得：， 故答案为：． 8．（2024春•南岗区校级期中）如果，互为倒数，，互为相反数，那么　　． 【解答】解：和互为倒数，和互为相反数， ，， ． 故答案为：． 9．（2024秋•福州期中）已知，若、互为相反数，则 　2017　． 【解答】解：、互为相反数， ， ， 解得， 故答案为：2017． 【过关精练】 1．（2025春•哈尔滨校级期中）下列具有相反意义的两个量是　　 A．向东走20米和向南走20米 B．盈利200元和赚了200元 C．零上和零下 D．支出30元和标价30元 【解答】解：根据相反意义的量逐项分析判断如下： 、向东和向西具有相反意义，错误，不符合题意； 、盈利和亏损具有相反意义，错误，不符合题意； 、零上和零下是具有相反意义的量，正确，符合题意； 、支出和收入具有相反意义，错误，不符合题意； 故选：． 2．（2023秋•秀英区校级期中）（1）把下列各数分别填入表示它所在的数集图里： ，，0，，，，11，， （2）图中区表示 　正整数　数集，区表示 　　数集． 【解答】解：（1）把各数分别填在数集图中为： ； （2）图中区表示正整数数集，区表示负整数数集， 故答案为：正整数，负整数． 3．有这样四句话：（1）是相反数；（2）和3都是相反数；（3）是3的相反数，同样3也是的相反数；（4）与3互为相反数，其中说得对的是　　 A．（1）与（2） B．（2）与（3） C．（1）与（4） D．（3）与（4） 【解答】解：是3的相反数，同样3也是的相反数；与3互为相反数， 故选：． 4．（2024秋•成都月考）已知是数轴上的一点，把点向左移动3个单位后再向右移1个单位长度，那么点表示的数是 　　． 【解答】解：， 则点表示的数是； 故答案为：． 5．（2024秋•成华区校级月考）在数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离为5，则　2或　． 【解答】解：分为两种情况： ①当数在的左边时，， ②当数在的右边时，， 故答案为：2或． 6．（2024秋•合肥月考）（1）如图，数轴的单位长度为1，如果点，表示的数互为相反数，那么点表示的数是 　　； （2）数轴上点表示，，两点表示的数互为相反数，且点到点的距离是2，则点表示的数应该是 　　． 【解答】解：（1）由题意得：， 点，表示的数互为相反数， 点表示的数字为，点表示的数字为3， 点表示的数字为． 故答案为：； （2）数轴上点表示，点到点的距离是2， 点表示的数字为或， ，两点表示的数互为相反数， 点表示的数应该是5或1． 故答案为：5或1． 7．（2024秋•金安区校级期中）一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是、9，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在点的右边，并且点与点的距离为3则点表示的数是 　　． 【解答】解：设点所表示的数为，则，， ，点表示的数为9， 点表示的数为， 根据折叠得，， ， 解得，， 故答案为：． 8．（2024春•永城市期末）如图所示，直径为1个单位长度的圆从表示的点沿数轴负半轴方向无滑动地滚动一周到达点，则点表示的数是　　 A． B． C． D． 【解答】解：圆的直径为1， 圆的半径为， 圆的周长为：， 又圆在数轴上滚动的起始点为， 点表示的数为：． 故选：． 9．（2025•献县一模）若和互为相反数，和互为倒数，是最大的负整数，则的值为　1　 ． 【解答】解：和互为相反数，和互为倒数，是最大的负整数， ，，， ， 故答案为：1． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$