第01讲 整数和整除（暑假预习讲义，8题型突破+过关检测）新六年级数学新教材沪教版五四制

第01讲 整数和整除 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 数的整除 题型2 因数和倍数的认识 题型3 因数和倍数的求法 题型4 能被2、5整除数的特征 题型5 能被3整除数特征 题型6 能被2、3、5整除数特征 题型7 奇数与偶数的认识 题型8 奇数和偶数的运算性质 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 正整数、负整数、自然数、整数、整除、除尽、因数（约数）、倍数、相互依存、三整一零、0的整除特性 【基础目标】 1. 区分正整数、负整数、自然数、整数，理清四者包含关系，明确0的归属与意义。 2. 熟记整除的两大条件（三整一零），能准确判断除法算式是否为整除，分清整除与除尽。 3. 理解因数、倍数的定义，掌握“相互依存”，会规范表述谁能被谁整除、谁是谁的因数/倍数。 【能力目标】 1. 熟练用两种方法找一个正整数的全部因数、指定范围内的倍数。 2. 利用整除基础性质做简单推理判断。 3. 解决分组、分配类整除实际应用题。 重点：整除定义、因数与倍数概念、找因数倍数方法 难点：区分整除/除尽；因数倍数不能单独存在；0的整除特殊规则 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 整数的意义和分类 （1）自然数：零和正整数统称为自然数； （2）整数：正整数、零、负整数，统称为整数 知识点02 整除的意义 整数除以整数，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说能被整除；或者说能整除． 1.整除的条件：（1）除数、被除数都是整数 （2）被除数除以除数，商是整数而且余数为零 2. 区别“整除”与“除尽”的概念 被除数和除数 商 整除 都是整数，除数不等于0 商是整数，余数为0 除尽 不一定是整数，除数不等于0 商是整数或有限小数，没有余数 注意：其实，整除是除尽的一种特殊形式。 知识点03因数和倍数的意义 整数能被整数整除，就叫做的倍数，就叫做的因数（也称为约数）． 注意：因数和倍数是相互依存的 【技巧总结】 1.找一个数的因数的方法 方法一：列除法算式找。用这个数除以一个整数，除数从1开始试除，注意得到的商必须是整数。我们在列除法算式，找一个数的因数的时候，就用此数分别除以大于等于1且小于等于它本身的所有整数，所得的商是整数且没有余数，这些除数和商就是这个数的因数。 方法二：列乘法算式找。根据除法各部分间的关系，“被除数=除数×商”来找，如，找18的因数，先看18是哪两个数相乘的积，那么这两个数就是18的因数。18=1×18,18=2×9,18=3×6，用乘法找一个数的因数时，一般要从自然数1开始一对一对地找，这样不易遗漏。我们在列乘法算式找一个数的因数的时候，把这个数写乘两个整数相乘的形式，算式中的每个整数都是这个数的因数。 2.找一个数的倍数的方法（如找2的倍数的方法） 方法一:列除法算式找。根据倍数的意义，可以列除法算式找出2的倍数。看哪个数除以2，商是整数且没有余数，这个数就是2的倍数，如2÷2=1,4÷2=2,6÷2=3，…那么2，4，6，…都是2的倍数。我们在列除法算式，找一个数的倍数的时候，就是看哪些非0自然数除以这个数商是整数且没有余数，这些数就是这个数的倍数。 方法二：列乘法算式找。2与非零自然数的积都是2的倍数。用2分别乘1,2,3，…。也就是2×1=2,2×2=4,2×3=6，…。那么2,4,6,…。都是2的倍数。我们在列乘法算式找一个数的倍数的时候，就是用这个数依次与非0自然数相乘，所得到的积就是这个数的倍数。 知识点04 能被2、5、3整除的数 1、能被2整除的数 能被2整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8的整数； 能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数． 2、能被5整除的数 能被5整除的数的特征：个位上是0或5的整数． 3、能同时被2、5整除的数 能同时被2和5整除的数的特征：个位上是0的整数． 4、能被3整除的数 能被3整除的数的特征：各个数位上的数字和是3的倍数． 题型1 数的整除 【例1】．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）下列算式中，属于整除的是（    ） A． B． C． D． 【例2】．（25-26六年级上·上海·期末）下列各组数中，第一个数能整除第二个数的是（    ） A．2.5和5 B．25和5 C．25和75 D．1.5和1.5 【变式1-1】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）下列算式中表示整除的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】．（25-26六年级上·上海·期中）下列各数中，第一个数能整除第二个数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1-3】．（25-26六年级上·上海黄浦·期中）下列算式中，第一个数能被第二个数整除的是（    ） A．2和4 B．25和2.5 C．52和13 D．10和3 题型2因数和倍数的认识 【例3】．（25-26六年级上·上海静安·期末）下列数中，既是3的倍数，又是60的因数的数是（   ） A．12 B．18 C．21 D．45 【例4】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）一个数的最小倍数是32，最大因数也是32，这个数是_______________． 【变式2-1】．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）如果（a，b都是正整数），那么a是b的（    ） A．倍数 B．公倍数 C．因数 D．公因数 【变式2-2】．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）把下列各数填入指定的圈内（每个数只能用一次）． ，，，，，，，，，， 题型3 因数和倍数的求法 【例5】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）的因数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 【例6】．（25-26六年级上·上海宝山·期中）的因数中最大的因数是_______． 【例7】．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）按照从小到大的顺序写出60的所有因数，并求出既是3的倍数，又是60的因数的数． 【变式3-1】．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）对正整数a，表示n个a连乘，如时，，即a的平方，若a的所有因数之积等于a的平方，则称a为完满数，如6的所有因数为1，2，3，6，因为，所以6是一个完满数，则下列数中是完满数的为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【变式3-2】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）如果，那么m的因数有______个，倍数有_____个． 【变式3-3】．（2022六年级上·上海·专题练习）把下列各数填入指定的圈内（每个数只能使用一次）． 1，2，4，5，12，24，30，40，52，60，100 题型4 能被2、5整除数的特征 【例8】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）下列各数中，能同时被2、5整除的数是（    ） A．16 B．25 C．35 D．100 【例9】．（25-26六年级上·上海青浦·期中）用0、5、8组成的三位数同时能被2、5整除，则最小的三位数是______． 【变式4-1】．（24-25六年级上·上海·期中）在75、50、42、40、66、105中，既是2的倍数又能被5整除的数有___________． 【变式4-2】．（22-23六年级上·上海·阶段检测）从0、4、5、9这四个数字中，任选三个数字组成一个能同时被2和5整除的三位数,这样的三位数共有几个？分别是什么？ 题型5 能被3整除数特征 【例10】．（25-26六年级上·上海青浦·期中）下列说法正确的是（）． A．3是9的因数 B．能被3除尽的数都是偶数 C．15是倍数，5是因数 D．偶数除以3的商一定是奇数 【例11】．（25-26六年级上·上海闵行·阶段检测）五位数中，表示它在个位上的数，此数为_______时，它是3的倍数． 【变式5-1】．能被3整除的最小正整数是 __________． 【变式5-2】．有15张分别标记着1至15数字号码的纸片按从小到大的顺序排列着，如果先将号码数为3的倍数的纸片取出，然后把剩下的纸片中号码为2的倍数的纸片取出，最后剩下的纸片的号码数的和为：____________． 【变式5-3】．（25-26六年级上·上海杨浦·阶段检测）已知与分别表示不超过100的正整数，且， (1)若，则与的最小值分别是多少？ (2)如果，则与分别表示哪些数？ 题型6 能被2、3、5整除数特征 【例12】．（23-24六年级上·上海宝山·期中）100以内，能同时被3和5整除的最大奇数是（    ） A．75 B．90 C．95 D．99 【例13】．（25-26六年级上·上海浦东新·期末）用5、4、0三个数字组成的所有三位数都能被（    ）整除 A．2 B．3 C．5 D．2、3和5 【变式6-1】．（22-23六年级上·上海浦东新·阶段检测）从0，2，5，7四个数中任选三个，组成能同时被2，3，5整除的数，并将这些数从小到大排列 【变式6-2】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）用写出没有重复数字且符合要求的数： (1)最大的四位数：___________； (2)能被整除的最小的三位数：___________； (3)能被整除的最大的三位数；___________． 题型7 奇数与偶数的认识 【例14】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列说法中错误的是（   ） A．任何一个偶数加上1之后，得到的都是一个奇数 B．一个正整数，不是奇数就是偶数 C．任何一个能被5整除的数一定是奇数 D．能被10整除的数一定能被5整除． 【变式7-1】．（23-24六年级上·上海·阶段检测）三个连续的奇数的和是111，则这三个奇数分别是______________． 【变式7-2】．（23-24六年级上·上海杨浦·期中）对生活的仔细观察常有意想不到的收获，小生同学就喜欢在生活中观察数学．小兰问小生今天是几月几日，小生说，你随便写一个六位数，并对此进行如下操作：数字中“偶数数字个数”记为a，“奇数数字个数”记为b，“数字位数”记为c，得到新的三位数（此处a允许为0），并对进行同样的操作，如此操作3次之后，把结果乘以9就能得到今天的日期，请问今天日期是______（用四位数字表示，比如10月1日记为1001） 题型8 奇数和偶数的运算性质 【例15】．（23-24六年级上·上海·阶段检测）两个连续的自然数的积一定是（   ） A．素数 B．合数 C．奇数 D．偶数 【例16】．（23-24六年级上·上海·阶段检测）把32写成两个连续奇数相加的形式： ______． 【变式8-1】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）若8个连续奇数的和为96，则其中最小的一个数是__________． 【变式8-2】．（22-23六年级上·上海·阶段检测）一个三位数，求出所有满足已知条件的三位数： (1)这个三位数是偶数； (2)这个三位数能被5整除； (3)这个三位数能被3整除． 一、单选题 1．小明、小强和老师今年的年龄和是56岁，10年后，小明和小强的年龄和正好等于老师的年龄，老师今年( )岁． 2．关于数字91，下列说法错误的是（    ） A．存在最大的因数 B．存在最大的倍数 C．存在最小的倍数 D．它是一个合数 3．三个连续偶数，如果中间的一个偶数用m表示，那么其中最小的一个偶数是（    ） A． B． C．2m D． 4．小明发现八音盒中有一对咬合的齿轮，其中大齿轮出现了故障．已知小齿轮的齿数为齿，每分钟转3圈．当八音盒播放完一首4分钟的曲子时，大小齿轮会回到初始位置．因此，小明选购以下哪个齿数的大齿轮来尝试修复最恰当？（    ） A．齿 B．齿 C．齿 D．齿 二、填空题 5．一个三位数能被3、5整除，这个三位数最小为________． 6．正方形的边长是奇数，它的面积一定是_________，它的周长一定是________．（填“奇数”或“偶数”） 7．在15，27，34，62，90，135这6个数中，既能被3整除，又能被5整除的数是_______． 8．从0、2、3、4、5、8中选出四个数字，组成一个能同时被2、3、5整除的最大四位数是_______． 9．要使四位数能同时被2和5整除，则里能填的数字是_______． 10．如果是偶数，则一定是___________．（填“奇数”或“偶数”） 三、解答题 11．小明、小红、小刚三人的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄总和是48岁，他们中最小的是多少岁？最大的是多少岁？ 12．已知：、、均是大于等于0且小于等于9的整数，、均不为0，两位数是8的倍数．求证：三位数是4的倍数． 13．在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”． 定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”． 例如：426是“好数”．因为4，2，6都不为0，且4＋2＝6，6能被6整除； 643不是“好数”，因为6＋4＝10，10不能被3整除． (1)判断312，875是否是“好数”？并说明理由； (2)求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 整数和整除 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 数的整除 题型2 因数和倍数的认识 题型3 因数和倍数的求法 题型4 能被2、5整除数的特征 题型5 能被3整除数特征 题型6 能被2、3、5整除数特征 题型7 奇数与偶数的认识 题型8 奇数和偶数的运算性质 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 正整数、负整数、自然数、整数、整除、除尽、因数（约数）、倍数、相互依存、三整一零、0的整除特性 【基础目标】 1. 区分正整数、负整数、自然数、整数，理清四者包含关系，明确0的归属与意义。 2. 熟记整除的两大条件（三整一零），能准确判断除法算式是否为整除，分清整除与除尽。 3. 理解因数、倍数的定义，掌握“相互依存”，会规范表述谁能被谁整除、谁是谁的因数/倍数。 【能力目标】 1. 熟练用两种方法找一个正整数的全部因数、指定范围内的倍数。 2. 利用整除基础性质做简单推理判断。 3. 解决分组、分配类整除实际应用题。 重点：整除定义、因数与倍数概念、找因数倍数方法 难点：区分整除/除尽；因数倍数不能单独存在；0的整除特殊规则 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 整数的意义和分类 （1）自然数：零和正整数统称为自然数； （2）整数：正整数、零、负整数，统称为整数 知识点02 整除的意义 整数除以整数，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说能被整除；或者说能整除． 1.整除的条件：（1）除数、被除数都是整数 （2）被除数除以除数，商是整数而且余数为零 2. 区别“整除”与“除尽”的概念 被除数和除数 商 整除 都是整数，除数不等于0 商是整数，余数为0 除尽 不一定是整数，除数不等于0 商是整数或有限小数，没有余数 注意：其实，整除是除尽的一种特殊形式。 知识点03因数和倍数的意义 整数能被整数整除，就叫做的倍数，就叫做的因数（也称为约数）． 注意：因数和倍数是相互依存的 【技巧总结】 1.找一个数的因数的方法 方法一：列除法算式找。用这个数除以一个整数，除数从1开始试除，注意得到的商必须是整数。我们在列除法算式，找一个数的因数的时候，就用此数分别除以大于等于1且小于等于它本身的所有整数，所得的商是整数且没有余数，这些除数和商就是这个数的因数。 方法二：列乘法算式找。根据除法各部分间的关系，“被除数=除数×商”来找，如，找18的因数，先看18是哪两个数相乘的积，那么这两个数就是18的因数。18=1×18,18=2×9,18=3×6，用乘法找一个数的因数时，一般要从自然数1开始一对一对地找，这样不易遗漏。我们在列乘法算式找一个数的因数的时候，把这个数写乘两个整数相乘的形式，算式中的每个整数都是这个数的因数。 2.找一个数的倍数的方法（如找2的倍数的方法） 方法一:列除法算式找。根据倍数的意义，可以列除法算式找出2的倍数。看哪个数除以2，商是整数且没有余数，这个数就是2的倍数，如2÷2=1,4÷2=2,6÷2=3，…那么2，4，6，…都是2的倍数。我们在列除法算式，找一个数的倍数的时候，就是看哪些非0自然数除以这个数商是整数且没有余数，这些数就是这个数的倍数。 方法二：列乘法算式找。2与非零自然数的积都是2的倍数。用2分别乘1,2,3，…。也就是2×1=2,2×2=4,2×3=6，…。那么2,4,6,…。都是2的倍数。我们在列乘法算式找一个数的倍数的时候，就是用这个数依次与非0自然数相乘，所得到的积就是这个数的倍数。 知识点04 能被2、5、3整除的数 1、能被2整除的数 能被2整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8的整数； 能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数． 2、能被5整除的数 能被5整除的数的特征：个位上是0或5的整数． 3、能同时被2、5整除的数 能同时被2和5整除的数的特征：个位上是0的整数． 4、能被3整除的数 能被3整除的数的特征：各个数位上的数字和是3的倍数． 题型1 数的整除 【例1】．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）下列算式中，属于整除的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数的整除 【分析】此题考查整除的意义：整除必须是整数除以一个不为0的整数，商是整数，而没有余数． 根据整除的定义逐项分析即可． 【详解】解：选项A中，除数为0.5，不是整数，不符合整除的定义； 选项B中，28、7、4均为整数，符合整除的定义； 选项C中，商不是整数，不符合整除的定义； 选项D中，商不是整数，不符合整除的定义； 故选B． 【例2】．（25-26六年级上·上海·期末）下列各组数中，第一个数能整除第二个数的是（    ） A．2.5和5 B．25和5 C．25和75 D．1.5和1.5 【答案】C 【知识点】数的整除 【分析】本题考查整除的定义，需明确整除要求被除数、除数均为整数，且除数不为0，商为整数且余数为0． 【详解】解：∵整除的定义为整数b除以非零整数a，商为整数且余数为0，则a整除b． ∴首先排除含小数的选项A、D． ∵对于B选项， ，商不是整数． ∴25不能整除5． ∵对于C选项，，商为整数且余数为0． ∴25能整除75，符合题意． 故选：C. 【变式1-1】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）下列算式中表示整除的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数的整除 【分析】本题主要考查整除的性质，整除是指一个整数除以另一个不为零的整数，得到的商也是整数．据此分析即可． 【详解】解：A．因为的除数、被除数都是小数，故选项错误； B．因为的除数、被除数、商都是整数，故选项正确； C．因为有余数，故选项错误； D．因为的商不是整数，故选项错误． 故选：B． 【变式1-2】．（25-26六年级上·上海·期中）下列各数中，第一个数能整除第二个数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【知识点】数的整除 【分析】本题考查了整除的定义，若整数整除整数，则的商为整数且余数为零，据此判断即可求解，理解定义是解题的关键． 【详解】解：、，商不是整数，该选项不合题意； 、，商是整数，且两数均为整数，该选项符合题意； 、和均不是整数，该选项不合题意； 、和均不是整数，该选项不合题意； 故选：． 【变式1-3】．（25-26六年级上·上海黄浦·期中）下列算式中，第一个数能被第二个数整除的是（    ） A．2和4 B．25和2.5 C．52和13 D．10和3 【答案】C 【知识点】数的整除 【分析】本题考查整除的概念：整数a能被整数b整除（），当且仅当的商为整数且余数为零，且b必须是整数，据此得出结论即可． 【详解】解：∵ 整除要求两个数均为整数，且商为整数余数为零； A、，商不是整数，故本选项不符合题意； B、第二个数2.5不是整数，不符合定义，故本选项不符合题意； C、，商为整数，余数为零，故本选项符合题意； D、，余数不为零，故本选项不符合题意； 故选：C． 题型2因数和倍数的认识 【例3】．（25-26六年级上·上海静安·期末）下列数中，既是3的倍数，又是60的因数的数是（   ） A．12 B．18 C．21 D．45 【答案】A 【知识点】因数和倍数的认识 【分析】此题考查了因数和倍数，熟练掌握一个数的因数和倍数的找法是解本题的关键． 选项的四个数中12、18、21、45是3的倍数，而这四个数中只有12是60的因数，据此即可求解． 【详解】解：在12、18、21、45四个整数中，是3的倍数有12、18、21、45， 这四个数中60的因数有12， 所以既是3的倍数，又是60的因数的数是12， 故选：A． 【例4】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）一个数的最小倍数是32，最大因数也是32，这个数是_______________． 【答案】32 【知识点】因数和倍数的认识 【分析】本题主要考查了最小倍数和最大因数的性质，根据最小倍数和最大因数都是它本身，即可得到答案 【详解】解：∵一个数的最小倍数和最大因数都是它本身， ∴这个数是32， 故答案为：32． 【变式2-1】．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）如果（a，b都是正整数），那么a是b的（    ） A．倍数 B．公倍数 C．因数 D．公因数 【答案】A 【知识点】因数和倍数的认识 【分析】本题考查了倍数，掌握倍数的定义是解答本题的关键． 根据倍数的定义解答即可． 【详解】解：∵，且a， b为正整数， ∴，即a是b的倍数． 故选A． 【变式2-2】．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）把下列各数填入指定的圈内（每个数只能用一次）． ，，，，，，，，，， 【答案】见解析 【知识点】因数和倍数的认识 【分析】本题考查了因数与倍数；先分别确定4的倍数、60的因数，再找出既是4的倍数又是60的因数的数，最后将数分类填入对应的圈内． 【详解】解：在给定的数中，能被整除的数为的倍数． 计算可得：，，，，，，因此的倍数有、、、、、． 在给定的数中，能整除的数为的因数． 计算可得：，，，，，，，因此的因数有、、、、、、． 对比的倍数和的因数，共同存在的数为、． 仅属于的倍数（非的因数）：、、、； 仅属于的因数（非的倍数）：、、、、； 既是的倍数又是的因数：、． 如图 题型3 因数和倍数的求法 【例5】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）的因数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 【答案】D 【知识点】因数和倍数的求法 【分析】该题考查了因数，A由三个质数相乘得到，其因数个数为各质数指数加1后的乘积，即． 【详解】解：∵，且2、5、7均为质数， ∴ 的因数个数为个， 分别为1、2、5、7、10、14、35、70． 故选：D． 【例6】．（25-26六年级上·上海宝山·期中）的因数中最大的因数是_______． 【答案】 【知识点】因数和倍数的求法 【详解】本题考查分解因数，熟记因数相关定义是解决问题的关键． 由可知，21的因数有1、3、7、21，其中最大的是即可得到答案． 【分析】解：， 21的因数有1、3、7、21， 则其中最大的是， 故答案为：． 【例7】．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）按照从小到大的顺序写出60的所有因数，并求出既是3的倍数，又是60的因数的数． 【答案】60 的所有因数是1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60；既是 3 的倍数，又是 60 的因数的数是 3、6、12、15、30、60 【知识点】因数和倍数的求法 【分析】本题主要考查了求因数．根据因数的定义解答即可． 【详解】解：60 的所有因数是（从小到大写）： 1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60；既是 3 的倍数，又是 60 的因数的数是 3、6、12、15、30、60 【变式3-1】．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）对正整数a，表示n个a连乘，如时，，即a的平方，若a的所有因数之积等于a的平方，则称a为完满数，如6的所有因数为1，2，3，6，因为，所以6是一个完满数，则下列数中是完满数的为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【知识点】因数和倍数的求法 【分析】本题主要考查了求一个数的因数，根据完满数的定义，需计算各数的所有因数之积，若等于该数的平方，则为完满数，逐一验证选项即可． 【详解】解：A、12的因数有1、2、3、4、6、12，所有因数的积为， ∴12不是完满数，故此选项不符合题意． B、14的因数有1、2、7、14，所有因数的积为， ∴14是完满数，故此选项符合题意． C、16的因数有1、2、4、8、16，所有因数的积为， ∴16不是完满数，故此选项不符合题意． D、18的因数有1、2、3、6、9、18，所有因数的积为， ∴18不是完满数，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式3-2】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）如果，那么m的因数有______个，倍数有_____个． 【答案】 8 无数 【知识点】因数和倍数的求法 【分析】本题考查了找一个数因数的方法，倍数，找因数的方法：把一个数写成两个数乘积的形式，然后一对对的列举下来即可；一个数的倍数一般有无数个，据此解答即可． 【详解】解：如果，那么m的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30，共8个； 30乘以任意整数都是m的倍数，所以m的倍数有无数个． 故答案为：8；无数． 【变式3-3】．（2022六年级上·上海·专题练习）把下列各数填入指定的圈内（每个数只能使用一次）． 1，2，4，5，12，24，30，40，52，60，100 【答案】左圈（部分4的倍数）：24，40，52，100； 中圈（既是4的倍数又是60的因数）：4，12，60； 右圈（部分60的因数）：1，2，5，30． 【知识点】因数和倍数的求法 【分析】整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约数），因数和倍数是相互依存的，据此解答即可． 【详解】解：因为在上述数中，其中 4的倍数有：4，12，24，40，52，60，100； 60的因数有：1，2，4，5，12，30，60； 既是4的倍数又是60的因数有：4，12，60； 因为每个数只能使用一次， 故三个指定的圈内填写的数为： 左圈（部分4的倍数）：24，40，52，100； 中圈（既是4的倍数又是60的因数）：4，12，60； 右圈（部分60的因数）：1，2，5，30． 【点睛】此题考查了倍数和因数，解题的关键是熟练掌握倍数和因数的定义． 题型4 能被2、5整除数的特征 【例8】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）下列各数中，能同时被2、5整除的数是（    ） A．16 B．25 C．35 D．100 【答案】D 【知识点】 2、5的倍数特征、数的整除 【分析】本题考查能被和整除的数的特征． 根据能被和整除的数的特征，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．能被2整除，不能被5整除，不符合题意； B．能被5整除，不能被2整除，不符合题意； C．能被5整除，不能被2整除，不符合题意； D．能被2整除，也能被5整除，符合题意． 故选：D． 【例9】．（25-26六年级上·上海青浦·期中）用0、5、8组成的三位数同时能被2、5整除，则最小的三位数是______． 【答案】580 【知识点】 2、5的倍数特征、数的整除 【分析】本题考查了数的整除，由于该数需同时被2和5整除，根据2和5的倍数特征，个位数字必须为0，因此，三位数的个位固定为0，百位不能为0，故从剩余数字5和8中选择较小的5作为百位，十位为8，组成最小三位数580，熟练掌握2和5的倍数特征是解此题的关键． 【详解】解：∵要同时被2和5整除， ∴个位必须为0， ∴百位可选5或8， ∵为得到最小三位数， ∴百位取较小数字5，十位为剩余数字8， 故数为580， 故答案为：580． 【变式4-1】．（24-25六年级上·上海·期中）在75、50、42、40、66、105中，既是2的倍数又能被5整除的数有___________． 【答案】50和40 【知识点】 2、5的倍数特征 【分析】本题考查了2的倍数特征、5的倍数的特征． 既是2的倍数又能被5整除的数，其个位数字必须为0，因此只需从给定数中找出个位为0的数即可． 【详解】解：在75、50、42、40、66、105中，个位为0的数有50和40，因此既是2的倍数又能被5整除的数有50和40． 故答案为：50和40． 【变式4-2】．（22-23六年级上·上海·阶段检测）从0、4、5、9这四个数字中，任选三个数字组成一个能同时被2和5整除的三位数,这样的三位数共有几个？分别是什么？ 【答案】这样的三位数共有6个，分别是450，490，540，590，950，940． 【知识点】数的整除、 2、5的倍数特征 【分析】根据能够同时被2和5整除的三位数个位数字为0，写出这些数即可得出答案． 【详解】解：能同时被2和5整除的三位数个位数字一定为0，所以这样的三位数分别为：450，490，540，590，950，940，共有6个， 答：这样的三位数共有6个，分别是450，490，540，590，950，940． 【点睛】本题主要考查了能够同时被2和5整除的数的特点，解题的关键是熟练掌握能够同时被2和5整除的三位数个位数必须为0． 题型5 能被3整除数特征 【例10】．（25-26六年级上·上海青浦·期中）下列说法正确的是（）． A．3是9的因数 B．能被3除尽的数都是偶数 C．15是倍数，5是因数 D．偶数除以3的商一定是奇数 【答案】A 【知识点】 3的倍数特征、因数和倍数的求法 【分析】本题考查因数和倍数的概念，根据因数和倍数的定义逐一判断即可． 【详解】解：， 是的因数，故A正确； 能被整除，但是奇数，不一定是偶数， ∴B错误； 倍数和因数需成对出现，C中未指明参照对象， ∴C错误； 是偶数，，是偶数，不是奇数， ∴D错误． 故选：A． 【例11】．（25-26六年级上·上海闵行·阶段检测）五位数中，表示它在个位上的数，此数为_______时，它是3的倍数． 【答案】或或 【知识点】 3的倍数特征 【分析】本题考查了3的倍数的特征． 根据3的倍数能被3整除计算即可． 【详解】， ， 即为或或， 故答案为：或或． 【变式5-1】．能被3整除的最小正整数是 __________． 【答案】3 【知识点】 3的倍数特征 【分析】根据能被3整除的数的特征解答即可． 【详解】解：能被3整除的最小正整数是3． 故答案为：3 【点睛】本题考查了被3整除的数的特征，即所有位数上的数字的和是3的倍数． 【变式5-2】．有15张分别标记着1至15数字号码的纸片按从小到大的顺序排列着，如果先将号码数为3的倍数的纸片取出，然后把剩下的纸片中号码为2的倍数的纸片取出，最后剩下的纸片的号码数的和为：____________． 【答案】37 【知识点】 3的倍数特征 【分析】先找出号码数为3的倍数，再找出号码数为2的倍数，然后把剩余的数相加即可． 【详解】解：1至15中，号码数为3的倍数有3，6，9，12，15， 号码为2的倍数有：2，4，6，8，10，12，14， 剩下的纸片为：1，5，7，11，13， 所以：1+5+7+11+13=37， 故答案为：37． 【点睛】本题考查了倍数的认识，准确掌握2的倍数和3的倍数是解题的关键． 【变式5-3】．（25-26六年级上·上海杨浦·阶段检测）已知与分别表示不超过100的正整数，且， (1)若，则与的最小值分别是多少？ (2)如果，则与分别表示哪些数？ 【答案】(1)， (2)，；，；，；， 【知识点】 3的倍数特征、数的整除 【分析】本题考查了3的倍数，整除，解题的关键是掌握3的倍数的特点； （1）由已知可得，根据整除的特性即可得解； （2）由已知可得，则是3的倍数，再对A进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：， ， 是不超过100的正整数，且， 的最小值为12， ， 的最小值为6， 与的最小值分别是12，6． （2）解：， ， 是不超过100的正整数，且， 是3的倍数， 当时，，不满足，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 的值为；；；． 题型6 能被2、3、5整除数特征 【例12】．（23-24六年级上·上海宝山·期中）100以内，能同时被3和5整除的最大奇数是（    ） A．75 B．90 C．95 D．99 【答案】A 【知识点】 3的倍数特征、 2、5的倍数特征 【分析】本题主要考查因数与倍数，根据能同时被和整除的数是个位是的数，所以可直接得出答案． 【详解】以内，能同时被和整除的最大奇数是 故选：A． 【例13】．（25-26六年级上·上海浦东新·期末）用5、4、0三个数字组成的所有三位数都能被（    ）整除 A．2 B．3 C．5 D．2、3和5 【答案】B 【知识点】数的整除 【分析】先确定由5、4、0组成的所有三位数，再分别依据2、3、5的整除判定规则，分析这些数是否能被选项中的数整除． 【详解】解：用5、4、0三个数字组成的三位数有、、、； ，9能被3整除， 所以这四个数都能被3整除； 的个位是5，不能被2整除，故选项A、D错误； ∵的个位是4，不能被5整除，故选项C错误； 综上，用5、4、0三个数字组成的所有三位数都能被3整除，答案为B． 【变式6-1】．（22-23六年级上·上海浦东新·阶段检测）从0，2，5，7四个数中任选三个，组成能同时被2，3，5整除的数，并将这些数从小到大排列 【答案】 【知识点】数的整除 【分析】从0，2，5，7四个数中任选三个，组成能同时被2，5整除的数，则末位肯定是0，能被3整除，则各位数字之和必须是3的倍数，得到另外两位数字只能选2和7或5和7，则2、7、0组成的三位数是、，5、7、0组成的三位数是、，即可得到答案． 【详解】解：∵从0，2，5，7四个数中任选三个，组成能同时被2，5整除的数， ∴末位肯定是0， ∵能被3整除， ∴各位数字之和必须是3的倍数， ∵，，9和12都能被3整除， ∴另外两位数字只能选2和7或5和7， 则2、7、0组成的三位数是、，5、7、0组成的三位数是、， ∴将这些数从小到大排列为． 【点睛】此题考查了数的整除，熟练掌握被2，3，5整除的数的特征是解题的关键． 【变式6-2】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）用写出没有重复数字且符合要求的数： (1)最大的四位数：___________； (2)能被整除的最小的三位数：___________； (3)能被整除的最大的三位数；___________． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】 3的倍数特征、 2、5的倍数特征 【分析】本题考查了数的组成及数的大小比较的综合应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据数位高的数尽量大，并且每个数位都是尽量大的数即可； （）根据能被整除的特点，再找出最小三位数即可； （）根据能被整除的特点，再找出最大三位数即可． 【详解】（1）解：用写出最大的四位数为：， 故答案为：； （2）解：用写出能被整除的最小的三位数为：， 故答案为：； （3）解：用写出能被整除的最大的三位数， 故答案为：． 题型7 奇数与偶数的认识 【例14】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列说法中错误的是（   ） A．任何一个偶数加上1之后，得到的都是一个奇数 B．一个正整数，不是奇数就是偶数 C．任何一个能被5整除的数一定是奇数 D．能被10整除的数一定能被5整除． 【答案】C 【知识点】数的整除、 奇数与偶数的认识 【分析】此题考查数的倍数的特征，奇数与偶数的性质，正确理解并运算解题是关键． 根据数的倍数的特征，奇数与偶数的性质依次判断即可． 【详解】A、任何一个偶数加上1之后，得到的都是一个奇数，正确； B、一个正整数，不是奇数就是偶数，正确； C、任何一个能被5整除的数不一定是奇数，如10能被5整除，但10不是奇数，故原说法错误； D、因为10是5的倍数，所以能被10整除的数一定能被5整除，正确． 故选：C． 【变式7-1】．（23-24六年级上·上海·阶段检测）三个连续的奇数的和是111，则这三个奇数分别是______________． 【答案】35、37、39 【知识点】 奇数与偶数的认识 【分析】本题考查了奇数的意义，即在自然数中，不是2的倍数的数叫做奇数．已知三个连续的奇数和是111，先求出这三个奇数的即中间数，再根据最大的奇数比中间数多2，最小的奇数比中间数少2，即可解答． 【详解】解：，即三个连续的奇数的中间数为， ，， 即这三个奇数分别是35、37、39， 故答案为：35、37、39． 【变式7-2】．（23-24六年级上·上海杨浦·期中）对生活的仔细观察常有意想不到的收获，小生同学就喜欢在生活中观察数学．小兰问小生今天是几月几日，小生说，你随便写一个六位数，并对此进行如下操作：数字中“偶数数字个数”记为a，“奇数数字个数”记为b，“数字位数”记为c，得到新的三位数（此处a允许为0），并对进行同样的操作，如此操作3次之后，把结果乘以9就能得到今天的日期，请问今天日期是______（用四位数字表示，比如10月1日记为1001） 【答案】 【知识点】 奇数与偶数的认识 【分析】此题考查了整数问题的综合应用，解题的关键是读懂题意，找出其中的规律求出这个数．先根据题意任意写一个自然数，再按照每一步的要求写出下一个数，当出现相同的数时，即可得出答案． 【详解】任意写一个自然数， 第一步: 的偶数数字是, 有个数字, ∴新三位数是, 第二步：的偶数数字为个，奇数个为个，总共个数； ∴新三位数是; 第三步：的偶数数字为个，奇数个为个，总共个数； ∴新三位数是； ， 故答案为: . 题型8 奇数和偶数的运算性质 【例15】．（23-24六年级上·上海·阶段检测）两个连续的自然数的积一定是（   ） A．素数 B．合数 C．奇数 D．偶数 【答案】D 【知识点】 奇数与偶数的认识、 奇数和偶数的运算性质 【分析】本题考查了奇数与偶数，以及运算性质，掌握偶数与其它自然数的乘积是偶数是解题关键．由题意可知，两个连续自然数中一定有一个偶数，偶数与其它自然数的乘积是偶数，故两个连续自然数的积一定是偶数，即可得到答案． 【详解】解：两个连续自然数中一定有一个偶数，偶数与其它自然数的乘积是偶数，、 故两个连续自然数的积一定是偶数， 故选：D． 【例16】．（23-24六年级上·上海·阶段检测）把32写成两个连续奇数相加的形式： ______． 【答案】/ 【知识点】 奇数与偶数的认识、 奇数和偶数的运算性质 【分析】奇数是不能被2整除的自然数，根据32的特点写成两个连续奇数的和即可． 【详解】解：由题意得， 故答案为： 【点睛】此题考查了奇数的定义和加法，理解奇数的定义是解题关键． 【变式8-1】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）若8个连续奇数的和为96，则其中最小的一个数是__________． 【答案】5 【知识点】 奇数和偶数的运算性质 【分析】本题主要考查了奇数的定义，8个连续奇数的和为96，那么中间和为24，即，即可得出最小的数，据此求解即可． 【详解】解：，中间两个数的和为，则为， ∴前4个数分别为 所以最小的奇数为5， 故答案为：5． 【变式8-2】．（22-23六年级上·上海·阶段检测）一个三位数，求出所有满足已知条件的三位数： (1)这个三位数是偶数； (2)这个三位数能被5整除； (3)这个三位数能被3整除． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】 奇数和偶数的运算性质、 3的倍数特征、 2、5的倍数特征、数的整除 【分析】（1）三位数如果是偶数，则是2的倍数，只要该三位数个位是偶数即可确定答案； （2）三位数如果能被5整除，只要该三位数个位是或即可确定答案； （3）三位数如果能被3整除，只要该三位数各位上的数字之和为的倍数即可确定答案． 【详解】（1）解：当三位数个位是偶数时，这个三位数个位数字必是偶数， 所有满足条件的三位数是； （2）解：当这个三位数能被5整除时，这个三位数个位数字必是或， 所有满足条件的三位数是； （3）解：当这个三位数能被3整除时，这个三位数各位上的数字之和为的倍数， 所有满足条件的三位数是． 【点睛】本题考查整除概念，涉及偶数特征、3的倍数的特征、5的倍数的特征等知识，熟练掌握相关数的特征是解决问题的关键． 一、单选题 1．小明、小强和老师今年的年龄和是56岁，10年后，小明和小强的年龄和正好等于老师的年龄，老师今年( )岁． 【答案】33 【知识点】数的整除 【分析】本题考查整数运算的实际应用，求出10年后老师的年龄再减去10即可． 【详解】解：（岁）； 故答案为：33． 2．关于数字91，下列说法错误的是（    ） A．存在最大的因数 B．存在最大的倍数 C．存在最小的倍数 D．它是一个合数 【答案】B 【分析】由题意把91分解质因数，可以得到最小的因数是1，最大的因数是91；把91乘1、2、3……得到91的最小的倍数是91，倍数乘一个整数，有无穷无尽的倍数，所以存在最大的倍数的说法是错误的；据此得解． 【详解】解：对于数字91，存在最大的因数91，存在最小的倍数91，存在最小的因数1；只有存在最大的倍数是错误的； 故选：B． 【点睛】本题考查因数和倍数的意义，熟练掌握分解质因数方法是解题的关键． 3．三个连续偶数，如果中间的一个偶数用m表示，那么其中最小的一个偶数是（    ） A． B． C．2m D． 【答案】A 【分析】根据“相邻的两个偶数相差2”可知：中间的一个偶数是m，则它前面的偶数是m-2，它后面的一个偶数是m+2；进而得出结论． 【详解】解：三个连续偶数，中间一个数是m，那么最小的偶数是m-2； 故选：A． 【点睛】本题主要考查用字母表示数，解答此题应明确：相邻的两个偶数相差2． 4．小明发现八音盒中有一对咬合的齿轮，其中大齿轮出现了故障．已知小齿轮的齿数为齿，每分钟转3圈．当八音盒播放完一首4分钟的曲子时，大小齿轮会回到初始位置．因此，小明选购以下哪个齿数的大齿轮来尝试修复最恰当？（    ） A．齿 B．齿 C．齿 D．齿 【答案】D 【分析】本题考查了数的整除，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 齿轮咬合时转过的齿数相等，小齿轮4分钟转圈，转过齿，大齿轮转过的圈数需为整数，故其齿数需为的因数． 【详解】解：∵小齿轮齿数，每分钟转3圈， ∴4分钟转圈， 转过齿数：齿． ∵齿轮咬合，转过的齿数相等，且大齿轮需回到初始位置， ∴大齿轮转过的圈数为整数， 设大齿轮齿数为，则， ∴需为的因数． 选项中，（整数）， 而、、均不能整除， 故选：D． 二、填空题 5．一个三位数能被3、5整除，这个三位数最小为________． 【答案】105 【分析】本题考查了倍数；由题意知这个三位数的百位为1，根据3的倍数与5的倍数的特征即可确定最小三位数． 【详解】解：由题意知这个三位数的百位为1， 百位数字为1的3的倍数有：102，105，108，120，…， 百位数字为1的5的倍数有：105，110，115，…， 由上可知满足条件的三位数为：105； 故答案为：105． 6．正方形的边长是奇数，它的面积一定是_________，它的周长一定是________．（填“奇数”或“偶数”） 【答案】 奇数 偶数 【分析】根据奇数和偶数的性质计算，即可得到答案， 【详解】∵正方形的边长是奇数 ∴正方形面积为奇数奇数，结果还是奇数 正方形周长的一半为奇数+奇数，结果是偶数 ∴正方形的周长是偶数，结果仍是偶数 故答案为：奇数，偶数， 【点睛】本题考查了奇数、偶数的知识；解题的关键是熟练掌奇数、偶数的性质，从而完成求解． 7．在15，27，34，62，90，135这6个数中，既能被3整除，又能被5整除的数是_______． 【答案】15，90，135 【分析】既能被3整除又能被5整除的数的特征：个位上必须是0或5，各个数位上的数字和能被3整除；据此选择． 【详解】解：能被5整除的数的特征：个位上必须是0或5， 所以15，90，135能被5整除， 能被3整除的数的特征：各个数位上的数字和能被3整除， 而1+5=6，9+0=9，1+3+5=9，都能被3整除， 所以既能被3整除，又能被5整除的数是15，90，135， 故答案为：15，90，135 【点睛】此题考查既能被3整除又能被5整除的数的特征，熟记特征是解决此类题的关键． 8．从0、2、3、4、5、8中选出四个数字，组成一个能同时被2、3、5整除的最大四位数是_______． 【答案】 【分析】本题考查了倍数，熟练掌握2，3和5的倍数特征是解题关键．先得出这个四位数末尾数字必须是0，且各个数位上的数字的和必须被3整除，再使千位上数字、百位上数字尽可能大，最后确定十位上的数字，由此即可得． 【详解】解：能同时被2、3、5整除的数，其末尾数字必须是0，且各个数位上的数字的和必须被3整除， 要使这个四位数最大，则先选千位上的数字为8，再在剩下的数字中选最大的5为百位上的数字，此时十位上的数字只能是2（，15能被3整除）， 所以这个最大的四位数是， 故答案为：． 9．要使四位数能同时被2和5整除，则里能填的数字是_______． 【答案】0 【分析】能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整除；能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除,据此解答即可． 【详解】解：要使四位数345□能同时被5整除，□=0、5； 要使四位数345□能同时被2整除，□=0、2、4、6、8， 综上所述，□中只能填数字“0”． 故答案为：0． 【点睛】本题考查能同时被2和5整除的数的特征，解题关键是熟练掌握能被2、5整除的数的特征是个位数字是0． 10．如果是偶数，则一定是___________．（填“奇数”或“偶数”） 【答案】偶数 【分析】分都是偶数和两奇一偶两种情况进行讨论，分别证明出中有偶数即可． 【详解】解：因为是偶数， 所以都是偶数或两奇一偶； 若都是偶数，则为偶数， 所以是偶数； 若两奇一偶，则为偶数， 所以中最少有一个偶数， 所以是偶数； 所以一定是偶数， 故答案为：偶数． 【点睛】本题考查了奇数，偶数，解题的关键是熟练掌握奇数，偶数的运算性质． 三、解答题 11．小明、小红、小刚三人的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄总和是48岁，他们中最小的是多少岁？最大的是多少岁？ 【答案】他们中最小的是14岁，最大的是18岁 【分析】根据偶数的意义，是2的倍数的数叫做偶数．根据自然数的排列规律，相邻的两个自然数相差1，相邻的两个偶数相差2；先求出这三个连续偶数的平均数，前面的比平均数少2，后面的比平均数多2．由此解答． 【详解】解：48÷3=16（岁）， 16-2=14（岁）， 16+2=18（岁）． 答：他们中最小的是14岁，最大的是18岁． 【点睛】此题主要根据偶数的意义和偶数的排列规律解决问题．明确：相邻的两个偶数相差2． 12．已知：、、均是大于等于0且小于等于9的整数，、均不为0，两位数是8的倍数．求证：三位数是4的倍数． 【答案】见解析 【分析】本题考查了因数与倍数． 根据因数与倍数的关系证明即可． 【详解】证明：三位数，， ∵两位数是8的倍数，4是8的因数， ∴两位数是4的倍数， ∵是4的倍数， ∴是4的倍数， ∴三位数是4的倍数． 13．在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”． 定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”． 例如：426是“好数”．因为4，2，6都不为0，且4＋2＝6，6能被6整除； 643不是“好数”，因为6＋4＝10，10不能被3整除． (1)判断312，875是否是“好数”？并说明理由； (2)求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由． 【答案】(1)312，875均是“好数”，理由见解析 (2)611，617，721，723，729，831，941，理由见解析 【分析】（1）根据“好数”的意义，判断即可得出结论； （2）设十位数数字为，则百位数字为的整数），得出百位数字和十位数字的和为，再分别取，2，3，4，计算判断即可得出结论． 【详解】（1）解：312是“好数”，因为3，1，2都不为0，且，4能被2整除； 875是“好数”，因为8，7，5都不为0，且，15能被5整除； （2）解：611，617，721，723，729，831，941共7个，理由： 设十位数数字为，则百位数字为的整数）， ， 当时，， 能被1，7整除， 满足条件的三位数有611，617， 当时，， 能被1，3，9整除， 满足条件的三位数有721，723，729， 当时，， 能被1整除， 满足条件的三位数有831， 当时，， 能被1整除， 满足条件的三位数有941， 即满足条件的三位自然数为611，617，721，723，729，831，941共7个． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $