福建厦门市同安实验中学2024-2025学年第二学期高一第一次月考数学试题

**基本信息** 厦门市同安实验中学高一年级月考数学卷，涵盖复数、解三角形、向量等核心知识，结合无人机观测、窗花艺术等情境，考查数学眼光、思维与语言，适配高一学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数（第1题）、解三角形（第2题）、向量基底（第3题）|第8题窗花艺术渗透文化传承，第9题向量命题分层考查逻辑推理| |填空题|3题/15分|向量运算（第12题）、速度合成（第13题）|第14题动态向量最值问题，培养几何直观与运算能力| |解答题|5题/77分|复数几何意义（第15题）、解三角形应用（第18题）|第18题缉私船追截情境，体现数学建模与综合应用能力|

厦门市同安实验中学2024—2025学年度第二学期高一年级第一次月考 数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题:本题共8小题,每题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1．复数所对应的点位于复平面的（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（   ） A． B． C． D． 3．下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．已知向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．在△ABC中，若，则（    ） A．25 B． C．4 D．5 6．若三点，，在同一条直线上，则的值为（   ） A．4 B．6 C．5 D．8 7．如图，无人机在离地面高的处，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（    ）    A． B． C． D． 8．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花．图2中正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．已知，则（    ） A．若，则存在唯一的实数p，q，使得 B．若，则 C．若，则 D．若，则在上的投影向量为 10．已知复数，则下列命题正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若为实数，则 C．若在复平面内对应的点在直线上，则 D．在复平面内对应的点不可能在第三象限 11．对于△ABC，有如下命题，其中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则是△ABC等腰三角形 C．若，则△ABC为钝角三角形 D．若，，，则△ABC的面积为或 3、 填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．化简 . 13．一条从西向东的小河的河宽为3.5海里，水的流速为3海里/小时，如果轮船希望用10分钟的时间从河的南岸垂直到达北岸，轮船的速度应为 ； 14. 如图，在边长为1的正方形中，是对角线上一点，且，则 (1)_______； (2)若点为线段（含端点）上的动点，求的最小值_______. 四、解答题:本题共5小题,共77分. 15．(13分)复数z在复平面对应点A在第一象限，且 ，且实部是虚数2倍 (1)求; (2)在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1， -1+2i ，判断△ABC的形状. 16. (15分)已知向量的夹角为 (1)求 (2)求; (3)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 17.(15分)如图，在△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=60°， 18. (17分)在海岸A处，发现北偏西75°的方向，与A距离2海里的B处有一艘走私船，在A处北偏东45°方向，与A距离（）海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/小时的速度从B向北偏西30°方向逃窜，问：    (1)刚发现走私船时，缉私船距离走私船多远？在走私船的什么方向？ (2)缉私船沿什么方向能最快追上走私船？ 19．(17分)在△ABC中，内角，，的对边分别为，，， (1)求B； (2)若的平分线交于点，a=4，△ABC的面积为，求的长度； (3)若，求△ABC周长的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年3月14日补充》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A C D B C D ACD ABD 题号 11 答案 ACD 1．A 【分析】找出复数所对应的点即可求解. 【详解】复数所对应的点的坐标为， 所以位于第一象限， 故选：A. 2．B 【分析】利用正弦定理解三角形. 【详解】中，由正弦定理，得. 故选：B 3．A 【分析】根据向量相等可求出，得出所求. 【详解】， ，解得，则. 故选：A. 4． C 【分析】根据两向量垂直，它们的数量积结果为零，再根据向量之间的关系可得到两向量夹角的余弦值，即可求得结果． 【详解】由，得，则， 又（其中为与的夹角，），所以， 又，所以，所以， 故选：C． 5．D 【分析】结合完全和平方公式，利用余弦定理即可求解. 【详解】因为在中，， 所以由余弦定理可得： ，所以. 故选:D 6．B 2．C 【分析】由三点共线可得，结合求解即可. 【详解】因为、、三点共线，所以， 又因为，， 所以，解得. 故选：C. 2．B 【分析】由三点共线可得，结合求解即可. 【详解】因为、、三点共线，所以， 又因为，， 所以，解得. 故选：B 7．C 【分析】根据题中条件，先得到，，在中，根据正弦定理可求得，进而在中，可求得. 【详解】因为，所以，又， 所以，所以，所以， 又，， 所以， 在中，由正弦定理可得， 所以， 在中，因为， 所以. 故选：C． 8．D 【分析】计算得出，求出的取值范围，由此可求得的取值范围，从而可得最小值. 【详解】如下图所示，由正六边形的几何性质可知，、、、、、均为边长为的等边三角形， 当点位于正六边形的顶点时，取最大值， 当点为正六边形各边的中点时，取最小值，即， 所以，. 所以，. 的最小值为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 9．ACD 【分析】首先根据选项，分别代入，再根据向量坐标公式，即可判断选项. 【详解】A：当时，不共线，所以可以作为一组基向量， 由平面向量基本定理得，存在唯一的实数p，q使得，所以A正确； B：若，则， 所以不成立，所以B错误； C：若，则， 所以，所以C正确； D：若，则， 所以在上的投影向量为，所以D正确． 故选：ACD 10．ABD 【分析】首先得到复数的实部与虚部，再根据复数的类型求出参数的值，即可判断A、B，根据复数的几何意义判断C、D. 【详解】复数的实部为，虚部为， 复数在复平面内对应的点的坐标为， 对于A：若为纯虚数，则，解得，故A正确； 对于B：若为实数，则，解得，则，故B正确； 对于C：若在复平面内对应的点在直线上， 所以，解得或，故C错误； 对于D：令，即，不等式组无解， 所以在复平面内对应的点不可能在第三象限，故D正确. 故选：ABD 11．ACD 【分析】对于A：利用正弦定理分析判断；对于B：根据正弦函数结合角的范围分析判断；对于C：利用正、余弦定理边角转化分析判断；对于D：利用余弦定理结合面积公式运算求解. 【详解】设角所对的边为， 对于选项A：若，则，由正弦定理可得，故A正确； 对于选项B：若， 因为，则， 可得或，则或， 可知是等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于选项C：若，则， 由正弦定理可得，即， 则，且， 可知角钝角，可知为钝角三角形，故C正确； 对于选项D：因为，，， 由余弦定理可得：，即，解得或， 所以的面积为或，故D正确； 故选：ACD. 12． 【分析】根据平面向量加法和减法法则即可得到答案. 【详解】. 故答案为： 13．15海里/小时 【分析】先求出船的实际速度，再利用勾股定理得到轮船的速度. 【详解】设船的实际速度为，船速，水的流速， 则海里/小时， ∴海里/小时. 故答案为：15海里/小时 14.(1) (2) 【分析】（1）表达出，利用向量数量积公式得到； （2）设，，表达出，，利用向量数量积公式得到，故当时，取得最小值，最小值为. 【详解】（1）由题意可知：，， 则， ， 所以 . （2）因为点为线段（含端点）上的动点，设，， 则， ， 其中， 可得 ， 故当时，取得最小值，最小值为. 15．(1)m＝1或 (2)m＝4， 【分析】（1）根据题意得到方程，求出m的值；（2）根据共线得到方程，求出m＝4或，经检验m＝4满足要求，再求出方向的单位向量. 【详解】（1）依题意得，，解得：m＝1或 （2）∵与共线，则 解得：m＝4或 当m＝4时，代入可以得到，满足在第一象限，成立 当时，代入可得到，不满足在第一象限，舍去 ∵与共线且反向，则方向的单位向量为 16．(1) (2) (3) 【分析】(1)用定义求解数量积； （2）根据向量模的性质可得，结合数量积的性质求结论； （3）将条件转化为且与不反向，然后计算，解不等式即可得到结果. 【详解】（1）由已知， （2）. （3）由于， 若与反向，可得，， 所以，所以， 因为与的夹角为钝角， 所以，且与不反向， 所以且， 即且. 所以的取值范围是. 17. 18．(1)缉私船距离走私船海里，在走私船的正东方向 (2)缉私船沿北偏西的方向能最快追上走私船 【分析】（1）根据题求得，由正弦定理求得，得到，得出为水平线，即可得到答案； （2）设经过时间小时后，缉私船追上走私船，得到，结合正弦定理求得，进而得到答案. 【详解】（1）由题意，可得， 则 ， 在中，由正弦定理，即， 解得，因为，所以，所以为水平线， 所以刚发现走私船时，缉私船距离走私船海里，在走私船的正东方向． （2）设经过时间小时后，缉私船追上走私船， 在中，可得， 由正弦定理得， 因为为锐角，所以， 所以缉私船沿北偏西的方向能最快追上走私船． 19.（1） （2） （3） 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合和角的正弦公式求解. （2）利用三角形面积求出边，再利用面积建立方程求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 则， 即，而，于是，而， 所以. （2）由题知，，又，的面积为， 则，即，解得， 由，得，， 所以.    答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $