第02讲 全等三角形13大题型（暑假预习讲义）新八年级数学新教材苏科版

第02讲 全等三角形 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 图形的全等 题型2 将已知图形分割成几个全等图形 题型3 全等三角形的概念 题型4 利用全等三角形的性质求角度 题型5 利用全等三角形的性质求边长 题型6 利用全等三角形的性质求面积 题型7 网格中的全等三角形问题 题型8 全等变换—平移 题型9 全等变换—翻折 题型10 全等变换—旋转 题型11 全等三角形的简单动点问题 题型12 全等三角形动点综合 题型13 全等三角形性质综合 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 全等三角形 全等三角形的性质 全等变换 全等三角形的动点问题 1.能说出全等形、全等三角形定义，会用符号规范书写全等，找准对应顶点、边、角。 2.掌握全等三角形性质：对应边、对应角、对应高、中线、角平分线相等，周长面积相等。 3.能利用性质完成线段、角度计算与简单证明。 学习重点：理解全等三角形定义，找准对应边角，掌握其对应线段相等的性质并简单运用。 学习难点：准确识别复杂图形对应元素，规范书写全等，区分性质与判定的逻辑关系。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 全等三角形的概念及表示 1.两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形 全等三角形是特殊的全等图形，同样的，判断两个三角形是否为全等三角形，主要看这两个三角形的形状和大小是否完全相同，与它们所处的位置无关. 2.全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 3.全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”. 在记两个三角形全等时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上，如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF. 4.确定全等三角形对应关系的方法： （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）. 即时即练 1．下列说法中，正确的是（   ） A．两个等边三角形一定全等 B．两个全等三角形的周长相等 C．面积相等的两个三角形一定全等 D．三个角对应相等的两个三角形全等 2．如图，，点C和点B是对应顶点，则边的对应边是（　　） A． B． C． D．   3．如图，，请写出图中的对应角，对应边．    ①的对应角为（    ）；②的对应角为（    ）；③的对应角为（    ）；④的对应边为（    ）；⑤的对应边为（    ）． 知识点02 全等三角形的性质 1.最主要的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2.其它性质： （1）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等； （2）全等三角形的周长相等，面积相等，但是，周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形. 【易错点】 1、忽略对应：仅对应边角、高、中线、角平分线相等，乱认相等会错； 2、因果颠倒：全等能推出边角相等，边角相等不能直接证全等； 3、书写不规范：全等式顶点顺序不对，对应关系全错； 4、概念混淆：周长 / 面积相等、三角对应相等，都不能判定全等； 5、识图漏洞：公共边、公共角、对顶角不会当作隐含对应条件。 即时即练 4．如图，已知，若，，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．5 D．6 5．一个三角形的三边长分别为，，，另一个三角形的三边长分别为，，，若这两个三角形全等，则________． 6．如图，已知． (1)请写出的对应角为___________，边的对应边为___________； (2)求证：． 知识点03 全等变换 在不改变图形的形状和大小的前提下，只改变图形的位置叫做全等变换. 常见的全等变换有平移变换、翻折变换、旋转变换，如下图所示： 【核心结论】 平移：沿直线移动，对应边平行且相等，有公共平行线、相等线段。 翻折（轴对称）：沿直线对折，对称轴垂直平分对应点连线，出现公共边 / 公共角。 旋转：绕定点转动，旋转角相等，出现等线段共顶点、对顶角。 共性：变换前后三角形全等，对应边角、高、中线全相等。 即时即练 7．如图：，那么的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．一个图形经过平移、翻折、旋转前后的图形全等．根据下列全等三角形写出对应的边和角． (1)，对应边是 ，对应角是 ； (2)，对应边是 ，对应角是 ； (3)，对应边是 ，对应角是 ； (4)，对应边是 ，对应角是 ． 9．如图，沿边所在的直线翻折得到，，，则的周长是_____． 题型1 图形的全等 【例1】下列图形是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列各组图形是全等形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】请观察图中的6组图案，其中是全等图形的是（   ） A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（3）（4）（5） D．（4）（5）（6） 【变式3】对于两个图形，有下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相同．其中能得到这两个图形全等的结论共有______个． 【变式4】如图，将标号为的正方形沿图中的虚线剪开后得到标号为的四个图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪个图形”的对应关系填空． A与_________对应；B与______对应；C与_______对应；D与_______对应． 题型2 将已知图形分割成几个全等图形 【例2】如图，下面4个正方形的边长都相等，其中阴影部分的面积相等的图形有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于______． 【变式2】通过第十三章《全等三角形》的学习，我们知道了能够完全重合的两个图形是全等图形． (1)写出“能够完全重合的两个图形是全等图形”的逆命题，并判断其真假； (2)如图，沿着图中的虚线，用两种方法将下面的图形划分为两个全等的图形． 【变式3】把如图所示的由16个小正方形组成的图形，用三种不同的方法沿网格线分割成两个全等图形． 【变式4】知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．” 理解应用：我们可以把的正方形网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1 和图2是两种不同的划分方法，其中图3 与图1视为同一种划分方法． 要求：请你再提供2种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来． （请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑） 题型3 全等三角形的概念 【例3】下列命题是真命题的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．周长相等的两个三角形全等 【变式1】如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 【变式2】如图，，点和是对应点，点和是对应点，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，若沿直线对折，与重合，则________，的对应边是________，的对应边是________，的对应角是________，的对应角是________． 【变式4】如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是________．（填序号）    题型4 利用全等三角形的性质求角度 【例4】若如图所示的两个三角形全等，则（    ） A． B． C． D． 【易错警示】 利用全等求角时，切勿不看顶点顺序乱划等角，只有对应角才相等。折叠、旋转图形要分清变换后的对应关系，公共角、对顶角别混淆对应位置。不能仅凭视觉判断角相等，书写推理要先写全等，再推角相等，颠倒因果会失分，计算角度记得结合三角形内角和综合推导。 【变式1】如图，在和中，点B，E，C，F在同一条直线上，和交于点G．若，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，，则的度数为__________． 【变式3】如图，，若，，则等于______． 【变式4】如图，已知，点在上，与交于点，，，． (1)求的长度； (2)求的度数． 题型5 利用全等三角形的性质求边长 【例5】如图，且，，，则（   ） A．3 B．3.5 C．5 D．6.5 【变式1】如图，在中，于点D、E是上一点，若，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，已知，点，，，依次在同一条直线上．若，，则的长为______． 【变式3】如图，．点在线段上，点在线段上．若，则的长为_____． 【变式4】如图，已知，且点D在边上． (1)试判断和的位置关系，并说明理由 (2)若，求的长． 题型6 利用全等三角形的性质求面积 【例6】中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是_____． 【变式1】我们把两个面积相等但不全等的三角形叫作偏等积三角形，如图，在中，，，，为上一点，当_____________时，与是偏等积三角形． 【变式2】如图，在中，点D在边上，点E在边上，延长交于点F，且． (1)求证：为直角三角形； (2)若，求的面积． 【变式3】如图，点在同一条直线上，，，，，． (1)求的周长． (2)求四边形的面积． 【变式4】若，和分别是对应边和的高，且的面积是6，，则_______________． 题型7 网格中的全等三角形问题 【例7】如图，的三个顶点分别在正方形网格的3个格点上．若在网格图中的格点上有一点D（不与点重合），使得与全等，则这样的三角形有_______个． 【易错警示】 网格中判断全等不能只凭肉眼看形状，需用格点算边长验证。易搞错对应顶点，全等书写字母顺序混乱；忽略直角格点隐藏等角，误判边角相等。平移旋转后找错对应边，计算线段长度漏用勾股定理，仅凭直观判定全等导致出错。 【变式1】如图是由边长为1的小正方形组成的网格，若，则点（与点不重合）可能是图中的（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式2】如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．在图中作，使，且所作图形的顶点必须在格点上． 【变式3】如图，是一个的正方形网格．根据图中标示的各点位置，在下列三角形中，与全等的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】如图，在每个小正方形边长均为1个单位长度的方格纸中，有和直线，点A，B，C均在小正方形的顶点（网格点）上．（保留作图痕迹，不写做法）    (1)在方格纸中画出关于直线对称的； (2)在方格纸的网格点中找一点E，使得． 题型8 全等变换—平移 【例8】如图，，，，则的长为（　　）． A． B． C． D． 【变式1】如图，已知，点B，E，C，F在同一条直线上，，．则长为（    ）． A．1 B．4 C．5 D．6 【变式2】某数学兴趣小组探究三角形的平移变化引出新的思考．现将两个全等的和重叠在一起，固定不变，将沿射线平移．若的周长为8，平移的距离为2，则四边形的周长______． 【变式3】如图，的边长长为，将向上平移得到，已知四边形为长方形，则阴影部分的面积为__． 【变式4】如图，在中，，将沿方向向右平移得到，交于G，已知，则阴影部分的面积为___． 题型9 全等变换—翻折 【例9】已知：纸片，将纸片分别按以下两种方法翻折： ①如图1．沿着的平分线翻折，得到，设的周长为m． ②如图2，沿着的垂直平分线翻折，得到，设的周长为n． 线段的长度用含m，n的代数式可表示为（　　） A． B． C．m D． 【变式1】如图，将△ABC沿AC所在的直线翻折得到△AB′C，再将△AB′C沿AB′所在的直线翻折得到△AB′C′，点B，B′，C′在同一条直线上，∠BAC=α，由此给出下列说法：①△ABC≌△AB′C′，②AC⊥BB′，③∠CB′B=2α．其中正确的说法是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，D是边BC上一点，连接AD．将△ABD沿直线AD翻折后，点B恰好落在边AC上B'点，若AB'：B'C＝3：2，则点D到AC的距离是 _____． 【变式3】如图，把沿直线翻折，使点B落到点D处．    (1)请将图中两个三角形的关系用数学符号表示出来． (2)若，，求的度数． 【变式4】[问题背景] 如图①，将沿折痕翻折，使点C落在边上点处，已知，，求的度数； [变式运用] 如图②，在中，，求证：． 题型10 全等变换—旋转 【例10】如图，将三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形，若点恰好落在线段上，，交于点，则下面结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，E是正方形中边上的点，以点A为中心，把顺时针旋转，得到，其中．那么旋转角的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】数学课堂上，为探究旋转的性质，同学们进行了如下操作：如图所示，将一个三角形硬纸板，放置在一张白纸上，描出硬纸板的形状，并用图钉固定点A，将三角形硬纸板绕点A顺时针旋转一定角度后，再描出形状得到，经测量，则_______． 【变式3】如图，绕点C旋转得到，点E在边AB上，若，则的度数是_________． 【变式4】如图，中，，，，将绕点逆时针旋转得到．在旋转过程中：    (1)旋转中心是什么，为多少度？ (2)与线段相等的线段是哪一条？ (3)的面积是多少？ 题型11 全等三角形的简单动点问题 【例11】如图，点在线段上，于点，于点，，且，，点从点开始以速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，，同时停止运动．过，分别作的垂线，垂足分别为，，设运动的时间为，当以，，三点为顶点的三角形与全等时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【易错警示】 解全等动点题易忽略分情况讨论，随意匹配对应边致列式错误。不会用时间 t 表示线段长，混淆已走路程与剩余线段。求出 t 值后不检验动点是否在线段范围内，产生不合理解。审题漏看运动方向、速度，仅凭图形直观判断对应边角，推理缺少全等依据。 【变式1】如图，已知线段米，于点A，米，射线于B，P点从B点向A 运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，P、Q同时从B出发，则出发x秒后，在线段上有一点C，使与全等，则x的值为（   ） A．5 B．5或10 C．10 D．6或10 【变式2】如图，，，．点在线段上从点向点运动，点从点出发沿着射线的方向运动．若与全等，则的长为________． 【变式3】如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以3厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为__________时，能够使与全等． 【变式4】如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒： (1)______．（用的代数式表示：） (2)当为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 题型12 全等三角形动点综合 【例12】如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为（     ）． A．3或 B．2或 C．2或3 D．3或 【变式1】如图，的两条高与交于点，，．点在射线上，且，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，则的值为（    ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 【变式2】如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为______s时，与全等． 【变式3】如图，中，，，，直线经过点且与边相交（不经过点，）．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当_________秒时，与全等（不考虑、重合的情况）． 【变式4】如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当在上时 ，当在上时 ，（用含的式子表示） (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好全等，求点的运动速度． 题型13 全等三角形性质综合 【例13】如图，在锐角中，，，为上一动点，将，分别沿，向外翻折，得到，，连接，当 面积的最小值为8时，则的面积为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【变式1】如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”．如图2，，则图中共有“伪全等三角形”（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【变式2】如图，四边形中，，，沿所在直线折叠，使点落在点处，、交于点，则下列结论：①；②；③；④；⑤若，则一定正确的有___________． 【变式3】如图，点和动点在直线上，点关于点的对称点为，以为边作，使，．直线上有一点在点右侧，，过点作射线，点为射线上的一个动点，连接．当与全等时，______．    【变式4】综合与探究 【问题情境】 如图①，在四边形中，，，，．动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，连接，．设运动时间为（单位；）． 【初步探究】 （1）如图①，若，求的值． 【拓展延伸】 （2）如图②，当点开始运动时，另一动点同时从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ①在，运动的过程中，若与全等，请求出此时和的值． ②如图③，当点开始运动时，动点同时从点出发，以的速度沿方向向点运动，连接，交于点．连接，当时，，请直接写出此时的值． 1．下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形 C．两个全等图形面积一定相等 D．两个正方形一定是全等图形 2．如图，点D、B在上，，，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．如图所示的两个三角形全等，则等于（    ） A． B． C． D． 4．如图，，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，延长交于点F，下列结论中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，点是边上一点，点是线段上一点，且；其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①② C．①③④ D．③④ 7．如图，将这四个全等的直角三角形无缝隙、无重叠地拼接在一起，能拼接成四边形且是轴对称图形的个数（    ） A． B． C． D． 8．如图，在长方形中，，，点从点出发，以2个单位/秒的速度沿向点运动，同时，点从点出发，以个单位/秒的速度沿向点运动，设运动时间为秒，在运动过程中，当与全等时的值为（   ） A．3或 B．2或3 C．2或 D．或 9．如图，将直角三角形沿方向平移，得到直角三角形．已知，，则有下列说法：其中一定错误的是（     ） A． B． C． D．图中阴影部分的面积为 10．如图，，则对于结论，，，， 其中正确结论的个数是（    ） A．1   个 B．2  个 C．3  个 D．4    个 11．如图，已知，若，则的长是______________． 12．如图，已知，和，和是对应顶点．如果，，，那么_____． 13．如图，点、、在同一直线上，若，顶点、、分别与顶点、、对应．若，，则______． 14．如图，点，，，在同一条直线上，，，，，则的周长为_____． 15．若，和分别是对应边和的高，且的面积是6，，则_______________． 16．如图，在中，于点，是上一点．若，，，则的周长为________． 17．如图，已知，顶点A，B，C分别与顶点D，E，F对应，则________，________°． 18．如图，下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形，又能拼出三角形的是图形（请填图形下面的代号）______． 19．如图，，，，点在线段上以的速度由点向点匀速运动，同时点从点出发以的速度沿射线匀速运动，点到点时，，两点同时停止运动．若存在某一时刻，与全等，则的值为_______． 20．已知，的三边长度为4、和，的三边长度为6、、，则的周长是______． 21．如图，，写出其中相等的角． 22．如图，已知，指出它们的对应顶点、对应边和对应角． 23．如图，已知，，，三点共线，如果，，求的长． 24．如图，在中，点、分别在边、上，，，．若，求的周长． 25．如图，． (1)写出这两个三角形的对应边和对应角． (2)若，求的度数． 26．如图，，你能从图中找出几组平行线？ 小颖找出了一组平行线，她的思考过程如下． 因为， 所以． 所以． 请说明每一步的理由． 27．如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，的顶点，，均在格点上，请按要求完成作图：①仅用无刻度的直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母． (1)如图1，在网格内找一点，使得，作出（与不重合）． (2)如图2，作边上的中线，并求出的面积． 28．【教材呈现】 将正方形的四个顶点用线段连接，什么样的连法最短？研究发现，并非对角线最短，而是如图所示的连法最短（即用线段把四个顶点连接起来）． 已知如图1：． (1)证明：； (2)【问题探究】 如图2，某数学兴趣小组研究构造了，可以发现中_____． 29．如图，在中，，，点在上，且；点从出发以每秒的速度向点运动，同时，点从出发向点运动，设运动时间为秒，连接、． (1)用含t的式子表示、； (2)若点N的运动速度也为每秒，t为何值时，； (3)若点N的运动速度和点M的速度不相等，要使，则点N的运动速度为多少？全等时t为多少？ 30．综合与探究 如图，在长方形中，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为． (1)________（用含的代数式表示）； (2)若点的运动速度为，是否存在的值，使得与全等？若存在求出的值；若不存在，请说明理由． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 全等三角形 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 图形的全等 题型2 将已知图形分割成几个全等图形 题型3 全等三角形的概念 题型4 利用全等三角形的性质求角度 题型5 利用全等三角形的性质求边长 题型6 利用全等三角形的性质求面积 题型7 网格中的全等三角形问题 题型8 全等变换—平移 题型9 全等变换—翻折 题型10 全等变换—旋转 题型11 全等三角形的简单动点问题 题型12 全等三角形动点综合 题型13 全等三角形性质综合 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 全等三角形 全等三角形的性质 全等变换 全等三角形的动点问题 1.能说出全等形、全等三角形定义，会用符号规范书写全等，找准对应顶点、边、角。 2.掌握全等三角形性质：对应边、对应角、对应高、中线、角平分线相等，周长面积相等。 3.能利用性质完成线段、角度计算与简单证明。 学习重点：理解全等三角形定义，找准对应边角，掌握其对应线段相等的性质并简单运用。 学习难点：准确识别复杂图形对应元素，规范书写全等，区分性质与判定的逻辑关系。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 全等三角形的概念及表示 1.两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形 全等三角形是特殊的全等图形，同样的，判断两个三角形是否为全等三角形，主要看这两个三角形的形状和大小是否完全相同，与它们所处的位置无关. 2.全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 3.全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”. 在记两个三角形全等时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上，如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF. 4.确定全等三角形对应关系的方法： （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）. 即时即练 1．下列说法中，正确的是（   ） A．两个等边三角形一定全等 B．两个全等三角形的周长相等 C．面积相等的两个三角形一定全等 D．三个角对应相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的定义和性质判断各选项的正确性． 【详解】解：∵全等三角形的对应边相等， ∴它们的周长相等，故B正确； A项两个等边三角形可能大小不同，不一定全等； C项面积相等的三角形形状可能不同，不一定全等； D项三个角对应相等的三角形相似，但不一定全等， 故选：B． 2．如图，，点C和点B是对应顶点，则边的对应边是（　　） A． B． C． D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，根据点C和点B是对应顶点，可得A和D是对应顶点，据此可得答案． 【详解】解：∵，点C和点B是对应顶点， ∴边的对应边是， 故选：B． 3．如图，，请写出图中的对应角，对应边．    ①的对应角为（    ）；②的对应角为（    ）；③的对应角为（    ）；④的对应边为（    ）；⑤的对应边为（    ）． 【答案】，，，， 【分析】根据全等三角形的定义可直接得出答案． 【详解】解：∵， ∴①的对应角为； ②的对应角为； ③的对应角为； ④的对应边为； ⑤的对应边为； 故答案为：，，，，． 【点睛】本题考查了全等三角形，找准对应边、对应角是解题的关键． 知识点02 全等三角形的性质 1.最主要的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2.其它性质： （1）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等； （2）全等三角形的周长相等，面积相等，但是，周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形. 【易错点】 1、忽略对应：仅对应边角、高、中线、角平分线相等，乱认相等会错； 2、因果颠倒：全等能推出边角相等，边角相等不能直接证全等； 3、书写不规范：全等式顶点顺序不对，对应关系全错； 4、概念混淆：周长 / 面积相等、三角对应相等，都不能判定全等； 5、识图漏洞：公共边、公共角、对顶角不会当作隐含对应条件。 即时即练 4．如图，已知，若，，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据全等三角形的对应边相等即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴． 5．一个三角形的三边长分别为，，，另一个三角形的三边长分别为，，，若这两个三角形全等，则________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，推出，进而求出的值即可． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴， ∴； 故答案为：11． 6．如图，已知． (1)请写出的对应角为___________，边的对应边为___________； (2)求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应角相等、对应边相等的性质以及平行线的判定定理． （1）根据全等三角形对应角、对应边的定义确定答案； （2）利用全等三角形对应角相等得到角的关系，再根据平行线的判定定理证明平行． 【详解】（1）解：， 的对应角为，边的对应边为． 故答案为：，； （2）证明：， ， ． 知识点03 全等变换 在不改变图形的形状和大小的前提下，只改变图形的位置叫做全等变换. 常见的全等变换有平移变换、翻折变换、旋转变换，如下图所示： 【核心结论】 平移：沿直线移动，对应边平行且相等，有公共平行线、相等线段。 翻折（轴对称）：沿直线对折，对称轴垂直平分对应点连线，出现公共边 / 公共角。 旋转：绕定点转动，旋转角相等，出现等线段共顶点、对顶角。 共性：变换前后三角形全等，对应边角、高、中线全相等。 即时即练 7．如图：，那么的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、线段的和差等知识点，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 由全等三角形的性质可得，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 8．一个图形经过平移、翻折、旋转前后的图形全等．根据下列全等三角形写出对应的边和角． (1)，对应边是 ，对应角是 ； (2)，对应边是 ，对应角是 ； (3)，对应边是 ，对应角是 ； (4)，对应边是 ，对应角是 ． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质即可得到结论． （2）根据全等三角形的性质即可得到结论． （3）根据全等三角形的性质即可得到结论． （4）根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：，对应边是， 对应角是； 故答案为：；； （2）解：，对应边是， 对应角是； 故答案为：；； （3）解：，对应边是， 对应角是； 故答案为：；； （4）解：，对应边是， 对应角是． 故答案为：；． 9．如图，沿边所在的直线翻折得到，，，则的周长是_____． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，折叠的性质，根据折叠性质得，根据全的三角形的性质，的周长就等于的周长，解题的关键是掌握知识点的应用． 【详解】解：根据题意得，， ∴的周长就等于的周长， ∵， ∴的周长为：， ∴的周长为， 故答案为：． 题型1 图形的全等 【例1】下列图形是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的全等：能够重合的两个图形是全等图形；根据此概念判断是否可以重合即可判断． 【详解】解：选项A、C、D中的两个图形不能重合，它们都不是全等图形，而选项B中的两个图形可以重合，是全等图形； 故选：B． 【变式1】下列各组图形是全等形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等图形，能完全重合的两个平面图形是全等图形．据此进行判断即可． 【详解】解：观察发现：B，C，D选项中两个图形不能完全重合，不是全等形； A选项中两个图形能完全重合，是全等形， 故选：A． 【变式2】请观察图中的6组图案，其中是全等图形的是（   ） A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（3）（4）（5） D．（4）（5）（6） 【答案】D 【分析】根据全等的性质：能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合所给图形进行判断即可． 本题考查了全等图形的知识，解答本题的关键是掌握全等图形的定义． 【详解】解：观察图（4）、（5）、（6）三组图形经过平移、旋转、对折后能够完全重合，是全等图形． 故选：D． 【变式3】对于两个图形，有下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相同．其中能得到这两个图形全等的结论共有______个． 【答案】1 【分析】本题考查了全等形的概念，熟练掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．强调能够完全重合，对各项进行验证可得答案． 【详解】解：①周长相等的两个图形不一定重合，所以不一定全等； ②面积相等的两个图形不一定重合，所以不一定全等； ③如果周长相同面积相同而形状不同，则不全等， ④两个图形的形状相同，大小也相等，则二者一定重合，正确． 所以只有1个正确， 故答案为：1． 【变式4】如图，将标号为的正方形沿图中的虚线剪开后得到标号为的四个图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪个图形”的对应关系填空． A与_________对应；B与______对应；C与_______对应；D与_______对应． 【答案】 M P Q N 【分析】本题主要考查了全等形的识别，能够完全重合的两个图形叫做全等形，按照剪开前后各基本图形是重合的原则进行逐个验证、排查，熟练掌握全等形的识别是解决此题的关键． 【详解】由全等形的概念可知： A是三个三角形，与M对应； B是一个三角形和两个直角梯形，与P对应； C是一个三角形和两个四边形，与Q对应； D是两个三角形和一个四边形，与N对应 故答案为：M，P，Q，N． 题型2 将已知图形分割成几个全等图形 【例2】如图，下面4个正方形的边长都相等，其中阴影部分的面积相等的图形有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】观察图形可发现：四个正方形是全等的，面积相等；a，b，d三个图形中空白部分可以组成一个完整的圆，根据圆的面积相等可得这三个图形中阴影部分的面积相等，得出答案． 【详解】由图可知：（a）、（b）、（d）的空白处均可组成一个完整的半径相等的圆，而正方形的面积相等，根据等量减去等量差相等的原理得这三个图形中阴影部分的面积相等． 故选：． 【点睛】本题既考查了全等图形的知识，还考查了整体与部分的关系． 【变式1】在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于______． 【答案】7 【分析】沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形，画出所有的分割方案，即可得到最长分割线的长度． 【详解】解：分割方案如图所示： 由图可得，最长分割线的长度等于7． 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查全等形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握全等形的性质. 【变式2】通过第十三章《全等三角形》的学习，我们知道了能够完全重合的两个图形是全等图形． (1)写出“能够完全重合的两个图形是全等图形”的逆命题，并判断其真假； (2)如图，沿着图中的虚线，用两种方法将下面的图形划分为两个全等的图形． 【答案】(1)逆命题是：如果两个两个图形是全等图形，那么这两个图形能够完全重合，此命题是真命题 (2)见解析 【分析】本题考查了逆命题的定义、真假命题的判断以及全等图形的性质，解题的关键是掌握逆命题“题设与结论互换”的改写规则和全等图形“完全重合”的本质特征． （1）将原命题的题设和结论互换得到逆命题，结合全等图形的定义判断真假； （2）根据矩形的对称性和全等图形的面积、形状特征，沿虚线分割出两个能完全重合的图形． 【详解】（1）解：原命题的逆命题为“全等图形是能够完全重合的两个图形”； ∵ 全等图形的定义就是能够完全重合的两个图形，逆命题的题设与结论均符合定义， ∴ 该逆命题是真命题． （2）如图所示：（答案不唯一）． 【变式3】把如图所示的由16个小正方形组成的图形，用三种不同的方法沿网格线分割成两个全等图形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，结合图形的对称性和互补性，利用面积相等以及图形全等分别分割即可． 【详解】解：分割线如图所示： 【变式4】知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．” 理解应用：我们可以把的正方形网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1 和图2是两种不同的划分方法，其中图3 与图1视为同一种划分方法． 要求：请你再提供2种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来． （请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑） 【答案】见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等图形的概念，根据能够完全重合的图形为全等图形，在图中画出即可，熟知全等图形的概念是解题的关键． 【详解】解：如图所示： （答案不唯一）． 题型3 全等三角形的概念 【例3】下列命题是真命题的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．周长相等的两个三角形全等 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的定义，熟练掌握三角形全等的定义是解题的关键．全等三角形是指能够完全重合的三角形，因此选项C正确，其他选项均不能保证三角形全等． 【详解】解：对于A，形状相同的三角形的对应角相等，但对应边不一定相等，故不一定全等，不符合题意； 对于B，面积相等的三角形底和高可能不同，故不一定全等，不符合题意； 对于C，因为两个三角形全等的定义是它们能够完全重合，所以选项C是真命题，符合题意； 对于D，周长相等的三角形三边组合可能不同，故不一定全等，不符合题意． 故选：C． 【变式1】如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形对应点的确认，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的定义．根据题意找出对应点，即可解题． 【详解】解：， 与相对应， ， 与相对应， ， 故选：D． 【变式2】如图，，点和是对应点，点和是对应点，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的概念，根据全等三角形的概念即可判断，正确找出对应边，对应角是解题的关键． 【详解】解：∵，点和是对应点，点和是对应点， ∴的对应角是， 故选：． 【变式3】如图，若沿直线对折，与重合，则________，的对应边是________，的对应边是________，的对应角是________，的对应角是________． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换及全等三角形的相关概念，解题的关键是掌握翻折的性质及找全等三角形对应边、角的方法． 根据翻折的性质解答即可． 【详解】解：若沿直线对折，与重合，则，的对应边是，的对应边是，的对应角是，的对应角是， 故答案为：，，，，． 【变式4】如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是________．（填序号）    【答案】②④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的有关概念，解题时应注重识别全等三角形中的对应边、对应角． 根据全等三角形的有关概念，即可求解． 【详解】解：∵， ∴与是对应边，故①错误； 与是对应边，故②正确； 与是对应角，故③错误； 与是对应角，故④正确． 所以正确的有②④． 故答案为：②④ 题型4 利用全等三角形的性质求角度 【例4】若如图所示的两个三角形全等，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的对应角相等，进行求解即可. 【详解】解：∵两个三角形全等，且的两条邻边分别为， ∴. 【易错警示】 利用全等求角时，切勿不看顶点顺序乱划等角，只有对应角才相等。折叠、旋转图形要分清变换后的对应关系，公共角、对顶角别混淆对应位置。不能仅凭视觉判断角相等，书写推理要先写全等，再推角相等，颠倒因果会失分，计算角度记得结合三角形内角和综合推导。 【变式1】如图，在和中，点B，E，C，F在同一条直线上，和交于点G．若，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，由等腰三角形的性质得到，由全等三角形的性质推出，判定，推出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】如图，，则的度数为__________． 【答案】/度 【分析】根据全等三角形对应角相等可得，然后结合图形利用角的和差关系得出． 【详解】解： ， ． 【变式3】如图，，若，，则等于______． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式4】如图，已知，点在上，与交于点，，，． (1)求的长度； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质； （1），由可得，即可求解； （2）由可得，再由为的外角，可得，即可求解. 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴. （2）解：∵， ∴， ∵为的外角， ∴， 即. 题型5 利用全等三角形的性质求边长 【例5】如图，且，，，则（   ） A．3 B．3.5 C．5 D．6.5 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质．由全等三角形的性质求得，推出，求得，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1】如图，在中，于点D、E是上一点，若，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握相关知识点是解题的关键． 根据全等三角形的性质，可得，再根据周长为，即可求解． 【详解】解：， ， ， 则的周长为． 故选：D． 【变式2】如图，已知，点，，，依次在同一条直线上．若，，则的长为______． 【答案】 1.5 【分析】先根据全等三角形的对应边相等得，再根据求出，最后根据得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式3】如图，．点在线段上，点在线段上．若，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质得，进而根据线段的和差关系即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式4】如图，已知，且点D在边上． (1)试判断和的位置关系，并说明理由 (2)若，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)10 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的判定. （1）根据全等三角形的性质可得，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 即的长为10． 题型6 利用全等三角形的性质求面积 【例6】中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是_____． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 由题意知，，，则，，，可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴，，， ∴， ∵长方形， ∴， 故答案为：． 【变式1】我们把两个面积相等但不全等的三角形叫作偏等积三角形，如图，在中，，，，为上一点，当_____________时，与是偏等积三角形． 【答案】/ 【分析】本题考查了偏等积三角形和全等三角形的概念，正确掌握偏等积三角形的概念是解决本题的关键． 分别计算出与面积，再由偏等积三角形的概念可得，由此可解． 【详解】解：设点B到的距离为h， 则， ∵与是偏等积三角形． ∴， ∴， ∵，且为上一点， ∴， 又∵，， 即， ∴与不全等， ∴当时，与是偏等积三角形． 故答案为： ． 【变式2】如图，在中，点D在边上，点E在边上，延长交于点F，且． (1)求证：为直角三角形； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质： （1）根据全等三角形的性质可得，从而得到，再结合三角形内角和定理解答即可； （2）根据全等三角形的性质可得，再结合，，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴为直角三角形． （2）解∶ ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式3】如图，点在同一条直线上，，，，，． (1)求的周长． (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解本题的关键． （1） 利用全等三角形的性质可得答案； （2）利用全等三角形的性质证明，利用计算即可． 【详解】（1）解：， ，，， 的周长． （2）解：， ，，． ， ． ． ． 【变式4】若，和分别是对应边和的高，且的面积是6，，则_______________． 【答案】 【分析】根据全等三角形对应边上的高相等，可得，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：，和分别是对应边和的高， ， ， ． 题型7 网格中的全等三角形问题 【例7】如图，的三个顶点分别在正方形网格的3个格点上．若在网格图中的格点上有一点D（不与点重合），使得与全等，则这样的三角形有_______个． 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：如图，即为所求， ∴满足条件的点D的个数为3， 故答案为：3． 【易错警示】 网格中判断全等不能只凭肉眼看形状，需用格点算边长验证。易搞错对应顶点，全等书写字母顺序混乱；忽略直角格点隐藏等角，误判边角相等。平移旋转后找错对应边，计算线段长度漏用勾股定理，仅凭直观判定全等导致出错。 【变式1】如图是由边长为1的小正方形组成的网格，若，则点（与点不重合）可能是图中的（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的对应角相等，对应边相等即可求解． 【详解】解：∵ ∴点应该是图中的点 故选：D ． 【变式2】如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．在图中作，使，且所作图形的顶点必须在格点上． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质找出对应点即可求解． 【详解】解：如图所示，即为所求． ． 【变式3】如图，是一个的正方形网格．根据图中标示的各点位置，在下列三角形中，与全等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，观察可知点与点关于对称，即可求解． 【详解】解： 由图可知：点与点关于对称， 由轴对称的性质可知： 故选：C 【变式4】如图，在每个小正方形边长均为1个单位长度的方格纸中，有和直线，点A，B，C均在小正方形的顶点（网格点）上．（保留作图痕迹，不写做法）    (1)在方格纸中画出关于直线对称的； (2)在方格纸的网格点中找一点E，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了作图——轴对称变换，全等三角形的性质． （1）利用网格特点和轴对称的性质作出各顶点关于直线的对称点，，，依次连接即可解答； （2）是直角边长分别为5和3的直角三角形的斜边，由此通过网格特点构造与之全等的三角形即可解答． 【详解】（1）解：如图，为所求．    （2）解：如图，点E为所求．    题型8 全等变换—平移 【例8】如图，，，，则的长为（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式1】如图，已知，点B，E，C，F在同一条直线上，，．则长为（    ）． A．1 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．先根据全等三角形的性质可得，再根据线段的和差求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【变式2】某数学兴趣小组探究三角形的平移变化引出新的思考．现将两个全等的和重叠在一起，固定不变，将沿射线平移．若的周长为8，平移的距离为2，则四边形的周长______． 【答案】12 【分析】本题考查平移性质，根据平移性质得到，进而可求解． 【详解】解：∵沿方向平移的距离为2， ∴，， ∵的周长为8，即， ∴ ∴四边形的周长为， 故答案为：12． 【变式3】如图，的边长长为，将向上平移得到，已知四边形为长方形，则阴影部分的面积为__． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质、矩形的面积公式，证明及是解题的关键． 由平移得，可得，再根据，即可求解． 【详解】解：由平移得， ， ， ∵四边形为长方形，， ， ， 故答案为：． 【变式4】如图，在中，，将沿方向向右平移得到，交于G，已知，则阴影部分的面积为___． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质，全等的性质；由平移得到三角形全等、线段相等是解题的关键． 由平移得，于是阴影部分面积等于梯形的面积，求得梯形的面积=，于是阴影部分的面积． 【详解】解：∵沿着点A到点C的方向平移到的位置， ∴， ∴阴影部分面积等于梯形的面积， 由平移的性质得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴梯形的面积=， ∴阴影部分的面积． 故答案为：35． 题型9 全等变换—翻折 【例9】已知：纸片，将纸片分别按以下两种方法翻折： ①如图1．沿着的平分线翻折，得到，设的周长为m． ②如图2，沿着的垂直平分线翻折，得到，设的周长为n． 线段的长度用含m，n的代数式可表示为（　　） A． B． C．m D． 【答案】A 【分析】根据折叠的性质可得，从而得到，再由的周长为m，可得，再由折叠的性质可得，从而得到，再由的周长为n，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵沿着的平分线翻折，得到， ∴， ∴， ∵的周长为m， ∴， 即， ∵沿着的垂直平分线翻折，得到， ∴， ∴， ∵的周长为n， ∴， 即， ∴， ∴， ∵ ∴． 故选：A 【点睛】本题主要考查了图形的折叠问题，全等三角形的性质，熟练掌握图形的折叠性质，全等三角形的性质是解题的关键． 【变式1】如图，将△ABC沿AC所在的直线翻折得到△AB′C，再将△AB′C沿AB′所在的直线翻折得到△AB′C′，点B，B′，C′在同一条直线上，∠BAC=α，由此给出下列说法：①△ABC≌△AB′C′，②AC⊥BB′，③∠CB′B=2α．其中正确的说法是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】①由翻折可得△ABC≌△AB′C，△AB′C≌△AB′C′，进而可以进行判断； ②由翻折可得点B与点B′关于AC对称，进而可以进行判断； ③由翻折可得∠B′AC′=∠B′AC=∠BAC=α，∠AB′C′=∠AB′C，再根据角的和差即可进行判断． 【详解】解：①由翻折可知：△ABC≌△AB′C，△AB′C≌△AB′C′， ∴△ABC≌△AB′C′；故①正确； ②由翻折可知：点B与点B′关于AC对称， ∴AC⊥BB'；故②正确； ③由翻折可知：∠B′AC′=∠B′AC=∠BAC=α，∠AB′C′=∠AB′C， ∴∠AB′B=90°-∠B′AC=90°-α， ∴∠AB′C′=180°-∠AB′B=180°-（90°-α）=90°+α， ∴∠AB′C=90°+α， ∴∠CB′B=∠AB′C-∠AB′B=90°+α-（90°-α）=2α， ∴∠CB′B=2α．故③正确． 综上所述：正确的说法是：①②③． 故选：D． 【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，D是边BC上一点，连接AD．将△ABD沿直线AD翻折后，点B恰好落在边AC上B'点，若AB'：B'C＝3：2，则点D到AC的距离是 _____． 【答案】 【分析】根据折叠的性质，可得 ，从而得到，再由AB'：B'C＝3：2，AB＝6，可得，从而得到，进而得到，然后设点D到AC的距离是 ，即可求解． 【详解】解：∵将△ABD沿直线AD翻折后，点B恰好落在边AC上B'点， ∴ ， ∴， ∵AB'：B'C＝3：2，AB＝6， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴， 设点D到AC的距离是 ， ∴ ， 解得： ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了图形的折叠，全等三角形的性质，根据题意得到是解题的关键． 【变式3】如图，把沿直线翻折，使点B落到点D处．    (1)请将图中两个三角形的关系用数学符号表示出来． (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据折叠后两个三角形全等解答即可； （2）先求出的度数，再根据三角形内角和定理求出的度数，进而可求出的度数． 【详解】（1）由折叠的性质可知，； （2）∵， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键． 【变式4】[问题背景] 如图①，将沿折痕翻折，使点C落在边上点处，已知，，求的度数； [变式运用] 如图②，在中，，求证：． 【答案】[问题背景]；[变式运用]见解析 【分析】本题考查翻折变换的性质，全等三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是： [问题背景]问题①根据折叠的性质可得，继而得到，再根据三角形外角的性质可得结论； [变式运用]利用①的方法，将沿折痕翻折，点C的对应点为点，可得，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质即可得证． 【详解】解：[问题背景]∵沿折痕翻折，，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； [变式运用]证明：如图，沿折痕翻折，点C的对应点为点， ∵， ∴点落在边上， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型10 全等变换—旋转 【例10】如图，将三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形，若点恰好落在线段上，，交于点，则下面结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．根据旋转的性质可得，旋转角，再根据全等三角形的性质可得，，由此即可得． 【详解】解：由旋转的性质得：，旋转角，则选项A正确； ∴，，则选项C和D均正确； 由已知条件无法得出，则选项B错误； 故选：B． 【变式1】如图，E是正方形中边上的点，以点A为中心，把顺时针旋转，得到，其中．那么旋转角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的性质等知识点，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 根据正方形的性质得到，由旋转的性质推出，求出即可解答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∴， ∴旋转角的度数是． 故选：C． 【变式2】数学课堂上，为探究旋转的性质，同学们进行了如下操作：如图所示，将一个三角形硬纸板，放置在一张白纸上，描出硬纸板的形状，并用图钉固定点A，将三角形硬纸板绕点A顺时针旋转一定角度后，再描出形状得到，经测量，则_______． 【答案】/35度 【详解】解：将三角形硬纸板绕点A顺时针旋转一定角度，根据旋转的性质，旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的方向， ， ，， ， ，， ， 故答案为：． 【变式3】如图，绕点C旋转得到，点E在边AB上，若，则的度数是_________． 【答案】 【分析】由全等三角形的性质可得，可求得 ，由三角形的内角和可求得 ，从而得解． 【详解】解：∵绕点C旋转得到， ∴ ， ∴， ∴ ， 即 ∵， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，旋转的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 【变式4】如图，中，，，，将绕点逆时针旋转得到．在旋转过程中：    (1)旋转中心是什么，为多少度？ (2)与线段相等的线段是哪一条？ (3)的面积是多少？ 【答案】(1)     (2) (3) 【分析】（1）根据旋转中心的定义、旋转的性质即可求得答案． （2）根据旋转前后的图形全等，即可直接求得答案． （3）根据旋转前后的图形全等，即可求得答案． 【详解】（1）观察图形可知，旋转中心为． ∵旋转前后的图形全等，即， ∴． 故答案为： ，； （2）∵旋转前后的图形全等，即， ∴． 故答案为：． （3）∵旋转前后的图形全等，即， ∴，，． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，即旋转前后的图形全等，牢记旋转的性质是解题的关键． 题型11 全等三角形的简单动点问题 【例11】如图，点在线段上，于点，于点，，且，，点从点开始以速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，，同时停止运动．过，分别作的垂线，垂足分别为，，设运动的时间为，当以，，三点为顶点的三角形与全等时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的性质，过，分别作的垂线，垂足分别为，，设运动的时间为时，则，，根据题意得，，然后根据全等三角形性质即可求解，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过，分别作的垂线，垂足分别为，， 设运动的时间为时，则，， ∵，， ∴，， 当点到达终点时，运动时间为，点到达的运动时间为， ∵以，，三点为顶点的三角形与全等，得到， ∴， ∴或， 解得或， 故选：． 【易错警示】 解全等动点题易忽略分情况讨论，随意匹配对应边致列式错误。不会用时间 t 表示线段长，混淆已走路程与剩余线段。求出 t 值后不检验动点是否在线段范围内，产生不合理解。审题漏看运动方向、速度，仅凭图形直观判断对应边角，推理缺少全等依据。 【变式1】如图，已知线段米，于点A，米，射线于B，P点从B点向A 运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，P、Q同时从B出发，则出发x秒后，在线段上有一点C，使与全等，则x的值为（   ） A．5 B．5或10 C．10 D．6或10 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质，分和两种情况，根据全等三角形对应边相等，分别列式计算即可． 【详解】解：当时，，即， 解得：； 当时，米， 此时所用时间x为10秒， 米， ，不合题意，舍去； 综上，出发5秒后，在线段上有一点C，使与全等． 故选：A． 【变式2】如图，，，．点在线段上从点向点运动，点从点出发沿着射线的方向运动．若与全等，则的长为________． 【答案】 或 【分析】根据全等三角形的性质，对应边相等，已知，则点与点是对应顶点，分两种情况讨论：一是，二是，设，则，根据对应边相等列出方程求解即可． 【详解】解：设， 点在线段上，， ， 与全等，且， 分两种情况讨论：①当时， ， ，解得，即； ②当时， ， 解得即， 综上所述，的长为或． 【变式3】如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以3厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为__________时，能够使与全等． 【答案】厘米/秒或厘米/秒 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，一元一次方程的应用． 利用全等三角形的判定方法，分两种情况讨论：或，分别求解即可． 【详解】解：设点运动的时间为秒， 则（厘米），厘米， ， 当，时，， ，，运动的时间相等， 的运动速度是厘米/秒； 当，时，， 是中点， （厘米）， ∵， ∴， 解得：， ∴厘米/秒； 当点的运动速度为厘米/秒或厘米/秒时，能够使与全等， 故答案为：厘米/秒或厘米/秒． 【变式4】如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒： (1)______．（用的代数式表示：） (2)当为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，． (3)存在；当或2时与全等． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边． （1）根据P点的运动速度可得的长，再利用即可得到的长； （2）当时，根据三角形全等的性质可得，进而得出答案； （3）题干未指明全等三角形边的对应情况，需要分两种情况①当时；②当时，分别讨论计算出t的值，进而得到v的值． 【详解】（1）解：点P从点B出发，以秒的速度沿向点C运动，点P的运动时间为t秒时，， 则； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴当时，． （3）①如图1，当时，再由，可得， ∵， ∴， ， 解得， ， ， 解得． ②如图2，当时，再由，可得， ∵， ∴， ∴， ， 解得， ， ， 解得； 综上所述：当或2时与全等． 题型12 全等三角形动点综合 【例12】如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为（     ）． A．3或 B．2或 C．2或3 D．3或 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质及动点问题，设运动时间为，表示出、、的长，根据，分和两种情况，利用全等三角形对应边相等列方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，点的运动速度为cm/s， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴分两种情况讨论： ①当时， ，， ∴，， 解得， ∴； ②当时， ∴，， ∴，， 解得， ∴； 综上所述，点的运动速度为或． 故选B． 【变式1】如图，的两条高与交于点，，．点在射线上，且，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，则的值为（    ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 分情况讨论点分别在延长线上或在之间时，，根据对应边相等，解一元一次方程求得值即可选出结果． 【详解】解：①当点在延长线上时：设秒时，、分别运动到如图位置，． ， ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴， 解得． ②当点在之间时：设秒时，、分别运动到如图位置，． ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴， 解得． 综上，或， 故选：D． 【变式2】如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为______s时，与全等． 【答案】2或 【分析】根据题意分为P在上，Q在上和当P、Q都在上两种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，求出即可． 【详解】解：作于E，作于F． 分以下情况：①如图1，P在上，Q在上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与全等， ∴， 即， ； ②当P、Q都在上时，此时P，Q两点重合，如图2， ， ． 综上所述，点运动时间为2或，与全等． 【变式3】如图，中，，，，直线经过点且与边相交（不经过点，）．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当_________秒时，与全等（不考虑、重合的情况）． 【答案】2或12 【分析】分两种情况讨论：点Q在上，点P在上；Q与A重合，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：①如图，点Q在上，点P在上， 由题意得，，， ∵，， ，， ∵，， ， ， ， 当时，则， ∴，解得：． ②如图，当Q与A重合时， 由题意得，，， ， ∴， 当，则，即，解得：． 综上所述：当秒或12秒时，与全等． 【变式4】如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当在上时 ，当在上时 ，（用含的式子表示） (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好全等，求点的运动速度． 【答案】(1)； (2)点Q的运动速度为或 【分析】（1）用代数式表示出即可； （2）分类讨论：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时，结合全等三角形的性质分别列方程求解即可． 【详解】（1）解： 当点P在边上时，； 当点P在边上时，； （2）解：∵， ∴只存在两种情况：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时． 设点Q的运动速度为， ①当点P位于，点Q位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为； ②当点Q位于，点P位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为． 综上可知点Q的运动速度为或． 题型13 全等三角形性质综合 【例13】如图，在锐角中，，，为上一动点，将，分别沿，向外翻折，得到，，连接，当 面积的最小值为8时，则的面积为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的折叠问题，全等三角形的性质和三角形的最小面积，解题的关键是弄清楚什么时候三角形的面积最小． 由将，分别沿，向外翻折至，可得：，由，得，面积，当取最小值时面积的最小即可求解． 【详解】解：，分别沿，向外翻折至，， ，， ，，， ， ， 面积， 当取最小值时，的面积最小， 在中，当为边的高，即垂直时，最小， 此时，面积的最小值为：， 解得：， ， 故选：D． 【变式1】如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”．如图2，，则图中共有“伪全等三角形”（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，全等三角形的性质，理解题意，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据，结合“伪全等三角形”的定义：两个三角形的两边相等，一个角相等，且这个角不是夹角，据此对图中的三角形分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴在和中，，，，符合“伪全等三角形”的定义； 在和中，，，，符合“伪全等三角形”的定义； 在和中，，，，符合“伪全等三角形”的定义； 在和中，，，，符合“伪全等三角形”的定义； 综上所述，共有4对“伪全等三角形”． 故选：D． 【变式2】如图，四边形中，，，沿所在直线折叠，使点落在点处，、交于点，则下列结论：①；②；③；④；⑤若，则一定正确的有___________． 【答案】①③④ 【分析】根据折叠的性质可判断①；利用平行线的性质和折叠的性质，进行角度的转换可判断②③④；根据可得，再利用，可得，可判断⑤． 【详解】解：根据折叠的性质可得，故①正确； ， ， ， ， 而不一定等于，故②错误； ， ， 根据折叠可得， ， ， ， ，故③正确； ， ，， ，故④正确； ， ， ， ，故⑤错误， 一定正确的有①③④． 【变式3】如图，点和动点在直线上，点关于点的对称点为，以为边作，使，．直线上有一点在点右侧，，过点作射线，点为射线上的一个动点，连接．当与全等时，______．    【答案】或或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键； 分或，或，三种可能性利用三角形全等结合方程求解线段长度即可． 【详解】解：∵点关于点的对称点为， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴使与全等 若，， ∵， ∴设，， 又∵， ∴，即， 解得， ∴， 若，， ∵，点关于点的对称点为， ∴； 若，，， 设，， 又∵， ∴，， ∴ 解得 故答案为：或或． 【变式4】综合与探究 【问题情境】 如图①，在四边形中，，，，．动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，连接，．设运动时间为（单位；）． 【初步探究】 （1）如图①，若，求的值． 【拓展延伸】 （2）如图②，当点开始运动时，另一动点同时从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ①在，运动的过程中，若与全等，请求出此时和的值． ②如图③，当点开始运动时，动点同时从点出发，以的速度沿方向向点运动，连接，交于点．连接，当时，，请直接写出此时的值． 【答案】（1）；（2）①，或，；②． 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质可知，所以，根据即可求出运动的时间； ①当与全等时，有两种情况，一种情况是，即；另一种情况是，即时．根据对应相等的线段的长度求出运动时间的值，再根据运动的时间和路程求出即可； ②根据三角形的面积公式，可得：，可以求出的长度，即点的运动路程，根据点的运动路程和速度求出运动时间，根据运动的时间和点运动的路程的长度求出值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）①解：若， ，， ， ， ， ， ， ， 若， ，， ， ， ， ； 综上所述：，或，； ②解：如下图所示，连接，过点作于，过点作于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ． 1．下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形 C．两个全等图形面积一定相等 D．两个正方形一定是全等图形 【答案】C 【分析】能够完全重合的两个图形是全等图形，根据概念逐一判断各选项即可得到正确答案． 【详解】解：A、形状相同的两个图形大小不一定相同，不一定能完全重合，因此不一定全等，本选项错误． B、两个长方形的长和宽不一定对应相等，不一定能完全重合，因此不一定是全等图形，本选项错误． C、两个全等图形能够完全重合，因此面积一定相等，本选项正确． D、两个正方形的边长不一定相等，不一定能完全重合，因此不一定是全等图形，本选项错误． 2．如图，点D、B在上，，，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由得到，则，再由线段和差求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 3．如图所示的两个三角形全等，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵如图所示的两个三角形全等，a和c的夹角分别为和 ∴． 4．如图，，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等，即可判断． 【详解】解：∵，与，与是对应角，与是对应边， ∴，，， 而与不是对应边， ∴与不一定相等． 5．如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，延长交于点F，下列结论中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转性质可得对应边相等、对应角相等及旋转角为，通过计算角度判断各选项． 【详解】解：设与交于点， 绕点顺时针旋转得到， ，，，， 选项C正确，不符合题意； 在中，， ， 选项D正确，不符合题意； ， 在中，， ， ， 选项B正确，不符合题意； 若，则，即， ，而的度数不确定， 不一定成立， 选项A不一定正确，符合题意． 故选：A． 6．如图，在中，点是边上一点，点是线段上一点，且；其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①② C．①③④ D．③④ 【答案】C 【分析】根据，得到两组三角形中的边角的关系，得到、为等腰直角三角形，逐个判断各结论的正确性即可． 【详解】解：， ，，，， ， ， ，， ，， ， ，即①正确； 根据现有条件，无法判断②，故②不正确； ，， ， 设延长线交于点H，延长线交交于点M，则， ，即③正确； ，， ， ，即④正确； 综上所述，结论中正确的是①③④． 7．如图，将这四个全等的直角三角形无缝隙、无重叠地拼接在一起，能拼接成四边形且是轴对称图形的个数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的定义画出图形，即可求解． 【详解】解：如下图，能拼接成四边形且是轴对称图形的个数为． 8．如图，在长方形中，，，点从点出发，以2个单位/秒的速度沿向点运动，同时，点从点出发，以个单位/秒的速度沿向点运动，设运动时间为秒，在运动过程中，当与全等时的值为（   ） A．3或 B．2或3 C．2或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况：当，时，，当，时，，分别求解即可得出答案． 【详解】解：当，时，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当，时，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为2或． 9．如图，将直角三角形沿方向平移，得到直角三角形．已知，，则有下列说法：其中一定错误的是（     ） A． B． C． D．图中阴影部分的面积为 【答案】B 【分析】根据平移的性质，全等三角形的性质，梯形的面积解答即可； 【详解】解：将直角三角形沿方向平移，得到直角三角形． ， ，，，，，， ，， ， 故A，C，D都是正确的； ， ， ， 不一定相等，， 不一定相等， 不一定相等； 10．如图，，则对于结论，，，， 其中正确结论的个数是（    ） A．1   个 B．2  个 C．3  个 D．4    个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，两个全等三角形，它们的对应边相等，对应角相等，据此逐项判断即可． 【详解】解：， ，，， ， ， 正确， 而不是对应角，不一定相等， 故选：C． 11．如图，已知，若，则的长是______________． 【答案】2 【分析】根据全等三角形的性质得到，即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 12．如图，已知，和，和是对应顶点．如果，，，那么_____． 【答案】5 【详解】解：∵， ∴． 13．如图，点、、在同一直线上，若，顶点、、分别与顶点、、对应．若，，则______． 【答案】4 【分析】根据全等三角形的性质得到，，再根据线段的和差即可求解． 【详解】解：∵顶点、、分别与顶点、、对应，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 14．如图，点，，，在同一条直线上，，，，，则的周长为_____． 【答案】 16 【分析】根据全等三角形的性质得到，然后根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又，， ∴的周长为． 15．若，和分别是对应边和的高，且的面积是6，，则_______________． 【答案】 【分析】根据全等三角形对应边上的高相等，可得，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：，和分别是对应边和的高， ， ， ． 16．如图，在中，于点，是上一点．若，，，则的周长为________． 【答案】12 【分析】先根据全等三角形的对应边相等得，，进而得的周长，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴的周长． 17．如图，已知，顶点A，B，C分别与顶点D，E，F对应，则________，________°． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质，对应边相等，对应角相等，由可得，，再利用三角形内角和定理求出的度数即可求解． 【详解】解：因为，且顶点，，分别与顶点，，对应， 所以，， 由图可知， 所以， 在中，根据三角形内角和定理，， 因为，， 所以， 所以， 即． 18．如图，下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形，又能拼出三角形的是图形（请填图形下面的代号）______． 【答案】 ②③/③② 【分析】根据图形剪开后的形状，结合平行四边形和三角形的拼接条件逐一判断．图①剪开后是两个梯形，无法拼成三角形；图②剪开后是一个三角形和一个梯形，且剪痕过中点，既能拼成平行四边形又能拼成三角形；图③剪开后是两个三角形，既能拼成平行四边形又能拼成三角形；图④剪开后是两个矩形，无法拼成三角形；图⑤剪痕不过中点，无法拼成三角形． 【详解】解：①剪开后是两个直角梯形，能拼出平行四边形，但无法拼出三角形，不符合题意； ②剪开后是一个直角三角形和一个直角梯形，且右侧边被平分，将剪下的三角形绕中点旋转可拼成一个大三角形，将剪下的三角形平移可拼成平行四边形，符合题意； ③剪开后是两个全等的直角三角形，能拼成平行四边形和三角形，符合题意； ④剪开后是两个矩形，只能拼出平行四边形，无法拼出三角形，不符合题意； ⑤剪开后是一个直角三角形和一个直角梯形，但剪痕未经过中点，无法拼出三角形，不符合题意， ∴符合条件的图形为②③． 19．如图，，，，点在线段上以的速度由点向点匀速运动，同时点从点出发以的速度沿射线匀速运动，点到点时，，两点同时停止运动．若存在某一时刻，与全等，则的值为_______． 【答案】或 【分析】设运动的时间为，则，，则，分两种情况：当时，，，当时，，，列方程求解即可． 【详解】解：设运动的时间为，则，，则， ①当时，，， ，， 解得，， ②当时，，， ，， 解得：，， 答案：或． 20．已知，的三边长度为4、和，的三边长度为6、、，则的周长是______． 【答案】18 【分析】根据全等三角形对应边相等的性质，分情况列出方程组求解，舍去不符合三角形边长要求的解，得到三角形三边长后计算周长即可． 【详解】解：∵，根据全等三角形的性质，对应边相等，分情况讨论如下： 情况1：列方程组 解得， 此时的三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意； 情况2：列方程组，由得，与矛盾，舍去； 情况3：列方程组， 由得，边长不能为，不符合题意，舍去； 情况4：列方程组， 由得，则，此时，这与矛盾，舍去， 故的周长为． 21．如图，，写出其中相等的角． 【答案】，，， 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴. 22．如图，已知，指出它们的对应顶点、对应边和对应角． 【答案】解：对应顶点：点A与点C，点B与点D，点C与点A； 对应边：与，与，与； 对应角：与，与，与． 【详解】略． 23．如图，已知，，，三点共线，如果，，求的长． 【答案】7 【分析】先利用线段和差求出，再利用全等三角形的性质求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 24．如图，在中，点、分别在边、上，，，．若，求的周长． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的对应边相等． 根据全等三角形的性质推得，，则根据的周长即可得解． 【详解】解：， ，． ． 的周长． 答：的周长为． 25．如图，． (1)写出这两个三角形的对应边和对应角． (2)若，求的度数． 【答案】(1)对应边：与；与；与；对应角：与；与；与 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质，写出对应边和对应角即可； （2）根据全等三角形的性质得出，从而求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴两个三角形的对应边为：与；与；与； 两个三角形的对应角为：与；与；与； （2）解：∵，， ∴， ∴． 26．如图，，你能从图中找出几组平行线？ 小颖找出了一组平行线，她的思考过程如下． 因为， 所以． 所以． 请说明每一步的理由． 【答案】2组 ，，，（全等三角形对应角相等）；（内错角相等两两直平行） 【分析】利用全等三角形的性质得出，，再利用内错角相等两直线平行即可得出，． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴共有2组平行线，分别是，． 因为， 所以（全等三角形对应角相等） 所以（内错角相等两直线平行）． 27．如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，的顶点，，均在格点上，请按要求完成作图：①仅用无刻度的直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母． (1)如图1，在网格内找一点，使得，作出（与不重合）． (2)如图2，作边上的中线，并求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，7 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理找到符合要求的点P即可； （2）与中间格线的交点即为中点D，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，点P即为所求．（点P在点A右侧一个单位格点处）； （2）解：如图所示，线段即为所求． 的面积． 28．【教材呈现】 将正方形的四个顶点用线段连接，什么样的连法最短？研究发现，并非对角线最短，而是如图所示的连法最短（即用线段把四个顶点连接起来）． 已知如图1：． (1)证明：； (2)【问题探究】 如图2，某数学兴趣小组研究构造了，可以发现中_____． 【答案】(1)见解析 (2)60 【分析】（1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得，然后可得，则有，进而根据平行线的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：在正方形中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：在正方形中，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由图可知：三点共线， ∴， ∴． 29．如图，在中，，，点在上，且；点从出发以每秒的速度向点运动，同时，点从出发向点运动，设运动时间为秒，连接、． (1)用含t的式子表示、； (2)若点N的运动速度也为每秒，t为何值时，； (3)若点N的运动速度和点M的速度不相等，要使，则点N的运动速度为多少？全等时t为多少？ 【答案】(1)，； (2)； (3)点N的速度为每秒，全等时 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解一元一次方程，列代数式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列代数式即可； （）由点的运动速度也为每秒，则，，再由，则，所以，然后求解即可； （）由点的运动速度和点的速度不相等，则，，则，，即为中点，所以，然后求解即可； 【详解】（1）解：由题意得：，； （2）解：∵点的运动速度也为每秒， ∴，， ∵； ∴， ∴，解得， ∴时，； （3）解：由点的运动速度和点的速度不相等，则， ∵， ∴，， ∴为中点， ∴，解得：， ∴点的速度为每秒． 30．综合与探究 如图，在长方形中，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为． (1)________（用含的代数式表示）； (2)若点的运动速度为，是否存在的值，使得与全等？若存在求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，的值为或 【分析】（1）根据总长度减去运动的长度即可得到结果； （2）分两种情况，根据两个三角形全等，对应边相等可求得结果． 【详解】（1）解：∵点E在线段上以的速度由点B向点C运动， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴t最大取到， 即． 当时，此时， ∴点、点速度相同，即， 当，此时， 即， 解得：， ， 解得：， ∴存在v的值，使得与全等，此时的值为或． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $