精品解析：广东广州市第十六中学2025学年第二学期初三阶段教学质量反馈(二) 数学(问卷)

2025学年第二学期第十六中学初三阶段教学质量反馈（二） 九年级数学（问卷） 一、选择题（30分） 1. 下列实数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简各选项得到对应实数，再根据实数大小比较规则，即可找出最小的数． 【详解】解： 对于A选项： ； 对于B选项：； 对于C选项：； 对于D选项： ； 又∵ 正数都大于负数，，，都是正数，只有是负数， ∴ 是四个数中最小的数． 2. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式与分式有意义的条件，根据二次根式被开方数非负、分式分母不为零，求解x的取值范围即可． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴且， 解得：且， ∴ ， 解得 ， 因此x的取值范围是 ． 3. 近来，中国芯片技术获得重大突破，芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁，已知，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数的绝对值小于时，是负数． 【详解】解：, 用科学记数法表示为：． 故选：A． 【点睛】本题考查用科学记数法绝对值ju较小的数，表示形式为的形式，解题的关键是要注意确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于时，是正数；当原数的绝对值小于时，是负数． 4. 下面计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、二次根式的混合运算以及单项式除以单项式等 ，掌握相关运算法则是解题的关键．先根据相关性质内容逐项分析计算，即可作答． 【详解】解：A、不是同类项，故不能合并，所以该选项是错误的； B、，所以该选项是正确的； C、，所以该选项是错误的； D、，所以该选项是错误的； 故选：B 5. 如图，点在 的延长线上，下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A. ∵，∴，故该选项正确，符合题意； B. ∵，∴ ，故该选项不正确，不符合题意； C. ∵，∴ ，故该选项不正确，不符合题意； D. ∵，∴ ，故该选项不正确，不符合题意； 6. 已知二次函数，其顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标，利用二次函数顶点式的性质即可直接求解． 【详解】解：二次函数顶点式的形式为 ，其顶点坐标为． ∵已知二次函数为，对比顶点式可得， ∴该二次函数的顶点坐标为． 7. 中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．主体部分是一个菱形，如图所示，若菱形 的边长为，对角线 的长为，则另一条对角线 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵四边形 是菱形，且边长为，对角线 的长为， ∴， ∴， ∴． 8. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，若全班有x名同学，由每名同学都要送给除自己外的每位同学，可得每名同学要送出张；用x名学生数乘以每位送出的张数，即得总共送的张数，结合题意即可得到答案． 【详解】解：∵全班有x名同学， ∴每名同学要送出张照片. 又∵是互送照片， ∴． 故选：C． 9. 如图，是的外接圆，且，在弧AB上取点D（不与点A，B重合），连接，则的度数是（ ） A. 60° B. 62° C. 72° D. 73° 【答案】C 【解析】 【分析】连接CD，根据等腰三角形的性质可求∠ACB的度数，然后根据圆周定理求出∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD，从而可求出的度数． 【详解】解：连接CD， 则∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， 又∠BAC=36°， ∴∠ACB=， ∴∠BAD+∠ABD=∠BCD+∠ACD=∠ACB=72°． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，根据圆周角定理得出∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD是解题的关键． 10. 如图①，在正方形 中，点M是的中点，设，．已知y与x之间的函数图象如图②所示，点是图象上的最低点，那么正方形的边长的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由A、C关于 对称，推出，推出，推出当M、N、C共线时，的值最小，连接 ，由图象可知，就可以求出正方形的边长． 【详解】解：如图，连接 交 于点O，连接，连接 交 于点． ∵四边形 是正方形， ∴A、C关于 对称， ∴， ∴， ∵当M、N、C共线时，的值最小， ∴y的值最小就是 的长， ∴， 设正方形的边长为，则， 在 中，由勾股定理得：， ∴， ∴ （负值已舍）， ∴正方形的边长为4． 故选：C． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到正方形的性质，轴对称的性质，利用勾股定理求线段长是解题的关键． 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：__________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据观察可知公因式是x，因此提出x即可得出答案． 【详解】解：x2－xy= x(x－y). 故答案： 【点睛】提公因式法因式分解是本题的考点，通过观察正确找出公因式是解题的关键. 12. 已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，得出，代入已知等式，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为， ∴ ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 13. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是5，则圆锥的母线l为__________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：． 先算圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长． 【详解】解：圆锥的底面周长， 则：， 解得． 故答案为：15． 14. 如图，为斜边上中线，E为 的中点，若、 ，则_______．     【答案】3 【解析】 【分析】先证为的中位线，得到， ， ．再根据“直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半”，求出，最后在 中，运用勾股定理求出． 【详解】解：∵为斜边上中线，E为 的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴ ． ∵E为 的中点，， ∴ ． ∵为斜边上中线， ， ∴． 在 中， ∵，，， ∴ ， 即 ． 15. 从三个数字中任选两个，则选出的两个数字之和是偶数的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图解答即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中选出的两个数字之和是偶数的结果有种， ∴选出的两个数字之和是偶数的概率为， 故答案为：． 16. 如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF，，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作 于点，连接，则可得，进而可知为定值，所以当时， 最小，利用三角函数和相似比列式可表示出、，即可求出结果． 【详解】解：过点作 于点，连接，如图所示： ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 即在点的运动过程中，的大小不变且等于， 当时， 最小， 设此时， ， ， ， ， ， 代入，解得， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查相似三角形综合，熟练掌握手拉手相似模型是解题关键，确定点G的运动路径是本题的难点． 三、解答题（72分） 17. 解方程组 【答案】 【解析】 【分析】利用代入消元法求解方程即可． 【详解】解： 把①代入②得 ， 解得 把 代入①得 所以方程组的解为：． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解法，仔细观察二元一次方程组的特点，灵活选用代入法或加减法是解题关键． 18. 如图，已知点D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接AD，若AD垂直平分EF，求证：AD是△ABC的角平分线． 【答案】 证明：∵AD垂直平分EF， ∴DE=DF， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD是△ABC的角平分线． 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DE=DF，再根据角平分线的判定定理即可证得AD是△ABC的角平分线． 【详解】略 【点睛】本题考查了角平分线判定定理，线段垂直平分线性质；熟记“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”和“到角两边距离相等的点都在角的平分线上”是解决问题的关键． 19. 先化简，再求值： ，其中满足． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先对分式进行化简，再根据可得，即可得到分式化简后的值，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ， ， ， ∵， ∴， ∴原式 ． 20. 为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采取自愿报名的方式组织了环保知识竞赛．竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分分）中各随机抽取了名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表： 平均数 中位数 方差 七年级 a 八年级 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中的_____， ____，______（填“>”“<”或“=”）； （2）该校七年级 名学生和八年级名学生参加了本次环保知识竞赛，得分分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数． 【答案】（1） ， ， （2） 【解析】 【分析】（1）根据平均数公式计算七年级的平均数，将八年级成绩排序后取第5、6个数的平均数得中位数，比较两个年级的波动性判断方差大小关系； （2）用各年级人数乘以优秀率求和估算总优秀人数． 【小问1详解】 解：由题意可得， 七年级平均数  八年级成绩排序可得： ， 八年级中位数 由统计图可发现八年级学生成绩波动性大， 所以 ． 【小问2详解】 解：由题意可得，在七、八年级各随机抽取了名学生的成绩中， 七年级得分分及以上共有人，八年级得分分及以上共有人，   答：估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数为 人． 21. 一次函数 的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）以直线x=2为对称轴，作直线的轴对称图形，交x轴于点C，连接AC，求AC的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用点B的坐标求出m的值，即可得到反比例函数的解析式； （2）求出一次函数图象的解析式以及一次函数图象与x轴的交点，通过轴对称图形的性质得到C点坐标，再利用两点间距离公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵点B（-3，-4）是反比例函数图象上的点 ∴m=-3 （-4）=12 ∴反比例函数的解析式： 【小问2详解】 解：∵点A（2，）是反比例函数图象上的点 ∴2 =12，则=6． 将A（2，6），B（-3，-4）代入得：，解得：． ∴ 将代入 得：． ∴一次函数 与的交点为（-1，0） ∵一次函数 关于直线对称的图形与轴交于点C ∴（-1，0）关于直线对称的点为点C ∴C（5，0） 根据两点间距离公式可得：AC= ∴AC= 【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数、轴对称图形、两点间距离公式等知识，两点间距离公式：，公式要牢记． 22. 如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点． （1）尺规作图：过点D作的垂线，交半圆于点E，交直径于点F（保留作图痕迹，不写作法）； （2）点P是弧上一点，连接，，， ．若为的角平分线，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以点为圆心作弧，交于点、 ，分别以点、 为圆心，大于为半径作弧，交于点，直线 ，交半圆于点E，交直径于点F； （2）过点作 交于点，连接，先由求出半径，，证明 是等腰直角三角形，得到 ，再由解得 ，由   即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作 交于点 ，连接，则， D是的中点 ， ， ， 又为直径， ， ， ， ， ， 设的半径为，则 ，，， ， 解得 ，经检验， 是方程的解， ， 由勾股定理：， ， ， ，为的角平分线， 是等腰直角三角形， ， ， ， 又， ， ，即， 解得 23. 初三（1）班成立项目式学习小组，开展停车位设计研究． 【查阅资料】依据《中华人民共和国行业标准——汽车库建筑设计规范》，日常停车位有平行式、垂直式和斜停式三种，车位大小及通道最小宽度要求如下表（单位：m）： 停车方式 车位长度 车位宽度 通道最小宽度 平行式 6 2.4 3.8 斜停式 30° 5.3 2.4 3.8 45° 5.3 2.4 3.8 60° 5.3 2.4 4.2 垂直式 5.3 2.4 5.5 【整理数据】关于斜停式车位，通过计算得到如下近似数据（单位：m）： ， 30° 4.8 4.8 45° 5.5 3.4 60° 5.8 2.8 【设计方案】如图，现教学楼与围墙之间有一块长，宽的广场，计划改造为停车场．请帮忙设计停车位，使得车位数量最大，并说明理由．（参考数据： ， ） 【答案】采用平行式车位设计，可设计车位14个．理由见解析 【解析】 【详解】解：方案一：平行式 沿教学楼设计平行式停车位，最小宽度为：， 可设计个： 沿教学楼和围墙分别设计平行式停车位，中间通道， 最小宽度为：， 所以停车位数量为个； 方案二：垂直式 沿教学楼设计垂直式停车位，最小宽度为：，不满足条件； 方案三：斜停式，且 ， 沿教学楼设计斜停式停车位，最小宽度为：， 设此时车位数为个， 则， 解得，，取，故可设计停车位数量为8个； 方案四：斜停式，且， 沿教学楼设计斜停式停车位，最小宽度为：，不满足条件； 方案五：斜停式，且， 沿教学楼设计斜停式停车位，最小宽度为：，不满足条件； 综上所述，建议采用平行式车位设计，可设计车位14个． 24. 如图，抛物线与轴只有一个交点 ，与轴相交于点． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）当时，的最大值与最小值的差为2，求的值． （3）若在抛物线的对称轴上有一点，过点 的直线与抛物线只有一个交点．证明：直线平分． 【答案】（1） （2）或 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据与x轴只有一个交点，利用根的判别式列式，结合与y轴的交点坐标，即可求得b和c的值； （2）由（1）可知抛物线开口向上，对称轴为直线，函数有最小值0，然后分在对称轴左侧、右侧和两侧时，根据的最大值与最小值的差为2，列式解答即可； （3）先根据点N坐标解得b值，再根据直线与抛物线只有一个交点，联立解析式，根据判别式为0可解得k值，进而得到直线的解析式，然后求得直线与对称轴的交点坐标，利用两点距离公式可求得，最后根据等边对等角和平行线的性质，即可证得结论． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴只有一个交点 ，与轴相交于点， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，函数有最小值0， ∴①当在对称轴的左侧时，即． 的最大值与最小值的差为2， ， 整理，得，解得； ②当在对称轴的右侧时，即 ． 的最大值与最小值的差为2， ，解得； ③当在对称轴的两侧时，即． 的最大值与最小值的差为2，最小值为0， 或， 整理，得， 解得 （不在范围内，舍去）， （不在范围内，舍去）， 整理，得， 解得（不在范围内，舍去），（不在范围内，舍去）． 综上所述，的值为或． 【小问3详解】 证明：如图，连接，记直线l交抛物线对称轴于点Q， ∵过点的直线与抛物线只有一个交点， ∴直线， 联立， 整理，得， ， 解得， ∴直线， 当时，， 即， ， ， ， 轴， ， ， ∴直线l平分． 25. 在 中，，，点D为线段上一动点，连接． （1）如图1，若，，求线段的长． （2）如图2，以为边在上方作等边，点F是的中点，连接并延长，交的延长线于点G ．若 ，求证∶ ． （3）在取得最小值的条件下，以为边在右侧作等边．点M为所在直线上一点，将 沿所在直线翻折至所在平面内得到 ．连接，点P为的中点，连接，当取最大值时，连接，将 沿所在直线翻折至所在平面内得到 ，请直接写出此时的值． 【答案】（1） （2）证明：如图，延长 ，使得 ，连接． ∵点F是的中点， ∴ ． 在 与 中， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵是等边三角形， ∴ ． ∵ ， ∴B，C，D，E四点共圆， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即 ． （3） 【解析】 【分析】（1）先在中，由，，，求出的长，再根据 ，求出的长； （2）延长 使得 ，连接．先证 ，再根据 ，得出B，C，D，E四点共圆，结合已知条件，推导角之间的关系，证得 ，可得 ，即可证得结论； （3）在取得最小值的条件下，即 ，设 ，则 ， ，点N在以B为圆心，的长为半径的圆上运动．点P在以S为圆心，为半径的圆上运动．当取最大值时，即P，S，C三点共线时，过点P作 于点T，过点N作 于点R，连接，交 于点U，则四边形 是矩形，得出 ，是 的中位线，在中，运用勾股定理求出，即可求得比值． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，在取得最小值的条件下，即 ， 在中， ， 设 ，则 ， ， ∴ ， ， ∵将 沿所在直线翻折至所在平面内得到 ， ∴ ， ∴点N在以B为圆心，的长为半径的圆上运动． ∵是等边三角形， ∴ ， ， ∵， ， ∴ ， ∴ ， 在 与 中， ∵， ∴， ∴ ， ∴点N在以B为圆心，a为半径的圆上运动． 取的中点S，连接 ， ∵点P是 的中点， ∴ 是 的中位线， ∴点P在以S为圆心，为半径的圆上运动． 当取最大值时，即P，S，C三点共线时， 如图，过点P作 于点T，过点N作 于点R， ∵S是的中点，， ∴ ， ∴ 是等边三角形， 则 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴ ． 如图，连接，交 于点U，则四边形 是矩形， ∴ ， ∵P是中点， ∴ ， 即 是 的中位线， 同理可得 是 的中位线， ∴ ， ， ∵ 是等边三角形，将 沿所在直线翻折至所在平面内得到 ， ∴ ， ， ∴， ∴ ， 则 ， 在 中， ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期第十六中学初三阶段教学质量反馈（二） 九年级数学（问卷） 一、选择题（30分） 1. 下列实数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 2. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 近来，中国芯片技术获得重大突破，芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁，已知，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下面计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数，其顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．主体部分是一个菱形，如图所示，若菱形的边长为，对角线的长为，则另一条对角线的长为（ ） A. B. C. D. 8. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，是的外接圆，且，在弧AB上取点D（不与点A，B重合），连接，则的度数是（ ） A. 60° B. 62° C. 72° D. 73° 10. 如图①，在正方形中，点M是的中点，设 ，．已知y与x之间的函数图象如图②所示，点是图象上的最低点，那么正方形的边长的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：__________________. 12. 已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数_____________． 13. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是5，则圆锥的母线l为__________． 14. 如图，为斜边上中线，E为的中点，若、 ，则_______．     15. 从三个数字中任选两个，则选出的两个数字之和是偶数的概率为______． 16. 如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF，，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为______． 三、解答题（72分） 17. 解方程组 18. 如图，已知点D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接AD，若AD垂直平分EF，求证：AD是△ABC的角平分线． 19. 先化简，再求值： ，其中满足． 20. 为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采取自愿报名的方式组织了环保知识竞赛．竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分分）中各随机抽取了名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表： 平均数 中位数 方差 七年级 a 八年级 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中的_____， ____，______（填“>”“<”或“=”）； （2）该校七年级 名学生和八年级名学生参加了本次环保知识竞赛，得分分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数． 21. 一次函数 的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）以直线x=2为对称轴，作直线的轴对称图形，交x轴于点C，连接AC，求AC的长度． 22. 如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点． （1）尺规作图：过点D作的垂线，交半圆于点E，交直径于点F（保留作图痕迹，不写作法）； （2）点P是弧上一点，连接，，， ．若为的角平分线，求的长． 23. 初三（1）班成立项目式学习小组，开展停车位设计研究． 【查阅资料】依据《中华人民共和国行业标准——汽车库建筑设计规范》，日常停车位有平行式、垂直式和斜停式三种，车位大小及通道最小宽度要求如下表（单位：m）： 停车方式 车位长度 车位宽度 通道最小宽度 平行式 6 2.4 3.8 斜停式 30° 5.3 2.4 3.8 45° 5.3 2.4 3.8 60° 5.3 2.4 4.2 垂直式 5.3 2.4 5.5 【整理数据】关于斜停式车位，通过计算得到如下近似数据（单位：m）： ， 30° 4.8 4.8 45° 5.5 3.4 60° 5.8 2.8 【设计方案】如图，现教学楼与围墙之间有一块长，宽的广场，计划改造为停车场．请帮忙设计停车位，使得车位数量最大，并说明理由．（参考数据： ， ） 24. 如图，抛物线与轴只有一个交点，与轴相交于点． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）当时，的最大值与最小值的差为2，求的值． （3）若在抛物线的对称轴上有一点，过点的直线与抛物线只有一个交点．证明：直线 平分． 25. 在 中，， ，点D为线段上一动点，连接． （1）如图1，若，，求线段的长． （2）如图2，以为边在上方作等边，点F是的中点，连接并延长，交的延长线于点G ．若 ，求证∶ ． （3）在取得最小值的条件下，以为边在右侧作等边．点M为所在直线上一点，将 沿所在直线翻折至所在平面内得到 ．连接，点P为的中点，连接，当取最大值时，连接，将 沿所在直线翻折至所在平面内得到 ，请直接写出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $