第四部分 中考新趋势专练-【真题分类卷】备战2026中考数学专题分类卷

aN-Vam4Wf-号a 当AN=MN时，如图4，连接AM,过点N作NH⊥BC于点H. ∠MNC=LABC=90°，∠C=∠C, .△CMN△CAB, C-Mw-cM,即SW=5-Cy ·BC-ABAC 43 BM H 解得cw=20 图4 .∠NHC=∠ABC=90°，∠C=∠C, 汤 aca4cC-8-器用-4 534 M号，cCm=5m=号N=Vmm-号a 综上，BNv的长为号a或号五 3.解：【问题情境】.∠BAC=90°，AB=AC, ∴如图1，将△ABD绕点A逆时针旋转 90°得到△ACD',连接ED'. 459 D 由旋转的性质，得∠BAD=∠CAD', ∠B=∠ACD',AD=AD',BD=CD'. B D C(B) :∠BAC=90°，∠DAE=45°， 图1 .∠BAD+∠EAC=45 .∠BAD=∠CAD', ..∠CAD'+∠EAC=45°，即∠EAD'=45°， ∴.∠DAE=∠D'AE. 在△ADE和△AD'E中，AD=AD',∠DAE=∠D'AE,AE=AE, .△ADE≌△AD'E(SAS),∴.DE=D'E. 又：LECD'=∠ECA+LACD'=∠ECA+LB=90°， CD'=BD=3,CE=4, ·.在Rt△ECD'中，EC2+CD2=ED2 .ED'=√42+32=5，.DE=D'E=5. 【知识迁移】DW2+BM2=MW2. 证明：如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转 90°，得到△ADF',过点D作DH⊥BD交 AF'于点H,连接NH. 由旋转的性质，得AE=AF',BE=DF' ∠BAE=∠DAF',∠ADF'=∠ABE=90°， .∴.∠ADF+∠ADF'=180°， 图2 ∴F,D,F三点共线 由题意，得EF+EC+FC=DC+BC=DF+FC+EC+BE, .EF=DF+BE=DF+DF'=F'F. 又.AE=AF',AF=AF, .△AEF≌△AF'F(SSS),.∠EAF=LF'AF. BD为正方形ABCD的对角线， .∴.∠ABD=∠ADB=45°. .·DH⊥BD,∴.∠ADH=∠HDB-∠ADB=45°=∠ABM 又AB=AD,∠BAM=∠DAH, .∴.△ABM≌△ADH(ASA), .AM=AH,BM=DH. 又.·∠MAN=∠HAN,AN=AN, ∴.△AMW≌△AHN(SAS),∴.MW=HN 在Rt△HND中，.·DN2+DH=HN2, .DN2+BM2=MN2. 【拓展应用】2BE2+2DF2=EF2 5 4.解：题图2的结论是：BM2+NC2+BM·NC=MN2 证明：AB=AC,∠BAC=60°， .△ABC是等边三角形，.∠ABC=∠ACB=60°. 以点B为顶点在△ABC外作∠ABK=6O°，在BK上截取BQ= CN,连接QA,QM,过点Q作QH⊥BC,垂足为H,如图1. .'AC=AB,∠C=∠ABQ,CN=BQ, .△ACN≌△ABQ(SAS), K ∴.AN=AQ,∠CAN=LQAB. ∠MN=34MC=30, .∠CAN+∠BAM=30°， 图1 ∴.∠BAM+∠QAB=30°，即∠QAM=∠MAN 又.AM=AM,.△AQM≌△AWM(SAS),∴.QM=MN. :∠ABQ=60°，∠ABC=60°， ∴.∠QBH=60°，∴.∠BQH=30°， 8m0,0:9a0, HM=BM+BH=BM+2 BQ. 在Rt△QHM中，QH+HMP=QM2, (停o)+(aw+)-ow, 整理，得BMP+BQ+BM·BQ=QMP, .BMP+NC2+BM·NC=MW2. 题图3的结论是：BM2+NC2-BM·NC=MW2. 证明：AB=AC,∠BAC=120°， K .∠ABC=∠C=30°.以点B为顶点 0 在△ABC外作∠ABK=30°，在BK 上截取BQ=CN,连接QA,QM,过点B M Q作QH⊥BC,垂足为H,如图2. 图2 :AC=AB,∠C=∠ABQ,CN=BQ, .△ACN≌△ABQ(SAS),.AN=AQ,∠CAN=∠QAB. 又：LMN=3∠B4C=60LC4∠BMW-6, ∴.∠BAM+∠QAB=60°，即∠QAM=∠MAN 又：AM=AM,∴.△AQM≌△ANM(SAS), ∴.QM=MN. 在Rt△BOH中，.：∠OBH=∠ABO+∠ABC=60°， .∠BQH=30°， Bm-280,0h=80W=BM-Bm=BN0 2 在Rt△QHM中，·QH+HM=QM, (8o)+aw-70)°-0r. 整理，得BM2+BQ2-BM·BQ=QM, .BMP+NC2-BM·NC=MW2. 四几何最值模型 1.解：(1)依题意， 先作∠ADE=∠B,DE交AC于点E,得出 DEBF,再以点B为圆心，以DE的长为半 径画弧，交线段BC于一点F,连接EF,则 DE=BE. DE//BF.DE=BF. .四边形BDEF是平行四边形， 即口BDEF如图1所示. 6 (2)如图2，过P点作PH⊥BC于点H SABPC=9,BC=6, B 1 ·2 xBCxPH=-2×6xPH=9, 解得PH=3. 过点P作MN∥BC且分别与AB,CD交 于M,N,如图2，则BM=PH=3,P在线 图2 段MN上运动. CABPG=BP+CP+BC=BP+CP+6. ..当BP+CP有最小值时，△BPC的周长有最小值. 作B点关于MN的对称点B',如图2， .∴.BM=B'M=3,BP=B'P， .∴.BP+CP=B'P+CP≥B'C 当B,P,C三点共线时，BP+CP有最小值，即B'C的长， 即△BPC的周长有最小值B'C+6. .·四边形ABCD是矩形， .∠ABC=90°. 在Rt△B'BC中，B'B=6,BC=6, B'C=√B'B+BC=√36+36=62， .△BPC的周长的最小值为B'C+6=62+6. (3)如图3，取AB的中点M,取AC的中点N,连接MN,过点 P作PD∥AC. ..MN是△ABC的中位线，∠BAC=∠BPD. 又∠ABD=∠PBD,.△PBD∽△ABC, ·PBPD.PB_AB1202 ·ABAC·PDAC1803 BP 2 A03,AQ=PD. .:PD∥AC,.四边形APDQ是平行四边形 如图3，连接AD. O是PQ的中点，四边形APDQ是平行四边形， 0N B HED 图3 A0=0D,.0是AD的中点. 如图3，过A点作AH⊥BC于点H,过点O作OE⊥BC于点E, .∠AHD=∠OED=90° OE OD 1 :LADH=LODE,△ADH∽△ODE,AHAD2 .'AB=120m,AC=BC=180m, AH为定值，.OE为定值， 则点O在△ABC的中位线MN上运动. 作△B0C的外接圆⊙T,当且仅当⊙T与MN相切时，∠BOC 的值最大. .·∠BO'C=∠BFC=∠BOC+∠OBF, 故此时∠BO'C=∠BFC>∠BOC. 如图4，连接CM,作MK⊥BC于点K,OL⊥BC于点L,连接 0'T,LT,则MO'=KL 5 图4 :⊙T与MN相切于点O', .∴.∠M0'T=90°. 0'L⊥BC于点L,∴.∠BL0'=90. MN∥BC,.∠MO'L=90. 故0'，L,T三点共线， 六∠BLT-180-∠B0=0,则Bc1I,BM=C BC=AC=180m,AB=120m,M是AB的中点， .MB=XAB=60 m,CMLAB, cos LABC=BK-B别，即BK60 BMBC60180BK=20 m, M0'=KL=BL-Bk=2BC-Bk=90-20=70(m）. :点M是AB的中点M,O'是AD的中点， .MO'是△ABD的中位线， 2 BD=2M0'=140m,BP=38D= 子x140=2(m ·.PA=AB-BP=120- 280_80 33(m). 2.6 3.（1)证明：连接AW,如图1. 四边形ABCD是菱形， 1 .∠ABD=∠CBD= 2 ∠ABC=30°， BA=BC. .BN=BN. 图1 .△ABW≌△CBN(SAS), .∴.ANW=CN. MN是AE的垂直平分线，.AN=NE,.EW=CW. (2)解：过点N作NF⊥BC于点F,连接NF,AF,如图2. LDBC-30NF-2 BN. D AN=EN, 1 ·2EN+BN=2(EN+2BN）=2(AN+BE 图2 NF)≥2AF. .当A,N,F三点共线且AF最小时，取得最小值， 如图3，即AF⊥BC. A .·在Rt△ABF中，AF=AB·sin∠ABC= X23, B(E F .·.2EN+BN的最小值为23 图3 4.解：(1)①等边②两点之间线段最短③120°④A （2)将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△A'P'C,连接 PP',如图1. 由(1)可知当B,P,P',A'在同一条直线 上时，PA+PB+PC取最小值，最小值为 A'B. 由旋转，得LACP=∠A'CP' .LACP+∠BCP=∠A'CP'+∠BCP= ∠ACB=30° 图1 又.∠PCP'=60°， ..∠BCA'=∠A'CP'+∠BCP+∠PCP'=90°. 由旋转性质，可知AC=A'C=3, .A'B=√BC+A'C=√42+32=5， .PA+PB+PC的值为5. (3)2√13a[提示]总的铺设成本=PA·a+PB·a+PC· 2a=a(PA+PB+/2PC), .当PA+PB+√2PC最小时，总的铺设成本最低. 将△APC绕点C顺时针旋转90°得到△A'P'C,连接PP', A'B,如图2. 由旋转性质，可知P'C=PC, ∠PCP'=∠ACA'=90°，P'A'=PA, A'C=AC=4 km, .PP'=2 PC,..PA+PB+2 PC= P'A'+PB+PP'≥A'B, 图2 当B,P,P',A'在同一条直线上时， P'A'+PB+PP取最小值，即PA+PB+√2PC取最小值为A'B. 过点A'作A'H⊥BC,垂足为H,如图2. .∠ACB=60°，∠ACA'=90°， .∴.∠A'CH=30°， .AAC=2 km. .HC=VA'C2-A'=√42-22=23(km), ∴.BH=BC+CH=23+23=43(km), .A'B=√'f+Bf=√(43)2+22=2√13(km), ∴.PA+PB+√2PC的最小值为2√/I3km, .∴.总的铺设成本=PA·a+PB·a+PC·√2a=a(PA+PB+ √2PC)=2√13a(元). 5.①②④6.2√13+4 7.解：(1)抛物线的对称轴为直线x=3,AB=4, ∴.A(1,0),B(5,0). 将A(1,0)的坐标代入y=x-1,得k-1=0, 解得k=1, 直线AD的表达式为y=x-1. 将A(1,0),B(5,0)的坐标代人y=ax2+bx+5, 得06+5=0， l25a+5b+5=0, 解得01， b=-6, ∴抛物线的表达式为y=x2-6x+5. (2)存在点M. 在y=x-1中，当x=3时，y=x-1=2,.D(3,2). :△ADM是以AD为直角边的直角三角形， ∴.①当LDAM=90时， 设直线AM的表达式为y=-x+c,将点A的坐标(1,0)代入， 得-1+c=0,解得c=1, .直线AM的表达式为y=-x+1, 联立+1，。解得x=或红=4， (y=x2-6x+5, (y=0(y=-3, ∴.点M的坐标为(4，-3). 6 ②当∠ADM=90°时， 设直线DM的表达式为y=-x+d,将D(3,2)的坐标代入， 得-3+d=2,解得d=5, .直线DM的表达式为y=-x+5, 联立+5，.解得x=0或=5， y=x2-6x+5, ly=51 y=0, .点M的坐标为(0,5)或(5,0). 综上，点M的坐标为(4，-3)或(0,5)或(5,0) (3)如图，在AB上取点F,使BF=1,连接CF,PB,PF BF 1 PB=2,PB2 PB 21,BF_PB AB42PBAB 又：∠PBF=∠ABP,.△PBF△ABP, PF BF 1 1 AP-BP2PF=2P4, PC+PA=PC+PF≥CF, 2 当点C,P,PF三点共线时，PC+之PH的值最小，即为线段 CF的长 在y=x2-6x+5中，令x=0,得y=5,.C(0,5),.0C=5. .·0F=0B-BF=5-1=4, .CF=√0C+0F=√5+42=√④， PC+PA的最小值为4. 2 8.(1)63 (2)证明：：AB为⊙0的直径，.∠ACB=90°. AD⊥AC,∠DAC=90°，.∠DAC=∠ACB, .∴.ADBC. .·∠ADC=∠B,AC=AC,∴.△ADC≌△CBA(AAS), .AD=BC,.四边形ABCD是平行四边形 (3)解：在Rt△ACD中，：tan∠ADC=√3， .∠ADC=60°，∠ACD=30° 如图1，连接0C. CD是⊙0的切线，.OC⊥CD, .∠ACD+∠AC0=90°. 又.∠AC0+∠0CB=90°， .∠ACD=∠OCB. 图 .OB=OC,.∠B=∠OCB. .∠B=∠ACD=30°， .在Rt△ABC中，AC=AB·sin30°=6， ·在Rt△ACD中，CD=AC c0s30°-4v3, ∴.在Rt△C0D中，0D=√CD+0C=√(43)2+62=2√21. (4)解：如图2，过点A作射线AF1AB, 作射线OF满足LA0F=60°，射线AF 与OF交于点F,连接OC,CF, 0 .在Rt△AOF中， AF=OA·tan60°=√30A. tan LADC=√3，AC=√3AD, AC_AF=/3. 图2 AD0A .·∠DAC=∠OAF=90°， .∠DAC+∠CAO=∠OAF+∠CAO, 8 即∠DAO=∠CAF,.∴.△CAF△DAO, CF AC DO AD √3，即CF=√30D. 在Rt△A0F中，.OA=6,AF=√30A=6W3, ∴.0F=√OA2+AF=12. 又.：IOF-OCI≤CF≤OF+OC, 6≤CF≤18，.23≤0D≤65 第四部分中考新趋势专练 一代数推理 1.C2.B3.C4.D5.B6.乙槽7.60C-A-B-D 8.91449.(1)2(2)11 二数学文化 1B2A3.A4.D5A6D742382 9.解：(1)24[提示]由表中勾股数的规律可知，a=10,b, c=26. 由勾股数定义可知，a2+b2=c2,即102+b2=262, .∴.b2=262-102=(26+10)(26-10)=36×16, 解得b=24或b=-24(舍去). (2)①根据表中数据(3,4,5)，(4,3,5)，(5,12,13)， (7,24,25),(8,15,17),(11,60,61),(12,35,37), (13,84,85),(15,112,113),(16,63,65),(17,144, 145),(19,180,181),(20,21,29)的规律能用含字母n, m(m>n,且n,m均为正整数)的代数式表示三角形的三 边.设为a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2. 证明：a2=(m2-n2)2=m4-2m2n2+n4,b2=(2mn)2=4m2n2, a2+b2=m4+2m2n2+n4. c2=(m2+n2)2=m4+2m2n2+n4, a2+b2=c2 根据勾股定理的逆定理，得a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2能 够成为直角三角形的三边长. ②根据表中数据可知(6,8,10)，（9,12,15)，(21,28， 35)分别是(3,4,5)的2倍，3倍，7倍；（10,24,26)， (14,48,50),(18,80,82),(22,120,122)分别是(5， 12,13),(7,24,25),(9,40,41),(11,60,61)的2倍， 经验算(9,40,41)满足m2-n2,2mn,m2+n2. 因此，表中数据能用含字母n,m,k(m>n,且n,m,k均为正 整数)的代数式表示三角形的三边.设为a=(m2-n2)k,b= 2mnk,c=(m2+n2)k. 证明：a2=[(m2-n2)k]2=m4k2-2m2n2k2+nk2, b2=(2mnk)2=4m2n2k2 a2+b2=m4k2+2m2n2k2+n42. c2=[(m2+n2)k]2=m42+2m2n2k2+n4k2, .a2+b2=c2. 根据勾股定理的逆定理，得(m2-n2)k,2mnk,(m2+n2)k能 够成为直角三角形的三边长，所以利用a=(m2-n2)k,b= 2mnk,c=(m2+n2)k能够表示出表中所有勾股数组. (3)依题意，设a=20,且直角三角形三边长均为正整数，由 勾股定理，可得a2+b2=c2,则有c2-b2=202,即(c+b)(c b)=400. 下面分4种情况讨论： @8解特6 c-b=10, a<b,.b=15(舍去). 5 ②c+6-=10,解得c=52, c-b=4, b=48. 所需花为4×120=480（株）. 2得信9 所需花为4×220=880（株）. ④c+6-50,解得{6-29. \c-b=8, b=21. 所需花为4×70=280（株）. 答：这块绿地最少需要种植280株花. 三跨学科实践 1.D2.B3.C4.C5.D6.c7.C&20 9.(80W5-160) 10.解：(1)1.7×10-5×0.6×50=5.1×104(m), 即该铜棒的伸长量为5.1×10-4m. 1.8×10-3 (2)a.25x(80-20)12x10'(/C). 4.8×104÷(1.2×105×1)=40(℃)， 即铁的线膨胀系数a。为1.2×10/℃，该铁棒温度的增加 量为40℃. (3)设铜棒增加的温度为x℃，则铁棒增加的温度为(x+ 20)℃，设它们的长度均为1. 根据题意，得1.7×105x=1.2×10l(x+20), 整理，得17x=12x+240, 解得x=48,则x+20=48+20=68, 即该铁棒温度的增加量为68℃. 四开放性试题 1.7ab(答案不唯一)2.3（答案不唯一）3.0（答案不唯一） 4y=1(答案不唯-)5.1（或8）6.2或3或4或5或6 7.82.5°或52.5°或37.5 8.（1)解：将A(2,2)代人y=ax(x-4),得2=2a(2-4), 解得a:宁 二次函数的表达式为)=2(x-4)=之2+2x (2)证明：设直线OA的表达式为y=x(k≠0)，代人A(2, 2),得2=2k, .k=1,∴.直线OA的表达式为y=x P(x1y),Q(2y2),R(x3y3),过点P作PBy轴交线 段OA于点B,直线QC,RD都平行于y轴，C,D在OA上， RD= 1 2+x ①当P0C时，+>， .(x1-x2)(x1+x2-2)<0. x1<x2,∴.x1-x2<0, .x1+x2-2>0,即x1+x2>2. ②当PD时，子场>子 .(x1-x3)(x1+x3-2)<0. x1>x3,即x1-x3>0, .x1+x3-2<0,即x1+x3<2 9 (3)解：如图，延长AP交y轴于点S,过点R,Q分别作x轴 的垂线，垂足分别为L,J. RL∥RO,QJ∥0Q1,.△TRL△TR,0,△QTJ△QT0. 3 1 又2=21=2 R00Tx=1,—=2,0===,1—=2, ,LTπxx12 1 21*1 ∴.0R1=2RL,0Q1=2QJ .RQ=OR+0Q=2RL+2QJ =22分)+22)]2[2(3)+2(2] +8 设直线AP的表达式为y=k1x+b,(k1≠0)，代入A(2,2), P,22小， 「+2=6x+6银 1 k1=-2 2=2k+b1, b1=x1, 1 “直线AP的表达式为y（2,+1+ 当x=0时，y=x1,即0S=x1 又：0T=x1,0T=0S. OA的表达式为y=x,∴.∠S0A=∠T0A=45. 又OA=OA,.△OAT≌△OAS(SAS), .∠SA0=∠TA0,即∠PA0=∠TAO. 又：∠AMW=∠PAO,∴.∠OAT=∠AMN. A(2,2),.0A=V2+22=22. .MN=2√2，∴.AO=MN. 又：∠OTA=∠NTM,.△ATO≌△MTN(AAS), ∴.0T=TN=x1,.0N=20T=2x1, =0-ow=-24=引）+ 0.02, 当一时！有最大值为 五综合与实践 1.解：(1)⊙0分别与AC,AD相切于点B,D, ∠0BA=90°，∠BM0=∠0AD=∠CAD=30. 2 (2).·钢柱的底面圆半径为1cm,∴.BC=OB=1cm. 9∠0AB=30°，LOBA=90°，AB=a302=3cm, ..AC=BC+AB=(1+3)cm, 6 同理A'C'=(1+√3)cm, .∴.l=7.52-2(1+√3)≈2.06(cm). .1.9<2.06<2.1, .该部件1的长度符合要求。 (3)能，将圆柱换成正方体 [提示]如图.设正方体的棱长为a, 用游标卡尺测量出CF的长度y, .'BC=BD=a. .:∠CAD=60° BD√3a tan 606= ∴.AB 3 √3a .∴.AC=a+ 3 e） 2(3+√5)a 3 2.解：任务二：依题意，四边形EBDC为矩形， .'CE=DB=42 m,EB=CD=1.4 m. 在Rt△AEC中，∠AEC=90°，∠ACE=61°， .AE=CE·tan∠ACE=42×tan61°≈75.8(m), AB=AE+EB=75.8+1.4≈77(m). 答：该城市规划展览馆AB的高度约为77m. 任务三：19[提示]设3D打印模型的高度为xm. .x:77=1:400,解得x=0.1925, ∴.3D打印模型的高度为0.1925m. .0.1925m=19.25cm≈19cm, .3D打印模型的高度约为19cm. 3.解：(1)：四边形ABCD是矩形，四边形MWPQ是平行四边 形，MN=3,AB=3,BC=2.5,MN在AB边所在直线l上， ∴.∠DAB=90°=∠DAM,∠CBA=90°，PQL. 又：如题图2，点P在AD上时，AN=1,AP=2, an∠PM=AP.2】 i千=2，M=NMN+AN=3+1=4=NB, SOMNPO=MN·AP=3x2=6. 当0≤x≤1时，如图1，设PN交AD于点F,PQ交AD于点 E,则PE=x,此时遮阳区的面积为△PEF的面积. 0 D M NA 图1 'PQh,∠P=∠PNM,∠PEF=∠FAN=90°， EF 六PE=tan P=-tanLPNA=2, ∴.EF=2PE=2x, 1 S=SAm=2PE.EF=2x .当0≤x≤1时，S随x的增大而增大，S的值从0增大 到1. 当1<x≤3时，如图2，设PQ交AD于点G,则PG=x,AW= x-1,AG=2,此时遮阳区的面积为四边形ANPG的面积 D 0G 图2 PQ九，.四边形ANPG为梯形， .5-5me=(AN+PG).AG=x(x-l+x)x2-2x-1, 当1<x≤3时，S随x的增大而增大，S的值从1增大到5. 综上所述，从初始起右移至图3情形的过程中，S随x的增 大而增大 (2)如题图3，此时点P落在BC上，则x=3, 由(1)知，当x=3时，S=2x-1=2×3-1=5, ∴题图3情形时，x=3,S=5. (3)当3<x≤4时，如图3，设口MNPQ向右移动xm后得到 口M'N'P'Q',设M'Q'交AD于点J,P'N'交BC于点K, P'Q'交BC于点H,则P'H=x-3,AM'=4-x, 此时遮阳区的面积为六边形AN'KHQ'J的面积. p H NMA N'B 图3 由平移，得Q'M∥QM∥PN∥p'N',P'Q'∥L,SOMNPO= SOMNPO=6, ∴∠PNA=∠JM'A=∠KN'B=∠P',∠P'HK=∠CBA=90°， JA KH 六MA=tam∠JM'A=tan LPNA=2,PH tan p= tan∠PNA=2, JA=2M'A=2(4-x),KH=2P'H=2(x-3), S=S大边形ANKHQ'J =SOMNPO-S△Aw-SaKr =62AW·W-P.级 6 1 2×(4-x)×2(4-x)2×(x-3)×2(x-3) =-2x2+14x-19, 从题图3情形起右移至M与A重合，该过程中S关于x 的解析式为S=-2x2+14x-19(3<x≤4). (4)当遮阳区面积最大时，口MNPQ向右移动了子m [提示]当0≤x≤1时，S=x2, 当x=1时，S取最大值，最大值为S=12=1; 当1<x≤3时，S=2x-1, 当x=3时，S取最大值，最大值为S=2×3-1=5; 71211 当3<x≤4时，S=-2x2+14x-19=-2x-2)+2 -20当x=了时5取最大值，最大值为只 等上所述，当号时，5取得最大值最大值为号 当遮阳区面积最大时，口SMNPQ向右移动了？m 4.解：(1).∠A≈43°，∠B≈51°， .∠C=180°-∠A-∠B≈180°-43°-51°=86. 由题意，得BC、AB sin A sin C 又.BC≈341m, AB-BCsin C_BCin86°-341X098=49(m）. sinA sin43° 0.682 答：A,B两岛间的距离为499m 6 (2)工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测 角度、水平面高度). 测量过程：步骤1：如图，在空旷地找一点 C,使得△ABC是锐角三角形： 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠C的度数； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC=am, AC=b m 计算过程：过点A作AD⊥BC于点D, 则∠ADC=∠ADB=90° 在R△ACD中，sinC=AD AC,eos C=CD AC' .AD=bsin C,CD=bcos C, .BD=BC-CD=(a-bcos C). 在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2 .AB=(bsin C)2+(a-bcos C)2 答：A,B两岛间的距离为√(bsin C)2+(a-bcos C)2m. 5.解：(1)如图1，连接BC. 由题意，知∠BAD=∠a,∠CAD=∠B, .∴.∠a+∠B=∠BAC. :AB=BC=√2+22=√5， AC=√12+32=√10， 图1 .AB2+BC2=AC2 .△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°， .∴.∠BAC=45°， .∠a+∠B=45° (2)90[提示]如图2， 由题意知，ama=an∠BMD= 3 tan B=tan LDAC= 3 - .La=LBAD,∠B=LCAD, .∴.∠ax+LB=∠BAC. 图2 :AB=AC=V22+32=√3，BC=√W2+52=√26， ..AB2+AC2=BC2, .△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°， .∴.∠x+∠B=90° (3)如图3. ◆H 图3 1 由题意知，tana=LCDH=-3,anB=tan LHDF= 7 .La=∠GDH,∠B=LHDF .∠a+∠B=∠0， .∴.∠O=∠GDH+∠HDF=∠GDF :DG=√22+6=2√0，GF=√2+32=√/10， DF=√12+7=52 .DG2+GF2=DF2, .△DGF是直角三角形，∠DGF=90°， .tan0=tan∠GDF= GF√10_1 DG2√1021 1 6.解：(1)0D=CG+0E. [提示]如图1，过点C作CP⊥OA于 点P. OC平分∠AOB,CD⊥OB,CP⊥OA, ∴.CP=CD. 在Rt△POC和Rt△DOC中， OC=OC,CP=CD, BD .Rt△POC≌Rt△DOC(HL), 图1 ∴OP=OD. .:DE⊥OA,CG⊥DE,CP⊥OA, ∴.∠CPE=LPEG=LCGE=90 四边形CPEG是矩形，.PE=CG, .OD=OP=PE+OE=CG+OE. (2)不成立，0D=CG0E. 证明如下：如图2，过点C作CQ10A于 点Q. OC平分∠A0B,CD⊥OB,CQ⊥OA, .∴.CQ=CD. 在Rt△QOC和Rt△DOC中， OC=OC,CQ=CD, ∴.Rt△QOC≌Rt△DOC(HL), 图2 .∴.0Q=0D. .DE⊥OA,CG⊥DE,CQ⊥OA, ∴∠CQE=LQEG=LCGE=90°， 四边形CQEG是矩形，QE=CG, ..OD=00=QE-OE=CG-OE. (2识的值为西支号 [提示]①如图1，当0°<LA0B<90°时. CG⊥DE,DE⊥OA, ∴.CGOE,∴.△CGF∽△OEF CG GF 六0EEF3,即CG=30E, .OD=CG+OE=30E+0E=40E. .DE=√0D2-0E=√(40E)2-0E=√150E. .∠CGD=∠DE0=∠CD0=90°， .∠DCG+LCDG=90°，∠ODE+∠CDG=90°， ∴.∠DCG=∠ODE,.△CDG∽△DOE, 0DDE√150E√15 ·cDcG30E3 ②如图2，当90°<∠A0B<180°时. .·CG⊥GF,GF⊥OE,.∴.CGOE, .△CGF∽△OEF, CC_GF-3,即CG=30E, :0e .OD=CG-OE=30E-0E=20E. ∴DE=√0D2-0E=√(20E)2-0E=√30E. .∠CGD=∠DE0=∠CD0=90°， ∴.∠DCG+∠CDG=90°，∠ODE+LCDG=90°， ∴.∠DCG=∠ODE,∴.△DOE∽△CDG, .ODDE√30E√3 CD CG30E 3 综上，阳的值为否或号 6 7.解：(1)相等（或CD'=BD)相等（或∠AD'C=∠ADB) [提示]将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AD', ∴.∠DAD'=90°，AD=AD' .∠BAC=90°， .∴∠BAC-∠DAC=∠DAD'-∠DAC,即∠DAB=∠D'AC. 又.：AB=AC, ·.△DAB≌△D'AC(SAS), .CD'=BD,∠AD'C=∠ADB. (2)证明：四边形ABCD是正方形， ∴.∠DCB=90°，BC=DC :CE绕点C逆时针旋转90°得到CE', ∴.∠ECE'=90°，CE=CE' ·.∠DCB=∠ECE'=90°、 ∴.∠DCB-∠BCE=LECE'-∠BCE, 即∠DCE=∠BCE', .△BCE'≌△DCE(SAS), ..∠BE'C=∠DEC=90°. .·∠CED+∠CEF=180°， .∠CEF=90°， .∠BEC=∠ECE'=∠CEF=90°， .四边形CEFE是矩形. 又CE=CE, .四边形CEFE是正方形. 279 [提示]：CE绕点C逆时针旋转90°得到 线段CE, .∠ECE'=90°，CE=CE, CG 4 CG 4 CE3CE3 四边形ABCD是矩形，AB=3,BC=4, ∠0=90,0=A8=3,8g CG BC 4 CE-CD3 ·.∠DCB=∠ECE'=90°. ·.LDCB-∠BCE=LECE'-LBCE,即LDCE=∠BCE', .△BCG∽△DCE, .∴.∠BGC=∠DEC=90° :∠CED+∠CEF=180°， .∠CEF=90°， ∴.LBGC=LECG=∠CEF=90°， ∴.四边形CEFG是矩形，∴.∠GFE=90°. 如图1，连接AC,BD交于点0，连接 OF,FC,则AC=BD,O是AC,BD的 中点， 六在△D8F中，0F-号0， .0F= 2AC=0A=0C=0D=0B, G 图1 A,F,B,C,D共圆， .∴.∠AFC=∠ABC=90° AD=BC=4,..AD=BC, .∴.∠GFC=∠ACD. 在Rt△ADC中，AD=4,DC=3,.AC=√AD2+DC=5, 2 cos∠ACD=CD.3 AC5cos∠GFC=3 1 在Rt△AFC中，：AF=2,.FC=√AC2-AF2=√2I, 六FG=FCcosLCFG=3V2I 5 .BC=BC,:.LBFC=LBAC. 又.∠ABC=∠G=90°， ∴.∠ACB=∠FCG, .∴.∠ACB-∠FCB=∠FCG-∠FCB,即∠ACF=∠BCG, sinLACF=AF BG =sin∠BCG= AC BC 2 BG ·5-4，..BG=s、 BF=FG-BG=32T 8 55 (49 [提示]如图2，连接AC,BD A 交于点0. ·四边形ABCD是矩形， 0 .∠BAD=90°，AC=BD=2A0=20B. AD=32,AB=√6， 图2 ..AC=BD=VAB2+AD2=2/6 A0=OB=AB=√6， .△AOB是等边三角形，则∠OAB=∠AOB=60°. 线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AE', .∴.AE=AE',∠EAE'=60°， .∠OAB=∠EAE=60°， .∴.∠OAB-∠OAE=∠EAE'-∠OAE,即∠E'AO=∠EAB 又OA=BA,EA=EA, .△E'AO≌△EAB(SAS), .∠A0E'=∠ABE=90°， ∴E在OE上运动，且E0⊥AC, ..当DE⊥OE时，DE取得最小值 ∠A0B=60°，.∠A0D=120°. 又：∠A0E=90°，∠E'0D=30°， 六当nE10E时，DE=号0=D=5 2 8.解：(1)由条件，可得AD=8,∴.OA=OD=4, .A(-4,0). 把A(-4,0)代人y=ax2+2,可得0=16a+2, 日抛物线的表达式为y=名42 (2).AM1=DM2=1,OA=OD=4, ∴.OM1=0M2=3, .N1,N2关于y轴对称 y=g+2. 7 当x=3时，y=- -×32+2= 8 8 7 ÷.M,N,=M2N2=g 77 2×8=4<2, 故这根材料的长度够用。 6 0.5d前 9.解：(1)把d后=0.01%，d=0.2%代入da=0.5+0 得0.01%=05x0.2% 0.5+0 解得0=9.5，经检验w=9.5是原方程的根，且符合题意. ·如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为 0.01%,需要9.5kg清水. (2)第一次漂洗： 0.5dm 把0=2kg,d南=0.2%代入d后=0.5+0 得d后 0.5×0.2%=0.04%; 0.5+2 第二次漂洗： 0.5d前 把0=2kg,d0=0.04%代入d后=0.5+0' 得d=0.5x0.04% =0.008%. 0.5+2 而0.008%<0.01%， ·.进行两次漂洗，能达到洗衣目标 (3)由(1)(2)的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗 衣目标，还能大幅度节约用水， ·从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推 广学习.（答案不唯一，合理即可） 10.解：(1)5083.5144° [提示]本次共抽取了10÷20%=50名学生的模具设计 成绩 将50名学生的模具设计成绩按照从小到大的顺序排列， 排在第25和26名的成绩分别为83,84， .成绩的中位数是(83+84)÷2=83.5（分）. 在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为360°× 50 144° (2)B组的人数为50×30%=15. 补全频数分布直方图如图所示. 模型设计成绩的频数分布直方图 人数（频数 25 20 2 15 10 10 5 ABCD成绩/分 (3)1200x20+10 50 720, .估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的 人数为720. (4)列表如下： ⑧ 乙 丙 入 甲 (甲，乙) (甲，丙) (甲，丁) 乙 (乙，甲) (乙，丙) (乙，丁) 丙 (丙，甲) (丙，乙) (丙，丁) 丁 (丁，甲) (丁，乙) (丁，丙) 共有12种等可能的结果，其中所选的两位同学恰为甲和 丙的结果有（甲，丙），（丙，甲），共2种， :所选的两位同学恰为甲和丙的概率为26 21 3第四部分 中考新趋势专练 代数推理 1.(2024·山东)根据以下对话， 1班所有人的 2班所有人的 身高均不超 身高均超过 过180cm. 140cm. 我发现，1班 哦，我还发 1班班长 同学的最高 现，1班同学 2班班长 身高与2班 的最低身高 同学的最高 与2班同学的 身高之和为 最低身高之 350cm. 和为290cm. 给出下列三个结论： ①1班学生的最高身高为180cm; ②1班学生的最低身高小于150cm; ③2班学生的最高身高大于或等于170cm. 上述结论中，所有正确结论的序号是 () A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 2.(2025·泸州)对于任意实数a,b,定义新运算：a※b= a(a≥b),给出下列结论： -a(a<b), ①8※2=8； ②若x※3=6，则x=6; ③a※b=(-a)※(-b); ④若(2-4)※2<5，侧=的取值范围为>号 其中正确结论的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 3.(2025·重庆)已知整式M:ao+a1x+a2x2+…+anx”,其中a0为自然 数，n,a1,a2,…,an为正整数，且ao+a1+…+an=4.下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当n=3时，满足条件的所有整式M的和为4x3+4x2+4x+1; ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定 为非负数的整式M共有3个. 其中正确的个数是 A.0 B.1 D.3 4.（2024·河北)“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多 位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算.淇淇受其启 发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果 为3036.图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被 墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是 () 小方格中的数据 是由其所对的两 个数相乘得到的 132 ▣口口 如2=1×2 >26412 )20☐ 4+9=13, 满十进一」 31963 a25▣ 02←9←136 3 036 图1 图2 A.“20”左边的数是16 B.“20”右边的“☐”表示5 C.运算结果小于6000 D.运算结果可以表示为4100a+1025 5.（2025·遂宁)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且 a≠0)的对称轴是直线x=1,且抛物线与x轴的一个交点坐标是 (4,0),与y轴交点坐标是(0，m)且2<m<3.有下列结论：①abc<0; ②9g-36+c>0:③}<ya<召：④关于x的一元二次方程a成+ 27 (b-1)x+c-2=0必有两个不相等实根；⑤若点A(x1,y1),B(x2, y2),C(x3,y3)在抛物线y=ax2+bx+c上，且n<x1<n+1<x2<n+2<x3< 3 n+3,当<y,<,时，则n的取值范围为2<n<0.其中正确的有 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 y 甲乙丙 01 4\x 第5题图 第6题图 6.（2024·宜宾)如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的 小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽.有大小质地完全相同的三 个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球 所标数字互不相同.作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动 容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下 一个小球)，取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小 孔槽小球上所标的数字)，完成第一次操作.再重复以上操作两 次.已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、 9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最 低的是 .（从“甲槽”“乙槽”“丙槽”中选填) 7.(2024·北京)联欢会有A,B,C,D四个节目需要彩排，所有演员 到场后节目彩排开始.一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即 开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min)如下： 节目 B D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一 个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间 间隔（不考虑换场时间等其他因素）.若节目按“A-B-C-D”的先 后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为 min;若使这 23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的先后顺 序彩排 8.（2024·成都)在综合实践活动中，数学兴趣小组对1~n这n个 自然数中，任取两数之和大于n的取法种数k进行了探究.发现： 当n=2时，只有{1,2}一种取法，即k=1;当n=3时，有{1,3}和 {2,3}两种取法，即k=2;当n=4时，可得k=4；….若n=6,则k 的值为 ;若n=24,则k的值为 9.(2025·安徽)对于正整数n,根据n除以3的余数，分以下三种 情况得到另一个正整数m:若余数为0，则m=分若余数为1，则 m=2n;若余数为2，则m=n+1.这种得到m的过程称为对n进行 一次“变换”.对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次 变换，依此类推.例如，正整数n=4,根据4除以3的余数为1，由 4×2=8知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余 数为2，由8+1=9知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除 以3的余数为0，由9÷3=3知，对4进行三次变换得到的数为3. (1)对正整数15进行三次变换，得到的数为 (2)若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件 的n的值之和为 二数学文化 1.(2025·齐齐哈尔)《九章算术》是我国古代著名的数学著作，在 世界数学史上首次正式引入负数.若收入10元记作+10元，则支 出10元记作 () A.+10元 B.-10元 C.0元 D.+20元 2.（2025·南充)我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述 了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问 题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，…，问物几 何？”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每 5个一数，剩余3个，….问这些物体共有多少个？设3个一数共 数了x次，5个一数共数了y次，其中x,y为正整数，依题意可列 方程 () A.3x+2=5y+3 B.5x+2=3y+3 C.3x-2=5y-3 D.5x-2=3y-3 3.（2025·辽宁)中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记 载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何.” 其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与 宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为x步，根 据题意可列方程为 () A.x(60-x)=864 B.x(x-60)=864 C.x(60+x)=864 D.2[x+(x+60)]=864 4.（2025·青海)我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题： “隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少 半斤.试问各位善算者，多少人分多少银？”译文：“隔着墙壁听见客 人在分银两，不知道有多少人，多少银两若每人分7两，则还多 4两：若每人分9两，则还差8两.请问：有多少客人？分多少银 两？”设客人为x人，银两为y两.根据题意可列方程组为() y=7x-4, y=7x-4, A B. (y=9x+8 (y=9x-8 y=7x+4, =7x+4, C. D. (y=9x+8 y=9x-8 5.(2025·兰州)《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之 一.“方程章”第11题大意是：两匹马一头牛总价超过1万，超过 部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部 分等于半头牛的价格，问一匹马、一头牛的价格分别是多少？若 设一匹马价格为x,一头牛价格为y,则可列方程组为() 2x+y-10000=2*, 1 10000-(2x+y)= 2*, A. B. 10000-(x+2y)=2 1 x+2y-10000= 1 1 x+2y-10000 2, 2x+y=2x, D. 1 1 10000-(2x+y)=2 *+2y=2X 6.（2025·德阳)在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问 题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数， 物价各几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就 多11文钱：如果每人出6文钱，就差16文钱.问买鸡的人数，鸡 的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则x为 () A.5 B.7 C.8 D.9 7.(2025·河南)我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注 时，创立了“割圆术”.如图是研究“割圆术”时的一个图形，AB所 在圆的圆心为点O,四边形ABCD为矩形，边CD与⊙O相切于点 E,连接BE,∠ABE=15°，连接OE交AB于点F.若AB=4,则图中 阴影部分的面积为 D B C 8.(2024·扬州)《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十 书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣 的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走100米，速度慢的人 每分钟走60米，现在速度慢的人先走100米，速度快的人去追 他.问速度快的人追上他需要 分钟 九章算术 9.(2025·广东)《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著 作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义. 若直角三角形的三边长a,b,c都是正整数，则a,b,c为一组“勾 股数”.如表中的每一组数都是勾股数 3,4,5 7,24,25 11,60,61 15,112,113 19,180,181 4,3,5 8,15,17 12,35,37 16,63,65 20,21,29 5,12,13 9,12,15 13,84,85 17,144,145 21,28,35 6,8,10 10 ,26 14,48,50 18,80,82 22,120,122 (1)请补全如表中的勾股数 (2)根据如表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别 表示α，b,c,使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明. (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该 图案是由四个全等的直角三角形组成.种花要求：仅在三角形边 上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间 的距离均为1m.如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块 绿地最少需要种植多少株花？ 87 三跨学科实践 1.（2025·遂宁)汉字作为中华优秀传统文化的根脉和重要载体，在 发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受.下面是“遂宁之 美”四个字的篆书，能看作是轴对称图形的是 () 諒 扇业 养 A B D 2.（2025·凉山州)以下字母是轴对称图形的是 S H Q N A B 0 3.(2025·新疆)下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是 A B C D 4.(2025·河南)通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中 自由电子定向移动的平均速度大约只有0.000074m/s,比蜗牛 爬行的速度还慢.数据“0.000074”用科学记数法表示为（) A.0.74×10-4 B.7.4×10-4 C.7.4×10-5 D.74×10-6 5.（2025·江西)在1个标准大气压下，四种晶体的熔点如下表所 示，则熔点最高的是 ( 晶体 固态氢 固态氧 固态氮 固态酒精 熔点（单位：℃） -259 -218 -210 -117 A.固态氢 B.固态氧 C.固态氮 D.固态酒精 6.(2025·扬州)如图，平行于主光轴PQ A B( 的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折 G 射光线BE,DF交于主光轴上一点G,若 ∠ABE=130°，∠CDF=150°，则∠EGF的 度数是 A.60° B.70° C.80° D.90° 7.(2025·长春)在功W(J)一定的条件下，功率 P(W) P(W)与做功时间t(s)成反比例，P(W)与 t(s)之间的函数关系如图所示.当25≤t≤40 20 时，P的值可以为 ( ）0 60 t(s) 2 B.27 C.45 D.50 8.(2025·辽宁)在电压不变的情况下，电流I(单位：A)与电阻 R(单位：2)是反比例函数关系.当R=4时，I=5.则电流I与电阻 R之间的函数表达式为I= 9.（2023·达州)如图，乐器上的一根弦AB=80cm,两个端点A,B固定 在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近 点A的黄金分割点，则支撑点C,D之间的距离为 cm.(结果 保留根号) 衣 A D C B 10.(2025·河北)一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其 长度的增加称为线膨胀.在0~100℃（本题涉及的温度均在此 范围内)，原长为lm的铜棒、铁棒受热后，伸长量y(m)与温度 的增加量x(℃)之间的关系均为y=alx,其中x为常数，称为该 金属的线膨胀系数.已知铜的线膨胀系数axc=1.7×105(单 位：/℃)；原长为2.5m的铁棒从20℃加热到80℃伸长了 1.8×10-3m. (1)原长为0.6m的铜棒受热后升高50℃，求该铜棒的伸长量 (用科学记数法表示). (2)求铁的线膨胀系数ax;若原长为1m的铁棒受热后伸长 4.8×104m,求该铁棒温度的增加量. (3)将原长相等的铜棒和铁棒从0℃开始分别加热，当它们的伸 长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高20℃，求该铁棒温度的 增加量. 四 开放性试题 1.（2025·长春)写出ab的一个同类项： 2.（2025·陕西)满足√2<a<5的整数a可以是 .(写出一 个符合题意的数即可) 3.(2025·河南)请写出一个使5-x在实数范围内有意义的x的 值： 4.（2025·上海)已知一个反比例函数，在每个象限内，函数值y随x 的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是 (只需写出一个) 5.（2024·德阳)数学活动课上，甲组同学给乙组同学出示了一个探 究问题：把数字1至8分别填入如图的八个圆圈内，使得任意两 个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1.经过探究 后，乙组的小高同学填出了图中两个中心圆圈的数字a,b,你认为 a可以是 .(填上一个数字即可) 6.（2025·河北)平行四边形的一组邻边长分别为3,4，一条对角线 长为n.若n为整数，则n的值可以为 .(写出一个即可)》 7.(2025·江西)在矩形纸片ABCD中，沿着点A折叠纸片并展开， AB的对应边为AB',折痕与边BC交于点P.当AB'与AB,AD中任 意一边的夹角为15°时，∠APB的度数可以是 B B D 8.(2025·湖南)如图1，已知二次函数y=ax(x-4)(a≠0)的图象 过点A(2,2),连接0A.点P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x3,y3)是此二 次函数图象上的三个动点，且0<x3<x,<x2<2,过点P作PBy轴 交线段OA于点B. (1)求此二次函数的表达式 (2)如图1，点C,D在线段OA上，且直线QC,RD都平行于y轴， 请你从下列两个命题中选择一个进行解答： ①当PB>QC时，求证：x1+x2>2. ②当PB>RD时，求证：x1+x3<2. (3)如图2，若为，延长B交辅于点7，射线0， 1 TR分别与y轴交于点Q1,R1,连接AP,分别在射线AT、x轴上取 点M,N(点N在点T的右侧)，且∠AMN=∠PAO,MN=2√2.记 t=R1Q1-ON,试探究：当x1为何值时，t有最大值？并求出t的最 大值 OA 0 R -10 3 M 图1 图2 五 综合与实践 类型①实践操作 1.(2025·山东)【问题情境】 2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样 探测的新篇章.某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器 模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1. 【问题提出】 部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计 一个可以得到1的长度的方案，以检测该部件中1的长度是否符 合要求. 正面 图1 图2 【方案设计】 兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法. 测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）： 操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱 与部件紧密贴合.示意图如图4，⊙0分别与AC,AD相切于点B, D.用游标卡尺测量出CC'的长度y. CB A--AC 图3 图4 【问题解决】 已知∠CAD=∠CA'D'=60°，l的长度要求是1.9cm~2.1cm. (1)求∠BA0的度数. (2)已知钢柱的底面圆半径为1cm,现测得y=7.52cm.根据以 上信息，通过计算说明该部件1的长度是否符合要求.（参考数 据：√3≈1.73) 【结果反思】 (3)本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的 长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不 能，说明理由 89 2.（2025·吉林)综合与实践：确定建筑物的3D打 印模型的高度 项目提出：如图是某城市规划展览馆，树人中学 的3D打印社团为展示城市文化，准备制作该城市规划展览馆的 3D打印模型，需要测量并计算展览馆高度，为制作3D打印模型 提供数据 项目报告表 时间：2025年5月29日 测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其3D打印 项目 活动目标 模型的高度 分析 测量工具 测角仪、皮尺 以下是测得的相关数据，并画出了如 图所示的测量草图。 1.测出测角仪的高CD=1.4m. 任务一 2.利用测角仪测出展览馆顶端A的 测量数据 仰角∠ACE=61. E-619 D 3.测出测角仪CD底端D处到展览馆 AB底端B处之间的距离DB=42m. 目实施 根据上述测得的数据，计算该城市规划展览馆AB的 任务二 高度.（结果精确到1m) 计算实际 (参考数据：sin61°≈0.875，cos61°≈0.485，tam61°≈ 高度 1.804) 任务三 将该城市规划展览馆AB的高度按1：400等比例缩 换算模 小，得到其3D打印模型的高度约为 cm.(结 型高度 果精确到1cm) 项目 为社团制作城市规划展览馆的3D打印模型提供数据 结果 请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和 任务三 90 3.(2025·广西)综合与实践 树人中学组织一次“爱心义卖”活动.九(5)班分配到了一块矩形 义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形 (如图1).初始时，矩形义卖区ABCD与遮阳伞投影口MNPQ的 平面图如图2所示，P在AD上，MN=3m,AN=1m,AP=2m, AB=3m,BC=2.5m,由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平 移遮阳伞.在移动过程中，口MNPQ也随之移动(MN始终在AB 边所在直线1上)，且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分 (遮阳区)会呈现不同的形状.如图3为口MNPQ移动到P落在 BC上的情形 【问题提出】 西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时口MWPQ的 位置. 设遮阳区的面积为Sm,口MNPQ从初始时向右移动的距离为 xm. 【直观感知】(1)从初始起右移至图3情形的过程中，S随x的增 大如何变化？ 【初步探究】(2)求图3情形的x与的值 【深入研究】(3)从图3情形起右移至M与A重合，求该过程中S 关于x的解析式 【问题解决】(4)当遮阳区面积最大时，口MNPQ向右移动了多 少？（直接写出结果） D 义卖区 遮阳伞 投影 义卖区 遮阳区 图1 图2 图3 4.（2025·广东)综合与实践 【阅读材料】 如图1，在锐角△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边长 分别为，6c,则有品BC b 云这是解三 角形的重要结论，可用于解决实际问题 图1 【问题提出】 万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地， 某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示 意图，现需要知道湖中A,B两岛间的实际距离.由 于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行 了探究. 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）， 测角仪 测距仪 无人机 测量过程： 步骤1：如图2，在空旷地找一点C; 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得 ∠A≈43°，∠B≈51°； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得 图2 BC≈341m,AC≈388.5m. 【问题解决】 (1)请你利用【阅读材料】中的结论计算A,B两岛间的距离. (参考数据：sin43°≈0.682，sin51°≈0.777，sin86°≈0.998) 【评价反思】 (2)设计其他方案计算A,B两岛间的距离.要求：选用【方案设 计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识 类型②迁移探究 5.(2025·威海)问题提出 已知L&,∠B都是镜角，ma=2B=}求La+LB的度数 问题解决 (1)如图，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出∠BAD和 ∠CAD,请你按照这个思路求∠a+∠B的度数.（点A,B,C,D都 在格点上) 备用图 备用图 策略迁移 (2)已知∠a,LB都是锐角，ama= 3,lan B=3 ,则∠a+∠B= (3)已La,∠8，∠0都是镜角，ama-写mB= 1 :Zat4B- ∠0，求tan0的值 (提示：在正方形网格中画出求解过程的图形，并直接写出答案) 6.(2025·河南)在∠AOB中，点C是∠AOB的平分线上一点，过点 C作CD⊥OB,垂足为点D,过点D作DE⊥OA,垂足为点E,直线 DE,OC交于点F,过点C作CG⊥DE,垂足为点G (1)观察猜想 如图1，当∠AOB为锐角时，用等式表示线段CG,OE,OD的数量 关系： (2)类比探究 如图2，当∠AOB为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作 图)，并判断(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不 成立，请写出正确结论，并证明. (3)拓展应用 当0r<L108<180,且∠40B≠90时，若-3，请直接写出 D CD 的值. F E B D 图1 图2 7.(2025·齐齐哈尔)综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总 结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问 题，让我们共同体会几何模型的“数学之美” (1)【几何直观】如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,在△ABC 内部取一点D,连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线 段AD',连接BD,CD',则CD'与BD的数量关系是 ∠AD'C与∠ADB的数量关系是 (2)【类比推理】如图2，在正方形ABCD内部取一点E,使 ∠CED=90°，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE',连 接E'B,延长E'B交DE的延长线于点F,求证：四边形CEFE是 正方形 (3)【深度探究】如图3，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,在其内部取 一点E,使∠CED=90°，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线 段cE,延长cE至点G,使S连接GB,延长GB交DE的延 长线于点F,连接AF,若AF=2,则BF= (4)【拓展延伸】在矩形ABCD中，点E为BC边上的一点，连接 AE,将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AE',连接DE',若 AD=3√2，AB=√6，则DE的最小值为 图2 图3 备用图 91 类型③项目式学习 8.(2025·辽宁)为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物 线形框架结构上增加立柱.为此，某数学兴趣小组开展了综合与 实践活动，记录如下： 活动 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 主题 活动 1.去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 准备 2.准备皮尺等测量工具 图1是校门及上方抛物线形框架结构 的平面示意图，信息如下： 采集 1.大门形状为矩形（矩形ABCD), 数据 2.底部跨度(AD的长)为8m. 3.立柱OE的长为2m,且OE LAD, 图1 垂足为0，A0=0D. 考虑实用和美观等因素，在A,D间增 /m 加两根与AD垂直的立柱，垂足分别 N2 D 设计 为M1,M2,立柱的另一端点N1,N2在 M M2 x/m 方案 抛物线形框架结构上，其中AM,= M,D=1 m. 图2 小组成员经过讨论，确定以点O为坐标原点，线段AD所在直线为 x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系.点E的坐标为(0,2)， 确定 设抛物线的表达式为y=ax2+2,分析数据得到点A或点D的坐 思路 标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长 度，从而解决问题 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线的表达式. (2)现有一根长度为2的材料，如果用它制作这两根立柱，请你 通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长 度变化忽略不计). 92 9.（2024·广西)综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清 洗衣物的节约用水策略 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干.重复操作 步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标， 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后 校服上都残留0.5kg水 0.5其中dd与分别为单次漂洗前、后校服 浓度关系式：d后0.5+w 上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：kg), 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%. 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为 0.01%,需要多少清水？ (2)如果把4kg清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ （3)比较(1)和(2)的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的 想法 10.(2025·遂宁)DeepSeek横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻 身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天.为激发 青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强 国”为主题的活动.下面是该校某调查小组对活动中模具设计水 平的调查报告，请完成报告中相应问题. 模型设计水平调查报告 调查 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平 主题 调查 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的 目的 过程中，形成数据观念，发展应用意识 调查 某校学生模具设计成绩 调查方式 抽样调查 对象 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表 示)，并整理，将其分成如下四组：A:60≤x<70,B:70≤x<80, C:80≤x<90,D:90≤x≤100. 下面给出了部分信息： 数 其中C组的成绩为：80,81,82,82,83,84,84,84,85,85,86,86， 收 86,87,87,88,88,89,89,89. 表 模型设计成绩的频数分布直方图 模型设计成绩的扇形统计图 人数（频数） 25 20 D A 20 15 0% 10 10 5 5 30% A BC D 成绩分 根据以上信息解决下列问题： (1)本次共抽取了 名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是 分，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为 (2)请补全频数分布直方图. 析 (3)请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的 人数 (4)学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选 择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选 的两位同学恰为甲和丙的概率