四 几何最值模型-【真题分类卷】备战2026中考数学专题分类卷

根据旋转，可得DE=AB=5k, .DE=DK+EK=5x+8y=5h②， 7 20 联立.①2，可得x=39,y=39, 7 KD 5x 5×397 ..KE8y8×20,32」 三特殊四边形中的相关模型 1.(1)解：四边形ABCD是正方形，BA'的延长线经过点D, .∠ADB=45°，AD=AB,∠DAB=90°， 由垂直平分线的性质知，A'E=AE=1,BA'=BA 又BE=BE,∴.△EA'B≌△EAB(SSS), ∴.∠EA'B=∠EAB=90°，∴.∠EA'D=90° 又∠ADB=45°，.△A'DE是等腰直角三角形， DE=2A'E=√2， ..AB=AD=AE+DE=1+√2. (2)(i)证明：由题意，知BA=BA'=BC,∠ABC=90° '=∠BA'A=)180°-∠ABA'),LBCA 2(180°-LA'BC), ∴.∠AA'C=∠AM'B+∠CA'B 1 =2(180-∠ABA')+2180-∠CBA =180°-7（∠ABA'+LCBA') =180°-459 =135°， .∴.∠CA'F=180°-∠AA'C=45° (i)解：△A'DG是等腰直角三角形.理由如下： 方法一：如图，作CN⊥BG交BG于点M,交 D AB于点N CG=CB,.点M为BG的中点， .∴.BM=GM. 又AA'⊥BE,.CN∥AF, BN BM ·ANCM 1,∴.BN=AN, .BN=2 AB. :∠ABE=90°-∠CBG=∠BCN,∠BAE=∠CBN=90°， AB=BC, ∴.△ABE≌△BCN(ASA), AE=N=宁=子AD,即点E为A0的中点 又AG=GA',∠AGE=90°，∴.EG∥A'D, ∴.∠DA'G=∠EGA=90°. 同理可证△ADA'兰△BAG, ∴.A'D=AG=A'G. ..△A'DG是等腰直角三角形 方法二：设LABG=0,则∠CBG=90°-0. :CG=CB,.LCGB=∠CBG=90°-0， ∴.∠BCG=180°-2∠CBG=28. 又.·△EA'B≌△EAB, ∴.∠A'BG=∠ABG=0,∴，∠CBA'=90°-28. BA'=BA=BC, 6 ·.∠BCA'=∠BA'C, .2∠BCA'=180°-∠CBA'=90°+20， .∠BCA'=45°+0， .∴.∠GCA'=∠BCA'-∠BCG=45°-0， .∠DCA'=90°-∠BCA'=45°-0=∠GCA'. 又A'C=A'C,CG=CB=CD .△A'CG≌△A'CD(SAS). .GA'=DA',LCA'D=LCA'G. 由(i)知∠CA'G=135°， ∴.∠DA'G=360°-2∠CA'G=90° 又GA'=DA',.△A'DG为等腰直角三角形. 2.解：(1)②④ (2)①∠ACD=∠ACB. 理由如下：延长CB至点E,使 BE=DC,连接AE,如图1. :四边形ABCD是邻等对补四 边形， B 图1 .∠ABC+∠D=180°. .:∠ABC+∠ABE=180°， ·LABE=∠D. .AB=AD,.△ABE≌△ADC(SAS), ∴.∠E=∠ACD,AE=AC, .∠E=∠ACB,∠ACD=LACB. ②过点A作AF⊥EC于点F,如图2. AE=AC, CF=LCE=(BC+BE) 1 2 2 =2(BC+DC)=mtn 1 图2 2 ∠BCD=20,.∠ACD=∠ACB=A. 在t△AFC中，cs0=CE , ..AC= CF m+n cos 2cos 0 (a)BN能长为号反或号五 [提示]∠B=90°，AB=3,BC=4, .AC=√AB2+BC=5. :四边形ABMW是邻等对补四边形， ·.∠ANM+∠ABM=180°， ∴.∠ANM=90°. :邻等对补四边形仅有一组对边相等， .当AB=BM=3时，如图3，连接AM,过点N作NH⊥BC于 点H, .AM=AB2+BM2=18. A 在Rt△AMN中，MW2=AMP-AW2=18-AN 在Rt△CMW中，MW2=CM2-CW2=(4-3)2- (5-AN)2, MH C .18-AW2=(4-3)2-(5-AW)2, 图3 解得AN=4.2,.CN=0.8. .'∠NHC=∠ABC=90°，∠C=∠C, .△NHC△ABC, CM_CH,即08_NI_CH AC AB CB'即53=4 ,ch16, NH-12 84 256H= 25 5 aN-Vam4Wf-号a 当AN=MN时，如图4，连接AM,过点N作NH⊥BC于点H. ∠MNC=LABC=90°，∠C=∠C, .△CMN△CAB, C-Mw-cM,即SW=5-Cy ·BC-ABAC 43 BM H 解得cw=20 图4 .∠NHC=∠ABC=90°，∠C=∠C, 汤 aca4cC-8-器用-4 534 M号，cCm=5m=号N=Vmm-号a 综上，BNv的长为号a或号五 3.解：【问题情境】.∠BAC=90°，AB=AC, ∴如图1，将△ABD绕点A逆时针旋转 90°得到△ACD',连接ED'. 459 D 由旋转的性质，得∠BAD=∠CAD', ∠B=∠ACD',AD=AD',BD=CD'. B D C(B) :∠BAC=90°，∠DAE=45°， 图1 .∠BAD+∠EAC=45 .∠BAD=∠CAD', ..∠CAD'+∠EAC=45°，即∠EAD'=45°， ∴.∠DAE=∠D'AE. 在△ADE和△AD'E中，AD=AD',∠DAE=∠D'AE,AE=AE, .△ADE≌△AD'E(SAS),∴.DE=D'E. 又：LECD'=∠ECA+LACD'=∠ECA+LB=90°， CD'=BD=3,CE=4, ·.在Rt△ECD'中，EC2+CD2=ED2 .ED'=√42+32=5，.DE=D'E=5. 【知识迁移】DW2+BM2=MW2. 证明：如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转 90°，得到△ADF',过点D作DH⊥BD交 AF'于点H,连接NH. 由旋转的性质，得AE=AF',BE=DF' ∠BAE=∠DAF',∠ADF'=∠ABE=90°， .∴.∠ADF+∠ADF'=180°， 图2 ∴F,D,F三点共线 由题意，得EF+EC+FC=DC+BC=DF+FC+EC+BE, .EF=DF+BE=DF+DF'=F'F. 又.AE=AF',AF=AF, .△AEF≌△AF'F(SSS),.∠EAF=LF'AF. BD为正方形ABCD的对角线， .∴.∠ABD=∠ADB=45°. .·DH⊥BD,∴.∠ADH=∠HDB-∠ADB=45°=∠ABM 又AB=AD,∠BAM=∠DAH, .∴.△ABM≌△ADH(ASA), .AM=AH,BM=DH. 又.·∠MAN=∠HAN,AN=AN, ∴.△AMW≌△AHN(SAS),∴.MW=HN 在Rt△HND中，.·DN2+DH=HN2, .DN2+BM2=MN2. 【拓展应用】2BE2+2DF2=EF2 5 4.解：题图2的结论是：BM2+NC2+BM·NC=MN2 证明：AB=AC,∠BAC=60°， .△ABC是等边三角形，.∠ABC=∠ACB=60°. 以点B为顶点在△ABC外作∠ABK=6O°，在BK上截取BQ= CN,连接QA,QM,过点Q作QH⊥BC,垂足为H,如图1. .'AC=AB,∠C=∠ABQ,CN=BQ, .△ACN≌△ABQ(SAS), K ∴.AN=AQ,∠CAN=LQAB. ∠MN=34MC=30, .∠CAN+∠BAM=30°， 图1 ∴.∠BAM+∠QAB=30°，即∠QAM=∠MAN 又.AM=AM,.△AQM≌△AWM(SAS),∴.QM=MN. :∠ABQ=60°，∠ABC=60°， ∴.∠QBH=60°，∴.∠BQH=30°， 8m0,0:9a0, HM=BM+BH=BM+2 BQ. 在Rt△QHM中，QH+HMP=QM2, (停o)+(aw+)-ow, 整理，得BMP+BQ+BM·BQ=QMP, .BMP+NC2+BM·NC=MW2. 题图3的结论是：BM2+NC2-BM·NC=MW2. 证明：AB=AC,∠BAC=120°， K .∠ABC=∠C=30°.以点B为顶点 0 在△ABC外作∠ABK=30°，在BK 上截取BQ=CN,连接QA,QM,过点B M Q作QH⊥BC,垂足为H,如图2. 图2 :AC=AB,∠C=∠ABQ,CN=BQ, .△ACN≌△ABQ(SAS),.AN=AQ,∠CAN=∠QAB. 又：LMN=3∠B4C=60LC4∠BMW-6, ∴.∠BAM+∠QAB=60°，即∠QAM=∠MAN 又：AM=AM,∴.△AQM≌△ANM(SAS), ∴.QM=MN. 在Rt△BOH中，.：∠OBH=∠ABO+∠ABC=60°， .∠BQH=30°， Bm-280,0h=80W=BM-Bm=BN0 2 在Rt△QHM中，·QH+HM=QM, (8o)+aw-70)°-0r. 整理，得BM2+BQ2-BM·BQ=QM, .BMP+NC2-BM·NC=MW2. 四几何最值模型 1.解：(1)依题意， 先作∠ADE=∠B,DE交AC于点E,得出 DEBF,再以点B为圆心，以DE的长为半 径画弧，交线段BC于一点F,连接EF,则 DE=BE. DE//BF.DE=BF. .四边形BDEF是平行四边形， 即口BDEF如图1所示. 6四几何最值模型 模型十一 将军饮马模型 1.（2025·陕西)问题探究 (1)如图1，在△ABC中，请画出一个口BDEF,使得点D,E,F分 别在边AB,AC,BC上 (2)如图2，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,P为矩形ABCD内一 点，且满足SAPc=9,求△BPC周长的最小值 问题解决 (3)为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海 边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及 一个观景台.如图3所示，△ABC区域为草地，线段BC为花海边 沿，点A为游客服务中心，线段PQ为步道，点P和点Q为步道 口，点O为观景台.按照设计要求，点P,Q分别在边AB,AC上，且 满足BP:AQ=2:3,O为PQ的中点，为保证观赏花海的最佳效 果，还需使∠B0C最大.已知AB=120m,AC=BC=180m,请你帮 助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的 点)，并计算此时步道口P与游客服务中心A之间的距离PA.(步 道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大小均忽略不计) 图 图2 图3 备用图 84 模型十二胡不归模型 2.(2023·湘西州)如图，⊙0是等边三角形ABC的 外接圆，其半径为4.过点B作BE⊥AC于点E,点 P为线段BE上一动点（点P不与B,E重合），则 CP+)BP的最小值为 3.(2024·凉山州)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2,E是 BC边上一个动点，连接AE,AE的垂直平分线MN交AE于点M, 交BD于点N.连接EN,CN. (1)求证：EN=CN. (2)求2EN+BN的最小值 模型十三费马点模型 4.(2023·随州)1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何 问题：给定不在同一条直线上的三个点A,B,C,求平面上到这三 个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里 拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利 点”，该问题也被称为“将军巡营”问题， (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过 程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间 线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填 写角度数，④处填写该三角形的某个顶点) 当△ABC的三个内角均小于120时， 如图1，将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A'P'C,连接PP', 图1 图2 图3 由PC=P'C,∠PCP'=60°，可知△PCP'为①三角形，故PP'= PC.又P'A'=PA,故PA+PB+PC=P'A'+PB+PP'≥A'B.由② 可知，当B,P,P',A'在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如 图2，最小值为A'B,此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 LAPC=∠BPC=∠APB=③. 已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三 角形的某个顶点.如图3，若∠BAC≥120°，则该三角形的“费马 点”为④点 (2)如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC=3,BC=4, ∠ACB=30°，已知点P为△ABC的“费马点”，求PA+PB+PC 的值 图4 (3)如图5，设村庄A,B,C的连线构成一个三角形，且已知AC= 4km,BC=23km,∠ACB=60°.现欲建一中转站P沿直线向A, B,C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A,B,C的铺设 成本分别为a元/km,a元/km,√2a元/km,选取合适的P的位 置，可以使总的铺设成本最低为 元.（结果用含a的式子 表示) 图5 模型十四隐形圆模型 5.（2025·长春)如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC, BD相交于点O.点E在线段OA上，连接BE,作CF⊥BE于点F, 交OB于点P.给出下面四个结论： ①∠OCP=∠OBE; ②0E=OP; ③当CE=CB时，BP=EF; ④点A与点F之间的距离的最小值为2√5-2. 上述结论中，正确结论的序号有 D D 第5题图 第6题图 6.（2025·宜宾)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=6,将射线 CA绕点C顺时针旋转90°到CA1,在射线CA1上取一点D,连接 AD,使得△ACD面积为24，连接BD,则BD的最大值是 模型十五阿氏圆模型 7.(2023·烟台)如图，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A,B两点， 与y轴交于点C,AB=4.抛物线的对称轴x=3与经过点A的直线 y=x-1交于点D,与x轴交于点E. (1)求直线AD及抛物线的表达式， (2)在抛物线上是否存在点M,使得△ADM是以AD为直角边的 直角三角形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明 理由。 (3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请 求出PC+2PA的最小值. y↑ D B x OA B 备用图 模型十六主从联动模型 8.（2024·日照)如图1，AB为⊙0的直径，AB=12,C是⊙0上异于 A,B的任一点，连接AC,BC,过点A作射线AD LAC,D为射线AD 上一点，连接CD. 【特例感知】 (1)若BC=6,则AC= (2)若点C,D在直线AB同侧，且∠ADC=∠B,求证：四边形 ABCD是平行四边形 【深入探究】 若在点C运动过程中，始终有tan∠ADC=√3，连接OD. (3)如图2，当CD与⊙0相切时，求OD的长度， (4)求OD长度的取值范围， 图1 图2 备用图 85