题型七 图形操作探究-【真题分类卷】备战2026中考数学专题分类卷

题型七图形操作探究 类型一点动型操作探究 1.(2025·龙东)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA 在x轴上，tan∠C0A=√3，OA的长是一元二次方程x2-3x-18=0 的根，过点C作CQ⊥OA交OA于点Q,交对角线OB于点P.动点 M从点O以每秒1个单位长度的速度沿OA向终点A运动，动点 N从点B以每秒3个单位长度的速度沿BO向终点O运动，M,N 两点同时出发，设运动时间为t秒 (1)求点P坐标 (2)连接MW,PM,求△PMN的面积S关于运动时间t的函数解 析式. (3)当t=3时，在对角线OB上是否存在一点E,使得△MNE是含 30°角的等腰三角形.若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在， 请说明理由. 2.(2025·新疆)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC= 4,AD=aBN,点M是AB的中点，点D和点N分别是线段AC和 BC上的动点 (1)当点D和点N分别是AC和BC的中点时，求a的值， (2)当a=√2时，以点C,D,N为顶点的三角形与△BMN相似，求 BN的值， (3)当a=√2时，求MN+ND的最小值. M 类型二旋转型操作探究 3.(2025·龙东)已知：如图，△ABC中，AB=AC,设∠BAC=a,点D 是直线BC上一动点，连接AD,将线段AD绕点A顺时针旋转a 至AE,连接DE,BE,过点E作EF⊥BC,交直线BC于点F.探究 如下： (1)若ax=60°时， 如图1，点D在CB延长线上时，易证：BF=DF+BC 如图2，点D在BC延长线上时，试探究线段BF,DF,BC之间存在 怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由 (2)若α=120°，点D在CB延长线上时，如图3，猜想线段BF, DF,BC之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论，不需要 证明 图2 图3 75 类型三翻折型操作探究 4.(2025·眉山)综合与实践 【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程 【操作实践】如图1，将矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使 点B落在AD边上的点B'处，折痕交AB于点E,再沿着过点B'的 直线折叠，使点D落在B'C边上的点D'处，折痕交CD于点F.将 纸片展平，画出对应点B',D'及折痕CE,B'F,B'E,B'C,D'F 【初步猜想】(1)确定CE和B'F的位置关系及线段BE和CF的 数量关系 创新小组经过探究，发现CE∥B'F,证明过程如下： 由折叠可知LDB'F=LCB'F=)∠DB'C,LECB'=LECB买 ∠BCB.由矩形的性质，可知ADBC,∠DB'C=∠BCB, 1 .① ,.CE//B'F. 智慧小组先测量BE和CF的长度，猜想其关系为② 经过探究，发现验证BE和CF数量关系的方法不唯一： 方法一：证明△AB'E≌△D'CF,得到B'E=CF,再由B'E=BE可得 结论 方法二：过点B'作AB的平行线交CE于点G,构造平行四边形 CFB'G,然后证B'G=B'E可得结论 请补充上述过程中横线上的内容 【推理证明】(2)请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验 证BE和CF的数量关系，写出证明过程 【尝试运用】(3)如图2，在矩形ABCD中，AB=6,按上述操作折叠 并展开后，过点B'作B'G∥AB交CE于点G,连接D'G,当△B'D'G 为直角三角形时，求出BE的长， R 图1 图2 76 5.(2025·吉林)【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣 小组研究了有一个内角为60°的平行四边形的折叠问题.其探究 过程如下： 【探究发现】如图1，在口ABCD中，∠A=60°，AB>AD,E为边AD 的中点，点F在边DC上，且DF=DE,连接EF,将△DEF沿EF翻 折得到△GEF,点D的对称点为点G.小组成员发现四边形DEGF 是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由， 【探究证明】取图1中的边BC的中点M,点N在边AB上，且 BN=BM,连接MN,将△BMN沿MN翻折得到△HMN,点B的对 称点为点H,连接FH,GN,如图2，求证：四边形GFHN是平行四 边形 【探究提升】在图2中，四边形GFHN能否成为轴对称图形.如果 能，直接写出D的值；如果不能，说明理由 AB D 图1 图2 类型四类比型操作探究 6.（2024·甘肃)【模型建立】 (1)如图1，已知△ABE和△BCD,AB⊥BC,AB=BC,CD⊥BD, AE⊥BD.用等式写出线段AE,DE,CD的数量关系，并说明理由. 【模型应用】 (2)如图2，在正方形ABCD中，点E,F分别在对角线BD和边CD 上，AE⊥EF,AE=EF.用等式写出线段BE,AD,DF的数量关系， 并说明理由 【模型迁移】 (3)如图3，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边 CD的延长线上，AE⊥EF,AE=EF.用等式写出线段BE,AD,DF 的数量关系，并说明理由. 图1 图2 图3.AB∥EF,∴.LOEC=∠B. OE=0C,∴.∠C=L0EC, .∴.∠B=∠C,.AB=AC (2)解：AB=8,AB=AC,∴.AC=8. 设⊙0的半径为r, ..A0=8-r,0D=r .'∠AD0=90°，sinA= 3 5 408,了，解得，=3， OD r 3 ∴.0F=0D=3,A0=5,AD=√A02-D0=4 ∠D0F=90°， DF=√32+32=32. EF∥AB,.△OFG∽△ADG, FG OF 3 DG AD 4' DG=4DF=4x32=122 3+4 7 7 9.(1)证明：BD=CD,.∠C=∠DBC. 又.·∠C=∠BAD,∴.∠BAD=∠DBC. ·AB为⊙O的直径，.∠ADB=90°， ∴.∠BAD+∠DBA=90°， ∴∠DBC+∠DBA=90°，即∠CBA=90°， .AB⊥BC. :AB为⊙0的直径， BC为⊙0的切线。 (2)解：如图，过点D作DF⊥BC,垂足 为F :AD=AD,.∠ABD=∠AED, 10 .∴.sin∠ABD=sin∠AED= 10 :在△ABD中，∠ADB=90°， AB=10,sin LABD=10 10, ∴.AD=1,∴.BD=3. .DF⊥BC,AB⊥BC ∴.DF∥AB,.∠BDF=∠ABD, sin L BDF=sin LABD=10 10 在△BDF中，∠BFD=90,BD=3,in∠BDF=V0 10 BF31⑩ 10 BD=CD,DFLBC,.BC=2BF-310 5 .:四边形ABED内接于⊙O, .∠DAB+∠BED=180°. .∠BED+∠BEC=180°，∴.∠BEC=∠DAB. .∠C=∠BAD,∴.∠CEB=∠C, BE=BC-310 5 题型七图形操作探究 1.解：(1)由x2-3x-18=0,解得x1=6,x2=-3. 0A的长是x2-3x-18=0的根，.0A=6. .·四边形OABC为菱形， ∴.0A=0C=6. tan∠C0A=3,.∠C0A=60. 4 又CQ⊥0A,.∠0CQ=30°，∴.0Q=3. 四边形OABC为菱形， .OB平分LC0A, ..∠P0Q=30°，∴.PQ=√3， 点P的坐标为(3，√3) (2)如图1，过点M作MK⊥OB于YT 点K B N 由题可知BN=√3t,OM=t,则MK= 2 MO A 由(1)，得0P=23,0B=63, 图1 则PB=45. 当0<t<4时，：PN=43-√3t, s3245-=-月+w5 当4<t≤6时，PN=√3t-43, s=·2-48)=-5 (3)存在.点E的坐标为（0,0)或（3,3) 或93到 [提示]如图2，当t=3时，0M=3,点 M和点Q重合，BN=35, ∴.0W=3√3，∠0NM=∠N0M=30°， /E .MN=OM. 假设在对角线OB上存在一点E,使E(O)MQ)A 得△MWE是含30°角的等腰三角 图2 形，则 当∠EMW为顶角时，点E,与点0重合，E1(0,0); 当∠MEN为顶角时，点E2与点P重合，E2(3,3); 当∠ENM为顶角时，NE3=NM=OM=3. 设E3(3a,a),则0E3=2a. .0E3+WE3=0W,∴.2a+3=3w3 .∴a= 2…v3a=9-33 33-3 -,-) 综上，当t=3时，在对角线OB上存在一点E,使得△MNE 是含30°角的等腰三角形，点E的坐标为(0,0)或(3，√3) 或9-3333-3引 2,2/ 2.解：(1)：等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=4, ..AB=AC,AB2+AC2=2AB2=BC2, 10=1c-2c=22 :点D和点N分别是AC和BC的中点， AD=24C=,aw=2c=2 2 AD√2 AD=aBN,a=BN2 (2).a=√2，AD=aBN,∴.AD=W2BN. 设BN=x,则AD=√2x,CN=BC-BN=4-x 等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=4, .LB=∠C=45°，AB=AC=22,CD=AC-AD=22-√2x :M是AB的中点，∴AM=BM=√2. 当点C,D,N为顶点的三角形与△BMW相似时，分两种 情况： ①当△CDN∽△BMN时，则SD-CN BM BN .22-2x_4-x 2 x 此方程无解，不符合题意。 当△0△aw时品品行22产 解得x=3+√5（不符合题意，舍去）或x=3-√5， .BN=3-√5. 综上BN=3-√5 (3)a=√2，AD=aBW,.AD=√2BN. 作DE∥BC,AE⊥DE于点E,连接BE,则LADE=∠C=45°， ∴，△AED为等腰直角三角形， .AD=√2DE=√2AE,∠DAE=45 ∴.AE=DE=BN,∠BAE=45°. 又DE∥BN,.四边形EDNB为平行四边形，.BE=DN. 将AB绕点B顺时针旋转90°得到BF,连接NF,MF,则BF= AB=2W2,∠ABF=90°. .:∠ABC=45°， ∴.∠NBF=45°=∠BAE. 又：AB=BF,AE=BN, .∴.△AEB≌△BNF(SAS), .BE=NF,..DN=NF, ∴.MW+ND=MN+NF≥MF 当点N在线段MF上时，MW+ND的 值最小为MF的长 1 在Rt△MBF中，BM=2AB=2,BF=2,2, .MF=√BM+BF2=√/I0, ∴.MW+ND的最小值为√/1O. 3.（1)解：BF=DF-BC.理由如下： .AB=AC,∠BAC=a=60° .△ABC是等边三角形， .∴.∠ABC=∠BCA=60°， .∠ACD=180°-∠BCA=120 由旋转，得AD=AE,∠BAC=∠EAD=a=6O°， ∴.LBAC-∠EAC=∠EAD-LEAC,即∠BAE=∠CAD. (AB=AC. 在△ABE和△ACD中，{∠BAE=∠CAD, AE=AD, ∴.△ABE≌△ACD(SAS), .BE=CD,∠ABE=∠ACD=120° .∠EBF=∠ABE-∠ABC=120°-60°=60° EF⊥BC, BF BF ∴.在Rt△BEF中，BE= os∠EBF cos600=2BR CD=BD-BC=BF+DF-BC.CD=BE=2BF, .2BF=BF+DF-BC. ∴.BF=DF-BC. (2)3BF=DF+BC[提示].AB=AC,∠BAC=ax=120° LABC=∠BCA= 2(180°-LBAC)=30. 由旋转，得AD=AE,∠BAC=∠EAD=a=120°， ∴.∠BAC+∠BAD=∠EAD+∠BAD,即∠DAC=∠EAB. (AB=AC. 在△ABE和△ACD中， ∠BAE=∠CAD, AE=AD, .△ABE≌△ACD(SAS), BE=CD,∠ABE=∠ACD=30°， .∴.∠EBC=∠EBA+∠ABC=30°+30°=60° .EF⊥BC, BE BF .在Rt△BEF中，BE= os∠EBFcos60-=2BF CD=BC+BD=DF-BF+BC.CD=BE=2BF. .2BF=DF+BC-BF,..3BF=DF+BC 4.(1)①∠ECB'=∠FB'C②BE=CF （2)证明：方法一：四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°，BC=AD. 由折叠，可知∠EB'C=∠B=90°，B'D=B'D',BC=B'C=AD, ∠D=∠B'D'F=90°，BE=B'E AD-B'D=B'C-B'D',即AB'=CD',∠CDF=90°=∠A. 由(1)知∠CB'D=∠BCB. 又.∠AB'E+∠CB'D=180°-∠EB'C=90°， ∠BCB'+∠B'CF=∠BCD=90°， ∴.∠AB'E=∠FCD' 又：∠A=∠CD'F,AB'=CD', .△AB'E≌△D'CF(ASA),.B'E=CF BE=B'E,∴.BE=CF 方法二：如图1，作B'G∥AB交CE于点 B' .D G,则B'G∥ABCD. .·CE∥B'F, .四边形CFB'G为平行四边形， .B'G=CF. AB∥B'G,.LB'GE=∠BEC 图1 由题意，知∠BEC=∠B'EC,BE=B'E. ∴.∠B'GE=LB'EC, .B'E=B'G,..BE=B'E=B'G=CF. (3)解：.B'G∥AB, .·.∠A=∠GB'D=90° 由(2)可知B'G=B'E=BE=CF,CD'=AB',△AB'E≌△D'CF, .AE=D'F. 设BE=x,则B'G=B'E=CF=x,D'F=AE=AB-BE=6-x, .CD'=AB'=√x2-(6-x)2=√/12x-36. 当△BD'G为直角三角形时，则 4 B ∠GB'D'<90°，∴.当∠BGD'=90°时， 如图2， .∠GB'D+∠B'GD'=180°， ∴.GD'ADBC, B----- 图2 ∴.∠D'GC=∠ECB. 又：∠CCD'=∠ECB, .∠CGD'=∠GCD', .D'G=D'C=√12x-36. B'G∥ABCD, ∴.∠GBD'=∠FCD', .在Rt△B'GD'和Rt△CD'F中，tan∠GB'D'=tan∠FCD', GD-0F,即12x-36-6=元 GB'CD'' √12x-36 .x(6-x）=12x-36, 解得x=35-3或x=-35-3(舍去)， .BE=35-3 当∠GD'B'=90°时，如图3， .∠B'D'F=∠D=90°， .∠GD'B'+∠B'D'F=180, .G,D',F三点共线，B'C⊥GF ,四边形BGCF是平行四边形， 图3 5 .四边形B'GCF是菱形 ∴.∠GCD'=∠FCD' .·∠GCD'=∠GCB ∴.∠GCD'=∠GCB=∠FCD'=30°. 设CF=a,则DF=D'F=6-a. :0 -=sin30°= FC a2’ 解得a=4, ∴BE=CF=4. 综上所述，BE=3√5-3或4 5.【探究发现】四边形DEGF是菱形. 【探究证明】证明：如图1 .·将△BMN沿MN翻折得到△HMN. ∴.BN=HN,BM=HM .·BN=BM .HN=BN=BM=HM. .四边形BMIN是菱形， .NH//BC. 图1 E为边AD的中点，M为边BC的中点， .DE-ZAD,BM-BC. :四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC,ADBC, ∴.DE=BM,AD∥NH. 四边形DEGF是菱形 ..DE=FG,FG∥AD, ∴.FG=DE=BM=HN,FG∥NH, .四边形GFHN是平行四边形. 【银究提升】解：四边形GN能皮为销对称图形，化的值 为2或 2 [提示]由【探究证明】知，四边形GFHW是平 行四边形，若四边形GFHN为轴对称图形，则四边形GFHW 是矩形或菱形。 当四边形GFHW是矩形时，过点G作GK⊥AB于点K,过点 E作ET⊥AB于点T,如图2，易得GK=ET,EG=TK .:∠A=60°，∴∠AET=30 D H 六AT=2AB. 设AT=x,则AE=2x, N B .ET=√AE2-A7T=√3x=GK 图2 E为AD的中点， .'AD=2AE=4x,DE=AE=2x. 由【探究证明】易得HN∥AD,DE=EG=BN=2x, .∴.∠HNB=∠A=60° ,四边形GFHN是矩形， .∴.∠GNH=90° ∴.∠GWK=180°-∠GWH-∠HWB=180°-90°-60°=30°， ∴.KW=√3GK=√3x√3x=3x .TK=EG=2x, ..AB=AT+TK+KN+BN=x+2x+3x+2x=8x, AD 4x 1 当四边形GFHN是菱形时，延长FG交AB于点W,如图3. 设AD=y,则AE=DE=DF=EG= 1 GF=BN=BM=HM=NH=- 2 .·四边形GFHN是菱形， 图3 ·GF=FH=MH=Gw=L :EGCD∥AB,GF∥AD, ∴.四边形AEGW是平行四边形，∠GWN=∠A=60°， 1 1 AW-EG-2Y,GW-AE-2y, .∴GW=GN, .△GWN是等边三角形， .WN-CW-2Y. 1.113 .·.AB=AW+WN+BN= 2+22=2, AB 3 3 2 综上所述，四边形GFN能成为轴对称图形，A2的值为】 AB 2 或号 6.解：(1)DE+CD=AE.理由如下： CD⊥BD,AE⊥BD,AB⊥BC, .∠ABC=∠D=∠AEB=90°， ..∠ABE+∠CBD=∠C+∠CBD=90°， ·.LABE=LC. .AB=BC,.△ABE≌△BCD(AAS), ∴.BE=CD,AE=BD .DE=BD-BE=AE-CD, .∴.DE+CD=AE. (2)AD=√2BE+DF.理由如下： 过点E作EM⊥AD于点M,过点E作 EN⊥CD于点N,如图1. :四边形ABCD是正方形，BD是正方形 B 的对角线， .∠ADB=LCDB=45°，DB平分∠ADC, ∠ADC=90°，V2AD=√2CD=BD, 图1 .DE=BD-BE=√2AD-BE. .EN⊥CD,EM⊥AD,.EM=EN. AE=EF .Rt△AEM≌Rt△FEN(HL), ∴.AM=NF .'EM=EN,EN⊥CD,EM⊥AD,∠ADC=90°， .四边形EMDW是正方形， .ED是正方形EMDW的对角线，MD=ND, MD=DN=DE ∴.NF=AM=AD-MD=AD- 2DE.NF-2 DE-O6 2 DE ·AD② 2 DE-DF. .AD=√2DE-DF .:DE=√2AD-BE, .AD=√2(2AD-BE)-DF, ∴.AD=√2BE+DE. (3)AD=√2BE-DF.理由如下： 过点A作AH⊥BD于点H,过点F作FG⊥BD,交BD的延长 线于点G,如图2. .AH⊥BD,FG⊥BD,AE⊥EF, .∠AHE=∠G=∠AEF=90°， 6 ∴.LAEH+LHAE=LAEH+∠FEG=90°， ∴.∠HAE=∠FEG. AE=AF, ·.△HAE≌△GEF(AAS), ∴.HE=FG ·在正方形ABCD中，∠BDC=45°， H E .∴.∠FDG=∠BDC=45°， .∴.∠DFG=45° .△DFG是等腰直角三角形， 图2 六FG=5DF,HB=fG=5R 21 2 :∠ADB=45°，AH1HD, :△ADH是等腰直角三角形，.HD=)AD DE-HD-HE-AD 2 2 BD-BE-DE-2AD 2 .BD=2AD, ..2AD-BE= 2 √2 AD=√2BE-DF. 题型八二次函数与几何图形综合 1 1解：1)把A3.0)代人y=ax2+2ax,得a= 12.115 “抛物线的解析式为y=4+ 2x-4, 令y0好分50， 解得x1=-5,x2=3, ∴.B(-5,0). (2+了5子1-4N是猫物线顶点 1 .N(-1,-4). 设直线BN的解析式为y=kx+b(k,≠0). B(-5,0),N(-1,-4), {仁56+6，=0解得=- (-k,+b,=-4, (b1=-5, .直线BW的解析式为y=-x-5. PO//BN, .可设直线PQ的解析式为y=-x+n. 115 +24 +2m-4 oa+2,a+2+a2)-》. 1 1 115 4m 2 m- s-m+n且 5 4 (m+2)2+ 2(m+2)- 4 -(m+2)+n, 解得m=-4. (3)直线1过定点 设直线l的解析式为y=x+b(k≠0)，直线1与抛物线相交 于点G(x3y3),Hx4,y4). .115 联立y +24 y=kx+b, 4 .x2+(2-4k)x-15-46=0, △>0，x3+x4=4k-2,x3x4=-15-4h. 如图，作CC⊥MW,HD⊥MN,则CC=-1-x3,MC=y3+5,HD= x4+1,MD=y4+5. .·∠GMN=∠HMN 0 A .∴.tan∠GMN=tan∠HMN, 即GCHD H MC MD' ，-1-x3_x4+1 y3+5y4+5 .(x3+1)(y4+5)+(x4+1)(y3+5)=0, .(x3+1)(hx4+b+5)+(x4+1)(kx3+b+5)=0, .2kx3x4+(k+b+5)(x3+x4)+2b+10=0, .∴2k(-15-4b)+(k+b+5)(4k-2)+2b+10=0, ∴.-4h(b-k+3)=0. :直线l不垂直于y轴 .∴.k≠0，∴.b-k+3=0,∴.b=k-3, .直线l的解析式为y=k(x+1)-3. :无论k为何值，当x=-1时，y=-3恒成立， .1过定点T(-1,-3), 2解：(}[提示]：BD1CE,BD=1,CE= 1 .四边形BCDE的面积=SABCE+SADCE =号·®：B6号·cBG =2·CE·(BG+DG) (2):△ABC中，D,E分别是AC,AB的中点， .DE是△ABC的中位线， ÷DE/BC,DE=BC, .△ADE∽△ACB, DE)21 .SAADE SAANC=BC) 二4’ 1 SAADE= 4 SAABG, 3 .S四边形DCBE=4 SAABC, 4 SAANG=3S四边形0CE, .当四边形BCDE的面积最大时，△ABC的面积最大.如 图，过点B作BM⊥CE,过点D作DN⊥CE,则BM≤BG, DN≤DG. :四边形BCDE的面积=SARCE+S△DcE E1·CE·(BG+DG) C wD. 因边形BCD5的面积最大值=号CB·Bm 7 一