一 三角形中的辅助线模型-【真题分类卷】备战2026中考数学专题分类卷

CBQ=√0Q+0B2=人。n2+9】 5 162 /16 ,..n 2或3（舍去）， 161 V9n2+9 设直线PQ的表达式为y=kx+a(k≠0)， （_9k+a=0 3 4 解得 27 7 a-161 6=16 327 .直线PQ的表达式为y= 4+16 联立子3和y 解得百4或-（不合题张，合去）， 2 点P的坐标为 √23-46√23+3 2，16 ②当△ABQ∽△QBW时，过点Q作QH⊥AB于点H,如图2. △ABQ∽△QBN, B .∴.∠ABQ=∠QBN,∠BAQ=∠BQN. .OQ⊥B0,QH⊥AB, .∴.∠BHQ=∠B0Q=90°，QH=Q0. BQ=BQ,∴.Rt△BHQ≌Rt△BOQ(HL), .BH=OB=3,..AH=AB-BH=2. 图2 设0Q=q,则AQ=4-q,QH=q, 2+=(4g)2,解得g=子Q,0） 3 :∠BQ0=∠BQN+∠OQN=∠BAQ+∠ABQ,∠BAQ= ∠BQN,∠ABQ=∠QBN, ∴.∠OQN=∠QBN. .'∠Q0N=∠B0Q=90°， .0N0Q :△00N∽△0B0,OQOB J n2 3 2 同混，得直线P四的解析式为y=之+子 联立= 1.3 -4+3和y=2+4, 解得x=1+2或1-丽（不合题意，舍去）， 6 6 点P的坐标为 -11+√229√229-2 6 -,12 综上，点P的整标为（图46）成"。 √229-2 12 6.解：（1)抛物线y=x2+bx+c经过点A(-1,0)和点 C(0,-4), 1-b+c=0,.b=-3, 1c=-4, {c=-4 抛物线的表达式为y=-34=(子)'-空 :顶点D的坐标为2,4 325 (2)存在：点A(-1,0),对称轴为直线x=之， 3 .点B(4,0). 84,0).D(侵，空）D长为定值 如图1，作点B关于原点的对称点B',则B(-4,0),连接 B'D交y轴于点M, B D 图1 则B'M=BM, .DM+BM=DM+B'M=DB',此时△BDM的周长最小 (-4k+n=0, 设直线DB'的表达式为y=kx+n(k≠0)，则3， 4 25 解得 k=22 50 n=-11' :直线DB'的表达式为y=21i 2550 令x=0,则y=-50 11 ÷点M的坐标为0,9)） (3)以AP为边在AP的下方作等边三角 形APQ,作QH⊥x轴于点H,连接PE, QF,BQ,如图2. .:△AEF,△APQ为等边三角形 图2 .AE=AF,LPAE=6O°-∠PAF=∠QAF,AP=AQ=4, △PAE≌△QAF(SAS),AH=2AP=2 ∴.QF=PE=1,QH=√AQ2-A=23. 0H=AH-A0=1,Q(1,-2W3), ∴点F在以Q(1,-23)为圆心，1为半径的⊙Q上， BQ=√(4-1)2+(-23)2=√21. 当点F在线段BQ上时，BF有最小值为√2I-1, 当点F在射线BQ上时，BF有最大值为√2I+1, .BF的取值范围为√2I-1≤BF≤√2I+1. 第三部分常考模型强化练 一 三角形中的辅助线模型 1.（1)证明：在△ABE和△CBD中， ,·AB=BC,∠ABE=∠CBD,BE=BD, .∴△ABE≌△CBD(SAS), .AE=CD,∠FAB=∠BCD F是Rt△ABE斜边AE的中点， ..AE=2BF,..CD=2BF. BF=2 AE=AF,.LFAB=LFBA, .∴.∠FBA=∠BCD .·∠FBA+∠FBC=90°、 ∴.∠FBC+∠BCD=90°，∴.CD⊥BF (2)①解：BF⊥CD[提示]如图1，延长BF到点G,使FG= BF,连接AG,延长EB到点M,使BE=BM,连接AM并延长交 CD于点N. 易得△AGB≌△BDC. ∴.∠ABG=∠BCD ·F是AE的中点，B是EM的中点， .BF是△AEM的中位线， ∴.BF∥AN, ∴.∠ABG=∠BAN=∠BCD .∴.∠ANC=∠ABC=90°， 图 .∴.AN⊥CD. .'BF∥AN,∴.BF⊥CD ②证明：延长BF到点G,使FG=BF,连接AG,如图2. ·AF=EF,∠AFG=∠EFB,FG=BF, .△AGF≌△EBF(SAS), ∴∠FAG=∠FEB,AG=BE. .AG∥BE, .∠GAB+∠ABE=180° .·∠ABC=∠EBD=90°， .∠ABE+∠DBC=180°， ∴.∠GAB=∠DBC. BE=BD,..AG=BD. 在△AGB和△BDC中， .·AG=BD,∠GAB=∠DBC,AB=BC, 图2 .∴.△AGB≌△BDC(SAS),.BG=CD. .·BG=2BF,∴.CD=2BF. 253(0写(22 4.5 5.(1)证明：.AB∥CD. ∴.∠ABF=∠CDE. .·AF⊥AB,CE⊥CD ∴.∠BAF=∠DCE=90°. .·BE=EF=FD, .BE+EF=FD+EF,即BF=DE 在△ABF和△CDE中， (LBAF-=∠DCE=90°， ∠ABF=∠CDE. BF=DE. ·.△ABF≌△CDE(AAS). (2)解：四边形AECF是菱形. 理由如下： 如图，连接AE,CF .·∠ABD=30°，AB∥CD ..∠CDB=∠ABD=30° .BE=EF,∠BAF=90°， AE是Rt△ABF斜边BF上 的中线， 1 AE=2 BF. 在Rt△ABF中，：∠ABD=30°， 5 、AF三1BF,·AE=AF=2BR 同理CE=CF=2DE, BF=DE...AE=AF=CE=CF. 又.·∠EAF≠90°， .四边形AECF是菱形 6.解：(1)三角形中位线定理 (2).AC=BD,∴.EF=FG, .中点四边形EFGH是菱形. (3)矩形 (4)设AC与EH交于N,BD与EF交于M,如图1. 图1 :EH,EF分别是△ABD和△ABC的中位线， .EH∥BD,EF∥AC, .四边形EMON是平行四边形 又.AC⊥BD,.∠MON=90°， .∠MEN=∠MOW=90°. :中点四边形EFGH是平行四边形， :.中点四边形EFGH是矩形. (5)AC⊥BD且AC=BD正方形 画图如图2. H B 0 图2 7.C8.A9.66.5° 10.解：(1)AD-BD=CD[提示]CA=CB,∠ACB=60, .△ABC为等边三角形， .∠BAC=60°. :AD为⊙0的直径，⊙0是△ABC的外接圆， .∠ABD=∠ACD=90°，∠BAD=∠CAD= 2∠BAC=30°， CD=BD=2AD,.AD-BD=CD. (2)若LACB=60°，点C,D在AB同侧，则AD-BD与CD的 数量关系为AD-BD=CD.理由如下： 延长BD至点E使DE=CD,连接CE,如图1. .CA=CB,∠ACB=60° .△ABC为等边三角形， .·.∠BAC=∠ACB=∠ABC=60° 0 :四边形ABDC为圆的内接四边形， .∠CDE=∠BAC=60° DE=CD,△CDE为等边三角形， ∴.CE=CD,∠DCE=∠E=60°. 图1 ·.:∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+∠BCD. ∠BCE=∠BCD+∠DCE=6O°+∠BCD, ∴.∠ACD=∠BCE. ∠ADC=∠ABC=60°， .∴.∠ADC=∠E=60°. ∠ACD=∠BCE, 在△ACD和△BCE中，{CD=CE, N∠ADC=∠E, .△ACD≌△BCE(ASA), .'AD=BE ·.·BE=BD+DE=BD+CD. ∴.AD=BD+CD,∴.AD-BD=CD. (3)当点C,D在AB同侧时AD-BD=2CD·sin2; 1 当点C,D在AB两侧时，AD+BD=2CD·sin2. [提示]①当点C,D在AB同侧时， 延长BD至点E,连接CE,使CE=CD,过点C作CF⊥DE 于点F,如图2. .:CA=CB,∠ACB=a, ∠CAB=∠CBA=90°-20 :四边形ABDC为圆的内接四边形， ÷∠CDE=LBAC=90°-)a, 图2 CE=CD 1 ∴.∠CDE=∠E=90°- 2a,∠DCE=a .CF⊥DE, .∴.∠DCF=∠ECF= 2a,DF=EF=CD·si 1 2, 1 .DE=2DF=2CD·sin2a ·.∠ACD=∠ACB+∠BCD=a+∠BCD,∠BCE=∠BCD+ ∠DCE=a+∠BCD. .∠ACD=∠BCE. 1 .∠ADC=∠ABC=90°- 2g, .∠ADC=∠E. 在△ACD和△BCE中， ∠ACD=∠BCE, CD=CE, ∠ADC=∠E ∴.△ACD≌△BCE(ASA), ∴.AD=BE BE=BD+DE=BD+2CD·sin 1 2, AD-BD=2CD·sin2 ②当点C,D在AB两侧时， 延长DB至点E,使BE=AD,连接CE,过点C作CF⊥DE于 点F,如图3. .·CA=CB,∠ACB=a, ∠CAB=LCBA=90°-2a 1 .四边形ADBC为圆的内接四边形 ∴.∠CBE=∠DAC. 在△CAD和△CBE中， 图3 5 CA=CB, ∠CAD=∠CBE AD=BE, .△CAD≌△CBE(SAS), .CD=CE,∠ADC=∠E,∠ACD=∠BCE. ∠ADC=LABC=90-2a ∠E=9001 e, ÷∠CDE=90°-，Q :∠ACB=LACD+LBCD,∠DCE=∠BCE+∠BCD, ·∠DCE=LACB=a. .CF⊥DE,CE=CD. L DCF-LECF-,DF=EF=CD.sin 2 1 DE=CD·sin2a, 1 DE=2CD·sin2“ DE=BD+BE=AD+BD AD+BD=2CD·sin2 综上，当点C,D在AB同侧时，AD-BD=2CD·si血2； 1 当点C,D在AB两侧时，AD+BD=2CD·sin2m 二全等、相似模型 1.D2.D3.B4.20 5.证明：AC∥BD,.∠A=∠B,∠C=∠D. 在△AOC与△BOD中， ∠C=∠D,∠A=∠B,OA=OB, .△AOC≌△B0D(AAS),∴.AC=BD. 6.解：(1)设BM=x,则ME=10-x. .·四边形ABCD,EFGH是正方形 ∴，∠ABC=∠CBM=90°，∠HEF=∠MEH=90°，AB=BC=2, EH=EF=12. ∴.∠CBM=∠MEH=90°，∠BCM+∠CMB=90°. .·∠PMN=90°，∴.∠EMH+∠CMB=90°， .∴.∠BCM=∠EMH,∴.△BCM∽△EMH, BC_B,即，2=，则X2-10x+24=0, ·.wE明310-2， 解得x=6或x=4, .BM=6或BM=4,即点M与点B之间的距离为6或4. (2)设BM=x,则ME=10-x. 四边形ABCD,EFGH是正方形， .∠ABC=∠CBM=90°，∠HEF=∠MEH=90°，AB=BC=2, .∴.∠CBM=∠MEH=90°，∠BCM+∠CMB=90°. .:∠PMN=90°，∴.∠EMH+∠CMB=90°， ∴.∠BCM=∠EMH,∴.△BCM∽△EMH, BC BM 服=245=子e-4125 2<0,0<x<10, .当BM=5时，HE有最大值，最大值为12.5. 2第三部分 常考模型强化练 三角形中的辅助线模型 模型一中点模型 类型①倍长中线 1.(2024·泰安)如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB, 点D,E分别在AB,CB上，DB=EB,连接AE,CD,取AE中点F,连 接BF. (1)求证：CD=2BF,CD⊥BF. (2)将△DBE绕点B顺时针旋转到图2的位置. ①请直接写出BF与CD的位置关系： ②求证：CD=2BF, D 图1 图2 类型②中位线 2.（2025·内江)如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=A E长 6,点E,F分别是边AD,CD上的动点，连接BE, EF,点G为BE的中点，点H为EF的中点，连接D广 GH,则GH的最大值是 3.（2025·广安)已知△ABC的面积是1. (1)如图1，若D,E分别是边BC和AC的中点，AD与BE相交于 点F,则四边形CDFE的面积为 (2)如图2，若M,N分别是边BC和AC上距离C点最近的6等分 点，AM与BN相交于点G,则四边形CMGN的面积为 图1 图2 类型③直角三角形斜边中线 4.（2025·凉山州)如图，四边形ABCD是菱形， 对角线AC,BD相交于点O,E是边CD的中 B 点，过点E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点 G,若AC=12,BD=16,则FG的长为 5.（2025·遂宁)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,点E,F在对角 线BD上，BE=EF=FD,且AF⊥AB,CE⊥CD. (1)求证：△ABF≌△CDE. (2)连接AE,CF,若∠ABD=30°，请判断四边形AECF的形状，并 说明理由. 类型④中点四边形 6.（2024·青海)综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个 新四边形为原四边形的中点四边形.数学兴趣小组通过作图、测 量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性 作用. 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究. 【探究一】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 图1 如图1，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是各边的中点. 求证：中点四边形EFGH是平行四边形 证明：E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点， .EF,GH分别是△ABC和△ACD的中位线， EF=AC,GH=AC(① 1 2 ∴.EF=GH. 同理可得：EH=FG .中点四边形EFGH是平行四边形 结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形 (1)请你补全上述过程中的证明依据① 【探究二】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 AC=BD 菱形 图2 从作图、测量结果得出猜想I:原四边形的对角线相等时，中点四 边形是菱形 (2)下面我们结合图2来证明猜想I,请你在探究一证明结论的 基础上，写出后续的证明过程 【探究三】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 ② 图3 AC⊥BD (3)从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点 四边形是② (4)下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的 基础上，写出后续的证明过程 【归纳总结】 (5)请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对 应的图形 原四边形对角线关系 中点四边形形状 ③ ④ 图4 结论：原四边形对角线③ 时，中点四边形是④ 模型二角平分线模型 7.（绵阳中考)如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线BE,CD 相交于点F,∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC的度数为（) A.118° B.119° C.120° D.121° 8.(2025·连云港)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，AD 平分∠CAB,BE1AD,E为垂足，则D的值为 BE B A.23 B.76 3 D.83 3 9.（常德中考)如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和 ∠ACF的平分线交于点E,则∠AEC= D 模型三截长补短模型 10.(2024·扬州)在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方 法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况， 证明结论， 如图，已知△ABC,CA=CB,⊙O是△ABC的外接圆，点D在⊙O 上(AD>BD),连接AD,BD,CD. 【特殊化感知】 (1)如图1，若∠ACB=60°，点D在A0延长线上，则AD-BD与 CD的数量关系为 【一般化探究】 (2)如图2，若∠ACB=60°，点C,D在AB同侧，判断AD-BD与 CD的数量关系，并说明理由. 【拓展性延伸】 (3)若∠ACB=a,直接写出AD,BD,CD满足的数量关系.（用含 a的式子表示) 0 "0 0 0 图1 图2 备用图1 备用图2