题型八 二次函数与几何图形综合-【真题分类卷】备战2026中考数学专题分类卷

题型八二次函数与几何图形综合 类型一二次函数与角度问题 1(2025·南充)抛物线Y=a+2ax-5a≠0)与x轴交于4飞 0),B两点，N是抛物线顶点 (1)求抛物线的解析式及点B的坐标. (2)如图1，抛物线上两点P(m,y1),Q(m+2,y2),若PQ∥BN,求 m的值. (3)如图2，点M(-1,-5),如果不垂直于y轴的直线1与抛物线 交于点G,H,满足∠GMN=∠HMN.探究直线l是否过定点？若直 线过定点，求定点坐标；若不过定点，请说明理由， 图1 图2 类型二二次函数与图形周长、面积问题 2.（2025·自贡)如图，在△ABC中，D,E分别是AC,AB的中点，连 接DE,CE,BD交于点G (1)若RDLCE,BD=1,CB=,则四边形BCDE的面积为 (2)若BD+CB=,△ABC的最大面积为8设BD=,求S与之 间的函数关系式，并求S的最大值 (3)若(2)问中x取任意实数，将函数S的图象依次向右、向上平 移1个单位长度，得到函数y的图象.直线y=k,x-k,交该图象于 点F,H(F点在H点左边)，过点H的直线l:y=k2x+b交该图象于 另一点Q,过点F,Q的直线与直线x=1交于点K.若S△HK= S△0，试问直线1是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过 定点，请说明理由. 备用图 类型三二次函数与特殊三角形存在性问题 3(2024·泰安)如图，抛物线C1:y=a+号-4经过点D1,-1), 与x轴交于点A,点B. (1)求抛物线C,的表达式 (2)将抛物线C1向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长 度得到抛物线C2,求抛物线C2的表达式，并判断点D是否在抛 物线C2上 (3)在x轴上方的抛物线C2上，是否存在点P,使△PBD是等腰 直角三角形.若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 02 04 备用图 77 类型四二次函数与特殊四边形存在性问题 4.(2025·广安)如图，二次函数y=子+6c+c(6,c为常数)的图象 交x轴于A,B两点，交y轴于点C,已知点B的坐标为(9,0)，点 C的坐标为(0，-3)，连接AC,BC. (1)求抛物线的解析式 (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接PC,当∠PCB=∠OBC 时，求点P的坐标 (3)将抛物线沿射线CA的方向平移2√10个单位长度后得到新 抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若 以点B,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E 的坐标 备用图 78 类型五二次函数与三角形全等、相似问题 3 5.(2023·资阳)如图，直线y=子+3与x轴、y轴分别交于A,B两 点，抛物线y=子+bcc经过A,B两点 (1)求抛物线的表达式. (2)点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直 线AB交于点C,求DC的长的最大值 (3)点Q是线段A0上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点， 连接PQ交y轴于点N.是否存在点P,使△ABQ与△BQN相似，若 存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. B 备用图 类型六二次函数与圆的综合问题 6.（2024·宜宾)如图，抛物线y=x+bx+c与x轴交于点A(-1,0) 和点B,与y轴交于点C(0,-4),其顶点为D. (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标. (2)在y轴上是否存在一点M,使得△BDM的周长最小.若存在， 求出点M的坐标；若不存在，请说明理由， (3)若点E在以点P(3,0)为圆心，1为半径的⊙P上，连接AE, 以AE为边在AE的下方作等边三角形AEF,连接BF.求BF的取 值范围. B D∴.LAEH+LHAE=LAEH+∠FEG=90°， ∴.∠HAE=∠FEG. AE=AF, ·.△HAE≌△GEF(AAS), ∴.HE=FG ·在正方形ABCD中，∠BDC=45°， H E .∴.∠FDG=∠BDC=45°， .∴.∠DFG=45° .△DFG是等腰直角三角形， 图2 六FG=5DF,HB=fG=5R 21 2 :∠ADB=45°，AH1HD, :△ADH是等腰直角三角形，.HD=)AD DE-HD-HE-AD 2 2 BD-BE-DE-2AD 2 .BD=2AD, ..2AD-BE= 2 √2 AD=√2BE-DF. 题型八二次函数与几何图形综合 1 1解：1)把A3.0)代人y=ax2+2ax,得a= 12.115 “抛物线的解析式为y=4+ 2x-4, 令y0好分50， 解得x1=-5,x2=3, ∴.B(-5,0). (2+了5子1-4N是猫物线顶点 1 .N(-1,-4). 设直线BN的解析式为y=kx+b(k,≠0). B(-5,0),N(-1,-4), {仁56+6，=0解得=- (-k,+b,=-4, (b1=-5, .直线BW的解析式为y=-x-5. PO//BN, .可设直线PQ的解析式为y=-x+n. 115 +24 +2m-4 oa+2,a+2+a2)-》. 1 1 115 4m 2 m- s-m+n且 5 4 (m+2)2+ 2(m+2)- 4 -(m+2)+n, 解得m=-4. (3)直线1过定点 设直线l的解析式为y=x+b(k≠0)，直线1与抛物线相交 于点G(x3y3),Hx4,y4). .115 联立y +24 y=kx+b, 4 .x2+(2-4k)x-15-46=0, △>0，x3+x4=4k-2,x3x4=-15-4h. 如图，作CC⊥MW,HD⊥MN,则CC=-1-x3,MC=y3+5,HD= x4+1,MD=y4+5. .·∠GMN=∠HMN 0 A .∴.tan∠GMN=tan∠HMN, 即GCHD H MC MD' ，-1-x3_x4+1 y3+5y4+5 .(x3+1)(y4+5)+(x4+1)(y3+5)=0, .(x3+1)(hx4+b+5)+(x4+1)(kx3+b+5)=0, .2kx3x4+(k+b+5)(x3+x4)+2b+10=0, .∴2k(-15-4b)+(k+b+5)(4k-2)+2b+10=0, ∴.-4h(b-k+3)=0. :直线l不垂直于y轴 .∴.k≠0，∴.b-k+3=0,∴.b=k-3, .直线l的解析式为y=k(x+1)-3. :无论k为何值，当x=-1时，y=-3恒成立， .1过定点T(-1,-3), 2解：(}[提示]：BD1CE,BD=1,CE= 1 .四边形BCDE的面积=SABCE+SADCE =号·®：B6号·cBG =2·CE·(BG+DG) (2):△ABC中，D,E分别是AC,AB的中点， .DE是△ABC的中位线， ÷DE/BC,DE=BC, .△ADE∽△ACB, DE)21 .SAADE SAANC=BC) 二4’ 1 SAADE= 4 SAABG, 3 .S四边形DCBE=4 SAABC, 4 SAANG=3S四边形0CE, .当四边形BCDE的面积最大时，△ABC的面积最大.如 图，过点B作BM⊥CE,过点D作DN⊥CE,则BM≤BG, DN≤DG. :四边形BCDE的面积=SARCE+S△DcE E1·CE·(BG+DG) C wD. 因边形BCD5的面积最大值=号CB·Bm 7 一 BD+CE=3 ,D=xCE= 3 2, 号0.03 3 当=产时，5最大为 8 (3)直线1是过定点. 2),知5=子3)3 3x4)+8 设xp=m,xH=n. :直线)6交适数=号+了号的图于点 H(F点在H点左边)， 令6子好子 2x2+(3k1-7)x-3k+2=0, 7-3k12-3k1 根据根与系数的关系，得m+n= 2,mn= 2 5 .∴.m+n-mn= 2 S△H那x=S△0，.K为F,Q的中点. 过点F,Q的直线与直线x=1交于点K, .xx=1,.x0=2-m, 2 72 n,32+3n-3) 60.2， *。tg3(n-m)+1, 直线l:y-ya=k2(x-xn), T3-3 5 m+n-mn= 2 mm=-子(mw)+ 2 2 3’ 2 =-子(n-m)(x-1)+x+l .'n-m≠0， .当x-1=0,即x=1时，y=1+1=2, .直线l过定点(1,2). 3.解：(1)将点D的坐标代入抛物线C,的表达式， 得-1=a+子4，解得a, 3’ 小批物投G的表达式为)=+号4 4 (2)由题意，得C2:y= -1+(-10-43= ('8 当=1时y(}°g()8-山. 故点D在抛物线C2上. (3)存在在y弓+亭4中，令=0得，号+号 4 5 4=0, 解得x1=-2,2=5, 6 B(-2,0,4(g0） ①当∠BDP为直角时，如图1，过点D作DE⊥BD且 DE=BD,过点D作x轴的平行线GH,过点B作BG⊥GH于 点G,过点E作EH⊥GH于点H,连接BE,则△BDE为等腰 直角三角形. .∠BDG+∠EDH=90°，∠EDH+∠DEH=90°， .∴.∠BDG=∠DEH. .∠DGB=∠EHD=9O°，BD=DE, .∴.△DGB≌△EHD(AAS), ∴.DH=BG=1,EH=GD=1+2=3,则点E(2,2). 当=2时（广8(）广g2 ∴.点E在抛物线C2上，∴点P即为点E(2,2); GS伊 B世 ☒A H D D 1 7 图1 图2 图3 ②当∠DBP为直角时，如图2， 同理，得△BGE≌△DHB(AAS),则DH=3=BG,BH=1=GE, 则点E(-1,3) 当-1时，y=(-}吕(1子广 1 153, ·点E在抛物线C2上，∴点P即为点E(-1,3)； ③当∠BPD为直角时，如图3. 设点E(x,y),同理，可得△EHB≌△DGE(AAS), 则EH=x+2=GD=y+1且BH=y=GE=1-x, 解得x=0且y=1,即点E(0,1). 当=0时3()厂(0)广81. .点E不在抛物线C2上 综上，点P的坐标为(2,2)或(-1,3). 4解：(1)把B(9.0),(0,-3)代入到y=号+c+c中， x92+9bt+c=0,: 8 得3 b=- 3 c=-3, c=-3, 范物线的解折式为)了--3 8 (2)如图1所示，当点P在BC下方时， ∠PCB=∠OBC,.PC∥OB, ·点P与点C关于抛物线对称轴对称， 8 抛物线对称轴为直线x=- 3 1 23 图1 4,C(0,-3), .点P的坐标为(8，-3) 如图2所示，当点P在BC上方时，设直线PC交x轴于 点H. .'∠PCB=∠OBC .CH=BH,C=B㎡. 设H(m,0), ∴.(0-m)2+(-3-0)2=(9-m)2, H 解得m=4, A B .H(4,0) 设直线PC的解析式为y=k1x+b1(k1≠ 图2 0), 3 4+b1=0, (61=-3, b1=-3, 3 直线PC的解析式为y=4x-3。 3 4t3, Y= 联立 -12.8 =33x-3, 41 x= 4 解得 或{=0，（舍去）， 75 (y=-3 y=16 ·点P的垒标为骨得) 综上所述点P的坐标为(8，-3)或(：召) (3)点E的垒标为(-5,14)或(13,38)或5，号) [提示]由(2)，可得原抛物线对称轴为直线x=4, 点F的横坐标为4. B(9,0), 由对称性，可得A(-1,0), ∴.0A=1. C(0,-3),.0C=3, .AC=√0A+0C=√/10. 将抛物线沿射线CA的方向平移2√0个单位长度后得 到新抛物线， .将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个单位 长度得到新抛物线， 新抛物线的解析式为y=号(x+2)2-号(x+2)-3+6 当BE为对角线时， ·平行四边形对角线互相平分， ∴.BE,CF的中点坐标相同， s+90+4 22心g=-5, 4 =(-5)2-子×(-5)-1=14. .此时点E的坐标为(-5,14). 当BF为对角线时， 平行四边形对角线互相平分， .BF,CE的中点坐标相同， xe+09+4 2=2g=13, =×13子13-1=8， 3 .此时点E的坐标为(13,38). 当BC为对角线时， ·平行四边形对角线互相平分， ·BC,EF的中点坐标相同， xE+49+0 22xe=5, 1 2 x5-1=3 3 此时点E的坐标为，)】 综上所述，点B的坐标为(-5,4)或(13,38)或，号）】 3 5解：(1)：直线y=x+3与x轴、y轴分别交于A,B两点， .A(-4,0),B(0,3) :抛物线yt2+bx+c经过A,B两点 -12-46+c=0,解得 9 b=- c=3, 4, c=3, .抛物线的表达式为y= 329 4* 3 (2设m,-+3） :作DC:轴，与直线AB交于点C, 、点C的纵坐标为-4m 329 4m+3, 4+3= m29 3 m+3,解得x=-m2-3m, 4 4 dm-3n,-a), .DC=-m2-3m-m=-m2-4m=-(m+2)2+4. .-1<0,-4<m<0, .当m=-2时，DC的长最大，最大值为4. (3)存在.设N(0,n). .A(-4,0),B(0,3),.0A=4,0B=3, .AB=√32+4=5. △ABQ与△BQN相似，分两种情况： ①当△ABQ△BQN时，如图1. .·△ABQ∽△BQN, ∠=∠ov0-器 ..PO∥AB,.△OON∽△OAB. ON_00 ON.n 0Q_QN 六0B0M4B34=5, 图 ON- 4. 3, 9 CBQ=√0Q+0B2=人。n2+9】 5 162 /16 ,..n 2或3（舍去）， 161 V9n2+9 设直线PQ的表达式为y=kx+a(k≠0)， （_9k+a=0 3 4 解得 27 7 a-161 6=16 327 .直线PQ的表达式为y= 4+16 联立子3和y 解得百4或-（不合题张，合去）， 2 点P的坐标为 √23-46√23+3 2，16 ②当△ABQ∽△QBW时，过点Q作QH⊥AB于点H,如图2. △ABQ∽△QBN, B .∴.∠ABQ=∠QBN,∠BAQ=∠BQN. .OQ⊥B0,QH⊥AB, .∴.∠BHQ=∠B0Q=90°，QH=Q0. BQ=BQ,∴.Rt△BHQ≌Rt△BOQ(HL), .BH=OB=3,..AH=AB-BH=2. 图2 设0Q=q,则AQ=4-q,QH=q, 2+=(4g)2,解得g=子Q,0） 3 :∠BQ0=∠BQN+∠OQN=∠BAQ+∠ABQ,∠BAQ= ∠BQN,∠ABQ=∠QBN, ∴.∠OQN=∠QBN. .'∠Q0N=∠B0Q=90°， .0N0Q :△00N∽△0B0,OQOB J n2 3 2 同混，得直线P四的解析式为y=之+子 联立= 1.3 -4+3和y=2+4, 解得x=1+2或1-丽（不合题意，舍去）， 6 6 点P的坐标为 -11+√229√229-2 6 -,12 综上，点P的整标为（图46）成"。 √229-2 12 6.解：（1)抛物线y=x2+bx+c经过点A(-1,0)和点 C(0,-4), 1-b+c=0,.b=-3, 1c=-4, {c=-4 抛物线的表达式为y=-34=(子)'-空 :顶点D的坐标为2,4 325 (2)存在：点A(-1,0),对称轴为直线x=之， 3 .点B(4,0). 84,0).D(侵，空）D长为定值 如图1，作点B关于原点的对称点B',则B(-4,0),连接 B'D交y轴于点M, B D 图1 则B'M=BM, .DM+BM=DM+B'M=DB',此时△BDM的周长最小 (-4k+n=0, 设直线DB'的表达式为y=kx+n(k≠0)，则3， 4 25 解得 k=22 50 n=-11' :直线DB'的表达式为y=21i 2550 令x=0,则y=-50 11 ÷点M的坐标为0,9)） (3)以AP为边在AP的下方作等边三角 形APQ,作QH⊥x轴于点H,连接PE, QF,BQ,如图2. .:△AEF,△APQ为等边三角形 图2 .AE=AF,LPAE=6O°-∠PAF=∠QAF,AP=AQ=4, △PAE≌△QAF(SAS),AH=2AP=2 ∴.QF=PE=1,QH=√AQ2-A=23. 0H=AH-A0=1,Q(1,-2W3), ∴点F在以Q(1,-23)为圆心，1为半径的⊙Q上， BQ=√(4-1)2+(-23)2=√21. 当点F在线段BQ上时，BF有最小值为√2I-1, 当点F在射线BQ上时，BF有最大值为√2I+1, .BF的取值范围为√2I-1≤BF≤√2I+1. 第三部分常考模型强化练 一 三角形中的辅助线模型 1.（1)证明：在△ABE和△CBD中， ,·AB=BC,∠ABE=∠CBD,BE=BD, .∴△ABE≌△CBD(SAS), .AE=CD,∠FAB=∠BCD