题型五 二次函数性质综合题-【真题分类卷】备战2026中考数学专题分类卷

题型五二次函数性质综合题 类型一 纯性质综合 1.（2025·安徽)已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点(4,0). (1)求该抛物线的对称轴， (2)点A(x1,y)和B(x2,y2)分别在抛物线y=ax2+bx和y=x2-2x上 (A,B与原点都不重合). (若a=号，且名=比较与：的大小 (i)当”时，若是一个与x无关的定值，求a与6的值 y1 x1 X1 2.（2025·山东)已知二次函数y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b),其 中a,b为两个不相等的实数. (1)当a=0,b=3时，求此函数图象的对称轴 (2)当b=2a时，若该函数在0≤x≤1时，y随x的增大而减小； 在3≤x≤4时，y随x的增大而增大，求a的取值范围 (3)若点4a,7,B2小.c6,)均在该函数的图象上，是否 存在常数m,使得y1+my2+y3=0?若存在，求出m的值；若不存 在，说明理由， 3.(2025·浙江)已知抛物线y=x2-ax+5(a为常数)经过点(1,0). (1)求a的值. (2)过点A(0,t)与x轴平行的直线交抛物线于B,C两点，且点B 为线段AC的中点，求t的值. (3)设m<3<n,抛物线的一段y=x2-ax+5(m≤x≤n)夹在两条均 与x轴平行的直线1,2之间.若直线l1,l2之间的距离为16，求 n-m的最大值 4.（2025·福建)在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx-2的图 象过点A(1,t),B(2,t). (1)求的值 3 (2)已知二次函数y=ax+bx-2的最大值为14a2 ()求该二次函数的表达式 (ii)若M(x1,m),N(x2,m)为该二次函数图象上的不同两点，且 m0,求证，（-1)22 mx1-2 5.(2025·辽宁)如图，在平面直角坐标系x0y中，二次函数y1= (x-12+1的图象与x轴的正半轴相交于点A,二次函数⅓ ax2+c的图象经过点A,且与二次函数y1的图象的另一个交点为 B,点B的横坐标为了 (1)求点A的坐标及a,c的值 (2)直线x=m与二次函数y1,y2的图象分别相交于点C,D,与直 线B相交于点B,当了<m<3时， ①求证：DE=2CE. ②当四边形ACBD的一组对边平行时，请直接写出m的值， (3)二次函数=x-1)2+1了≤<3到与二次函数=am2+c (x≥3)组成新函数，当-了≤x≤1-n时，函数⅓的最小值为 )最大值为求的取位范国 71 类型二交点问题 6.(2025·南充)已知某函数图象关于y轴对称，当0≤x≤2时，y= x2-2x;当x>2时，y=2x-4.若直线y=x+b与这个函数图象有且仅 有四个不同交点，则实数b的范围是 () A寸0 B、9 C,-4≤bs0 D.b≤-或b0 7.(2025·长春)在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，抛物线 y=x2+bx经过点(3,3)，点A,B是该抛物线上的两点，横坐标分别 为m,m+1,已知点M(1,1),作点A关于点M的对称点C,作点B 关于点M的对称点D,构造四边形ABCD. (1)求该抛物线所对应的函数表达式. (2)当A,B两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点C的坐标. (3)设抛物线在A,B两点之间的部分（含A,B两点）为图象G,当 0<m<1时，若图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为2，求m 的值， (4)连接OA,OB,当∠AOB=∠OAD+∠OBC时，直接写出m的取 值范围.（这里∠AOB,∠OAD,∠OBC均是大于0°且小于180°的 角) 72 8.(2025·宜宾)如图，0是坐标原点，已知抛物线y=-x2+bx+c与 x轴交于A,B两点，与y轴交于C点，其中A(3,0),C(0,3): (1)求b,c的值 (2)点D为抛物线上第一象限内一点，连接BD,与直线AC交于 点E,若DE:BE=1:2,求点D的坐标 (3)若F为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为P(m,n) (m>1),若P又在原抛物线上，新抛物线与直线x=1交于点N, 连接FP,PN,∠FPN=120°.探究新抛物线与x轴是否存在两个 不同的交点.若存在，求出这两个交点之间的距离：若不存在，请 说明理由 y F B 备用图 类型三整点问题 9.（2024·湖北)在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+3与x轴 交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C. (1)求b的值 (2)如图，M是第一象限抛物线上的点，∠MAB=∠AC0,求点M 的横坐标 (3)将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为L,L与 y轴交于点N,设L的顶点横坐标为n,NC的长为d. ①求d关于n的函数解析式. ②L与x轴围成的区域记为U,U与△ABC内部重合的区域（不含 边界)记为W,当d随n的增大而增大，且W内恰好有两个横、纵 坐标均为整数的点时，直接写出n的取值范围. B 40 备用图(3):四边形MNP0是正方形，M(2,,N1,1), 分》，》 如图所示 IM N 2-101234x -1h :抛物线开口向下，∴.a<0. Ia越小开口越大，lal越大开口越小，点F在(3,0)和(4， 0)之间（包括这两点） ∴由图象可得，当抛物线顶点为点M,且经过点(4,0)时，开 口最大，此时a最大， 6的表达式为=)1， 将(4,0)代入，得0=a4）+1,解得a=每 2 4 由图象可得，当抛物线顶点为点P,且经过点(3,0)时，开口 最小，此时a最小， 3 C1的表达式为y=a(x-1)2+ 21 将(3,0)代人得0=a3-1户+2解得a= 8 0的取值范围为。≤≤有 4 6.解：(1)当p=100时，95<100,130>100， .甲的报告成绩为y= 80x95 100 =76(分)， 乙的报告成绩为y-20x(130-100)+80=92(分). 150-100 20(x两p）+80=92, (2）:92>80,x有>p,当y=92时，150-p 解得x网=90+2 . 4 64<80心x灯<印，∴当y=64时，。=64，解得xT=了P, ·两xT=40,90+2-4 5P-5p=40,解得p=125. (3)①中位数为130[提示]共计100名员工，且成绩已经 排列好， 中位数是第50,51名员工成绩的平均数， 由表格得第50,51名员工成绩都是130分， .中位数为130 ②该公司此次测试的合格率为95% [提示]~90>80,90=20(130-p）+80,解得p=110, 150-p 经检验p=110是原方程的解且符合题意 由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为100-(1+ 2+2)=95, .该公司此次测试的合格率为00×100%=95% 题型五二次函数性质综合题 1.解：(1)将(4,0)代入y=ax2+bx,得16a+4b=0,即b=-4a, 名2 故该抛物线的对称轴是直线x=2. 3 (2②()由(1)可知，当a=时，抛物线的解析式为y=ar+ 12 b=2-2x,=2号-2 1=2,y2=x号-2x2, =(-2)分-2） =(-24-(合-24)小2 :抛猫线y宁-2x过原点，且点A与原点不重合。 0,2>0,故>y1 (i)由题意，知y1=ax子-4ax1,y2=x号-2x2: ·,心a(-4) 两条抛物线均过原点，且A,B与原点都不重合， .x1≠0，x2≠0， a(-4）1,即=a(-4)+2, x2-2 x2_a(x1-4)+2,2-4a x1x1 依题意，知a+2-40是一个与：无关的定值 不妨将，=1和x=2分别代入a+2-4a,可得2-3a=1-a, x1 解得a=2 1 怒险验，肖时要宁是一个与与无关的定值，符价 2 题意， 六a=2,b=-4a=-2 2.解：(1)当a=0,b=3时，二次函数y=x(x-a)+(x-a)(x- b)+x(x-b)可化为y=x(x-0)+(x-0)(x-3)+x(x-3)= 3x2-6x, 此函数图象的对称轴为直线x三2X31 (2)当b=2a时，二次函数y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b) 可化为y=x(x-a)+(x-a)(x-2a)+x(x-2a)=3x2-6ax+ 2a2, 抛物线的对称销为直线×=2g口 3>0,.抛物线开口向上. :在0≤x≤1时，y随x的增大而减小， ∴.a≥1. :在3≤x≤4时，y随x的增大而增大， .a≤3，.1≤a≤3. (3)存在：点4(a,).a生，c6,)均在函数y= x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)=3x2-2(a+b)x+ab的图象上， ..y1=a(a-a)+(a-a)(a-b)+a(a-b)=a2-ab, =3x(a+h)2 4 -(a+b)2+ab 7 =-(a+b)2 +ab 4 24 +4 =- 24 =4(a2-2ab6) 1 =-4(a-b)2, y3=b(b-a)+(B-a)(b-b)+b(b-B)=62-ab. .y1+my2+y3=0, :.a-obtm-(a-b)]+-ab=0. 整理，得(a-b)21-4m=0, :a,b为两个不相等的实数， 六a-b≠0,1-4m=0,解得m=4 3.解：(1)把(1,0)代入y=x2-ax+5,得1-a+5=0, 解得a=6. (2)由(1)知二次函数的表达式为y=x2-6x+5, -6 六对称轴为直线x=2X3, 点A(0,t)在y轴上，过点A(0,t)与x轴平行的直线交抛 物线于B,C两点， ∴B,C关于对称轴对称，B,C的纵坐标均为t 又：点B为线段AC的中点， xatxc3 6=220=2-3,=2 将x=2代人y=x2-6x+5,得y=22-6×2+5=-3,∴.t=-3. (3)y=x2-6x+5=(x-3)2-4, ∴抛物线的顶点坐标为(3，-4) 当m<3<n,抛物线的一段y=x2-ax+5(m≤x≤n)夹在两条 均与x轴平行的直线l1,l2之间时， 要使n-m最大，则m,n为一条直线与抛物线的交点的横坐 标，∴.x=m和x=n关于对称轴对称 又：直线1,2之间的距离为16，为定值， .当一条直线恰好经过抛物线的顶点(3，-4)，即y=-4时， n-m最大，此时另一条直线的表达式为y=16-4=12,如图， 13 12 10 9 5 4 3 m 4-3-2-10245678910x -2 -3 =4 -2 -5 .令x2-6x+5=12,解得x1=7,x2=-1,即n=7,m=-1, n-m的最大值为7-(-1)=8. 3 4.(1)解：二次函数y=ax2+bx-2的图象的对称轴为直线 b x=-24 因为点A(1,t),B(2,t)在该函数的图象上， 所以 =-3. (2)(i)解：由(1)可得，b=-3a, 所以该函数的表达式为y=ax2-3ax-2, 所以隔数图象的膜点坐标为（合，？。-2小 因为函数的最大值为1- 所以a<0,且- 48-2=1 解得a=-1,或a=4(舍去). 所以该二次函数的表达式为y=-x2+3x-2. (i)证明：因为点M(x1,m)在函数y=-x2+3x-2的图象上， 所以m=-x子+3x1-2. 由()知，点M(m）,4(,m关于直线=对称。 所以x1+x2=3. 所以名-12-2_（-1)2(-2)-m(-2 mx1-2 m(x1-2) _（x-1)(x-2)(x1-1)-m(-2） m(x1-2) -_（好-3x,+2)(x-1)-m(,-2) m(x1-2) -m(x1-1)-m(x2-2) = m(x1-2) -m(x1+x2-3) = m(x1-2) =0, 所以-1)22-2 mx1-2 1 5(1)解：令4(x-1)2+1=0, 解得x1=-1,x2=3, A(3,0) 将=子代人=1P41,得万=5 1 716 B3,9 将43,0)，（了，）分别代入=，得 1 (9a+c=0, (ga+e=16解 49 a2' 9, 9 c=- 2 (2)①证明：如图1， 设直线AB的解析式为y=+b(k≠0)，由 (3k+b=0, 1 k= 条件可得{7 。16解得3’ 9 （b=-1, 图1 1 y=3-1, 1 ·点E的坐标为m,3m-1 1 a-2' 129 9h=2-2 c=2’ 将=m代人%得n分-a7-》 1 3 将x=m代入，得4m+)m+ 2 mt +4 17 m+4 6 ∴.DE=2CE. ②解：m的值为)或-司 5 [提示]如图2，连接AC,BC,BD,AD. 当AC∥DB时，则△BDE∽△ACE, 器2指片 AE lygl 1 1 即3n+1 6=3,解得m-】 图2 9 9 当AD∥BC时，则△ADE∽△BCE, E能-2By3' AE lysl 2 ·CEBE 1 即3m+1 3,解得m=5 2 6 9 9 大m的值为)或) (3)解：由条件可知y3= 当-子≤x≤1时，y随x的增大而增大； 当1<x<3时，y随x的增大而减小； 当≥3时，随x的增大面增大，且当=子时，%取得最 小值 :当了≤≤时，函数，的最小值为号最大值 “当=7时取得最小值为！5，即。5=6， 3 9t1 9 t 9 解得二3’ 5 当了≤≤n时，函数的最大值为骨1=1 7 -3 当=1时，(-12+1=1，解得=1 当=1时，分-号1，解得x=T或-T(含去)， .1≤t-n≤√i. 1s5 ≤，解得号T≤≤号 6.A 7.解：(1)将(3,3)代入y=x2+bx, ∴.9+3b=3,解得b=-2, ∴.该抛物线对应的函数表达式为y=x2-2x. (2)点A,B横坐标分别为m,m+1,点A,B在抛物线上， ∴.A(m,m2-2m),B(m+1,m2-1). y=x2-2x=(x-1)2-1,.对称轴为直线x=1. :A,B两点关于该抛物线的对称轴对称， 1 13\ m+m+1=2,解得m=2A2,4) :A,C关于点M(1,1)对称，C2,4 /311\ (3)由(2)知m=时，A,B关于对辅对称. :当0<m<2时，最高点纵坐标为m2-2m,最低点纵坐标 为-1， 21宁解释22或m2合去 当)≤m<1时，最高点纵坐标为m2-1,最低点纵坐标 为-1， m-11=分解得m子或m= 2(舍去). 综上所述的值为一平号 (④m的取值范周为？<m<4[提示]：A.C关于点M对 称，B,D关于点M对称，∴.MA=MC,MB=MD, .四边形ABCD是平行四边形，.ADBC. 过点O作直线EFBC,如图， .EF//AD. y .·∠AOB=∠OAD+∠OBC, ∴.∠OBC=∠BOF,∠OAD=∠FOA A(m,m2-2m),B(m+1,m2-1), .C(2-m,2-m2+2m),D(1-m,3-m2), .直线OA的解析式为y=(m-2)x, 直线OB的解析式为y=(m-1)x, 直线AD的解析式为 2mn-1t+m2-2mm(2m2-2m-3) 2m2-2m-3 2m-1 直线BC的解析式为 y=2m3-2m-3 2m-1 +m2-1-（m+1)(2m2-2m-3) 2m-1 当01与AD重合时，2m2-2m-3 5 2m-1=m-2,解得m=3, 当0B与BC重合时，2m-2m-3=m-1,解得m=4, 2m-1 当∠A0B=L0MD+∠0BC时，<m<4 9 8.解：(1)依题意，分别把A(3,0),C(0,3)代入y=-x2+bx+c, 得0怎-9+36+e,解得6=2， 3=c, c=3. (2)由(1)，得b=2,c=3, 则y=-x2+2x+3,C(0,3). 令y=0,则0=-x2+2x+3=(-x+3)(x+1), .x1=3,x2=-1, 故B(-1,0),A(3,0). 分别过点E,D作EN⊥OA,DM⊥OA,如图1所示. ·.EN⊥OA,DM⊥OA. y ∴.∠ENB=∠DMB=90° CY .'∠DBM=∠EBN,∴.△DMB∽△ENB, DM BD ·ENBE B DE:BE=1:2,DB:BE=3:2, DM 3 ·EN2 图1 设点E的纵坐标为2m,则点D的纵坐标为3m, 设AC的解析式为y=kx+r(k≠0)， .C(0,3),A(3,0), 3=,解得3， ·0=3k+r (k=-1, ∴AC的解析式为y=-x+3. 把y=2m代入y=-x+3,得2m=-x+3, ∴.x=3-2m,∴.E(3-2m,2m). 设BE的解析式为y=x+q(t≠0)， 把E(3-2m,2m),B(-1,0)分别代人y=tx+q, m t= 得2m=(3-2m)+9,解得 2-m 0=-t+q, m \q-2-m m tm m(x+1) :BE的解析式为y2-m+2-m2 把y=3m代入y2”+1),得32（x+1。 则x=5-3m,即点D(5-3m,3m). :点D为抛物线y=-x2+2x+3上第一象限内一点， .∴.3m=-(5-3m)2+2(5-3m)+3, 整理，得3m2-7m+4=(m-1)(3m-4)=0, 4 m1=1,m=3,此时2-m0, 故m=1,m=是符合题意的， 当m=1时，则5-3m=5-3=2,3m=3,此时D(2,3), 当m=号时，则5-3m=5-4=1,3m=3x号=4，此时D(1, 4) 综上：D(2,3)或D(1,4). (3)存在.过程如下： 由(2)，得y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4. F为抛物线的顶点，.F(1,4). 平移抛物线使得新抛物线顶点为P(m,n)(m>1),P又在 原抛物线上，新抛物线与直线x=1交于点N, 连接FP,PN,过点P作PH⊥FN, ∠FPN=120°，如图2所示， 平移后的抛物线的解析式为 y=-(x-m)2+n. 把x=1代入y=-(x-m)2+n, 得yw=-(1-m)2+n. 点P(m,n)在y=-(x-1)2+4上， .n=-(m-1)2+4,.(m-1)2=4-n, ∴.yw=-(1-m)2+n=-4+n+n=-4+2n, .N(1,-4+2n). P(m,n),N(1,-4+2n),F(1,4), .PF2=(m-1)2+(n-4)2,PW2=(m-1)2+[n-(-4+2n)]2= (m-1)2+(n-4)2, .PF2=PW2,∴.PF=PN,.△PFN是等腰三角形 ∠FPN=120,PHLFN,∠FPH=2×I20°=60， 则tan∠FPH=tam60=Fg_-4-n=3, HP m-1 ∴.4-n=√3(m-1). 令g=m-1,∴.4-n=√3g,即n=-√3g+4 n=-(m-1)2+4,.-√3g+4=-g2+4, 即g2-√3g=0,∴.g(g-√3)=0， .81=0,g2=3,m-1=0,或m-1=√3， m=1(舍去)或m=3+1,.P(1+√3,1)， .平移后的抛物线的解析式为y=-(x-1-√3)2+1. 令y=0,则0=-(x-1-√3)2+1， .(x-1-√3)2=1，即x-1-3=±1， ∴.x1=2+√3，x2=3,则1x1-x2=2+√3-√3=2， “.新抛物线与x轴存在两个不同的交点，这两个交点之间 的距离为2. 9.解：(1)：抛物线y=-x2+bx+3与x轴交于A(-1,0), .0=-1-b+3,解得b=2. (2)如图1，过点M作MN⊥x轴于点N. b=2,∴.y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4. 令y=0,解得x=-1或x=3,令x=0,得 B y=3, B(3,0),C(0,3),.0C=3. 图1 设M(m,-m2+2m+3). .·∠MAB=∠ACO,∠MNA=∠AOC, .·.△ACO∽△MAN 00 m+1 1-m2+2m+3' 解得m=或-1（合去）， 六点以的横坠标为号 (3)①·二次函数图象沿水平方向平移，得到新抛物线L, .新抛物线顶点纵坐标不变为4. L的顶点横坐标为n, .图象L的解析式为y=-(x-n)2+4=-x2+2nx-n2+4, ∴.N(0,-n2+4) 当点N在点C的上方时，NC=-n2+1; 当点N在点C的下方时，C=n2-1. 令NC=0,解得n=1或n=-1. .当n<-1或n>1时，d=n2-1;当-1≤n≤1时，d=-n2+1. ②n的取值范围为-1≤n≤1-√3或，2≤n<√3 [提示]作出d关于n的函数图象如图2. d随n的增大而增大，.-1≤n≤0或n≥1. :△ABC中含(0,1)，(0,2)，(1,1)三个整数点（不含边 界)， .当W内恰有2个整数点(0,1)，(0,2)时，如图3， 则当x=0时，y>2;当x=1时，y2≤1， -n2+4>2, -√2<n<√2， {-(1-n)2+4≤1，n≥1+w3或n≤1-3. .-2<n≤1-√5. 0 ∵-1≤n≤0 或 $$n \ge 1 ， \therefore - 1 \le n \le 1 - \sqrt 3 ；$$ 当 W 内恰有 2 个整数点 (0，1)，(1，1) 时，如图4，则当 x=0 $$1 < y _ { L } \le 2 ，$$ 时，1<y，≤2，当x=1时，y，>1， $$， y _ { L } > 1 ，$$ x=1 $$| 1 < - n ^ { 2 } + 4 \le 2 ，$$ $$. - \sqrt 3 < n \le - \sqrt 2$$ 或 $$\sqrt 2 \le n < \sqrt 3 ，$$ ∴{\begin{matrix}\end{matrix}\right. $$\left( - \left( - 1 \right) ^ { 2 } + 4 > 1 ，$$ $$1 - \sqrt 3 < n < 1 + \sqrt 3 .$$ $$\therefore \sqrt 2 \le n < \sqrt 3 .$$ ∵-1≤n≤0 或 $$n \ge 1 ， \therefore \sqrt 2 \le n < \sqrt 3 ；$$ 当 W 内恰有 2 个整数点 (0，2)，(1，1) )时，此情况不存在，舍 去.综上， ，n 的取值范围为 $$- 1 \le n \le 1 - \sqrt 3$$ 或 $$\sqrt 2 \le n < \sqrt 3 .$$ +d t ty in B AO B 图2 图3 图4 题型六几何综合 1.解： (1)∵BC=2m， ，面积为 $$1 . 5 m ^ { 2 } ，$$ $$\therefore A C = \frac { 1 . 5 } { \frac { 1 } { 2 } \times 2 } = 1 . 5 \left( m \right) ， \therefore A B = \sqrt { B C ^ { 2 } + }$$ +AC =2.5m. 设正方形的边长为xm. ∵四边形 CDEF 是正方形， $$\therefore D E \parallel C F ， \angle A D E = \angle C = 9 0 ^ { \circ } ， D E = C D = x m ，$$ ∴AD=(1.5-x)m. ∵∠A=∠A，∴Rt△ADE∼Rt△ACB， $$\therefore \frac { D E } { C B } = \frac { A D } { A C } ， 则 \frac { x } { 2 } = \frac { 1 . 5 - x } { 1 . 5 } ，$$ 解得 $$x = \frac { 6 } { 7 } .$$ ∵ 四边形 GDEF 是正方形， $$\therefore D E \parallel G F ， \angle D G A = 9 0 ^ { \circ } ，$$ ∴∠CED=∠B，∠EDC=∠A， ∴Rt△DEC∼Rt△ABC， $$\therefore \frac { D C } { D E } = \frac { A C } { A B } = \frac { 3 } { 5 } ， 则 \frac { D C } { D E } = \frac { 3 } { 5 } ， \therefore D C = \frac { 3 } { 5 } x m ，$$ $$\therefore A D = A C - D C = \left( \frac { 3 } { 2 } - \frac { 3 } { 5 } x \right) m .$$ $$\because \angle A = \angle A ， \angle A G D = \angle C = 9 0 ^ { \circ } ，$$ ∴Rt△ADG∼Rt△ABC， $$\therefore \frac { D G } { D A } = \frac { B C } { A B } ， 则 \frac { x } { \frac { 3 } { 2 } - \frac { 3 } { 5 } x } = \frac { 4 } { 5 } ，$$ ，解得 $$x = \frac { 3 0 } { 3 7 } .$$ $$\because \frac { 6 } { 7 } > \frac { 3 0 } { 3 7 } ，$$ 题图1的正方形面积较大. (2)∵ 四边形 CDEF 是长方形， $$\therefore D E / / C F ， \angle A D E = \angle C = 9 0 ^ { \circ } .$$ ∵∠A=∠A，∴Rt△ADE∼Rt△ACB， $$\therefore \frac { A D } { D E } = \frac { A C } { C B } = \frac { 3 } { 4 } ，$$ $$A D = \frac { 3 } { 4 } x m ， \therefore D C = A C - A D = \frac { 6 - 3 x } { 4 } m ，$$ ∴ 长方形的面积 $$y = D E \times D C = x \times \frac { 6 - 3 x } { 4 } = \frac { 3 } { 4 } x \left( 2 - x \right) = - \frac { 3 } { 4 } \left( x -$$ 的面积 $$1 1 ^ { 2 } + \frac { 3 } { 4 } .$$ $$\because - \frac { 3 } { 4 } < 0 ， \therefore$$ 抛物线开口向下， ∴ 当 x=1m 时，长方形的面积有最大值为 $$\frac { 3 } { 4 } m ^ { 2 } .$$ — 4 在题图4中，同理，得Rt△DEC∽Rt△ABC, DE AB 5 DC-AC 3' c=子mM=AC-c=(侵})m 3 同理，得Rt△ADG∽Rt△ABC, 得DGBC4 DA BA 5' 长方形面积)-=0BX6=(合多) 》 :、12 <0,抛物线开口向下， 当：=？m时，长方形的面积有最大值为子 2.解：(1)四边形BDB'E是菱形 理由如下：由折叠的性质可得BD=B'D,BE=B'E,∠B'DE= ∠BDE. .B'DBC,.∠B'DE=∠BED, ∴∠BDE=∠BED,∴BD=BE, ∴.BE=BD=B'D=B'E, 四边形BDB'E是菱形 (2)①DE⊥A'E. 理由如下：由(1)，知四边形BDB'E是菱形， ∴.BD=B'E=B'D 由折叠的性质，得AD=A'D. AD=2BD...A'D=2BD=2B'D=2B'E. .B'D=A'B=BE,.∠1=∠2，∠3=∠4. .∠1+∠2+∠3+∠4=180°， .∠2+∠3=90°，.DE1A'E. ②4F的长为5度 [提示]∠C=90°，AB=15,BC=9, .AC=√WAB2-BC2=12 当△A'FG是以A'F为腰，A'G为底的等腰三角形时，如图1， 延长A'F交AB于点H,设AC,A'D A 交点为M,则FG=A'E H .·∠C=90°，A'DBC, .∠AMD=∠C=90°， D .∠AMA'=90°. 3 由折叠的性质，得 B AF=A'F,∠A=∠DA'F 图1 .∠AFH=∠A'FG, ∴.∠AHF=∠AMA'=∠C=90°. ∠A=∠A,.△AFH∽△ABC, AF HF AH ·AB BC AC .HF AH AF=BC AC AB=3:4:5. .∠A=∠DA'F,AF=A'F,∠AHF=∠A'MF, .△AHF≌△A'MF(AS),.HF=FM,AH=A'M. HF=FM=3x.AH=A'M=4x.AF=A'F=5x ..AM=AF+FM=8x. .A'D∥BC, ..△AMD∽△ACB,