题型六 几何综合-【真题分类卷】备战2026中考数学专题分类卷

-1≤n≤0或n≥1，.-1≤n≤1-√3； 当W内恰有2个整数点(0,1)，(1,1)时，如图4，则当x=0 时，1<y≤2，当x=1时，y>1, ∫1<-n2+4≤2，.-3<n≤-√2或W2≤n<3, {-(1-n)2+4>1,1-3<n<1+5. ..√2≤n<3 .:-1≤n≤0或n≥1，.√2≤n<3; 当W内恰有2个整数点(0,2)，(1,1)时，此情况不存在，舍 去.综上，n的取值范围为-1≤n≤1-√3或2≤n<√3. y y B 图2 图3 图4 题型六几何综合 1.解：(1)BC=2m,面积为1.5m2, AC=15=1.5(m),AB=VBc+4C-25m 1 22 设正方形的边长为xm. ·四边形CDEF是正方形， ∴.DE∥CF,∠ADE=∠C=90°，DE=CD=xm, ∴.AD=(1.5-x)m. :∠A=∠A,∴.Rt△ADE∽Rt△ACB, 器2时5解得号 DE AD :四边形GDEF是正方形，.DE∥GF,∠DGA=90°， ∴.∠CED=∠B,∠EDC=∠A, ∴.Rt△DEC∽Rt△ABC, 房器} DE-5..DC= 5*m, An=Ac-nc=(月)n .·∠A=∠A,∠AGD=∠C=90°， .∴.Rt△ADG∽Rt△ABC, DCBC,即，￥=4 DA AB' 33 ,解得x=30 7 25* :630 “7>7题图1的正方形面积较大 (2)·四边形CDEF是长方形， ..DECF,∠ADE=∠C=90°. '∠A=∠A,.Rt△ADE∽Rt△ACB, AD AC3 DE CB 4' AD=m DC=AC-AD=-3 4m, 六长方形的面积y=DEXDC=x63x-3 44x(2-x)=- 3 4 （x 、3 4<0,抛物线开口向下， 当x=1m时，长方形的面积有最大值为子” 4m2 在题图4中，同理，得Rt△DEC∽Rt△ABC, DE AB 5 DC-AC 3' c=子mM=AC-c=(侵})m 3 同理，得Rt△ADG∽Rt△ABC, 得DGBC4 DA BA 5' 长方形面积)-=0BX6=(合多) 》 :、12 <0,抛物线开口向下， 当：=？m时，长方形的面积有最大值为子 2.解：(1)四边形BDB'E是菱形 理由如下：由折叠的性质可得BD=B'D,BE=B'E,∠B'DE= ∠BDE. .B'DBC,.∠B'DE=∠BED, ∴∠BDE=∠BED,∴BD=BE, ∴.BE=BD=B'D=B'E, 四边形BDB'E是菱形 (2)①DE⊥A'E. 理由如下：由(1)，知四边形BDB'E是菱形， ∴.BD=B'E=B'D 由折叠的性质，得AD=A'D. AD=2BD...A'D=2BD=2B'D=2B'E. .B'D=A'B=BE,.∠1=∠2，∠3=∠4. .∠1+∠2+∠3+∠4=180°， .∠2+∠3=90°，.DE1A'E. ②4F的长为5度 [提示]∠C=90°，AB=15,BC=9, .AC=√WAB2-BC2=12 当△A'FG是以A'F为腰，A'G为底的等腰三角形时，如图1， 延长A'F交AB于点H,设AC,A'D A 交点为M,则FG=A'E H .·∠C=90°，A'DBC, .∠AMD=∠C=90°， D .∠AMA'=90°. 3 由折叠的性质，得 B AF=A'F,∠A=∠DA'F 图1 .∠AFH=∠A'FG, ∴.∠AHF=∠AMA'=∠C=90°. ∠A=∠A,.△AFH∽△ABC, AF HF AH ·AB BC AC .HF AH AF=BC AC AB=3:4:5. .∠A=∠DA'F,AF=A'F,∠AHF=∠A'MF, .△AHF≌△A'MF(AS),.HF=FM,AH=A'M. HF=FM=3x.AH=A'M=4x.AF=A'F=5x ..AM=AF+FM=8x. .A'D∥BC, ..△AMD∽△ACB, AM-AD,即8x-A0 AC AB'12 15' .∴.AD=10x,∴.BE=BD=AB-AD=15-10x, .∴.CE=BC-BE=10x-6. .FG=A'F=5x .MG=FG-FM=2x .∴.CG=AC-AM-MG=12-8x-2x=12-10x. A'D/∥BC,.△A'MG△ECG, A'M MG 4x 2x ·CECG10x-612-10z,解得x=1或x=0(舍去)， ∴.A'F=5x=5. 当△A'FG是以A'F为腰，FG为底的等腰三角形时，如图2， 则A'F=AG, 同理，得HF:AH:AF=BC:AC: H AB=3:4 5.HF=FM.AH=A'M. AF=A'F. D HF=FM=3y,AH=A'M=4y,AF= A'F=5y, .∴.AM=AF+FM=8y 图2 A'D∥BC,△AMD△ACB, AW40,即82=A2, AC AB' 1215’ .∴AD=10y, .BE=BD=AB-AD=15-10y, .CE=BC-BE=10y-6. :△A'FG是以A'F为腰FG为底的等腰三角形，A'M⊥AC, ∴.GM=FM=3y,∴.FG=GM+FM=6y, .CG=AC-AF-FG=12-11y. .·A'DBC,.'.△A'MG∽△ECG A'M MG.4y 3y CECG10y-612-11y 解得)37或y=0(舍去)心AF=5y=65, 33 37 综上，4F的长为5或 37 3.(1)解：90[提示]四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥CD,∠A=∠C :直线lLCD,.∠BEC=∠BED=90°，∴.∠CBE+∠C=90°， :将三角形纸片B,C,E,置于四边形纸片ABED内部，使得点 B,与点B重合，点E,在线段AB上，延长BC,交线段AD于 点F, .∠ABF=∠CBE,.∠A+∠ABF=∠C+∠CBE=90°. (2)证明：根据(1)知，∠BEC=∠BED=90°，AB∥DC, ∴.∠ABE=BEC=90°. :将三角形纸片B,C,E1置于四边形纸片ABED内部，使得 点B,与点B重合，点E,在线段AB上，延长BC,交线段AD 于点F,.△BEC≌△BE,C, ..BE=BE,BC=BC1,EC=E C1, ∴.△BEE,是等腰直角三角形， ∴.∠BEE1=∠BE1E=45°， ∴.∠CEN=180°-∠BEE1-∠BEC=180°-45°-90°=45°. :直线CN⊥CD,即∠ECN=90°， ∴.∠CNE=45°=∠CEN,∴.CE=CN,∴.CN=CE1. LBE,C,=90°，点E,在线段AB上，AB⊥C,E1 AB/CD,CN⊥CD,∴.C,E,∥CN,∴.∠C,E,M=∠CNM. 又.'∠C,ME,=∠CMN, ∴.△CNWM≌△C,E,M(AAS) (3)证明：：∠A+∠ABF=90°，∴.BF⊥AD. AB=2AD=27AF, .设AF=a,则AD=BC=√7a=BC1,AB=2√7a. 在R△ABF中，：sin∠ABF=AF-a=1=7 ΓAB27a2万14' BF=√AB2-AF=√(27a)2-u2=33a, 1r证方号 如图所示，过点F作FH⊥AB于点H,过点D作DK⊥AB于 点K, ∴.FH∥DK,sin∠HBF=sin∠ABF= D 阳7，即阳=7 BF-14'33a14' 解得FH=3v2Ia A HK GE B(B) 14 .∠A+∠ABF=90°=∠A+∠AFH,∴.∠AFH=∠ABF, 六sinLAFH=sim∠ABF=Ag-7,即_7 AF 14' a14 解得AH=V7a 14 3√2Ia√7a A-44,即”=14 14 FH/DK,÷AD DK AK,即7 DK AK' 解得DK=30,AK=号 DK⊥AB,∠AGD=60°， tan∠AGD=tan6o°=K花=V3y 33a ÷kG=DK.23a 2 AG=AkkG-受-a .AF_a_7AG_2a_√7 AD77AB27a7,即ADAB,且∠A=∠A, ∴.△AFG△ADB,.∠AFG=∠ADB,∴.FG∥BD. 4.(1)证明：BD为⊙0的切线， .AB⊥BD,.∠ABD=90°，.∠ADB+∠BAD=90°. :AB是⊙0的直径，.∠ACB=90°. ∴.∠ABC+∠BAD=90°， .∴.∠ADB=∠ABC. :∠ABC=∠AEC,.∠ADB=∠AEC. (2)解：.∠ADB=∠AEC, cos LADB=cOSLAEC=5 3 在R△ABD中，“c0s LADB=DB_5 AD 3' .设BD=√5x,AD=3x, .AB=√(3x)2-(5x)2=2x,即2x=4, 解得x=2,BD=25. 在Rt△OBD中，.·OB=2.BD=2W5. .0D=√22+(25)2=2W6. 2 5.(1)证明：如图1所示，连接OE, .·BE是⊙O的切线 ∴.OB⊥BE,即∠OBE=90° OC=0B, 在△OEC和△OEB中， 0E=0E, 图1 CE=BE. .△OEC≌△OEB(SSS), .∠0CE=∠0BE=90°，∴.OC⊥CE. 0C是⊙0的半径， EF是⊙O的切线 (2)解：如图2所示，过点C作CH⊥ BF于点H,过点D作DM⊥BF于 M 点M. 设0A=OC=r,则0F=0A+AF=r+10. 由(1)，可得∠0CF=90°. 图2 0C1 在Rt△OCF中，.sinF= 0F=3, .∴.30C=0F,∴.3r=r+10, ∴.T=5,∴.0A=0C=5, .∴.AB=CD=20A=10,0F=15, ∴.BF=OF+OB=20. 在Rt△OCF中， 由勾股定理，得CF=√0F2-0C=√152-52=102， ∴csF=CF-1022w2 0F-15=-3 在Rt△BEF中，EF=BP。2D=152, cos F 22 3 .CE=EF-CF=52,BE=EF.sin F=52 在Rt△CDE中，由勾股定理，得DE=√CE2+CD2= √(52)2+102=5V6. SAoc=2 CH OF=20C.CF. CH=0C.CF_5x102_102 OF 15 3 .:∠CH0=∠DM0=90°，∠C0H=∠DOM,OC=OD, .△DOM≌△COH(AAS), DM=CH=10/2 3 .·∠DMG=∠EBG=90°，∠DGM=∠EGB, .△DGM∽△EGB, EG BE EG 52 3 *C0r,即c1022' 3 3 BG=2+3DE=36. 6.(1)证明：如图，连接0C,则OA=0C ∴.∠OAC=∠OCA. 过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D, ∴.OC⊥CD,.∠BCD+∠OCB=90° AB为直径，.∠ACB=90°， ∴.∠OCA+∠OCB=90°，∴.∠OCA=∠BCD ∴.∠CAB=∠BCD. EC=BC,.∠CAB=LEBC,.∠EBC=LBCD, ∴.BECD. D (2)解：设半圆0的半径为r,则0C=0B=r .BD=1,.OD=r+1. OCLCD,".sin D=OC=r2 OD r+13, .r=2,即半圆0的半径为2，AB=2r=4. 连接AE,则LAEB=90°. BE∥CD,∴.∠ABE=∠D, sin∠ABE=sinD=AE_AE、2 AB43, 3BE-AB-AR=4 .AE= 3 EC=BC,..LEAF=LBAF, .AF平分∠BAE, F到AE,AB的距离相等，都等于EF的长， -AE·EF EF SAABF EF AE 2 EF 2 BFAB3·BE5, R号g8S 15 7.(1)证明：如图，连接0D,则0D=0B, ∴.∠ODB=∠OBD. AB为⊙0的直径 .∠ADB=∠ACB=90° .∠ODB+LAD0=90. ·.·AB=AB,BD=BC. ·.Rt△ADB≌Rt△ACB(HL), ∴.LABC=∠ABD=∠ODB. .·∠ADE=∠CBA,∴.∠ADE=∠ODB, :.∠ADE+∠AD0=90°，即∠0DE=90°， ∴.OD⊥DE. .·OD是⊙0的半径， .ED是⊙O的切线 （2)解：0B=4,.AB=20B=8. 由(1)知LABD=∠ABC, 六tan∠ABD=tam∠ABC,即AD-1 BD 2 由(1)知∠EDA=∠EBD. 又.∠DEA=∠BED, .△EDA△EBD, ED AE AD 1 BE DE BD 2' .DE=2AE,DE2=AE·BE, .(2AE)2=AE·(AE+AB),即4AE2=AE2+8AE, 解得6=0（合去）度4让号， E0=2MB=9 8.（1)证明：如图，连接0D ,·以OC为半径的⊙0与AB相切于 点D,.OD⊥AB ∠F=45°，.∠D0E=2∠F=90°， 即EF⊥OD, 3 .AB∥EF,∴.LOEC=∠B. OE=0C,∴.∠C=L0EC, .∴.∠B=∠C,.AB=AC (2)解：AB=8,AB=AC,∴.AC=8. 设⊙0的半径为r, ..A0=8-r,0D=r .'∠AD0=90°，sinA= 3 5 408,了，解得，=3， OD r 3 ∴.0F=0D=3,A0=5,AD=√A02-D0=4 ∠D0F=90°， DF=√32+32=32. EF∥AB,.△OFG∽△ADG, FG OF 3 DG AD 4' DG=4DF=4x32=122 3+4 7 7 9.(1)证明：BD=CD,.∠C=∠DBC. 又.·∠C=∠BAD,∴.∠BAD=∠DBC. ·AB为⊙O的直径，.∠ADB=90°， ∴.∠BAD+∠DBA=90°， ∴∠DBC+∠DBA=90°，即∠CBA=90°， .AB⊥BC. :AB为⊙0的直径， BC为⊙0的切线。 (2)解：如图，过点D作DF⊥BC,垂足 为F :AD=AD,.∠ABD=∠AED, 10 .∴.sin∠ABD=sin∠AED= 10 :在△ABD中，∠ADB=90°， AB=10,sin LABD=10 10, ∴.AD=1,∴.BD=3. .DF⊥BC,AB⊥BC ∴.DF∥AB,.∠BDF=∠ABD, sin L BDF=sin LABD=10 10 在△BDF中，∠BFD=90,BD=3,in∠BDF=V0 10 BF31⑩ 10 BD=CD,DFLBC,.BC=2BF-310 5 .:四边形ABED内接于⊙O, .∠DAB+∠BED=180°. .∠BED+∠BEC=180°，∴.∠BEC=∠DAB. .∠C=∠BAD,∴.∠CEB=∠C, BE=BC-310 5 题型七图形操作探究 1.解：(1)由x2-3x-18=0,解得x1=6,x2=-3. 0A的长是x2-3x-18=0的根，.0A=6. .·四边形OABC为菱形， ∴.0A=0C=6. tan∠C0A=3,.∠C0A=60. 4 又CQ⊥0A,.∠0CQ=30°，∴.0Q=3. 四边形OABC为菱形， .OB平分LC0A, ..∠P0Q=30°，∴.PQ=√3， 点P的坐标为(3，√3) (2)如图1，过点M作MK⊥OB于YT 点K B N 由题可知BN=√3t,OM=t,则MK= 2 MO A 由(1)，得0P=23,0B=63, 图1 则PB=45. 当0<t<4时，：PN=43-√3t, s3245-=-月+w5 当4<t≤6时，PN=√3t-43, s=·2-48)=-5 (3)存在.点E的坐标为（0,0)或（3,3) 或93到 [提示]如图2，当t=3时，0M=3,点 M和点Q重合，BN=35, ∴.0W=3√3，∠0NM=∠N0M=30°， /E .MN=OM. 假设在对角线OB上存在一点E,使E(O)MQ)A 得△MWE是含30°角的等腰三角 图2 形，则 当∠EMW为顶角时，点E,与点0重合，E1(0,0); 当∠MEN为顶角时，点E2与点P重合，E2(3,3); 当∠ENM为顶角时，NE3=NM=OM=3. 设E3(3a,a),则0E3=2a. .0E3+WE3=0W,∴.2a+3=3w3 .∴a= 2…v3a=9-33 33-3 -,-) 综上，当t=3时，在对角线OB上存在一点E,使得△MNE 是含30°角的等腰三角形，点E的坐标为(0,0)或(3，√3) 或9-3333-3引 2,2/ 2.解：(1)：等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=4, ..AB=AC,AB2+AC2=2AB2=BC2, 10=1c-2c=22 :点D和点N分别是AC和BC的中点， AD=24C=,aw=2c=2 2 AD√2 AD=aBN,a=BN2 (2).a=√2，AD=aBN,∴.AD=W2BN. 设BN=x,则AD=√2x,CN=BC-BN=4-x 等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=4, .LB=∠C=45°，AB=AC=22,CD=AC-AD=22-√2x :M是AB的中点，∴AM=BM=√2. 当点C,D,N为顶点的三角形与△BMW相似时，分两种 情况：题型六几何综合 类型一三角形与四边形的综合 1.(2025·连云港)一块直角三角形木板，它的一条直角边BC长 2m,面积为1.5m2 （1)甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说 明哪个正方形面积较大， (2)丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面.请分 别求出图3、图4中长方形的面积y(m)与DE的长x(m)之间的 函数表达式，并分别求出面积的最大值 图1 图2 图3 图4 2.（2025·山西)综合与探究 问题情境：如图1，在△ABC纸片中，AB>BC,点D在边AB上， AD>BD.沿过点D的直线折叠该纸片，使DB的对应线段DB'与 BC平行，且折痕与边BC交于点E,得到△DB'E,然后展平 猜想证明：(1)判断四边行BDB'E的形状，并说明理由. 拓展延伸：(2)如图2，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A 的对应点A'落在射线DB'上，且折痕与边AC交于点F,然后展 平.连接A'E交边AC于点G,连接A'F ①若AD=2BD,判断DE与A'E的位置关系，并说明理由， ②若∠C=90°，AB=15,BC=9,当△A'FG是以A'F为腰的等腰三角 形时，请直接写出A'F的长 A D zB' 23 B-= B E 图1 图2 3.(2025·湖南)【问题背景】 如图1，在平行四边形纸片ABCD中，过点B作直线I⊥CD于点 E,沿直线L将纸片剪开，得到△B,C,E1和四边形ABED,如图2所 示 EE C B(B,) BB 图1 图2 【动手操作】 现将三角形纸片B,C,E,和四边形纸片ABED进行如下操作（以 下操作均能实现) ①将三角形纸片B,C,E,置于四边形纸片ABED内部，使得点B, 与点B重合，点E,在线段AB上，延长BC,交线段AD于点F,如 图3所示； ②连接CC1,过点C作直线CN⊥CD交射线EE于点N,如图4 所示； ③在边AB上取一点G,分别连接BD,DG,FG,如图5所示 0 E B(B B(B GE B(B) 图3 图4 图5 【问题解决】 请解决下列问题： (1)如图3，填空：∠A+∠ABF= (2)如图4，求证：△CNM≌△C,E1M (3)如图5，若AB=2AD=2√7AF,∠AGD=60°，求证：FG∥BD. 73 类型二圆与锐角三角函数的综合 4.(2025·兰州)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙0的直径， 过点B的切线交AC的延长线于点D,连接D0并延长，交⊙O于 点E,连接AE,CE (1)求证：∠ADB=∠AEC (2)若AB=4,es∠ABC=行，求0D的长 5.(2025·泸州)如图，AB,CD是⊙0的直径，过点C的直线与过点 B的切线交于点E,与BA的延长线交于点F,且EB=EC,DE交 AB于点G. (1)求证：EF是⊙0的切线 (2)若AF=10,mP=子求EG的长 74 6.(2025·成都)如图，点C在以AB为直径的半圆0上，连接AC, BC,过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D,在AC上取 点E,使EC=BC,连接BE,交AC于点F (1)求证：BECD (2)若smD=号，50=1，求半圆0的半径及EF的长 7.(2024·兰州)如图，△ABC内接于⊙0，AB为⊙0的直径，点D 为⊙O上一点，BC=BD,延长BA至E,使得∠ADE=∠CBA. (1)求证：ED是⊙0的切线. (2)若B0=4,∠CBA=7,求ED的长。 0 0 8.(2025·陕西)如图，点O在△ABC的边AC上，以OC为半径的 ⊙O与AB相切于点D,与BC相交于点E,EF为⊙O的直径，FD 与AC相交于点G,∠F=45°， (1)求证：AB=AC. (2)若sinA=,AB=8,求DG的长 9.（2025·苏州)如图，在四边形ABCD中，BD=CD,∠C=∠BAD.以 AB为直径的⊙O经过点D,且与边CD交于点E,连接AE,BE. (1)求证：BC为⊙0的切线 (②若4银=而∠A0=求E的长 0