第12讲 二次函数的应用-【真题分类卷】备战2026中考数学专题分类卷

第12讲 二次函数的应用 考点一二次函数的实际应用 角度①抛物线型问题 1.新课标·跨生物学科(2025·山东)在水分、养料等条件一定的情 况下，某植物的生长速度y(厘米/天)和光照强度x(勒克斯)之 间存在一定关系.在低光照强度范围(200≤x<1000)内，y与x近 似成一次函数关系；在中高光照强度范围(x≥1000)内，y与x近 似成二次函数关系，其部分图象如图所示.根据图象，下列结论正 确的是 () A.当x≥1000时，y随x的增大而减小 B.当x=2000时，y有最大值 C.当y≥0.6时，x≥1000 D.当y=0.4时，x=600 4 0.6 0.3 B 020010003000 第1题图 第2题图 2.（2025·连云港)如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y= a(x-3)2+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是 铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m,则 铅球掷出的水平距离OB为 m. 3.（2025·广东)如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7km,主塔 高0.27km,主缆可视为抛物线，主缆垂度0.1785km,主缆最低 处距离桥面0.0015km,桥面距离海平面约0.09km.请在示意图 中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式。 1.7km 主塔 主塔 主缆 0.1785km 桥面 0.27km -0.0015km 0.09km 海平面 角度②利润、费用最值问题 4.（2025·内江)2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童 闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A,B两款“哪吒” 文旅纪念品.已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购 进A款100个，B款200个，需花费8000元. (1)求A,B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的 资金购进A,B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进 B款纪念品多少个？ (3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出 200个，售价每增加1元，销售量将减少5个.设每个A款纪念品 售价a(60≤a≤100)元，W表示该商家销售A款纪念品的利润 (单位：元)，求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值， 5.新课标·综合与实践(2025·南充)学校计划租用客车送师生到 某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请 阅读下列材料，并完成相关问题 租车公司有A,B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况 材料一 下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载 客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同. A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为 3000元/辆. 材料二 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用(3200-50m)元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折. 租车公司最多提供8辆A型客车； 材料三 学校参加研学活动师生共有530人，租用A,B两种型号客车共 10辆. (1)A,B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 角度③几何图形（面积）问题 6.（2024·自贡)九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平 整空地，地上两段围墙AB⊥CD于点O(如图)，其中AB上的EO 段围墙空缺.同学们测得AE=6.6m,0E=1.4m,0B=6m,0C= 5m,OD=3m,班长买来可切断的围栏16m,准备利用已有围墙， 围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是 m2 25 7.（2024·湖北)学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用 篱笆围成.已知墙长42m,篱笆长80m.设垂直于墙的边AB长为 xm,平行于墙的边BC为ym,围成的矩形面积为Sm (1)求y与x,S与x的关系式 (2)围成的矩形花圃面积能否为750m,若能，求出x的值 (3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最 大值，并求出此时x的值 8.(2023·潍坊)工匠师傅准备从六边形的铁皮ABCDEF中，裁出 一块矩形铁皮制作工件，如图所示.经测量，AB∥DE,AB与DE之 间的距离为2米，AB=3米，AF=BC=1米，∠A=∠B=90°，∠C= ∠F=135°.MH,HG,GN是工匠师傅画出的裁剪虚线.当MH的长 度为多少时，矩形铁皮MNGH的面积最大，最大面积是多少？ D 26 考点二二次函数与几何图形的综合应用 角度①线段、周长问题 9.（2025·北京)在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)经过点0和点A(3,3a). (1)求c的值，并用含a的式子表示b. (2)过点P(t,0)作x轴的垂线，交抛物线于点M,交直线y=ax于 点N. ①若a=1,t=4,求MN的长， ②已知在点P从点O运动到点B(2a,0)的过程中，MW的长随 OP的长的增大而增大，求a的取值范围. 10.（2025·眉山)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c 关于直线x=-3对称，与x轴交于A(-1,0)、B两点，与y轴交于 点C (1)求抛物线的解析式. (2)点P为抛物线对称轴上一点，连接BP,将线段BP绕点P逆 时针旋转90°，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点 P的坐标 (3)在线段OC上是否存在点Q,使2AQ+√2CQ存在最小值？若 存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由、 B x=-3 X=-3 备用图 角度②面积问题 11.（2025·苏州)如图，二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴交于 A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,作直线BC, M(m,y1),N(m+2,y2)为二次函数y=-x2+2x+3图象上两点 (1)求直线BC对应函数的表达式. (2)试判断是否存在实数m使得y1+2y2=10.若存在，求出m的 值；若不存在，请说明理由. (3)已知P是二次函数y=-x2+2x+3图象上一点（不与点M,N 重合)，且点P的横坐标为1-m,作△MNP.若直线BC与线段 MN,MP分别交于点D,E,且△MDE与△MNP的面积的比为 1：4,请直接写出所有满足条件的m的值 /0 备用图 角度③角度问题 12.（2025·遂宁)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c (b,c为常数)的图象与x轴交于A(-1,0),B两点，交y轴于点 C,对称轴为直线x=1. (1)求二次函数关系式. (2)连接AC,BC,抛物线上是否存在点P,使∠CBP+∠ACO=45°，若 存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由： (3)在x轴上方的抛物线上找一点Q,作射线AQ,使∠BAQ= 2∠ACO,点M是线段AQ上的一动点，过点M作MN⊥x轴，垂 足为点N,连接BM,求BM+MN的最小值. 备用图 13.(2025·成都)如图，在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=ax2+bx 过点(-1,3)，且对称轴为直线x=1,直线y=x-k与抛物线交于 A,B两点，与x轴交于点C (1)求抛物线的函数表达式. (2)当k=1时，直线AB与y轴交于点D,与直线x=2交于点E. 若抛物线y=(x-h)2-1与线段DE有公共点，求h的取值范围. (3)过点C与AB垂直的直线交抛物线于P,Q两点，M,N分别 是AB,PQ的中点.试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否 存在定点T,使得TC总是平分∠MTW?若存在，求出点T的坐 标；若不存在，请说明理由 备用图 27 角度④特殊三角形存在性问题 14.(2025·烟台)如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A,B两点 (点A在点B左侧)，与y轴交于点C,OA=2,OB=6,D是直线 BC上方抛物线上一动点，作DF⊥AB交BC于点E,垂足为点F, 连接CD. (1)求抛物线的表达式. (2)设点D的横坐标为t, ①用含有t的代数式表示线段DE的长度： ②是否存在点D,使△CDE是等腰三角形？若存在，请求出所有 满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由 (3)连接OE,将线段OE绕点0按顺时针方向旋转90°得到线段 OG,连接AG,请直接写出线段AG长度的最小值 备用图 28 角度⑤特殊四边形存在性问题 15(2024·宁夏)抛物线y=ar2-多-2与轴交于4(-1,0)，B两 点，与y轴交于点C,点P是第四象限内抛物线上的一点， (1)求抛物线的解析式. (2)如图1，过P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E.设点D 的横坐标为m,当PE=5BE时，求m的值 (3)如图2，点F(1,0),连接CF并延长交直线PD于点M,点N 是x轴上方抛物线上的一点，在(2)的条件下，x轴上是否存在 一点H,使得以F,M,N,H为顶点的四边形是平行四边形.若存 在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由. y D 图1 图2 角度⑥相似三角形存在性问题 16.(2024·内蒙古)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+ bx+c(a≠0)的图象经过原点和点A(4,0).经过点A的直线与该 二次函数图象交于点B(1,3),与y轴交于点C. (1)求二次函数的表达式及点C的坐标 (2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方 时，过点P作PE⊥x轴于点E,与直线AB交于点D,设点P的横 坐标为m. ①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值 ②是否存在点P,使得△BPD与△AOC相似.若存在，请求出点 P坐标；若不存在，请说明理由。 A八第12讲二次函数的应用 1.B2.8 3.解：建立平面直角坐标系，如图所示， yt 主塔 1.7km 主塔、 主缆 0.1785km 桥面 0.27km -0.0015km1 0.09km 海平面 10 则抛物线的顶点坐标为(0,0.0015)，A 1. 2,0.27-0.09 即A(0.85,0.18), ..设该抛物线的表达式为y=ax2+0.0015(a≠0). 将A(0.85,0.18)代入y=ax2+0.0015, 得0.18=0.85a+0.0015,解得a=2 85 该批物线的表达式为y对+0.015 (注：坐标系的建法不同，表达式也会不同) 4.解：(1)设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒” 纪念品每个进价为y元.根据题意，得 200x+300y=14000,解得x=40. (100x+200y=8000, （y=20. 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念 品每个进价为20元， (2)设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品 (400-m)个. 根据题意，得40(400-m)+20m≤12000， 解得m≥200，∴.m的最小值为200. 答：至少需要购进B款纪念品200个 (3)根据题意，得 W=(a-40)[200-5(a-60)] =(a-40)(200-5a+300) =(a-40)(500-5a) =500a-20000-5a2+200a =-5(a-70)2+4500. .-5<0,60≤a≤100 .当a=70时，W最大，最大值为4500元. 5.解：(1)设A型客车每辆载客量为x人，则B型客车每辆载 客量为(x-15)人. 根据题意，得600450 生5解得=60 经检验，x=60是所列方程的解，且符合题意， .∴.x-15=60-15=45(人). 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量 为45人 (2)设租用A型客车m辆，则租用B型客车(10-m)辆.根 据题意，得60m+45(10-m)≥530，解得m≥16， 3 16 3≤m≤8. 设本次研学活动学校的租车总费用为0元，则0= (3200-50m)m+3000x0.8(10-m)=-50m2+800m+24000. :-50<0,抛物线的对称轴为直线m=2x(-50) 800 8, ∴.当m≤8时，w随着m的增大而增大. ”m取正整数，且5≤m58. .当m=6时，w取得最小值，最小值为-50×62+800×6+ 24000=27000(元) 答：本次研学活动学校的最少租车费用是27000元. 6.46.4 7.解：(1)由题意，得2x+y=80,∴.y=-2x+80. 0<-2x+80≤42，且x>0,.19≤x<40. 故y与x的关系式为y=-2x+80(19≤x<40). 由题意，得S=AB·BC=x(-2x+80)=-2x2+80x, 故S与x的关系式为S=-2x2+80x(19≤x<40). (2)由题意，令S=-2x2+80x=750, ∴.x=15(舍去)或x=25. 故围成的矩形花圃面积能为750m2,此时x的值为25. (3)由(1)知S=-2x2+80x=-2(x-20)2+800. .-2<0,且19≤x<40, .当x=20时，S取最大值为800. 答：围成的矩形花圃面积存在最大值，最大值为800m2,此 时x的值为20. 8.解：连接CF分别交MH,NG于Q,P,如图， AF=BC=1米，∠A=∠B=90°， D H CF∥AB, .∠AFC=∠BCF=90°， .四边形ABCF是矩形. :四边形MNGH是矩形， A ·.∠HMW=∠MNG=90°，MH=WG, .∠HQF=∠GPC=90°，MQ=AF=NP=BC=1米，FQ=AM PC=BN. :∠BCG=∠AFH=135°， .∠HFQ=∠GCP=45°， ∴.FQ=HQ,CP=GP .∴FQ=HQ=MH-MQ=MH-1. 同理，得CP=MH-1, .∴.AM=NB=MH-1, .MN=AB-AM-NB=3-(MH-1)-(MH-1)=5-2MH. ∴.S矩形MNGH=MN·MH=(5-2MH)·MH -SMH-2MIP--2MI-MH) m}尝 当Wm=米时，铁皮G的面积最大，最大值为 名平方米 9.解：(1)将点0(0,0)代入抛物线y=ax2+bx+c, 可得c=0, .该抛物线的解析式为y=ax2+bx. 将点A(3,3a)代入抛物线y=ax2+bx, 可得3a=9a+3b,解得b=-2a. (2)①若a=1,则该抛物线及直线的解析式分别为y= x2-2x,y=x. 当t=4时，可有点P(4,0),如图1. PMLx轴，.xM=xw=4, 将x=4代入y=x2-2x,可得y=42-2×4=8,即M(4,8). 将x=4代入y=x,可得y=4,即N(4,4), .MN=8-4=4. ②PMLx轴，P(t,0),.xw=xw=t. 将x=t代入y=ax2-2ax,可得y=at2-2at, 即M(t,at2-2at). 将x=t代入y=ax,可得y=at,即N(t, at), 0 .'MN=I at2-2at-atI l at2-3atl. 令MN=0,即at2-3at=0,解得t=0或 图1 t=3. 若a>0,可有2a>0,即点B在y轴右侧，如图2. 当0<t≤3时，可有MN=-at2+3at,其图 3 象开口向下，对称轴为直线t= 2 若MN的长随OP的长的增大而增大 即MN的长随t的增大而增大，则2a≤ 3 ,解得a≤ 图2 当t>3时，可有MN=at2-3at,其图象开口向上，对称轴为直 线1=子，不符合题意 若a<0,可有2a<0,即点B在y轴左侧，如图3. 当tK0时，可有MW=-at2+3at,其图象开 口向上，对称轴为直线=2， 3 若MN的长随OP的长的增大而增大，即 MN的长随t的减小而增大， 则2a≤2，解得a5子a<0 图3 综上所述，a的取值范围为a≤}且a≠0 10.解：(1)：抛物线y=x2+bx+c关于直线x=-3对称，与x轴 交于A(-1,0), b -2-3,解得 b=6, c=5, (1-b+c=0, ∴.抛物线的解析式为y=x2+6x+5. (2)由抛物线的对称轴为直线x=-3,设P(-3,t). 过点P作KT∥x轴，过点B作BK⊥KT于点K,过点D作 DT⊥KT于点T,如图1. 在y=x2+6x+5中，令y=0,得0=x2+ y 6x+5, 解得x=-1或x=-5, .B(-5,0),KP=-3-(-5)=2. 将线段BP绕点P逆时针旋转90°得 K'T 到DP, D .∠BPD=90°，BP=DP, =- .·.∠BPK=90°-∠DPT=∠PDT 图1 .·∠K=∠T=90°， .△BPK≌△PDT(AAS), ..BK=PT=Itl,KP=TD=2,..D(-3+t,t-2). 把D(-3+t,t-2)代人y=x2+6x+5,得t-2=(-3+t)2+ 6(-3+t)+5, 解得t=-1或t=2, 点P的坐标为(-3，-1)或(-3,2) (3)在线段OC上存在点Q,使2AQ+√2CQ存在最小值，点 Q的坐标为Q(0,1),最小值为62. [提示]过点C在y轴右侧作射线CM,使∠OCM=45°，过 点A作AH⊥CM于点H,AH交y轴于点Q,如图2 .:∠0CM=45°，∠0HC=90°， ·△QCH是等腰直角三角形， QH=② Q,∠CQH=45°， 10 、M B AO .240+2CQ=2AQ+ =2(AQ+ QH)=2AH. X=-3 由垂线段最短，可知此时2AQ+√2CQ 图2 最小，最小值为2AH. ,∠AQ0=∠CQH=45°，∠A0Q=90°， ∴.△AQ0是等腰直角三角形， ∴.0Q=0A=1,.AQ=20A=√2，Q(0,1). 在y=x2+6x+5中，令x=0得y=5, ∴C(0,5),∴.CQ=0C-0Q=5-1=4, QHs 2CQ-2/AH-AQ+QH=32, .2AQ+√2CQ的最小值为62. 11.解：(1).二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴交于A,B 两点，与y轴交于点C, .令x=0,则y=3,.点C的坐标为(0,3). 令y=0,则-x2+2x+3=0, 解得x=-1或x=3,∴.点B的坐标为(3,0). 设直线BC对应函数的表达式为y=kx+b(k≠0)， 由题意，得伯0解得传 .直线BC对应函数的表达式为y=-x+3. (2)不存在实数m使得y,+2y2=10. 理由：方法一：：M(m,y),N(m+2,y2)为二次函数y= -x2+2x+3图象上两点， .y1=-m2+2m+3,y2=-(m+2)2+2(m+2)+3=-m2-2m+3, .y1+2y2=-m2+2m+3+2(-m2-2m+3)=-3m2-2m+9= 3 .-3<0, 当m=- 时x+3:有最大值9号 9了<10不存在实数n使得+2=10 方法二：由方法一，得y1+2y2=-3m2-2m+9, .当y1+2y2=10时，-3m2-2m+9=10, 即3m2+2m+1=0. ·4=4-12=-8<0,∴.方程没有实数根， .不存在实数m使得y1+2y2=10. -1-5 （(3)m=1+5或m=7 [提示]如图，作NH小轴，交x轴于点H,交BC于点N',作 PQ⊥NH,垂足为Q,作MM'y轴，交BC于点M,则MM∥ NN'. :当x=1-m时，y=-(1-m)2+ 2(1-m)+3=-m2+4. 点P的坐标为(1-m,-m2+4). 由(2)知，点N的坐标为(m+2, -m2-2m+3), 点Q的坐标为(m+2,-m2+4),点H A O 的坐标为(m+2,0), 点N的坐标为(m+2,-m+1), ∴.NQ=PQ=|2m+1|,BH=HN'=|-m+1, 3 ∴.∠PNQ=∠BW'H=45°， ∴.PN/BC,∴.△MDE△MNP, (MD\2 △MDE的面积1 MN △MNP的面积4' :MD=- MW,即MD=ND. MM'NW',∴.△MM'D△NW'D, MM'MD 1 ÷w-ND=i,即MM'=NW 由(2)知，点M的坐标为(m,-m2+2m+3), ∴.点M的坐标为(m,-m+3), m2-3m=-m2-m+2,即m2-m-1=0. -1-5 解得m=1+5或m= 2 2 12.解：(1)对称轴为直线x=1,且二次函数y=x2+bx+c(b,c 为常数)的图象与x轴交于A(-1,0),B两点， .B(3,0), .二次函数的关系式为y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3. (2)存在.由y=x2-2x-3可知C(0,-3), .0B=0C=3,即∠0CB=∠0BC=45° 第一种情况：当点P在直线BC上方时， 如图1，记BP与y轴交于点K, 则∠OBP+∠CBP=∠OBC=45°， 又.·∠CBP+∠AC0=45° .∴.∠OBP=∠ACO .tan∠OBP=tan∠ACO, 即OKOA1 OB OC 3 ..OK= 30B=1,K(0,-1). 图1 由B(3,0),K(0,-1),可得直线BP的关系式为=3-1， 1 联立 y=3-1, (y=x2-2x-3, t、2 解得三3（与B点重合》或 3 ly=0 11 y=-9, 子 第二种情况：当点P在直线BC下方时， 方法一：如图2，作点A关于y轴的对称点L,连接CL,则 ∠AC0=∠LC0,L(1,0) .:∠CBP+∠AC0=45°，∠LC0+ ∠BCL=45°」 ∴.∠CBP=∠BCL,∴.BP∥CL 由C(0,-3),L(1,0),可得直线CL的 关系式为y=3x-3, ∴.设直线BP的关系式为y=3x+n,将 B(3,0)代入，得n=-9, 图2 ∴直线BP的关系式为y=3x-9. 联立y=3x-9, y=x2-2x-3, 解得化0（与点重合）或 (y=-3, P(2,-3) 方法二：作点K关于直线BC的对称点G,连接KG交BC 于点H,如图3， 此时∠CBK=∠CBG, ∴.∠CBG+LAC0=45°. K(0,-1),C(0,-3), ∴.CK=2. ∠BC0=45° ∴.△CHK为等腰直角三角形， ∴.H(1,-2),.G(2,-3). 图3 点G(2,-3)也在抛物线上， 点P与点G重合，即P(2,-3) 袋上.点P的坐标为子，)）(2,3)。 (3)如图4，在OC上取点D,使AD= yt CD,则∠AD0=2LAC0. ∠BAQ=2∠ACO,.∠BAQ=∠AD0. 设0D=m,则CD=AD=3-m. 在Rt△A0D中，OA2+0D2=AD2, 0 1+m2=(3-m)2,解得m=4, D 3 4 5 0D=3AD=3 如图4，作点B关于直线AQ的对称点 图4 E,连接BE交AQ于点F,过E作EG⊥x轴于点G,则BM= EM,BF=EF, .·.BM+MN=EM+MN≥EG, 当且仅当E,M,G三点共线时，(BM+MN)最小=EG .·∠BAQ=∠ADO ÷sin∠BAQ=sin∠AD0,即BF_0A_3 AB AD5 8=号BE=2BF ·BF=3 24 5 .·∠AGE=∠AFE=90° ∴.∠BEG=∠BAF=∠ADO, cos∠BEG=c0sLAD0,即EC_0D.4 BE AD 5' 4 96 96 EG=5 BE-25(BM+MN)25 13.解：(1)·抛物线y=ax2+bx过点(-1,3)，且对称轴为直线 x=1, (- 2a1解得a=1； b=-2, a-b=3, ∴.该抛物线的函数表达式为y=x2-2x. (2)当k=1时，则直线的表达式为y=x-1, ∴.当x=0时，y=-1,当x=2时，y=1, .D(0,-1),E(2,1). 抛物线y=(x-h)2-1, ∴抛物线的顶点坐标在直线y=-1上移动. :抛物线y=(x-h)2-1与线段DE有公共点， 联立/y=(x-h)2-1, (y=x-1, 整理，得x2-(2h+1)x+h2=0, 当4=(24+1)2-4=0，即6=时，满足题意，如图1 图2 如图2，将y=(-b)2-1从A=-开始向右移动，直至抛 物线与线段DE只有一个交点为E(2,1)时，y=(x-h)2-1 与线段DE均有公共点. 当y=(x-h)2-1过点E(2,1)时，(2-h)2-1=1, 解得h=2-√2或h=2+√2， ·当、1 4 ≤h≤2+√2时，抛物线y=(x-h)2-1与线段DE有 公共点. (3)存在 在y=x-k中，当y=0时，x=1,C(1,0). .·抛物线的对称轴为直线x=1, ∴.点C在抛物线的对称轴上. PQ过点C,且与直线AB垂直， :直线P0的表达式为y=(x-1)。 即y+ 联立=-，整理，得-（k+2)x+k=0, y=x2-2x,1 .x4+xB=k+2, ..Ya+yB=hxa-h+hxak=()-2k=k2. :M为B的中点M告2) 11 联立 y=- 玄同理可得) （y=x2-2x, 作MH⊥CT,NF⊥CT,如图3. .·TC平分∠MTN, .∴.∠NTF=∠MTH, ∴.tan∠NTF=tan∠MTH, NF MH TFTH' 1k+2-1 1-1+ 2 设T(1,t),则 图3 1 2\ ,2 2 抛物线的对称轴上存在7,2)，使得7心总是平 分∠MTN. 14.解：(1)抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A,B两点（点A 在点B左侧)，与y轴交于点C,0A=2,0B=6, .A(-2,0),B(6,0), a-2bt30。解得a= 4 (36a+6b+3=0, (6=1, .抛物线的表达式为y三42+x+3 (②)①对于范物线的表达式y=+3, 当x=0时，y=3,∴.C(0,3) 设直线BC的表达式为y=x+b'(k≠0)， 1 则6+=0，解得 1b=3, 2' （b=3, 1 .直线BC:y=- 2+3 DE⊥AB,点D的横坐标为t,点D在抛物线上，点E在直 线BC上， ,+3,,+3, .'.DE= 12 2(0<6), ②存在. 等腰三角形， 1 .3√5 ·当DB=CE时，4+2=2， 解得t=6-2W5或t=0(舍去)， 4+3=x6-2.546-253=45-5, D(6-2W5,45-5). 当m=nm时+（树'-(+） 整理，得(-t+1)=0,解得t=1或t=0(舍去)， ,) 当m-cE时r('-(, 整理，得（信-+）=0， 解得t=2或t=6(舍去)或t=0(舍去)， 3=x2+2*3=4, D(2,4). 综上，△CDE是等腰三角形时，D(2,4)或D1,）或 D(6-25,45-5). (3)线段AG长度的最小值为25， [提示]在y轴负半轴上取点N(0,-6),连接NG并延长交 x轴于点M,连接AW,如图. 由旋转，得0E=0G,∠E0G=90° B(6,0),.0B=ON .∠B0N=90°， .∴.∠1=∠2=90°-∠M0G, ∴.△BOE≌△NOG(SAS), ∴.∠CBO=∠MNO, ·.点G在线段MN上运动（不包括 端点)， .当AG⊥MN时，AG最小 .'∠CBO=∠MN0,OB=ON,∠COB=∠MON, ·.△COB≌△MON(ASA), .OM=0C=3, .MW=√OM2+0W=35. 5 :当AGLN时，m=AM:0N=2MN.Ac, 1 1 25x6=2×35x1C,.AG=25, .线段AG长度的最小值为2√5. 15.解：(1)把点A(-1,0)代入y=a2- 22, 得+)-2=0，解得a=2 1 2 小抛物线的解折式为y=一号 2t2 (2)把y=0代入y= 2x-2=0, 解得x=-1或x=4,B(4,0). -123 把x=0代人y=22-2-2,得y=-2, .点C的坐标为(0，-2)， ·BC=V4+2=25,BC的解析式为y= 2t2 根据题意，得点D的坐标为(m,0), 把=m代入y=--2,得m 2m-2 把=m代入y=弓-2，得y=2m-2。 1 P,3m-2 1 1 ”2m-2Em,2m-2 0s=27,p=2m 1 PD⊥x轴，.PD/小y轴，.△BDE∽△BOC, .BD:BO=BE:BC,即BE·BO=BC·BD, E-(4-m. PE=5 86-4-m2m-4-m 1 解得m=或m=4舍)。 (3)存在，点日的坐标为（子，0）或（侵0）或 ((3 [提示]C(0,-2),F(1,0), .直线CF的解析式为y=2x-2, 当y=2x32=3M3） 2 :以F,M,N,H为顶点的四边形是平行四边形，点H在x 轴上，点N是x轴上方抛物线上的一点， 点N的纵坐标为3， 令y=3,即2-2=3， 3 解得x=-2或x=5. 当N(-2,3)时，FH=MN=, 点H的坐标为（子小支（侣 当N(5,3)时，F阳=MN=2 5 点H的坐标为(3,0或（子，0 3 综上，点H的坐标为(7或（号或(，0） 16.解：(1)：二次函数的图象经过点0(0,0)，A(4,0),B(1,3), 将三点坐标代入表达式，得 0=c, (a=-1, 0=16a+4b+c,解得{b=4, 3=a+b+c, c=0, .二次函数的表达式为y=-x2+4x. :直线经过A,B两点，设直线AB的表达式为y=kx+n(k≠O). 将A,B两点坐标代入，得0=4+n解得=1， (3=k+n, (n=4, .直线AB的表达式为y=-x+4. 点C是直线与y轴交点， ∴.在y=-x+4中，令x=0,则y=4,.C(0,4) (2)①如图1.点P在直线AB上方， .1<m<4. 由题，得P(m,-m2+4m),D(m,-m+4), .PD=yp-yo=-m2+4m+m-4=-m2+5m-4= (5129 -(m2+4 -1<0,1<4当m=时，Pm=号是最大值 EA 图1 图2 图3 ②存在. ,'∠PDB=∠ADE,∠ADE=∠ACO, ∴.∠BDP=∠ACO. .·△AOC是直角三角形 ∴.要使△BPD与△AOC相似，只有保证△BPD是直角三角 形就可以. (I)如图2，当∠BPD=90°时，△BPD∽△AOC, 此时BP∥x轴，B,P关于对称轴对称，.P(3,3) (Ⅱ)如图3，当∠PBD=∠A0C=90°时，△PBD△A0C, 此时AB⊥PB. kAc=-1,.kP=1, .直线BP的解析式为y=x+2 联立到g2 （y=x+2, 综上，存在点P使△BPD与△AOC相似，此时点P的坐标 为(3,3)或(2,4). 函数阶段测评 1B2.D3.A4.D5.B6.B7.C8.B9.C10.A L(3,30)2甲3.四14-号159163）” 17解：(1)将点A(-1,6)代入y=,得=-1x6=-6, ·反比例函数的表达式为y= 6 将点B(m,2)代人y=名得m=马=3， ∴.B(3,-2)