第20讲 矩形、菱形、正方形-【真题分类卷】备战2026中考数学专题分类卷

两边同时除以40，解得x≤18.25 ∴.每行可以先拼18块拼接单元 由40x18+10=730知，所拼长度为730cm, 剩余740-730=10(cm),无法再摆放组件， 计算方案二每行所需的正六边形和正三角形组件数量： 拼18块拼接单元， .共用去18个正六边形和2×18=36个正三角形组件. 由5×18+1×36=90+36=126知，方案二每行的成本为 126元. 由于每行宽度为20√5cm(按3=1.73计算)，设拼成 s行， 则20√3s≤600， 两边同时除以20,3，解得5≤600 =103≈17.3， 20W3 故需铺17行. 计算方案二的总成本：126×17=2142（元）. 故方案二所需的总成本为2142元. 第20讲矩形、菱形、正方形 1.D2.C3.B4.B52m6.2 7.(1)5(2)5 3 8.3或9 9.证明：.·四边形ABCD为矩形 ∴.AB=CD,∠B=∠C=90°. BE=CF,∴.BE+EF=CF+EF,即BF=CE. (AB=DC, 在△ABF和△DCE中，{∠B=∠C, BF=CE, ∴.△ABF≌△DCE(SAS),∴.AF=DE 10.(1)证明：.·在矩形ABCD中，∴.AB=CD,∠B=∠C=90°. I∠BAE=∠CDF, 在△ABE和△DCF中，{AB=DC, ∠B=∠C, ∴.△ABE≌△DCF(ASA). (2)解：由(1)知，△ABE≌△DCF, .∴.AE=DF=13. .·AB=12,∠B=90°，.BE=/AE2-AB2=5. 11.(1)证明：·D,E分别为AB,AC的中点， .DE是△ABC的中位线，.DEBC .DG=FC,.四边形DFCG是平行四边形 又：DF⊥BC,∴.∠DFC=90°， .四边形DFCG是矩形. (2)解：DF⊥BC,.∠DFB=90° ∠B=45°，∴△BDF是等腰直角三角形， ∴.BF=DF=3. .'DG=FC=5,.∴.BC=BF+FC=3+5=8. 由(I)可知，DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩形， DE-BC=4.CG-DF-3,LG90 ∴.EG=DG-DE=5-4=1, .CE=√CG+EG=√32+12=√I0, E为AC的中点， .AC=2CE=2/10. 12.C13.B14.D15.A16.AC⊥BD(答案不唯一) 17.1518.119.83 2 20.证明：.·四边形ABCD是菱形，.AB=BC ·AE=CF,∴.AB-AE=BC-CF,即BE=BF 在△ABF和△CBE中， AB=CB. ∠B=∠B,∴.△ABF≌△CBE(SAS),∴.AF=CE BF=BE. 21.(1)证明：如图，连接AC,BD交于点0，AC交FG于点N, BD交HG于点M. .·ABCD,AD∥BC .四边形ABCD是平行四边形 .·四边形EFGH是矩形， .∴.∠HGF=90 :点H,G分别是AD,DC的中点， ACGAC .∴.∠HGF=∠GNC,.∴∠GNC=90° 点G,F分别是DC,BC的中点， CF//BD.CF-2BD. .∠GNC=∠MOC=90°，∴.BD⊥AC, 四边形ABCD是菱形 (2)解：矩形EFGH的周长为22， .HG+FG=11,..AC+BD=22. 2XACXBD=10,.ACxBD=20. .(AC+BD)2=AC2+2xACxBD+BD2, AC+BD2=44,44C2+BD2=11, .A02+B02=111, .AB2=A02+B02=111,AB=√11T. 22.(1)证明：.·EF是AC的垂直平分线， ∴.EA=EC,FA=FC,OA=OC,∠AOE=∠COF=90° :四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,AB∥CD,∴.∠OAE=∠OCF. 在△OAE和△OCF中， ∠AOE=∠COF, 0A=0C, ∴.△OAE≌△OCF(ASA), ∠OAE=∠OCF, ∴EA=FC,∴EA=EC=FA=FC, .四边形AFCE是菱形. (2)解：四边形ABCD是平行四边形，AB=3,BC=5, .CD=AB=3,∠D=∠B. 由(1)知四边形AFCE是菱形，.∠ACB=∠ACE. :CE平分LACD,.∠DCE=∠ACE,.∠DCE=∠BCA. 又：∠D=∠B,.△CDE∽△CBA, DE CD DE 3 9 六ABBC35DE= 5 23.A24.C25.D26.C27.AC=BD(答案不唯一) 28.229.8 30.(1)证明：四边形ABCD是正方形，∴.AB=CD,ABCD. BE=DF,..AB-BE=CD-DF,..AE=CF. 又：AB∥CD,.四边形AECF是平行四边形. (2)解：过点E作EH⊥CD于点H,如图A 所示， ∴.∠EHC=∠EHF=90°. 四边形ABCD是正方形，BC=12, ∴AB=BC=CD=AD=12,∠B=∠BCD=90°， 3 ∴.∠EHC=∠B=∠BCD=90°， .·.四边形EBCH是矩形， .'EH=BC=12,CH=BE=5, .DH=CD-CH=12-5=7. BE=DF=5, ∴.HF=DH-DF=7-5=2. 在Rt△EFH中，由勾股定理，得EF=√E+HF产= w/122+22=2/37. 31.解：(1)四边形BPC0为平行四边形.理由如下： :四边形ABCD为平行四边形， 六0c=0M=24C,0B=0=子8D, 1 ~以点B,C为圆心，】AC,。BD长为半径画弧，两弧交于 点P, ∴.BP=OC,OB=CP ∴四边形BPCO为平行四边形. (2)当AC⊥BD,AC=BD时，四边形BPC0为正方形. [提示].AC⊥BD,∴.∠BOC=90° AC-BD,OB-7 BD.0C-7AC,..O8-0C. :四边形BPCO为平行四边形 .四边形BPCO为正方形. 32.解：(1)PA1+PA3=√2PA2 [提示]思路一：如题图2，在射线PA3上截取AQ=PA1,连 接A2Q ∠PA1A2+∠PA3A2=180, ∠QA3A2+∠A2A3P=180°， .∠A2A1P=∠A2A3Q. 又四边形AA2A3A4是正方形， .A2A1=A2A3, .∴.△QA3A2≌△PA1A,(SAS), .∠A1A2P=∠A3A2Q,A2P=A2Q 又：四边形A1A2A344是正方形， .∠A1A2A3=90°， ∴.∠PA2Q=90° ∴.△A2PQ是等腰直角三角形， ∴.PQ=PA3+A3Q=PA3+PA1=√2PA2 思路二：如题图3，过点A2作A,M⊥A,P交射线PA,于点 M,在PA2上截取A,N=A,M,连接A,N, ∠PA1A2+∠PA3A2=180°，∠PA1A2+∠A2A1M=180°， ∴.∠A2A1M=∠A2A3N. :四边形A1A2A3A4是正方形 .A1A2=A2A3,∠A1A2A3=90°， ∴.△A1A2M≌△A3A2N(SAS), .∠A1A2M=∠A3A2N,MA2=A2N,∠M=∠A2NA3=90°， .∠MA2N=∠A1A2A3=90°， ∴.∠M=∠MA2N=∠A2WNP=90°， .四边形A2MPN为正方形， .A2P=√2PM=√2(PA1+MA1)=V2(PA1+A3N),A2P= √2PN, .2A2P=√2(PA1+A3N+PN)=√2(PA1+PA3), .√2A2P=PA1+PA3 (2)正五边形的一个内角的度数为5-2)×180 =108°】 5 如图1，在射线PA3上截取A,Q=PA1,连接A2Q,过点A2作 A2T⊥PQ于点T. 2 同理，可得△QA3A2≌△PA1A2(SAS), ∴.∠A1A2P=∠A3A2Q,A2P=A2Q, ∴.∠PA2Q=∠A1A2A3=108°， A:T-2PQ54 PA1=11,PA3=49, .PO=PA3+AO=PA+PA =60, mP0=30, PT 30 PA,sim54o081≈37.0. (3)PA +PA=2PA2 sin 72 [提示]如图2，在射线PA3上截取AQ=PA1,连接A2Q,过 点A2作A2T⊥PQ于点T. 同理，可得∠PA2Q=∠A142A3= Q-A3 (10-2)×180°=14°，PA2=A2Q, 10 ∠P%r3∠P%Q=72, 图2 PT .PA=sin 720 .PQ=PA+AQ=PA+PA, 1 PT=2PQ=2(PA+PA,), PT 2(PA,+PA,) ∴.PA2= sin 720= sin 720, 即PA1+PA3=2PA2·sin72°. 第六章圆 第21讲圆的基本性质 1.A2.B3.64.310 5.解：(1)如图1，过点0作0D⊥AB,垂足为D. .AB=8,..AD=BD=- B=4. 1 4 在Rt△OBD中，.cos∠ABC= 0 BD 4 ∴.OB= CoS∠ABC4 =5, 5 图1 .⊙0的半径为5. (2)如图2，过点C作CE⊥AB,垂足为E. 1 0C=20B,0B=5, .BC 20B=75 OD⊥AB,CE⊥AB,.OD∥CE, OB BD 2 4 六BCBD3BEBE=6, 图2 AE=AB-BE=8-6=2. 在Rt△BCE中，CE=√BC2-BE=√7.52-6=4.5， 在Rt△ACE中，tanLBAC=CE_4,5_9 AE 2 4' :∠BAC的正切值为4 9 6.D7.C8.B9.C10.4011.66°12.55 13.(1)证明：，·∠AOC=2∠ABC,∠DAB+2∠ABC=180°， ∴.∠DAB+∠A0C=180°，∴.0C∥AD.第20讲矩形、菱形、正方形 考点一矩形的有关证明及计算 1.新课标·条件开放(2025·德阳)如图，要使平行四边形ABCD是 矩形，需要增加的一个条件可以是 () A.AB∥CD B.AB=BC C.∠B=∠D D.AC=BD 0 第1题图 第2题图 2.（2024·成都)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点 0,则下列结论一定正确的是 () A.AB=AD B.AC⊥BD C.AC=BD D.∠ACB=∠ACD 3.（2025·绥化)一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一 个交角为60°，则这个矩形的面积是 A.25 B.253 C.255 D.503 4.(2025·广东)如图，在矩形ABCD中，E,F是BC边上的三等分 点，连接DE,AF相交于点G,连接CG.若AB=8,BC=12,则 tan∠GCF的值是 () A.0 B、1 c.310 2 D 10 3 10 D E 第4题图 第6题图 5.(2025·湖北)一个矩形相邻两边的长分别为2，m,则这个矩形的 面积是 6.（2025·宜宾)如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在BC,CD上，且 EFBD,把△ECF沿EF翻折，点C恰好落在矩形对角线BD上的点 M处若A,M,E三点共线，则0的值为 DC 7.(2025·天津)如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,点E在边BC 上，且EC=2BE. (1)线段AE的长为 (2)F为CD的中点，M为AF的中点，N为EF上一点，若 L∠FMN=75°，则线段MN的长为 D M D F B E 第7题图 第8题图 8.(2025·龙东)如图，在矩形ABCD中，AD=6,∠CAD=60°，点E 是边CD的中点，点F是对角线AC上一动点，作点C关于直线 EF的对称点P,若PE⊥AC,则CF的长为 9.（2024·陕西)如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F在边BC 上，且BE=CF,求证：AF=DE B E 10.（2025·吉林)如图，在矩形ABCD中，点E,F在边BC上，连接 AE,DF,∠BAE=∠CDF (1)求证：△ABE≌△DCF. (2)当AB=12,DF=13时，求BE的长 11.（2025·北京)如图，在△ABC中，D,E分别为AB,AC的中点， DF⊥BC,垂足为F,点G在DE的延长线上，DG=FC. (1)求证：四边形DFCG是矩形 (2)若∠B=45°，DF=3,DG=5,求BC和AC的长 考点二菱形的有关证明及计算 12.（2025·湖南)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相 垂直平分，AB=3,则四边形ABCD的周长为 () A.6 B.9 C.12 D.18 B B E 0 A H 第12题图 第13题图 13.（2023·深圳)如图，在平行四边形ABCD中，AB=4,BC=6,将线 段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF,若四边形ECDF 为菱形时，则a的值为 () A.1 B.2 C.3 D.4 14.(2024·通辽)如图，口ABCD的对角线AC,BD交于点O,以下条 件不能证明口ABCD是菱形的是 A.∠BAC=∠BCA B.∠ABD=∠CBD C.0A2+0B2=AD2 D.AD2+0A2=0D2 第14题图 第15题图 15.(2024·济宁)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E 是AB的中点，连接OE.若OE=3,则菱形的边长为() A.6 B.8 C.10 D.12 16.新课标·条件开放(2025·龙东)如图，在平行四边形ABCD中， 对角线AC,BD相交于点O,请添加一个条件 ,使平行 四边形ABCD为菱形. 第16题图 第17题图 17.（2025·云南)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点 O.若AC=6,BD=5,则菱形ABCD的面积是 18.(2025·福建)如图，菱形ABCD的对角线相交于点O,EF过点 0且与边AB,CD分别相交于点E,F.若OA=2,OD=1,则△AOE 与△D0F的面积之和为 WwM A 0 D B 第18题图 第19题图 19.(2024·广西)如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一 起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的 周长为 cm. 20.(2025·泸州)如图，在菱形ABCD中，E,F分别是边AB,BC上 的点，且AE=CF.求证：AF=CE. 21.（2024·云南)如图，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是各 边的中点，且AB∥CD,ADBC,四边形EFGH是矩形. (1)求证：四边形ABCD是菱形. (2)若矩形EFGH的周长为22，四边形ABCD的面积为10，求AB 的长 22.（2025·扬州)如图，在口ABCD中，对角线AC的垂直平分线与 边AD,BC分别相交于点E,F. (1)求证：四边形AFCE是菱形 (2)若AB=3,BC=5,CE平分∠ACD,求DE的长 考点三正方形的有关证明及计算 23.（2025·自贡)如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的 边长为5，AB边在y轴上，B(0,-2).若将正方形ABCD绕点O 逆时针旋转90°，得到正方形A'B'CD',则点D'的坐标为() A.(-3,5) B.(5,-3) C.(-2,5) D.(5,-2) D'. D H A'B' 0 第23题图 第24题图 24.(2024·广西)如图，边长为5的正方形ABCD,E,F,G,H分别为 各边中点.连接AG,BH,CE,DF,交点分别为M,N,P,Q,那么四 边形MNPQ的面积为 () A.1 B.2 C.5 D.10 25.（2025·深圳)如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点A与对 角线的交点0重合，EF为折痕，则5的值为 () CG 1 1 A B. 2 2 C. 2 D. 3 D C A B 第25题图 第26题图 26.(2025·陕西)如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中 点，点F在AD上，EF⊥EC,则△CEF的面积为 () A.10 B.8 C.5 D.4 27.新课标·条件开放(2024·龙东)如图，在菱形ABCD中，对角线 AC,BD相交于点O,请添加一个条件 使得菱形 ABCD为正方形. 45 28.（2024·兰州)如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角 形，EF⊥AB于点F,若AD=4,则EF= D 第28题图 第29题图 29.(2025·北京)如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE, 垂足为F,若AB=1,∠EBC=30°，则△ABF的面积为 30.（2025·长沙)如图，正方形ABCD中，点E,F分别在AB,CD上， 且BE=DF. (1)求证：四边形AECF是平行四边形 (2)连接EF,若BC=12,BE=5,求EF的长. 46 31.（2023·十堰)如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点 0,分别以点B,C为圆心，2AC,2BD长为半径画弧，两孤交于 1 点P,连接BP,CP (1)试判断四边形BPCO的形状，并说明理由 (2)请说明当平行四边形ABCD的对角线满足什么条件时，四边 形BPCO是正方形？ 32.新考法·迁移探究(2025·烟台)【问题呈现】 如图1，已知P是正方形A1A2A3A4外一点，且满足∠PA1A2+ ∠PA3A2=180°，探究PA1,PA2,PA3三条线段的数量关系 小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：如图2，构造△QAA2与△PAA2全等，从而得出PA1+ PA3与PA2的数量关系； 思路二：如图3，构造△MAA2与△NA3A2全等，从而得出PA1+ PA3与PA2的数量关系 图1 图2 图3 (1)请参考小颖的思路，直接写出PA,+PA,与PA2的数量关系 【类比探究】 (2)如图4，若P是正五边形A1A2A3A4A5外一点，且满足 ∠PAA2+∠PAA2=180°，PA1=11,PA3=49,求PA2的长度.（结 果精确到0.1，参考数据：sin54°≈0.81，sin72°≈0.95， c0s54°≈0.59，c0s72°≈0.31) 图4 【拓展延伸】 A (3)如图5，若P是正十边形A42…A0外一点，且A 满足∠PA1A2+∠PA3A2=180°，则PA1,PA2,PA3三条 A2 线段的数量关系为 .（结果用含有锐角三 角函数的式子表示)》