第17进 相似三角形-【真题分类卷】备战2026中考数学专题分类卷

第17讲相似三角形 考点一比例线段及比例的有关性质（含黄金分割） 1.（2024·哈尔滨)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,点E在AB 上，EF∥AD交CD于点F,若AE:BE=1:2,DF=3,则FC的长为 () A.6 B.3 C.5 D.9 M C 第1题图 第3题图 2.(2025·成都)若分3，则的值为 3.(2024·山西)黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正 方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割 线的端点A,B分别在习字格的边MN,PQ上，且AB∥WP,“晋”字 的笔画“”的位置在B的黄金分割点C处，且C者 NP=2cm,则BC的长为 cm.(结果保留根号) 4.新课标·跨美术学科(2024·常州)书画装裱，是指为书画配上衬 纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊 艺术.如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2m×0.8m.装裱后， 上、下、左、右边衬的宽度分别是am,bm,cm,dm.若装裱后AB 与AD的比是16：10，且a=b,c=d,c=2a,求四周边衬的宽度， D四 a m 0.8n 1.2m 38 考点二相似三角形的判定与性质 角度①A字型 5.（2025·云南)如图，在△ABC中，已知D,E分别是AB,AC边上 的点，且Dac若份}则 () BC 1 1 A. B. 1 1 C. 4 D. 5 EA C B 第5题图 第6题图 6.（2025·宜宾)如图，一张锐角三角形纸片ABC,点D,E分别在边 AB,AC上，AD=2DB,沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分，则 瓷西值为 () A.1 B.2 C.3 D.4 7.新课标·条件开放(2024·滨州)如图，在△ABC中，点D,E分别 在边AB,AC上.添加一个条件使△ADE∽△ACB,则这个条件可 以是 .(写出一种情况即可) C2 B D D B 第7题图 第8题图 8.（2024·河北)如图，△ABC的面积为2，AD为BC边上的中线，点 A,C1,C2,C3是线段CC4的五等分点，点A,D1,D2是线段DD3的 四等分点，点A是线段BB,的中点. (1)△AC,D1的面积为 (2)△B,C4D3的面积为 9.(2024·甘孜州)如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，连接BD,过 点C作CE⊥AB,垂足为E,CE交BD于点F,∠1=∠ABC (1)求证：∠2=∠3. (2)若∠4=45°. ①请判断线段BC,BD的数量关系，并证明你的结论. ②若BC=13,AD=5,求EF的长. 4 角度②8字型 10.新课标·条件开放(2024·青海)如图，AC和BD相交于点0，请 你添加一个条件 ,使得△AOB∽△COD. D B 第10题图 第11题图 11.（2024·乐山)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,对角线AC和BD 交丁点0，若40-，则 S△AOD= SABCD 3, S ABOC 角度③手拉手型 12.（2024·江西节选)综合与实践 如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的动点（点D与点A不 重合)，连接CD,以CD为直角边在CD的右侧构造Rt△CDE, LDCE=90°，连接BE,0=m =m. 特例感知 (1)如图1，当m=1时，BE与AD之间的位置关系是 数量关系是 类比迁移 (2)如图2，当m≠1时，猜想BE与AD之间的位置关系和数量 关系，并证明猜想 图1 图2 角度④一线三等角型 13.新考法·过程性学习及应用(2024·青海)【感知特例】 (1)如图1，点A,B在直线l上，AC⊥L,DB⊥L,垂足分别为A,B, 点P在线段AB上，且PC⊥PD,垂足为P. 结论：AC·BD=AP·BP. (请将下列证明过程补充完整) 图1 证明：AC⊥l,BD⊥1，PC⊥PD, .∠CAP=∠DBP=∠CPD=90°， .∠C+∠APC=90°，」 +∠APC=90°. ,(同角的余角相等) ..△APC∽ ,(两角分别相等的两个三角形相似) ,(相似三角形的对应边成比例) 即AC·BD=AP·BP. 【建构模型】 (2)如图2，点A,B在直线I上，点P在线段AB上，且∠CAP= ∠DBP=∠CPD.结论AC·BD=AP·BP仍成立吗？请说明 理由. 图2 【解决问题】 (3)如图3，在△ABC中，AC=BC=5,AB=8,点P和 点D分别是线段AB,BC上的动点，始终满足 ∠CPD=∠A.设AP长为x(0<x<8),当x= 图3 时，BD有最大值是 考点三相似三角形的实际应用 14.新课标·跨物理学科(2025·内江)阿基米德曾说过：“给我一 个支点，我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠杆原理：通过 调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物，这一原理 在生活中随处可见.如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用 力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所示，动力臂OA= 150cm,阻力臂0B=50cm,BD=20cm,则AC的长度是() 0D A.80 cm B.60 cm C.50 cm D.40 cm 15.新课标·操作探究(2025·河南)焦裕禄纪念园是全国重点革命 烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的 中心.某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录 如下. 活动主题 测量纪念碑的高度 A 实物图和 测量示 意图 N FMD 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶 端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶 测量说明 端E的影子落在点F处，位于点M处的观测者眼睛所在位 置为点N,点N,E,A在一条直线上，纪念碑底部点B在观 测者的水平视线上. 测量数据 DE=2.1 m,DF=2.1 m,DM=1 m,MN=1.2 m 备注 点F,M,D,C在同一水平线上 根据以上信息，解决下列问题， (1)由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD=CA, 请说明理由 (2)求纪念碑AB的高度， (3)小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高 度约为18.5m.查阅资料得知，纪念碑的实际高度为19.64m 请判断小红的结果和(2)中的结果哪个误差较大？并分析误差 较大的可能原因.（写出一条即可） 3917.解：(1)∠ABC=90°，∠ACB=30°， .∠BAC=60°. AD是∠BAC的平分线， ∠DAG=∠DMB=LBMC=30. .∠ADC=∠DAB+∠ABC=120°. (2)由作图，知MW是线段CD的垂直平分线， DE=CE-2 CD.LFED=90 .:∠DAC=∠C=30°，.AD=CD ∠ABC=90°，∠DAB=30°，AB=3, ..AD=AB cs30°=23，BD=1 D=1 -2 CD=DE. 又.∠ADB=∠FDE,∠ABD=∠FED=90°， ∴.△ADB≌△FDE(ASA), .DF=AD=23. 18.(1)w/13 (2)取点E,F,得到正方形ABEF,AF交格线于点D,BE交 格线于点C,连接DC,得到矩形ABCD,即为所求. 19.解：(1)如图1，点D即为所求. (2)如图2，分别取BC,AC的中点D,E,连接AD,BE相交 于点0，则点0即为所求 图1 图2 第17讲相似三角形 1.A2.43.(5-1) 4.解：由题意，得AB=(1.2+c+d)m,AD=(0.8+a+b)m. a=b,c=d,c=2a, .∴.AB=1.2+c+d=(1.2+4a)m,AD=0.8+a+b=(0.8+2a)m .·AB与AD的比是16：10， ∴.(1.2+4a):(0.8+2a)=16:10, a=0.1,b=0.1,c=d=0.2, 故上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1m,0.1m,0.2m, 0.2m. 5.A6.C7.∠ADE=∠C(答案不唯一)8.(1)1(2)7 9.(1)证明：.CE⊥AB,.∠CEB=90°=∠A, ∴.∠1+∠3=90°，∠2+∠ABC=90°. .:∠1=∠ABC,.∠2=∠3. (2)解：①BC=BD. 证明如下：设∠2=∠3=x, ∴.∠BFE=90°-x=∠DFC .∠4=45°， .∠CDB=180°-45°-(90°-x)=45°+x. .:∠BCD=∠4+∠2=45°+x, .∴.∠BCD=∠BDC,.BC=BD 2 ②.：BC=BD=13,AD=5,∠A=90°， .∴.AB=√169-25=12. ∠CEB=LA,∠2=∠3，BC=BD, .△EBC≌△ADB(AAS),∴.BE=AD=5. ∠FEB=∠A,∠3=∠3，∴.△EFBM△ADB, EF BE EF 5 .ADAB'·512: 10∠A=Lc(答案不雅-）山) 12.解：(1)AD⊥BEAD=BE [装示]5得m=1, .CE=CD,CB=CA. .·∠ACB=∠DCE=90°， ∴.∠A=∠ABC=45°，∠ACD=∠BCE, ∴.△ACD≌△BCE(SAS), ∴.AD=BE,∠A=∠CBE=45°， .∠ABE=90°，.AD⊥BE. (2)AD 1 BE,BE=mAD. 证明如下：.∠ACB=∠DCE=90°， ∴.∠ACD=∠BCE. CE CB CDCA=m,△ADC△BEC, BE_BC AD AC =m,∠CBE=∠A,.BE=mAD. .∠A+∠ABC=90°， .·.∠CBE+∠ABC=90°， ∴.∠ABE=90°，∴.AD⊥BE 13.解：(1)∠BPD∠C∠BPD△BDP AC AP BP BD （2)成立.理由如下： :∠C+∠CAP+∠APC=LAPC+∠CPD+∠BPD=18O°， ∠CAP=∠DBP=∠CPD, ∴.∠C=∠BPD,∴.△APCM△BDP, 那的)即AC·BD=AP·BC 63419 [提示]：AC=BC=5,LA=∠B, .·∠CPD=∠A,∠CPB=∠CPD+∠BPD=∠ACP+∠A, ∴.∠ACP=∠BPD, AC AP △APCM△BDP,BPBD 设AP长为x(0<x<8),则BP=8-x, 5x 小8BD 5 =4y+5 1 0.0<8当=4时，B0有最大值9 14.B 15.解：(1)·太阳光下，纪念碑顶端A的影子落在点D处，同 一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处， ACDE CD DF 标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，即DE=DF, .∴.CD=CA. (2)如图，令BN与DE的交点为H --- E NH B FMD C 由题意知，四边形BCDH和四边形MNHD是矩形， ∴.CD=BH,∠EHN=90° .'DE=2.1m,DF=2.1m,DM=1m,MW=1.2m .BC=DH=MN=1.2 m,NH=DM=1 m, .'EH=DE-DH=0.9 m. 设AB=xm,则AC=AB+BC=(1.2+x)m, .∴.BH=CD=(1.2+x)m, .NB=BH+NH=(2.2+x)m. .'EHAB,∴.△NEH∽△NAB, EH NH 0.9 1 极N阳￥2.2+x解得x=19.8 答：纪念碑AB的高度为19.8m (3)小红的结果误差较大. 原因是：纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，点C的位置 无法正确定位，使得CD的长存在误差，影响计算结果.（答 案不唯一，合理即可) 第18讲锐角三角函数 1.C2.A3.B40 5.解：原式=1-3+6+5-2×)=1-3+6+5-1=8. 6.B7.A83或292 1 10.解：(1).AD⊥BC,AB=10,AD=6, .BD=√AB2-AD2=√102-62=8 .:tan∠ACB=1,∴.CD=AD=6, ∴.BC=BD+CD=8+6=14. (2:AE是BC边上的中线，…CE= 2BC=7, .DE=CE-CD=7-6=1. AD⊥BC,.AE=√AD2+DE=V√62+1=√37， DE1√37 ∴.sin∠DAE= AE√3737 11.D12.1.8 13.解：(1).EG⊥AB,AB⊥BD,EN⊥BD: .四边形BNEG是矩形，.EN=BG. 在Rt△AEG中，AE=13分米，EG=12分米， .AG=√AE-EG=√132-122=5（分米）， .BG=AB-AG=14分米，..EN=14分米，即MN=14分米 答：该连衣裙MN的长度为14分米. (2)如图所示，过点E作EH⊥AB于点H,延长EN交BD 于点T. E(M) B D .'AB⊥BD,EH⊥AB,ET⊥BD. 2 .四边形BTEH是矩形，.ET=BH, 在Rt△AEH中，.·AE=13分米，∠HAE=76.1°， .AH=AE·cos∠HAE=13×Cos76.1°≈13×0.24=3.12（分米）. AB=19分米，∴.BH=AB-AH=15.88分米， ET=BH=15.88分米. EN=14分米，.NT=ET-EN=15.88-14=1.88≈2（分米）. 答：此时该连衣裙下端N点到地面水平线1的距离约为 2分米 14.120W3 15.解：如图，延长DF与AB相交于点G. G 39F22D A E C 根据题意，可得DG∥CA,∠GDB=22°，∠GFB=31°， ∠DGB=90°，AG=EF=CD=1.7,DF=CE=32. 在Rt△FGB中，：tan∠GFB= F,.GF=GB GB tan 31* 在Rt△DGB中，'unLCDB= CD CD=-GB tan 220 .GF+DF=GD,. tan 310+32=GB GB tan 220, GB=32xan20am,31°32x0406-=38.4, tan31°-tan22° 0.6-0.4 ∴.AB=AG+GB=1.7+38.4≈40 答：世纪钟建筑AB的高度约为40m. 16.解：(1)如图，过点B作BE⊥AC于点AE E.设BE=x. 依题意，得∠EBC=53°，∠EBD=45°， 1 CD=10x2=5, ∴.∠C=90°-LEBC=37°，ED=x, ∴.EC=ED+DC=x+5. 在R△BCE中，：EC=BE x4 tan C tan37°0.75-3x, 4 六3=+5，解得x=15, ∴.渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15海里. (2)在Rt△ABE中，.·∠ABE=14°，BE=15, AE=BEtan14°≈15×0.25=3.75， ∴.AC=AE+DE+DC=3.75+15+5=23.75. 23.75÷10=2.375小时=142.5分钟， 从14：30经过142.5分钟是16：52：30， .在17：30之前能到达， ·.不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A 17.15w3m 18.解：(1)a,c,e,f (2)如图，过点A作AM⊥CB于点M,则∠AMB=90 水面 :横 D :截 地平面月 DE⊥CB,∴.DE∥AM, △CDB∽△CAM,AMCA' DE CD