2026年中考数学复习《相似三角形的应用》考前适应性综合练习题

**基本信息** 以相似三角形判定与性质为核心，通过实际情境问题构建“模型抽象-相似应用-方程求解”的方法体系，强化数学建模与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|单选1-7、填空8-14|相似比直接计算、构造“A”“X”型相似|从相似三角形概念到判定（AA/SAS），再到性质（对应边/高成比例）的应用| |综合应用|解答15-18|动态问题转化、多三角形相似联动|结合投影、测量等实际场景，建立“实际问题-几何模型-相似方程”的解决链条| |跨学科探究|解答19-20|跨学科情境建模（物理光学/生活实践）|融合光的直线传播、杠杆原理等，体现数学与现实世界的逻辑联系|

2026年九年级数学中考复习《相似三角形的应用》考前适应性综合练习题（附答案） 一、单选题 1．杠杆原理在生活中随处可见．如图是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆的一端时，另一端就会撬动石头．若动力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 2．如图，木棒竖直举起靠近墙面，打开手机手电筒P照射木棒（点P在的垂直平分线上且位于右侧），在墙面上形成投影，已知，，此时点P到的距离为，若木棒不动，水平移动手机手电筒P使投影的长度缩短，则点P相对于木棒的移动方式（   ） A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 3．如图，是一束平行光线从教室窗户射入教室的平面示意图．光线与地面所成的角，落在教室地面的影长米．若窗户的下檐到教室地面的距离米，则窗户的上檐到教室地面的距离为（   ） A．2米 B．3米 C．米 D．米 4．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（    ）． A．尺 B．尺 C．尺 D．13尺 5．据《墨经》记载，在两千多年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，阐释了光沿直线传播的原理．如图所示的小孔成像实验中，若蜡烛火焰的高度为，蜡烛火焰的像的高度是，物距为，则像距是（   ） A． B． C． D． 6．一个正在装修的房间里，有一个靠墙竖立的梯子（梯子顶端靠在墙上，底端在地面）．离梯子底端1米处（）有一把垂直于地面的椅子，椅子的影长米（影子投射在地面上）．为了测量椅子的高度，小明在梯子的另一侧离梯子底端4米处（）竖起一根1米高的竹竿，测得竹竿的影长米，则椅子的高度为（   ） A．2米 B．1.5米 C．3米 D．2.5米 7．凸透镜成像的原理如图所示，若蜡烛（）到焦点（）的距离与焦点（）到凸透镜的中心线的距离之比为，蜡烛的高度为，则放大的实像（）的高度为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，小明在时测得某树的影长为时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为__________m． 9．如图所示，东边墙壁上点 处有一盏灯，从其发出的光线照射到一张长为尺，高为尺的桌上(尺，尺)，形成的影长尺，尺，则灯的高度为______尺． 10．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐述了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．若物体的高为，小孔的高度为，则实像的高度为_____． 11．某店铺在窗户上方安装一个遮阳棚，如图所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚固定点A距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角为．在某一时刻，一位身高的顾客在太阳光下的影长，则此时遮阳棚在地面上的影长为______m． 12．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，则液面为______cm． 13．如图,小刚正在使用手电筒进行物理学实验，手电筒位于点G处，手电筒的光从平面镜上的点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，现测得米，米，米，米，已知图中点A，B，C，D在同一水平面上（物理学中入射角等于反射角），，，，则的长为______米． 14．小明想利用树影测树高，他在某一时刻测得长为的竹竿影长，但当他马上测树高时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子上了墙如图所示．他测得留在地面部分的影子长，留在墙壁部分的影高，则树的高度为_____． 三、解答题 15．如图，商场门口有一路灯杆．在灯光下，小明在点处的影长米，沿方向行走到达点，米，这时小明的影长米．如果小明的身高为米，求路灯杆的高度． 16．在一个阳光明媚的中午，小明准备测量教学楼前的一棵树的高度，如图，阳光下，树顶端的影子落在地面处，教学楼顶端平行于地面，的影子落在地面处，小明在处测得的俯角为，已知图中所有点均在一个平面内，点在一条直线上，测得，求树的高（结果精确到，参考数据：） 17．如何拍出大长腿的效果？ 【数学眼光】 如图①，低角度拍摄，并结合仰拍技巧，可以有效地拉长腿部线条． 【数学思维】 (1)针孔相机的成像原理：如图②，由于光的直射，人的足部与头部通过小孔的成像分别在，处，线段的像是线段，上点的像是点．若，求证：． 【数学语言】 (2)如图③，小美站立在处，摄影师给小美仰拍．小美的身高的像为，腿部的像为．若，，，，，则______． 18．某数学兴趣小组用学过的数学知识测量宝鸡市卧龙寺内千佛铁塔的高度，活动报告如表： 活动名称 测量卧龙寺内千佛铁塔的高度 测量过程及示意图 如图，在斜坡顶端的点C处放置一面平面镜C（大小忽略不计），当小组成员甲蹲在点B处时，恰好在平面镜中看到千佛铁塔顶端M点的像，利用皮尺测出、、、的长及点D到点C正下方点E的距离    测量数据 ，，，， 图形说明 ，，，，点N、D、E在同一直线上，图中所有的点在同一平面内 请根据活动报告中的信息，求出千佛铁塔的高度． 19．【阅读材料】 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3、图4是它在不同情况下的侧面示意图，，为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转的过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整，且米． 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值． 时刻/时 12 13 14 15 角的正切值 5 2 1.25 【问题解决】 (1)当时． ①如图2，这天15时太阳光线刚好照射到墙角处，则此时刻角的正切值_________； ②如图3，这天13时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离； (2)如图4，旋转摇臂，使得点与墙壁的距离为1.2米，为使绿萝在这天14时不被阳光照射到，身高1.1米的小明将绿萝搬至14时刚好不被阳光照射到的地方，请通过计算判断他在绿萝摆放处站直时头顶是否会碰到摇臂？ 20．问题情境：镜子可以帮助我们正仪表、正衣冠、端正品行．现需要购买一面长方形的平面镜，垂直地面安装在教室墙上，使镜子可以照全每个同学的全身像．已知某厂家提供的镜子宽度一致且可以照全每个同学的人体宽度，仅考虑镜子的长度来节约购买成本． (1)【探究一】 人照镜子利用的物理知识是光的反射定律，其成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称．如图1，线段表示人的身高，其中点表示头顶，点表示脚底，点表示眼睛（位于上），表示平面镜，线段表示在镜中的虚像．设人的身高为，能看到全身像的最短镜子长度为，求与之间的函数表达式． (2)【探究二】 如图2，现购买了一面长的镜子并安装在墙上．小亮身高为，他正立在镜子前某处，眼睛却只能看到部分人像，看到部分人像的长度为．可见，要想看到自己的全身像，仅仅考虑最短镜长还不够，还要考虑安装的位置．若小亮保持正立姿势，镜子竖直下移至合适位置，眼睛便能看到全身像，求下移的距离． (3)【探究三】 通过测量与统计，全班同学身高最矮为，最高为．忽略个体差异，统一记每人眼睛到头顶的距离为．在确保全班每个同学正立姿势的情况下，求全班都能看到全身像的最短镜长．（用含、、的代数式表示） 参考答案 1．B 【分析】证明，得到，代入相关数值并求出的值即可． 【详解】解：，， ， ∴， ∵，， ∴ 解得． 2．B 【分析】过点P作于点F，交于点E，证明得，即可求出，移动后过点作于点，交于点，，同理，则，即，求出，即可求解． 【详解】如图，过点P作于点F，交于点E， ∵， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 移动后如图，过点作于点，交于点， ∵投影的长度缩短了， ∴， 同理， ∴，即， ∴， 经检验，是原分式方程的根， ∴点P相对于木棒向右平移了． 3．B 【分析】先利用平行得到，结合30度所对的直角边等于斜边的一半以及勾股定理求得，再证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴米． 4．C 【分析】将实际问题转化为几何模型，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可． 【详解】解：设树高为尺， 如图，过C作，分别交标杆、树于点、， ， 可知， ∴， 由题意可知（尺），步，（步），尺， ∴， 解得， 故树高为尺． 5．D 【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的高的比等于相似比．如图，先证，再根据相似三角形的高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：如图， 由题意可知，，，， ，， ， ，即， 解得， 即像距是． 故选：D． 6．B 【分析】本题考查相似三角形的应用，中心投影等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 先证明，推出，求得米，再证明，得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵米，米，米 则米， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，则米， ∴， ∴米， 故选：B． 7．D 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，从实际问题中找到相似三角形并利用相似三角形的性质进行求解是解题的关键．依题意四边形为矩形，得到，再根据，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即, 故选：D． 8．4 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，结合题意证明，由相似三角形的性质可得，然后代入求值即可． 【详解】解：如图，在中，由题意得，，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，解得（负值舍去）， 即树的高度为． 故答案为：4． 9． 【分析】设尺，可得尺，尺，再由和可得，即得，得到，最后代入解答即可求解． 【详解】解：由题意可得，尺，， 设尺， ∵尺，尺， ∴尺，尺， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴尺． 10．3 【分析】由题意可得出，，再根据相似三角形的性质得出比例式求出的长即可． 【详解】解：，，， ， ，， ， ， ， ． 11．() 【分析】作，作，可得四边形是矩形，进而得，再解直角三角形求出，然后求出，接下来说明，可求出，最后根据得出答案． 【详解】解：如图所示，过点B作于点N，作于点M， ∴四边形是矩形， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 12． 3 【分析】利用相似三角形对应高的比等于相似比进行计算，首先计算出图1和图2中圆锥形杯身中液体部分的高度，然后利用比例关系求解． 【详解】解：设图1中杯口直径为，图2中液面直径为，杯身尖端为点， 由图1可知，杯身部分（圆锥部分）的高度为，杯口直径 ， 由图2可知，液面在杯身部分的高度为 ， 液面与杯口平行， ， 液面直径与杯口直径的比等于对应高度的比 ， 即， ， 解得， 故液面为 ． 13．5 【分析】设，则，证，根据求出，，再证，根据求解即可解答． 【详解】解：设，则， ∵，， ∴， ∵在点B处反射后为， ∴， ∴， ∴即， 解得，即，则， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，即， 解得． 14．/米 【分析】本题主要考查的是相似三角形的应用：构造相似三角形进行求解即可． 【详解】解：如图： 为竹竿，为它的影子，， 为树，是树的影子，． 过作于，则由题可知， ， ， ∴四边形是矩形， ∴树高， 故答案为：． 15．路灯杆的高度为米． 【分析】证明，可得，可得，证明，可得，可得，即可得路灯杆的高度． 【详解】解：根据题意可得，米， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴路灯杆的高度为米． 16．树的高度约为 【分析】如图，过点作于点，则四边形和四边形为矩形，易得；设，则，证明可得，即、，再在中解直角三角形即可． 【详解】解：如图，过点作于点，则四边形和四边形为矩形， ， 设，则， 由题意知， ， ， ， ， ， ， ∵在处测得的俯角为， ∴ 在中，，解得：． 答：树的高度约为． 17．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，可证，，再利用相似三角形对应边成比例推导即可； （2）作，，分别交直线于点，，通过证明，，得到，，再证明，结合已知，计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴，， ∴，即； （2）解：如图，作，，分别交直线于点，， 同理，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 18．千佛铁塔的高度为 【分析】延长交于点F，利用勾股定理求出，然后证明出四边形是矩形，得到，，，证明出，得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：延长交于点F， 在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴千佛铁塔的高度为． 19．(1)①，② (2)会，计算见解析 【分析】（1）①过点作于点，四边形是正方形，由此利用锐角三角函数即可求解；②过点作于点，在中解直角三角形即可； （2）过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形，得出，由表中数据得，14时点最靠近墙角，通过解直角三角形和相似三角形的判定和性质即可得解． 【详解】（1）解：①如图，过点作于点， 由题意，得， 四边形是矩形. 又， 四边形是正方形， ， ； ②如图，过点作于点， ，， 在中，， 即，解得， ； （2）解：如图，过点作于点，过点作于点， 则， ， ， 14时点最靠近墙角， 在中，， ，解得， ， 作交于点，交于点，则四边形和是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴他在绿萝摆放处站直时头顶会碰到摇臂． 20．(1) (2)下移的距离为 (3) 【分析】（1）由相似三角形的判定与性质求解即可； （2）结合（1）中证明过程求出看到部分人像的长度为时镜子的位置，再由（1）中结论求出看到全身像时镜子的位置，作差即可确定下移距离； （3）根据题意分析最矮的同学的身高决定镜子的下沿不得低于的高度为，最高的同学的身高决定镜子的上沿不得高于的高度为，结合相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称， ，， ， 则， ， ， ， 则， ， ，则， 即与之间的函数表达式为； （2）解：由成像原理作出看到部分人像的长度为的图形，过点作的平行线分别交于点，如图所示： ，， ， 即， ， ， 则， ， 由成像原理作出镜子竖直下移至合适位置，眼睛能看到全身像的图形，如图所示： 由（1）可知，， ， ， 即下移的距离为； （3）解：根据题意得：最矮的同学的身高决定镜子的下沿不得低于的高度为， 由（1）同理得， 最高的同学的身高决定镜子的上沿不得高于的高度为， 由（1）同理得， ∴最小的镜子长为：． 学科网（北京）股份有限公司 $