第11讲 二次函数的图象与性质-【真题分类卷】备战2026中考数学专题分类卷

由①，得k=ab,将其代入②，得=a+b, a-b 整理，得62+ab-a2=0, 解得6=-atV0-4x1x(-a】-at5a 2 2 6,s1+ 20,6=1-5 2a(舍去)， 5455.5 s5,ce35ca,m,05。 a, AB=1+5 2a. BC·cE=a·35a=2a2,BB=5-l/ 2 a= 23-52 2 1+5w5-1 AB·AD= 2a·2a=a2,BD2=a2, BC BE AB BD BE CE'BD AD' .点E,D分别为BC,AB的中外比点. :点E在反比例函数y=冬(k>0,x>0)的图象上， 3-5.5+1)】 2a,2 3-55+15-12 ..k= 2a 2a- 22, 5-10 ·反比例函数的解析式为y= 2 设直线OB的函数解析式为y=gx(g≠O) a,1+5代入，得g=5+1 将点Ba,2) 2 .直线OB的函数解析式为y= √5+1 2*. √5+1 y= 2t, 5-1 联立 5-1。解得 2,(负值已舍去) =- 24 （y=a, :F5-1.OB_OF f2a,a心0FBF, .点F为OB的中外比点. 第三种情况：当∠E0D=90°时，则点E,D分别位于y轴、 x轴上，与反比例函数不符，因此这种情况不存在. 综上所述，当△ODE是等腰直角三角形时，点D,E,F分别 为AB,BC,OB的中外比点. 23.A24.0.525.1600026.4 27.解：(1)100[提示]根据表格中的数据发现： 1×300=1.5×200=2×150=2.5×120=300, 因此点A与点O的距离l与拉力F的乘积不变， a-0-10m (2)描点，画F与1之间的函数图象，如图所示. ↑FN 300-1-￥- --- 200 1001--1 0123451m (3)拉力F减小.理由如下：由函数图象，可知F是1的反 比例函数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数 的性质可知，F随1的增大而减小，所以当OA的长增大时， 拉力F减小. 第11讲二次函数的图象与性质 1.D2.D3.C4.A5.B6.D 7.解：(1)该抛物线经过点(4,3)， .3=16-16m+2m+1,解得m=1, .y=x2-4x+3=(x-2)2-1, .抛物线的顶点坐标为(2，-1). (2)y=x2-4mx+2m+1=(x-2m)2-4m2+2m+1, ·抛物线的对称轴为直线x=2m,抛物线开口向上. .:2m-3≤x≤2m+1,2m-(2m-3)=3,(2m+1)-2m=1, .当x=2m-3时，y取最大值4， .4=(2m-3-2m)2-4m2+2m+1, 解得a=了或风=-1 (3)当x=0时，y=2m+1:当x=1时，y=-2m+2. :该抛物线与线段OA(不含端点)恰有一个交点， .当2m+1>0时，-2m+2<0, 解得m>1; 当2m+1<0时，-2m+2>0, 1 解得m<-2 1 综上，m的取值范围为m>1或m<2 8.y=-x2+x+2(答案不唯一) 解：()由慝意，得抛物线的顶点坐标为受8)，即(6,8)。 ∴.设抛物线的函数解析式为y=a(x-6)2+8(a≠0)， 代人点(12,0)，得a(12-6)2+8=0,解得a=-2 9 2 “抛物线的函数解析式为y=-g(x-6)2+8(0≤x≤12)。 (2)能安全通过.理由如下：如图. 由题意得号子3=2 甲 将x=2代入y=-。(x-6)2+8, 0 得y=号×(2-6)2+8=0 2 40 17 -3.5= >0.5 9 18 ·.能安全通过 10.解：(1)B0=4m, .抛物线L1的顶点B的坐标为(0,4)， .设抛物线L1的函数表达式为y=a(x-0)2+4(a≠0) .…AC=16m, .结合二次函数的对称性，得A(-8,0),C(8,0). 将C(8,0)代入y=a(x-0)2+4,得0=64a+4, 解得a=-16' 抛物线乙，的函数表达式为y=+4 (2)由(1)知，抛物线L,的函数表达式为y= 1 16t2+4 NMC,P1MC,QL4C,Q=m,点M,N在L上，点 Q在L上，且抛物线L,的函数表达式为y 16(4)2, 0=64-4-克 整理，得x2-3(x-4)2=24, 解得x1=x2=6, .∴.MN=2×6=12(m). 11.C12.A13.D14.A15.C16.y=3x-2 17.解：(1)把(-2，-2)，(1,1)分别代人y=ax2+bx-2,得 40-26-2=-2,解得a= a+b-2=1, (b=2. ∴二次函数的表达式为y=x2+2x-2. (2)y=x2+2x-2=(x+1)2-3, ·二次函数图象的顶点坐标为(-1，-3)， 对称轴为直线x=-1. :点(1,1)关于直线x=-1的对称点为(-3,1)， .点(-3,1)在该函数图象上， 画出函数图象，如图， 4 3 -H 2 43-210 234x -1 、 .. 1-3 (3)n的值为1+√5或4-√5. [提示]根据题意，得平移后的抛物线的表达式为y= (x+1-n)2-3,.平移后的抛物线的对称轴为直线x=n-1. 情况一：当n-1≤0，即n≤1时， 在0≤x≤3上，y随x的增大而增大， 当x=0时，y=(1-n)2-3, 当x=3时，y=(4-n)2-3, 则(4-n)2-3-[(1-n)2-3]=5, .16-8n+n2-1+2n-n2=5, ∴.-6n=-10, 解得a=子（合去）。 情汉二：当0c-1≤号，即1a≤时， 3 函数在x=n-1时取得最小值为-3， x=3时，y有最大值，为(4-n)2-3, 则(4-n)2-3-(-3)=5, .(4-n)2=5, n=4-5或n=4+53 2(舍去) 情况三：当 2n-1s3,即 2<n≤4时， 函数在x=n-1时取得最小值为-3， x=0时，y有最大值，为(1-n)2-3, 则(1-n)2-3-(-3)=5, .(n-1)2=5, 5 ∴n=1+5或n=1-5<2（舍去】. 情况四：当n-1>3,即n>4时， 在0≤x≤3上，y随x的增大而减小， 当x=0时，y=(1-n)2-3, 当x=3时，y=(4-n)2-3, 则(1-n)2-3-[(4-n)2-3]=5, .1-2n+n2-16+8n-m2=5, 6=20,n=9合去)， 综上所述，n的值为1+5或4-√5. 18.①②④ 19.(1)解：二次函数y=x2+2(a+1)x+3a2-2a+3中，1>0， .二次函数的图象开口向上 ·二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点， ..二次函数的最小值小于2a2, 即4(3a2-2a+3）-4(a+1)=2a-4+2<2, 4 解得2 1 (2)解：·二次函数的图象与x轴有交点， .△=4(a+1)2-4×1×(3a2-2a+3)=-8a2+16a-8= -8(a-1)2≥0，.8(a-1)2≤0. 又8(a-1)2≥0，.8(a-1)2=0,解得a=1. (3)证明：当x=0时y=3-2a+3=3a号）广+>0， ·.该二次函数的图象不经过原点 20.解：(1)：点P(2,-3)在二次函数y=ax2+bx-3(a>0)的图 象上， ∴4a+2b-3=-3,解得b=-2a, .二次函数的解析式为y=ax2-2ax-3, “.二次函数图象的对称轴为直线x= 1 2a ∴.m=1. (2):点Q(1,-4)在y=ax2-2ax-3的图象上， .∴.a-2a-3=-4,解得a=1, ∴.y=x2-2x-3=(x-1)2-4. 将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二 次函数的解析式为y=(x-1)2-4+5=(x-1)2+1. a=1>0,0≤x≤4，.当x=1时，函数有最小值为1， 当x=4时，函数有最大值为(4-1)2+1=10， ∴.新的二次函数的最大值与最小值的和为10+1=11. (3)y=ax2-2ax-3的图象与x轴的交点为(1,0)， (x2,0)（x1<x2), 3 .x1+x2=2,x1x2=- v√4-2,4 3 a a ,4<x2-x1<6, 六4<2,1+3<6， a 舞a<第11讲二次函数的图象与性质 考点一与二次函数图象有关的判断 1.（2024·贵州)如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分 y 图象与x轴的一个交点的横坐标是-3，顶点坐标为 (-1,4) （-1,4),则下列说法正确的是 () A.二次函数图象的对称轴是直线x=1 -30 B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C.当x<-1时，y随x的增大而减小 D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 2.(2024,广州)函数=am2+bx+c与2=的图象如 图所示，当( )时，y1,y2均随着x的增大而减小 A.x<-1 B.-1<x<0 C.0<x<2 D.x>1 考点二 二次函数的基本性质 角度①开口方向、对称性、增减性及顶点的确定 3.(2025·威海)已知点(-2，y1),(3,y2),（7,y3)都在二次函数 y=-(x-2)2+c的图象上，则y1,y2,y3的大小关系是 () A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y2>y1>y3 D.y3>y2>y1 4.（2025·福建)已知点A(-2,y1),B(1,y2)在抛物线y=3x2+bx+1 上，若3<b<4,则下列判断正确的是 () A.1<y1<y2 B.y1<1<y2 C.1<y2<y1 D.y2<1<y1 角度②最值问题 5.新考法·定义新运算(2024·眉山)定义运算：ab=(a+2b)· (a-b),例如4⑧3=(4+2×3)(4-3)，则函数y=(x+1)⑧2的最小 值为 () A.-21 B.-9 C.-7 D.-5 6.（2025·陕西)在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2-2ax+a-3 (a≠0)的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两 侧，则下列关于该函数的结论正确的是 () A.图象的开口向下 B.当x>0时，y的值随x值的增大而增大 C.函数的最小值小于-3 D.当x=2时，y<0 7.（2024·德州)已知抛物线y=x2-4mx+2m+1,m为实数， (1)如果该抛物线经过点(4,3)，求此抛物线的顶点坐标. (2)如果当2m-3≤x≤2m+1时，y的最大值为4，求m的值， (3)点0(0,0)，点A(1,0),如果该抛物线与线段OA(不含端点) 恰有一个交点，求m的取值范围. 角度③解析式的确定 8.新课标·结论开放(2025·广东)已知二次函数y=-x2+bx+c的 图象经过点(c,0),但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是 ·(写出一个即可) 9.（2025·新疆)天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为 世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经 济发展.如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部 分.若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面 直角坐标系 (1)求抛物线的函数解析式. (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧 道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中 心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）.若宽 3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由. 甲 车 121 10.（2025·陕西)某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶 部L1,左、右门洞L2,L3均呈抛物线型，水平横梁AC=16m,L1的 最高点B到AC的距离B0=4m,L2,L3关于B0所在直线对称. MN,MP,NQ为框架，点M,N在L1上，点P,Q分别在L2,L3上， MN∥AC,MP⊥AC,NQ⊥AC.以O为原点，以AC所在直线为 x轴，以B0所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. (1)求抛物线L1的函数表达式. （2②)已知抛物线五的函数表达式为y=G(x-4),0 5 2m, 求MN的长. B L 考点三二次函数图象与系数a,b,c的关系 11.(2025·安徽)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所 示，则 A.abc<0 B.2a+b<0 C.2b-c<0 D.a-b+c<0 12.（2024·泸州)已知二次函数y=ax2+(2a-3)x+a-1(x是自变量)》 的图象只经过第一、二、四象限，则实数α的取值范围为（) 9 3 9 A.l≤a< B.0<a<2 C.0<a<8 D.1≤a<2 13.（2025·凉山州)二次函数y=ax2+bx+c的部分图象 如图所示，其对称轴为x=2,且图象经过点(6,0)， 则下列结论错误的是 ( A.6c>0 02 62 B.4a+b=0 C.若ax+bx1=ax2+bx2且x1≠x2,则x1+x2=4 D.若(-1，y1),(3,y2)两点都在抛物线y=ax2+bx+c上， 14.（2025·绥化)如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点 A(3,0),B(-1,0),与y轴交于点C(0,m),其中-4<m<-3.则下 a-c>0;②方程ax+bx+c-5=0没有实数 bc-2;④a+b+e、 >0.其中错误的有 b-a A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2 B10 -3-212x 4 0 第14题图 第15题图 考点四 二次函数图象的变化 15.（2025·青岛)将二次函数y=x2-2x-3的图象在x轴下方的部 分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，得到如图所示的新函数图 象，下列对新函数的描述正确的是 () A.图象与y轴的交点坐标是(0，-3) B.当x=1时，函数取得最大值 C.图象与x轴两个交点之间的距离为4 D.当x>1时，y的值随x值的增大而增大 16.(2025·上海)抛物线y=3x2向下平移两个单位所得的抛物线 的解析式为 17.(2025·河南)在二次函数y=ax2+bx-2中，x与y的几组对应值 如下表所示， 2 0 (1)求二次函数的表达式， (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系 中画出二次函数的图象， 3-210 1234 24 (3)将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3 时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出 的值. 考点五二次函数与方程、不等式的关系 18.（2024·烟台)已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应 值如下表： 5 0 9 27 下列结论： ①abc>0; ②关于x的一元二次方程ax2+bx+c=9有两个相等的实数根； ③当-4<x<1时，y的取值范围为0<y<5; ④若点(m,y1),(-m-2,y2)均在二次函数图象上，则y1=y2; ⑤满足ax2+(b+1)x+c<2的x的取值范围是x<-2或x>3. 其中正确结论的序号为 19.（2025·连云港)已知二次函数y=x2+2(a+1)x+3a2-2a+3,a为 常数 (1)若该二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点，求a的取 值范围。 (2)若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值. (3)求证：该二次函数的图象不经过原点， 20.(2024·山东)在平面直角坐标系x0y中，点P(2,-3)在二次函 数y=ax2+bx-3(a>0)的图象上，记该二次函数图象的对称轴为 直线x=m. (1)求m的值. (2)若点Q(m,-4)在y=ax2+bx-3的图象上，将该二次函数的 图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象.当0≤ x≤4时，求新的二次函数的最大值与最小值的和. (3)设y=ax2+bx-3的图象与x轴交点为(x1,0),(x2,0)(x1< x2).若4<x2-x1<6,求a的取值范围.