第5讲 一元二次方程及其应用-【真题分类卷】备战2026中考数学专题分类卷

5.解：(1)如图： 解：2×7x=(4x-1)+1, … (2)去分母，得2×7x=(4x-1)+6, 去括号，得14x=4x-1+6, 移项，得14x-4x=-1+6, 合并同类项，得10x=5, 系数化为1，得x=2 6.A7.C8C9{x=5, (y=-1 10.解：①+②，得4x=12,解得x=3. 将x=3代入②，得3+2y=1,解得y=-1, 所以原方程组的解是x=3, ly=-1. 11.A 12.解：(1)此次行程高速费原价总共为(a+b+c)元， 实际支付高速费用为0.95a+0+0.5c=(0.95a+0.5c)元， 比原价优惠了(a+b+c)-(0.95a+0.5c)=(0.05a+b+0.5c)元 (2)设广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分 别为x元和y元.由题意，得 005+095y=95.95,解得59， 0.5y=27.55, (y=55.1, 故此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段 的单程高速费原价分别是45.9元和55.1元. 13.解：设这次小峰打扫了xh,则爸爸打扫了(3-x)h 根据题意，得+3-1，解得x=2. 42 答：这次小峰打扫了2h 14.1.2 15.解：(1)设第一次实验分别用了x公斤粮食糟醅和y公斤 芋头糟醅，则第二次实验分别用了2x公斤粮食糟醅和 3y公斤芋头糟醅. 由题意，可得/30%x+209%y=16, 26解得x=40, (30%×2x+20%×3y=36, (y=20. 答：第一次实验分别用了40公斤粮食糟醅和20公斤芋头 糟醅. (2)两次实验得到的粮食酒总量为(40+40×2)×30%三 36(公斤)， 设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为4z公斤. 由题意，可得4z×30%×80%=36, 解得z=37.5, 答：需要准备37.5公斤大米 16.A 17.解：设该游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒. 25+20=230,解得=6， 由题意，得+y=10, (y=4. 答：该游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒 18.C 19.解：设A种农作物的种植面积是x公顷，B种农作物的种植 面积是了公硬根指随意尚红动舞得仁子 y=4 答：A种农作物的种植面积是3公顷，B种农作物的种植面 积是4公顷. 20.B 21.解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克，白 银y克. 限经室童g0。年化0 答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银 1000克. 第5讲 一元二次方程及其应用 1.D2.23.-4 4.解：(1)(x+1)2-4=0, 移项，得(x+1)2=4, 开平方，得x+1=±2 所以x1=1,x2=-3. (2)整理，得x2-7x+12=0, 因式分解，得(x-4)(x-3)=0, 所以x-4=0或x-3=0, 解得x1=4,x2=3. 5.A6.C7.B 8.方程有两个不相等的实数根9.-3 10.(1)解：把x1=-1代入方程(x-1)(x-2)=m2, 得m2=6,.m=W6, (x-1)(x-2)=6,即x2-3x-4=0, .(x-4)(x+1)=0, x1=-1,x2=4, x2=4,m=±√6. (2)证明：方程(x-1)(x-2)=m2可化为x2-3x+2-m2=0, .△=9-4(2-m2)=4m2+1>0, .方程有两个不相等的实数根 .·方程(x-1)(x-2)=m2,即x2-3x+2-m2=0的两根为 X1,X2 .x1+x2=3,x1x2=2-m2, .(x1-1)(2-1)=x1x2-(x1+x2)+1 =2-m2-3+1=-m2. m2≥0，-m2≤0，即(x1-1)(x2-1)≤0. 11.C12.202713.10 14.解：(1)p1 (2)由根与系数的关系，得x,+x2=P,x1x2=1, :关于x的一元二次方程x2-px+1=0(p为常数)有两个不 相等的实数根x1和x2, ∴.x1-px1+1=0, 区p叶花=0，即x+见 (3)由根与系数的关系，得x1+x2=P,x1x2=1. x1+x2=2p+1, (x1+x2)2-2x1x2=2p+1, ∴p2-2=2p+1,解得p1=3,P2=-1. 当p=3时，△=p2-4=9-4=5>0,符合题意； 当p=-1时，△=p2-4=-3<0,不符合题意； .p=3 15.(1)证明：由方程x2-(m+2)x+m-1=0, 可知a=1,b=-(m+2),c=m-1, .△=b2-4ac=[-(m+2)]2-4×1×(m-1) =m2+4m+4-4m+4=m2+8. .m2≥0，.△>0， .无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根. (2)解：方程x2-(m+2)x+m-1=0的两个实数根为x1, x2,x1+x2=m+2,x1x2=m-1. x7+x号-x1x2=9,即(x1+x2)2-3x1x2=9, .(m+2)2-3(m-1)=9,整理，得m2+m-2=0, .(m+2)(m-1)=0,解得m1=-2,m2=1. .∴.m的值为-2或1. 16.A17.10% 18.解：(1)设乙种商品每件进价的年平均下降率为x.根据题 意，得125(1-x)2=80. 解得x1=0.2=20%,x2=1.8(不符合题意，舍去) 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%. (2)设购进y件甲种商品，则购进(100-y)件乙种商品. 根据题意，得(125-25×2)y+80(100-y)≤7800， 解得y≥40，.y的最小值为40， 答：最少购进40件甲种商品， 19.解：(1)(60+10x)[提示]设该款巴小虎吉祥物降价 x元，则每天售出的数量是(60+10x)件 (2)设该款巴小虎吉祥物降价x元. 根据题意，得(40-30-x)(60+10x)=630, 整理，得x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3. 由于要让利于游客，x=1舍去， .该款巴小虎吉祥物降价3元时，文旅公司每天的利润是 630元. (3)设该款巴小虎吉祥物降价x(0≤x<10)元， 则W=(40-30-x)(60+10x) =(10-x)(60+10x) =-10x2+40x+600 =-10(x-2)2+640. .-10<0.0≤x<10, ,当x=2时，W取得最大值640，此时售价为38元. 答：当售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是 640元. 20.解：(1)设该市参加健身运动人数的年均增长率为m. 由题意，得32(1+m)2=50, 解得m=0.25=25%或m=-2.25(舍去) 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%. (2)设购买这种健身器材x套 .:240000÷1600=150(套)，150>100 .市政府从A公司购买套数超过100套。 由题意，得1600-*-10 ×40x=240000, 10 化简，得x2-500x+60000=0,解得x=300或x=200. 由题意，得1600￥-100x40≥100，≤250， 10 .∴.100<x≤250，∴.x=200. 答：购买的这种健身器材的套数为200 21.A22.2 23.解：设小路的宽度为xm,则9块矩形地块可合成长为 (20-4x)m,宽为(14-4x)m的矩形.根据题意，得 (20-4x)(14-4x)=24×9, 整理，得2x2-17x+8=0, 1 解得1=2名=8（不符合题意，舍去）. 答：小路的宽度为了n 24.x2+22=(x+0.5)2 第6讲分式方程及其应用 1.A2.x=2 3.解：方程两边同时乘(x+1)(x-1),得3(x-1)-(x+1)=0, 去括号，得3x-3-x-1=0,解得x=2. 检验：当x=2时，(x+1)(x-1)≠0， 分式方程的解为x=2. 2 4.解：-22-3xt2x1 方程两边同时乘(x-2)(x-1),得(x-3)(x-1)-2=2(x-2), 去括号，得x2-3x-x+3-2=2x-4, 移项，合并同类项，得x2-6x+5=0, ∴.（x-1)(x-5)=0, ∴.x-1=0或x-5=0, 解得x=1或x=5, 检验：当x=1时，x-1=0,此时x=1是原方程的增根， 当x=5时，(x-2)(x-1)=12≠0，此时x=5是原方程的解. 5.C6.A7.-18.169.B10.C 11.解：设小林跑步的平均速度为x米/秒，则小吉跑步的平均 速度为1.25x米/秒. 由题盒，得 800,獬得x=4 -+40= 经检验，x=4是原方程的解，且符合题意 答：小林跑步的平均速度为4米/秒. 12.解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里，则 一个工作队每小时人工更换钢轨0.5x公里. 根据题意，得0.5x=22,解得x=2. 经检验，x=2是原方程的解，且符合题意， 答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里， 13.C 14解：设乙款书签的单价是x元，则甲款书签的单价是 4x元 根据题意，得2810-3，解得x=16 经检验，x=16是所列方程的解，且符合题意， =×16=20元. 答：甲款书签的单价是20元，乙款书签的单价是16元. 15.解：(1)设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为 (400+x)元. 根据题意，得0-0每得=60 经检验，x=600是原方程的解，且符合题意， .x+400=1000. 答：A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为 1000元. (2)设购买A种帐篷m顶，则购买B种帐篷(20-m)顶，总 费用为W元. 根据题意，得20-m≥了m,解得m≤15 又·两种型号的帐篷均需购买， .0<m≤15， 由题意，得W=600m+1000(20-m)=-400m+20000. ,-400<0,∴.W随m的增大而减小， .当m=15时，W取最小值，W最小=-400×15+20000= 14000. 此时20-m=5. 答：购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最 低总费用为14000元. 16.解：(1)设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的 4 价格为、x元.第5讲一元二次方程及其应用 考点一一元二次方程及其解法 1.(2024·东营)用配方法解一元二次方程x2-2x-2023=0时，将 它转化为(x+a)2=b的形式，则a的值为 () A.-2024 B.2024 C.-1 D.1 2.（2025·达州)已知关于x的方程x2+mx-3=0的一个根是1，则 m的值为 3.（2024·南充)已知m是方程x2+4x-1=0的一个根，则(m+5)· (m-1)的值为 4.解方程： (1)(2024·攀枝花)(x+1)2-4=0. (2)(2025·齐齐哈尔)x2-7x=-12. 考点二 一元二次方程根的判别式 5.（2025·河南)一元二次方程x2-2x=0的根的情况是（) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 6.（2025·北京)若关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个相 等的实数根，则实数a的值为 () A.-4 B.-1 C.1 D.4 7.（2025·临夏州)关于x的一元二次方程3x2-6x+m=0有两个实 数根，则m的取值范围是 () A.m<3 B.m≤3 C.m>3 D.m≥3 8.(2025广东)不解方程，判断一元二次方程2x2+x-1=0的根的 情况是 考点三一元二次方程根与系数的关系 角度①已知一根求另一根及参数值 9.(2025·苏州)已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2x-m=0的 两个实数根，其中x1=1,则x2= 10.（2025·南充)设x1,x2是关于x的方程(x-1)（x-2)=m2的 两根 (1)当x1=-1时，求x2及m的值. (2)求证：(x1-1)(x2-1)≤0. 角度②求两根的关系式（对称式）的值 11.（2025·广西)已知x1,x2是方程x2-20x-25=0的两个实数根， 则x1+x2= () A.-25 B.-20 C.20 D.25 12.（2025·绥化)已知m,n是关于x的一元二次方程x2-2025x+1=0 的两个根，则(m+1)(n+1)= 13.(2025·泸州)若一元二次方程2x2-6x-1=0的两根为a,B,则 2a2-3a+3B的值为 14.（2024·内江)已知关于x的一元二次方程x2-px+1=0(p为常 数)有两个不相等的实数根x1和x2· (1)填空：x1+x2= ,X1X2日 111 (2)求+一，x1+ x12x1 (3)已知x+x2=2p+1,求p的值 角度③探讨一元二次方程根的情况 15.（2024·遂宁)已知关于x的一元二次方程x2-(m+2)x+m- 1=0. (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根. (2)如果方程的两个实数根为x1,x2,且x+x3-x1x2=9,求m 的值 考点四一元二次方程的实际应用 角度①变化率问题 16.(2025·广东)广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制 造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达 到2500万元，预计7月产值将增至9100万元.设该公司6,7 两个月产值的月均增长率为x,可列出的方程为 A.2500(1+x)2=9100 B.2500(1-x)2=9100 C.2500(1-2x)2=9100 D.2500(1+2x)2=9100 17.（2024·绵阳)超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元.因销 量持续攀升，商家在3月份提价20%，后发现销量锐减，于是经 过核算决定在3月份售价的基础上，4,5月份按照相同的降价率r 连续降价.已知5月份礼盒的售价为486元，则r= 18.（2025·泸州)某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商 品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件 的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为 80元. (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率， (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种 商品共100件，求最少购进多少件甲种商品. 角度②每每问题 19.（2025·达州)为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里， 某文旅公司推出多款文创产品.已知某款巴小虎吉祥物的成本 价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发 现，售价每降价1元，每天可以多售出10件 (1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是 件 (2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公 司每天的利润是630元. (3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售 价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 20.（2024·淄博)“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康 的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从 2021年的32万人增加到2023年的50万人. (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率， (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套 装健身器材.该公司规定：若购买不超过100套，每套售价 1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元， 但最低售价不得少于1000元.已知市政府向该公司支付货款 24万元，求购买的这种健身器材的套数， 角度③面积问题 21.(2025·新疆)如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙 (墙足够长)和24m长的围栏围成一个面积为40m2的矩形场 地.设矩形的宽为xm,根据题意可列方程 () A.x(24-2x)=40 B.x(24-x)=40 C.2x(24-2x）=40 D.2x(24-x)=40 -16m 花坛 x m 第21题图 第22题图 22.(2024·青岛)如图，某小区要在长为16m,宽为12m的矩形空 地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面 积为空地面积的一半，则小路宽为 m. 23.（2025·威海)如图，某校有一块长20m、宽14m的矩形种植 园.为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的 小路（图中阴影部分）.小路把种植园分成面积均为24m2的 9个矩形地块，请你求出小路的宽度， 20m 14m 角度④其他问题 24.(2024·吉林)图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算 出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中AB=AB', AB⊥B'C于点C,BC=0.5尺，B'C=2尺.设AC的长度为x尺， 可列方程为 9⑨ © 诗文：波平如镜一湖面，半尺 高处生红莲亭亭多姿湖中立， 突遭狂风吹一边.离开原处二 尺远，花贴湖面像睡莲 图1