2026年中考数学二轮复习：一元二次方程

**基本信息** 聚焦一元二次方程核心考点，以"概念辨析-解法应用-综合迁移"为主线，通过分层题型构建完整解题方法体系，强化符号意识与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|3题|定义四要素验证法、判别式分类讨论|从二次项系数非零切入，构建"定义-判别式-根的存在性"逻辑链| |解法应用|4题|配方法五步规范、换元法整体代换|按"直接开平方法-配方法-公式法"梯度递进，渗透转化思想| |综合应用|5题|韦达定理构造法、参数求值技巧|建立"方程根-代数式-几何性质"关联，培养运算能力与推理意识| |实际应用|8题|增长率模型、利润问题建模|通过12个生活情境题，强化数据观念与应用意识，体现数学建模全过程|

2026年中考数学二轮复习：一元二次方程 一．选择题（共10小题） 1．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥0 B．k≤0 C．k＜0且k≠﹣1 D．k≤0且k≠﹣1 2．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（　　） A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3 3．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5＝0，此方程可变形为（　　） A．（x+2）2＝9 B．（x﹣2）2＝9 C．（x+2）2＝1 D．（x﹣2）2＝1 4．设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，则x13﹣4x22+15等于（　　） A．﹣4 B．8 C．6 D．0 5．一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0的所有实数根的和等于（　　） A．2 B．﹣4 C．4 D．3 6．已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（　　） A．34 B．30 C．30或34 D．30或36 7．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k＝0的根的情况是（　　） A．有两不相等实数根 B．有两相等实数根 C．无实数根 D．不能确定 8．学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．x2＝21 B．x（x﹣1）＝21 C．x2＝21 D．x（x﹣1）＝21 9．方程（m﹣2）x2x0有两个实数根，则m的取值范围（　　） A．m B．m且m≠2 C．m≥3 D．m≤3且m≠2 10．给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y′＝nxn﹣1．例如：若函数y＝x4，则有y′＝4x3．已知函数y＝x3，则方程y′＝12的解是（　　） A．x1＝4，x2＝﹣4 B．x1＝2，x2＝﹣2 C．x1＝x2＝0 D．x1＝2，x2＝﹣2 二．填空题（共5小题） 11．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了 　 　 个人． 12．设m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为　 　 ． 13．已知实数m，n满足3m2+6m﹣5＝0，3n2+6n﹣5＝0，且m≠n，则　 　 ． 14．实数a，n，m，b满足a＜n＜m＜b，这四个数在数轴上对应的点分别为A，N，M，B（如图），若AM2＝BM•AB，BN2＝AN•AB，则称m为a，b的“大黄金数”，n为a，b的“小黄金数”，当b﹣a＝2时，a，b的大黄金数与小黄金数之差m﹣n＝　 　 ． 15．如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为77m2，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为 　 　 ． 三．解答题（共5小题） 16．某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？ 17．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围． 18．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 19．若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c＝0的两个实数根，且|x1|+|x2|＝2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c＝0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27＝0，x2﹣2x﹣8＝0，x2+3x0，x2+6x﹣27＝0，x2+4x+4＝0，都是“偶系二次方程”． （1）判断方程x2+x﹣12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由； （2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c＝0是“偶系二次方程”，并说明理由． 20．列方程（组）解应用题 端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克22元； 小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克． 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？ 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥0 B．k≤0 C．k＜0且k≠﹣1 D．k≤0且k≠﹣1 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义． 【专题】计算题． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k+1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（k+1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【解答】解：根据题意得k+1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（k+1）≥0， 解得k≤0且k≠﹣1． 故选：D． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 2．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（　　） A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3 【考点】换元法解一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用． 【答案】A 【分析】由整体思想，用因式分解法解一元二次方程求出x2﹣x的值就可以求出结论． 【解答】解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0， ∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）＝0， ∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0， ∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6． 当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0， ∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0， ∴此方程无实数解． 当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7 故选：A． 【点评】本题考查了整体思想在一元二次方程的解法中的运用，因式分解法解一元二次方程的运用，代数式求值的运用，解答时因式分解法解一元二次方程是关键． 3．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5＝0，此方程可变形为（　　） A．（x+2）2＝9 B．（x﹣2）2＝9 C．（x+2）2＝1 D．（x﹣2）2＝1 【考点】解一元二次方程﹣配方法． 【专题】运算能力． 【答案】A 【分析】移项后配方，再根据完全平方公式求出即可． 【解答】解：x2+4x﹣5＝0， x2+4x＝5， x2+4x+22＝5+22， （x+2）2＝9， 故选：A． 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，关键是能正确配方． 4．设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，则x13﹣4x22+15等于（　　） A．﹣4 B．8 C．6 D．0 【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解． 【答案】A 【分析】首先求出两个之和与两根之积，然后把x13﹣4x22+15转化为3（x1+x2）﹣（x1+x2）2+2x1x2+6，然后整体代入即可． 【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根， ∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣3，x12＝3﹣x1，x22＝3﹣x2 ∵x13＝x1x12＝x1（3﹣x1）＝3x1﹣x12， ∴x13﹣4x22+15＝3x1﹣x12﹣4x22+15＝3x1﹣（3﹣x1）﹣4（3﹣x2）+15＝4（x1+x2）＝﹣4 ∴x13﹣4x22+15＝﹣3﹣1﹣6+6＝﹣4， 故选：A． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解的知识，解答本题的关键是把x13﹣4x22+15转化为3（x1+x2）﹣（x1+x2）2+2x1x2+6，此题有一定的难度． 5．一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0的所有实数根的和等于（　　） A．2 B．﹣4 C．4 D．3 【考点】根与系数的关系；根的判别式． 【专题】符号意识；运算能力． 【答案】D 【分析】此题不能只利用两根之和公式进行简单的求和计算，还要考虑一下Δ与0的关系，判断方程是否有解． 【解答】解：方程x2﹣3x﹣1＝0中Δ＝（﹣3）2﹣4×（﹣1）＝13＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根， 根据两根之和公式求出两根之和为3． 方程x2﹣x+3＝0中Δ＝（﹣1）2﹣4×3＝﹣11＜0，所以该方程无实数根． ∴方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0一共只有两个实数根， 即所有实数根的和3． 故选：D． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式． 易错易混点：很多学生不考虑Δ与0的关系，而直接利用两根之和公式进行计算，求出3+1＝4． 6．已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（　　） A．34 B．30 C．30或34 D．30或36 【考点】根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质；一元二次方程的解． 【专题】一元二次方程及应用；等腰三角形与直角三角形． 【答案】A 【分析】分三种情况讨论，①当a＝4时，②当b＝4时，③当a＝b时；结合韦达定理即可求解； 【解答】解：当a＝4时，b＜8， ∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根， ∴4+b＝12， ∴b＝8不符合； 当b＝4时，a＜8， ∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根， ∴4+a＝12， ∴a＝8不符合； 当a＝b时， ∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根， ∴12＝2a＝2b， ∴a＝b＝6， ∴m+2＝36， ∴m＝34； 故选：A． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合韦达定理和三角形三边关系进行解题是关键． 7．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k＝0的根的情况是（　　） A．有两不相等实数根 B．有两相等实数根 C．无实数根 D．不能确定 【考点】根的判别式． 【专题】计算题． 【答案】A 【分析】先计算判别式得到Δ＝（k+3）2﹣4×k＝（k+1）2+8，再利用非负数的性质得到Δ＞0，然后可判断方程根的情况． 【解答】解：Δ＝（k+3）2﹣4×k＝k2+2k+9＝（k+1）2+8， ∵（k+1）2≥0， ∴（k+1）2+8＞0，即Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 8．学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．x2＝21 B．x（x﹣1）＝21 C．x2＝21 D．x（x﹣1）＝21 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【答案】B 【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数．即可列方程． 【解答】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得： x（x﹣1）＝21， 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系． 9．方程（m﹣2）x2x0有两个实数根，则m的取值范围（　　） A．m B．m且m≠2 C．m≥3 D．m≤3且m≠2 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义． 【专题】计算题． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和判别式的意义得到，然后解不等式组即可． 【解答】解：根据题意得， 解得m且m≠2． 故选：B． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 10．给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y′＝nxn﹣1．例如：若函数y＝x4，则有y′＝4x3．已知函数y＝x3，则方程y′＝12的解是（　　） A．x1＝4，x2＝﹣4 B．x1＝2，x2＝﹣2 C．x1＝x2＝0 D．x1＝2，x2＝﹣2 【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法． 【专题】新定义． 【答案】B 【分析】首先根据新定义求出函数y＝x3中的n，再与方程y′＝12组成方程组得出：3x2＝12，用直接开平方法解方程即可． 【解答】解：由函数y＝x3得n＝3，则y′＝3x2， ∴3x2＝12， x2＝4， x＝±2， x1＝2，x2＝﹣2， 故选：B． 【点评】本题考查了利用直接开平方法解一元二次方程，同时还以新定义的形式考查了学生的阅读理解能力；注意：①二次项系数要化为1，②根据平方根的意义开平方时，是两个解，且是互为相反数，不要丢解． 二．填空题（共5小题） 11．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了 　10　 个人． 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】其他问题． 【答案】10 【分析】设每轮传染中平均每人传染了x人．开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x人，则第一轮后共有（1+x）人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，则第二轮后共有[1+x+x（x+1）]人患了流感，而此时患流感人数为121，根据这个等量关系列出方程． 【解答】解：设每轮传染中平均每人传染了x人． 依题意，得1+x+x（1+x）＝121， 即（1+x）2＝121， 解方程，得x1＝10，x2＝﹣12（舍去）． 答：每轮传染中平均每人传染了10人． 故答案为：10． 【点评】共有121人患了流感，是指患流感的人和被传染流感的人的总和，和细胞分裂问题有区别． 12．设m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为　1000　 ． 【考点】根与系数的关系． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】1000 【分析】由于m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n＝﹣1，并且m2+m﹣1001＝0，然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果 【解答】解：∵m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根， ∴m+n＝﹣1， 并且m2+m﹣1001＝0， ∴m2+m＝1001， ∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝1001﹣1＝1000． 故答案为：1000． 【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 13．已知实数m，n满足3m2+6m﹣5＝0，3n2+6n﹣5＝0，且m≠n，则　　 ． 【考点】根与系数的关系． 【答案】 【分析】由m≠n时，得到m，n是方程3x2+6x﹣5＝0的两个不等的根，根据根与系数的关系进行求解． 【解答】解：∵m≠n时，则m，n是方程3x2+6x﹣5＝0的两个不相等的根，∴m+n＝﹣2，mn． ∴原式， 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 14．实数a，n，m，b满足a＜n＜m＜b，这四个数在数轴上对应的点分别为A，N，M，B（如图），若AM2＝BM•AB，BN2＝AN•AB，则称m为a，b的“大黄金数”，n为a，b的“小黄金数”，当b﹣a＝2时，a，b的大黄金数与小黄金数之差m﹣n＝　24　 ． 【考点】一元二次方程的解；实数与数轴． 【专题】新定义；运算能力． 【答案】24 【分析】设AM＝x，根据AM2＝BM•AB列一元二次方程，求出x，得出AM＝BN1，从而求出MN的长，即m﹣n的长． 【解答】解：由题意得：AB＝b﹣a＝2， 设AM＝x，则BM＝2﹣x， x2＝2（2﹣x）， x＝﹣1±， x1＝﹣1，x2＝﹣1（舍）， 则AM＝BN1， ∴MN＝m﹣n＝AM+BN﹣2＝2（1）﹣2＝24， 故答案为：24． 【点评】本题考查了数轴上两点的距离和黄金分割的定义及一元二次方程，做好此题的关键是能正确表示数轴上两点的距离：若A表示xA、B表示xB，则AB＝|xB﹣xA|；同时会用配方法解一元二次方程，理解线段的和、差关系． 15．如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为77m2，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为 　（12﹣x）（8﹣x）＝77　 ． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用． 【答案】（12﹣x）（8﹣x）＝77 【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程． 【解答】解：∵道路的宽应为x米， ∴由题意得，（12﹣x）（8﹣x）＝77， 故答案为：（12﹣x）（8﹣x）＝77． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键． 三．解答题（共5小题） 16．某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？ 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】销售问题． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用销售利润＝售价﹣进价，根据题中条件可以列出利润与x的关系式，求出即可． 【解答】解：设每个商品的定价是x元， 由题意，得（x﹣40）[180﹣10（x﹣52）]＝2000， 整理，得x2﹣110x+3000＝0， 解得x1＝50，x2＝60． 当x＝50时，进货180﹣10（50﹣52）＝200个＞180个，不符合题意，舍去； 当x＝60时，进货180﹣10（60﹣52）＝100个＜180个，符合题意． 答：当该商品每个定价为60元时，进货100个． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用；找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 17．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围． 【考点】根与系数的关系；根的判别式． 【专题】计算题． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝6，x1x2＝2m+1，再利用2x1x2+x1+x2≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m的取值范围． 【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0， 解得m≤4； （2）根据题意得x1+x2＝6，x1x2＝2m+1， 而2x1x2+x1+x2≥20， 所以2（2m+1）+6≥20，解得m≥3， 而m≤4， 所以m的范围为3≤m≤4． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根与系数的关系． 18．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用． 【专题】增长率问题． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可； （2）首先求出今年6月份的快递投递任务，再求出21名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年6月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数． 【解答】解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得 10（1+x）2＝12.1， 解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不合题意舍去）． 答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%； （2）今年6月份的快递投递任务是12.1×（1+10%）＝13.31（万件）． ∵平均每人每月最多可投递0.6万件， ∴21名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：0.6×21＝12.6＜13.31， ∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务 ∴需要增加业务员（13.31﹣12.6）÷0.6＝12（人）． 答：该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 19．若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c＝0的两个实数根，且|x1|+|x2|＝2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c＝0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27＝0，x2﹣2x﹣8＝0，x2+3x0，x2+6x﹣27＝0，x2+4x+4＝0，都是“偶系二次方程”． （1）判断方程x2+x﹣12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由； （2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c＝0是“偶系二次方程”，并说明理由． 【考点】根与系数的关系；解一元二次方程﹣因式分解法；根的判别式． 【专题】压轴题；阅读型；新定义． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）求出原方程的根，再代入|x1|+|x2|看结果是否为2的整数倍就可以得出结论； （2）由条件x2﹣6x﹣27＝0和x2+6x﹣27＝0是偶系二次方程建模，设c＝mb2+n，就可以表示出c，然后根据公式法就可以求出其根，再代入|x1|+|x2|就可以得出结论． 【解答】解：（1）不是， 解方程x2+x﹣12＝0得，x1＝3，x2＝﹣4． |x1|+|x2|＝3+4＝7＝2×3.5． ∵3.5不是整数， ∴x2+x﹣12＝0不是“偶系二次方程； （2）存在．理由如下： ∵x2﹣6x﹣27＝0和x2+6x﹣27＝0是偶系二次方程， ∴假设c＝mb2+n， 当b＝﹣6，c＝﹣27时， ﹣27＝36m+n． ∵x2＝0是偶系二次方程， ∴n＝0时，m， ∴cb2． ∵是偶系二次方程， 当b＝3时，c32． ∴可设cb2． 对于任意一个整数b，cb2时， Δ＝b2﹣4ac， ＝4b2． x， ∴x1b，x2b． ∴|x1|+|x2|＝2|b|， ∵b是整数， ∴对于任何一个整数b，cb2时，关于x的方程x2+bx+c＝0是“偶系二次方程”． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用根与系数的关系的运用及数学建模思想的运用，解答本题时根据条件特征建立模型是关键． 20．列方程（组）解应用题 端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克22元； 小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克． 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？ 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】应用题；一元二次方程及应用；运算能力；应用意识． 【答案】29元． 【分析】设每千克降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意列出一元二次方程，解之即可得出答案． 【解答】解：设每千克降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得， （38﹣x﹣22）（160120）＝3640， 整理得x2﹣12x+27＝0， ∴x＝3或x＝9． ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴x＝9， ∴售价为38﹣9＝29元/千克． 答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3640元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $