第4讲 一次方程(组)及其应用-【真题分类卷】备战2026中考数学专题分类卷

17.解：l-2x2x2-4r x+2x2+4x+4 1- 2x(x+2)2 x+22x(x-2) =1*42_-2x+2 x-2x-2x-2 =x-2-x-2_-4 x-2x-2 分式有意义，x≠2,0，-2. -2≤x≤2，x=-1或x=1. 当=1时，原武号 (或当x=1时，原式=4 -24 18.解：原式=4a-46+86_4(a+6)4 (a+b)2(a+b)2a+b .a+b-3=0,∴.a+b=3, 小原式子 数与式阶段测评 1.D2.C3.A4.C5.C6.A7.D8.A9.C10.B 11.-112.10013.m(答案不唯一)14.2（答案不唯一） 15.<16.7(m+2)(m-2) 17.n2×(n+1)-(n+1)=(n+1)2×(n-1)18.15 19.解：(1)(-2025)°+|-1-tan45° =1+1-1=1. /11 (2)12-21-(-2)2×24】 =2-2-4x}=1-2 20.解：原式=+2-1.(x+2)2 x+2x+1 =x+1,(x+2)2 -=x+2. x+2x+1 21.解：原式=5x-x2+x2+3=5x+3. 当x=2时，原式=5×2+3=13. 1 22.解：原式= .(a-1)21 (a+1)(a-1)aa a-1 4a+1 a(a+1)a(a+1) 2a2 a(a+1)a+1 当a=2n60-1=2x1=3-1时 原式=2=223 3-1+153 23.解：(1)点A,B,C所对应的数依次为-4,2,32， .A,B,C三点所对应的数的和为-4+2+32=30. .'AB=2-(（-4)=6,AC=32-(-4)=36, 086 (2)由数轴，得DE=x-0=x,DF=12-0=12. 由题意得把张小石-台=2 b c 24.（1)证明：.3m+n= a ,mn=- a .∴.b=a(3m+n),c=amn, .b2-12ac=[a(3m+n)]2-12a2mn =a2(9m2+6mn+n2)-12a2mn =a2(9m2-6mn+n2) =a2(3m-n)2. a,m,n是实数， ∴.a2(3m-n)2≥0b2-12ac为非负数. (2)解：m,n不可能都为整数. 理由如下：若m,n都为整数，其可能情况有：①m,n都为奇 数；②m,n为整数，且其中至少有一个为偶数. ①当m,n都为奇数时，3m+n必为偶数. 又：3m+n= ,.6=a(3mtn). a a为奇数， a(3m+n)必为偶数，即b为偶数，这与b为奇数矛盾； ②当m,n为整数，且其中至少有一个为偶数时，mm必为偶数 a czamn. 又：mn= a为奇 .amn必为偶数，即c为偶数，这与c为奇数矛盾 综上所述，m,n不可能都为整数 25.解：(1)小明的猜想不正确。 反例：3×4=12. （1, ab >b≥1， (2)①c 所以 ab ≤1， ≤a<10, c (c 所以1<心10，与(*)矛盾，不合题意 ②>1，所以 >b≥1， 又b≤ab<100,所以1<心<100， C 由(*)知ab-10,所以p=m+n. (3)当A的数字大于或等于B的数字时，日的位数是 m-n+l; 当A的数字小于B的数字时，合的位数是mn 证明如下：由已知，知A,B的位数分别为m,n, 及B=C,A,B,C的数字分别为a,bc,C的位数为x, 则B×C=A. 由小华的命题知，当a≥b时，必有a≥c, 此时，m=ntx-l,所以x=m-n+1; 当a<b时，必有a<c, 此时，m=n+x,所以x=m-n. 综上所述，当A的数字大于或等于B的数字时，合的位数 是m-n+1; 当A的数字小于B的数字时，合的位数是m-n 第二章方程（组）与不等式（组）》 第4讲 一次方程（组）及其应用 1.B2.C3.2 4.解：去括号，得2x-2=2+x, 移项，得2x-x=2+2, 合并同类项，得x=4 5.解：(1)如图： 解：2×7x=(4x-1)+1, … (2)去分母，得2×7x=(4x-1)+6, 去括号，得14x=4x-1+6, 移项，得14x-4x=-1+6, 合并同类项，得10x=5, 系数化为1，得x=2 6.A7.C8C9{x=5, (y=-1 10.解：①+②，得4x=12,解得x=3. 将x=3代入②，得3+2y=1,解得y=-1, 所以原方程组的解是x=3, ly=-1. 11.A 12.解：(1)此次行程高速费原价总共为(a+b+c)元， 实际支付高速费用为0.95a+0+0.5c=(0.95a+0.5c)元， 比原价优惠了(a+b+c)-(0.95a+0.5c)=(0.05a+b+0.5c)元 (2)设广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分 别为x元和y元.由题意，得 005+095y=95.95,解得59， 0.5y=27.55, (y=55.1, 故此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段 的单程高速费原价分别是45.9元和55.1元. 13.解：设这次小峰打扫了xh,则爸爸打扫了(3-x)h 根据题意，得+3-1，解得x=2. 42 答：这次小峰打扫了2h 14.1.2 15.解：(1)设第一次实验分别用了x公斤粮食糟醅和y公斤 芋头糟醅，则第二次实验分别用了2x公斤粮食糟醅和 3y公斤芋头糟醅. 由题意，可得/30%x+209%y=16, 26解得x=40, (30%×2x+20%×3y=36, (y=20. 答：第一次实验分别用了40公斤粮食糟醅和20公斤芋头 糟醅. (2)两次实验得到的粮食酒总量为(40+40×2)×30%三 36(公斤)， 设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为4z公斤. 由题意，可得4z×30%×80%=36, 解得z=37.5, 答：需要准备37.5公斤大米 16.A 17.解：设该游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒. 25+20=230,解得=6， 由题意，得+y=10, (y=4. 答：该游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒 18.C 19.解：设A种农作物的种植面积是x公顷，B种农作物的种植 面积是了公硬根指随意尚红动舞得仁子 y=4 答：A种农作物的种植面积是3公顷，B种农作物的种植面 积是4公顷. 20.B 21.解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克，白 银y克. 限经室童g0。年化0 答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银 1000克. 第5讲 一元二次方程及其应用 1.D2.23.-4 4.解：(1)(x+1)2-4=0, 移项，得(x+1)2=4, 开平方，得x+1=±2 所以x1=1,x2=-3. (2)整理，得x2-7x+12=0, 因式分解，得(x-4)(x-3)=0, 所以x-4=0或x-3=0, 解得x1=4,x2=3. 5.A6.C7.B 8.方程有两个不相等的实数根9.-3 10.(1)解：把x1=-1代入方程(x-1)(x-2)=m2, 得m2=6,.m=W6, (x-1)(x-2)=6,即x2-3x-4=0, .(x-4)(x+1)=0, x1=-1,x2=4, x2=4,m=±√6. (2)证明：方程(x-1)(x-2)=m2可化为x2-3x+2-m2=0, .△=9-4(2-m2)=4m2+1>0, .方程有两个不相等的实数根 .·方程(x-1)(x-2)=m2,即x2-3x+2-m2=0的两根为 X1,X2 .x1+x2=3,x1x2=2-m2, .(x1-1)(2-1)=x1x2-(x1+x2)+1 =2-m2-3+1=-m2. m2≥0，-m2≤0，即(x1-1)(x2-1)≤0. 11.C12.202713.10 14.解：(1)p1 (2)由根与系数的关系，得x,+x2=P,x1x2=1, :关于x的一元二次方程x2-px+1=0(p为常数)有两个不 相等的实数根x1和x2, ∴.x1-px1+1=0, 区p叶花=0，即x+见 (3)由根与系数的关系，得x1+x2=P,x1x2=1. x1+x2=2p+1, (x1+x2)2-2x1x2=2p+1, ∴p2-2=2p+1,解得p1=3,P2=-1. 当p=3时，△=p2-4=9-4=5>0,符合题意； 当p=-1时，△=p2-4=-3<0,不符合题意； .p=3 15.(1)证明：由方程x2-(m+2)x+m-1=0, 可知a=1,b=-(m+2),c=m-1, .△=b2-4ac=[-(m+2)]2-4×1×(m-1) =m2+4m+4-4m+4=m2+8. .m2≥0，.△>0， .无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根. (2)解：方程x2-(m+2)x+m-1=0的两个实数根为x1, x2,x1+x2=m+2,x1x2=m-1.第二章方程（组）与不等式（组） 第4讲一次方程（组）及其应用 考点一 等式的基本性质 1.新课标·跨物理学科(2022·滨州)在物理学中，导体中的电流1 跟导体两端的电压U导体的电阻R之间有以下关系：1= R,去分 母得IR=U,那么其变形的依据是 () A.等式的性质1 B.等式的性质2 C.分式的基本性质 D.不等式的性质2 2.（2024·贵州)小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左 右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平 衡.若设“■”与“●”的质量分别为x,y,则下列关系式正确的是 () AA 甲 乙 A.x=y B.x=2y C.x=4y D.x=5y 考点二解一元一次方程 3.（2025·遂宁)已知x=2是方程3a-2x=2的解，则a= 4.(2025·眉山)解方程：2(x-1)=2+x. 5新考法·解题过程纠错(2023·衡州)小红在解方程=4-+ 36+1时， 第一步出现了错误： 解：2×7x=(4x-1)+1, (1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处， (2)写出你的解答过程. 6 考点三二元一次方程（组）及其解法 6.新课标·数学文化(2025·成都)中国古代数学著作《九章算术》 中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五 百.今并买一顷，价钱一万.问善、恶田各几何？其大意是：今有良 田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱.今合买良、劣田1顷 (100亩)，价值10000钱.问良田、劣田各有多少亩？设良田为 x亩，劣田为y亩，则可列方程组为 () x+y=100 x+y=100, A.3 50 B. 50 300x+ 7y=10000 300y+ 7t=10000 C. x+y=100, x+y=100, D. 300x+500y=10000 300y+500x=10000 7.新考法·与非负性结合解方程组(2025·凉山州)若(3x+2y-19)2+ 12x+y-11|=0,则x+y的平方根是 A.8 B.±8 C.±22 D.22 8.(2025·泸州)《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在 “方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题.例如方程x+2y=3 恰有一个正整数解x=1,y=1.类似地，方程2x+3y=21的正整数 解的个数是 () A.1 B.2 C.3 D.4 (ax+y=b, 9.（2024·宿迁)若关于x,y的二元一次方程组 的解是 (cx-y=d x=3,则关于x,y的方程组 x+2y=2a+b, 的解是 y=-2. x-2y=2c+d 3x-2y=11,① 10.(2025·山西)解方程组： x+2y=1.② 考点四一次方程（组）的实际应用 角度①行程问题 11.新课标·数学文化(2025·天津)《算学启蒙》是我国古代的数 学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一 百五十里.驽马先行一十二日，问良马几何日追及之”意思是： 跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里.慢马先走 12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，则可 以列出的方程为 () A.240x=150(x+12) B.240x=150(x-12) C.150x=240(x+12) D.150x=240(x-12) 12.(2025·广西)自2025年5月9日起至2025年12月31日，周 末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以 下简称高速费)优惠.小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲 游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下： 湖南境内路段广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、 广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为α元、b元和 c元.求此行程的高速费实付多少元？比原价优惠了多少元？ (用代数式表示) (2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付 27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元. 求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单 程高速费原价分别是多少元 角度②工程问题 13.(2024·陕西)星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生 大扫除.根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4h;若 爸爸单独完成，需2h.当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去 参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小峰和 爸爸这次一共打扫了3h,求这次小峰打扫了多长时间. 角度③和、差、倍分问题 14.（2025·陕西)草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果 农采摘草莓.小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采 摘的草莓比小悦多2.4kg.已知小康平均每小时采摘6kg,小悦 平均每小时采摘4kg,小康采摘的时长是 小时 15.新素材·文物复原(2025·江西)某文物考古研究院用 1：1复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验.用复原的青 铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率 出酒率= 出酒量 ×100%如下表： 糟醅量 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水） 30% 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20% 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次 实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅 量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍： (1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ (2)受限于当时的生产条件，古代青铜蒸馏器的出酒量约为现 代复原品的80%若粮食糟酷中大米占比约为子，请问，在古代 要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤 大米？ 角度④购买、销售问题 16.(2025·烟台)某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售， 则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利 95元.这款风扇每台的标价为 () A.350元 B.320元 C.270元 D.220元 17.（2025·吉林)吉林省长白山盛产人参.为促进我省特色经济的 发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙 两种商品的售价分别为每盒25元和20元.某游客购买了甲、乙 两种商品共10盒，花费230元.求该游客购买甲种商品和乙种 商品的盒数 角度⑤分配、配套问题 18.(2023·巴中)某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美 术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分 成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面.已知每张卡纸可以裁 出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做 成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（) A.6 B.8 C.12 D.16 19.(2024·安徽)乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业. 某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植A,B两 种农作物.种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如 下表： 农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元） y B 3 9 已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植， 投入资金共60万元，问A,B这两种农作物的种植面积各多少 公顷？ 角度⑥其他问题 20.(2025·齐齐哈尔)神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国 航天日”.为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名 师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客 车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有 空座位，则租车方案有 A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 21.（2024·山西)当下电子产品更新换代速 度加快，废旧智能手机数量不断增加.科 学处理废旧智能手机，既可减少环境污 染，还可回收其中的可利用资源.据研 究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克.已 知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智 能手机中提炼出的白银克数相等.求从每吨废旧智能手机中能 提炼出黄金与白银各多少克， 7