2026年中考数学一轮复习分层训练-一元一次方程

**基本信息** 以“概念理解-技能训练-综合应用”为逻辑主线，通过三级递进设计，系统提炼一元一次方程解法步骤与建模方法，强化运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础题|6题（解方程、配套/利润问题）|方程解定义应用、五步解法（去分母等）、实际问题等量关系建立|从概念到基本技能，夯实运算基础| |能力题|9题（古代问题、规律探究、幻方）|古代问题建模、规律探究方程化、等式性质辨析|从单一应用到综合情境，提升推理能力| |拓展题|2题（数轴动点、方案选择）|动点坐标表示、分类讨论、方案优化建模|从静态到动态问题，培养创新意识|

一元一次方程 一、基础题 1．已知是关于的方程的解，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．某节劳动课上刘老师组织学生们制作“便携式垃圾桶”．已知该班共有学生45名，每名学生一节课能做桶身11个或桶底23个，其中一个桶身配两个桶底．设安排名学生做桶身，若该班学生所做的桶身和桶底正好配套，则下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 3．“六一”儿童节，学校分发给301班一些糖果，老师再分发给每个小朋友，如果分发给每个小朋友10颗糖果，则还缺10颗糖果；如果分发给每个小朋友8颗糖果，就多出40颗糖果．设学校分发给301班的糖果总共有x颗，301班有y个小朋友，则下列方程正确的是（　　） ①；②；③；④． A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 4．某商店出售某种商品每件可获利m 元，利润率为20%.若这种商品的进价提高25%，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利 m 元，则提价后的利润率为(　　). A．25% B．20% C．16% D．12.5% 5．解方程： （1）； （2） 6．小张自主创业开了一家服装店，因为进货时没有进行市场调查，在换季时积压了一批服装．为了缓解资金压力，小张决定将这批服装打折出售，若这批服装每件按标价的六折出售，将亏60元，按标价的八折出售将赚20元，则这批服装每件的标价和进价各是多少元？ 二、能力题 7．“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，对于其来源于何处，如今有各种传说．图1即“洛书”，数出图1中各处的圆圈和圆点个数，用1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字表示，分别填入图2中正方形对应方格内，得到一个每一横、每一列以及对角线上的数的和均为15的幻方，则的值是（　　） A． B． C．1 D． 8．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何?译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车?设共有x辆车，则可列方程为(　　). A． B．3(x+2)=2x-9 C． D．3(x-2)=2x+9 9．一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是（　　） A．105元 B．125元 C．135元 D．165元 10．如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第个图形需要2030根小木棒，则的值为（　　） A．252 B．254 C．336 D．337 11．下列等式变形正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 12．杨老师带着若干名同学去深圳湾进行拍摄，如图6，A，B，C依次是一段笔直道路上的三个拍摄点，每个拍摄点分别安排2，1，k（k>0）人。杨老师要在AC这段道路上选一个合影点使得所有同学到合影点的距离之和最小，若满足条件的合影点在BC上的任意一处都符合（包括点B，点C），则k的值为　 　。 13．解方程：． 14．解方程： （1）； （2）． 15．某商店销售A，B两种型号智能手表，这两种手表的进价和售价如下表： 型号 A B 进价（元/只） 1200 2000 售价（元/只） 1800 2500 该商场购进A，B两种型号智能手表共60只． （1）若该商场计划用8.4万元购进A，B两种型号智能手表，求购进A，B两种型号智能手表各多少只？ （2）若该商店用于购进智能手表的资金不超过8.8万元，且A型号的智能手表不得超过44只．若这两种智能手表都按售价全部售完，那么该商店应如何进货，才能使得获利最大，最大利润是多少？ 16．为节约用水，某市规定四口之家每月标准用水量为15立方米，超过部分加价收费，假设不超过部分水费为元/立方米，超过部分水费为3元/立方米． （1）如果小明家6月份用水20立方米，则应缴水费多少元？ （2）如果小明家某月的用水为m 立方米，那么这个月应缴水费多少元？（用含m 的代数式表示） （3）如果小明家某月的应缴水费元，那么这个月用水为多少立方米？ 三、拓展题 17．如图，已知数轴上有A，B，C三个点，它们表示的数分别是a，b，c，且b+c=0，（a+10）2+|c-6|=0. （1）填空：AB=　 　，BC=　 　； （2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动.设点A运动的时间为t秒，试探索：BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由； （3）现有动点P，Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动；当点P移动到B点时，点Q才从A点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点P到达C点时，点Q就停止移动.设点P移动的时间为m秒，当P，Q两点间的距离是2时，求m的值. 18．为了更好地落实“双减”政策，丰富学生课后托管服务内容，某校决定购买一批足球运动装备.经市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等. （1）求每套队服和每个足球的价格各是多少? （2）甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折.若该校购买100套队服和a个足球(其中( 且为整数)，请通过计算说明，学校采用哪种优惠方案更省钱? ① 请用含a的式子表示： 甲商城所花的费用　 　，乙商城所花的费用　 　； ② 当购买的足球数a为何值时在两家商场购买所花的费用一样? 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：因为x = 2是方程x + m = 7的解，把x = 2代入方程，得到2 + m = 7，解得m = 5. 故答案为：C. 【分析】利用方程的解的定义，将已知的解代入方程，得到关于m的一元一次方程，求解得出m的值. 2．【答案】C 【解析】【解答】解：由题意可得，， 故选：C． 【分析】根据题意建立方程即可求出答案. 3．【答案】D 【解析】【解答】解：设学校分发给301班的糖果总共有x颗，301班有y个小朋友．当每个小朋友分10颗糖果时，还缺10颗，则糖果总数加上10颗后刚好够分，即 ，当每个小朋友分8颗糖果时，多出40颗，则糖果总数减去40颗后刚好够分，即 ； 根据以上两个等式，可以得到方程，即选项中的④； 另外，根据糖果总数和小朋友人数的关系，可以得到方程和，变形后得到，即选项中的③. 因此，正确答案为③④； 故答案为：D. 【分析】先分析 “每个小朋友分 10 颗糖果，还缺 10 颗” 的情况，再分析 “每个小朋友分 8 颗糖果，多出 40 颗” 的情况；然后结合两个情况，推导方程；接着从 “糖果总数” 与 “小朋友人数” 的关系推导另一个方程，从而得出正确的方程是③和④；即可得出答案. 4．【答案】C 【解析】【解答】解：设原进价为a元，提价后的利润率为x%， 则m=a·20%=a(1+25%)·x%，解得x%=16%. 故答案为：C 【分析】设原进价为a元，提价后的利润率为x%，根据题意建立方程，解方程即可求出答案. 5．【答案】（1）解：原方程合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：原方程去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得： ​​​​​​ 【解析】【分析】（1）利用解一元一次方程的计算方法及步骤（先移项，再合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可； （2）利用解一元一次方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可. 6．【答案】解：设标价是元，则进价是元， 依题意得，， 解得，， ∴（元）， ∴标价是元，进价是元． 【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设标价是元，得到进价是元，依题 每件按标价的六折出售，将亏60元，按标价的八折出售将赚20元， 列出方程，求得方程的解，即可得到答案. 7．【答案】A 【解析】【解答】解：∵在图2的正方形中，每一列上的数的和为15， ∴， ∴， ∵在图2正方形中，对角线上的数的和为15， ∴， ∴， ∴， 故答案为：A． 【分析】根据每一列上的数的和为15，可得出，即可得出，进而根据对角线上的数的和为15，可得出，进而得出，再代入求值得出即可。 8．【答案】D 【解析】【解答】解：设共有x辆车，根据人数不变列出等量关系， 每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则人数为：， 每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则人数为：， ∴列出方程为：，故D正确． 故答案为：D . 【分析】设共有x辆车，根据人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 9．【答案】B 【解析】【解答】解：设这种服装每件的成本为x元 由题意可得：(1+40%)×0.8x-x=15 解得：x=125 故答案为：B 【分析】设这种服装每件的成本为x元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案. 10．【答案】B 【解析】【解答】解：观察发现规律：第一个图形需要小木棒：， 第二个图形需要小木棒：； 第三个图形需要小木棒：， …， ∴第n个图形需要小木棒：． ∴， 解得：， 故答案为：B． 【分析】根据前几幅图中小木棒的数量与序号的关系可得规律第n个图形需要小木棒：，再列出方程求解即可. 11．【答案】B 【解析】【解答】解：A．如果，那么，故选项错误； B．如果，那么，故选项正确； C．如果，那么或，故选项错误； D．如果，且，那么，故选项错误． 故选：B． 【分析】根据等式的性质逐项进行判断即可求出答案. 12．【答案】3 【解析】【解答】解：假设合影点在处，此时所有同学到点的距离之和为：（点的1人距离为0）； 假设合影点在处，此时所有同学到点的距离之和为：（点的人距离为0）； ∵上任意一处均符合条件， ∴点和点的距离之和相等，即， 两边同时减去，可得， 又∵，两边同时除以，解得。 故答案为：3 【分析】本题考查列代数式和一元一次方程的应用，解题的关键是理解“上任意一处均为距离之和最小的合影点”这一条件，意味着端点和处的距离之和相等，据此分别列出点和点处的距离之和代数式，根据相等关系列出方程，进而求解的值。 13．【答案】解： 去中括号得：， 去分母得：， 去小括号得：， 移项得2x-x-4x=-8-1， 合并同类项得：， 系数化为1，得：． 【解析】【分析】本题根据解一元一次方程的步骤，先去掉中括号、再去掉分母，此时原方程变为整式方程，然后去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可。 14．【答案】（1）解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 【解析】【分析】本题考查了解一元一次方程， （1）根据一元一次方程的解法，去括号，移项，合并同类项，化x的系数为1，即可求解； （2）根据含分式的一元一次方程的解法，先去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求解. 15．【答案】（1）解：设购进A种型号智能手表只，则购进B种型号智能手表只， 由题意可得：， 解得， （只）， 答：购进A种型号智能手表只，则购进B种型号智能手表只. （2）解：设购进A种型号智能手表只，则购进B种型号智能手表只，由题意得： ， 解得：， A型号的智能手表不得超过44只． ， ， 设购进手表的总利润为W万元，由题意得： ， ∵一次项系数a=100>0， ∴w随着m的增大而增大， 当时，利润最大，为（元）， （只） 答：该商店应进A型号的智能手表只，B种型号智能手表只，才能使得获利最大，最大利润是元． 【解析】【分析】（1）设购进A种型号智能手表只，则购进B种型号智能手表只，根据题意得等量关系“购进A型号智能手机的费用+购进B型号智能手机的费用=84000”，据此建立方程求解，即可解题； （2）设购进A种型号智能手表只，则购进B种型号智能手表只，根据题意建立不等式并求解，得到的取值范围，再根据题意表示出利润，结合的取值范围求解，即可解题． 16．【答案】（1）解：（元）． 答：这个月应缴水费元． （2）解：这个月应缴水费为元； （3）解：∵， ∴ ∴ 解得 答：这个月用水25立方米． 【解析】【分析】 （1）由题意知，小明家6月份超出标准5方水，则其中15方水的单价为1.5元，超出的5方水单体为3元，再把两部分水费相加即可； （2）同（1），用标准用水费用加上超出部分水费即可； （3）利用（2）中的代数式列出关于m的一元一次方程并求解即可． 17．【答案】（1）4；12 （2）解：BC-AB为定值，理由如下： 设运动时间为t，则点A表示的数为-t-10，点B表示的数为2t-6，点C表示的数为5t+6， ∴BC=5t+6-（2t-6）=3t+12，AB=2t-6-（-t-10）=3t+4， ∴BC-AB=3t+12-（3t+4）=8 （3）解：经过m秒后，P、Q两点所对应的数分别是-10+m，-10+3(m-4) 由-10+3(m-4)-(-10+m)=0 解得：m=6； ①当0<m≤4时，点Q还在点A处 ∴-10+m-(-10)=2 解得：m=2 ②当4<m≤6时，点P在点Q的右边 ∴（-10+m)-[-10+3(m-4)]=2 解得：m=5 ③当6<m≤16时，点Q在点P的右边 ∴[-10+3(m-4)]-(-10+m)=2 解得：m=7 综上，当P，Q两点间的距离是2时，m=2或m=5或m=7 【解析】【解答】解：（1）∵（a+10）2+|c-6|=0 ∴a+10=0，c-6=0 解得：a=-10，c=6 ∵b+c=0 ∴b=-c=-6 ∴AB=-6-(-10)=4，BC=6-(-6)=12 故答案为：4；12 【分析】（1）根据偶次方，绝对值的非负性可得a，c值，再求出b值，再根据数轴上两点间距离即可求出答案. （2）设运动时间为t，则点A表示的数为-t-10，点B表示的数为2t-6，点C表示的数为5t+6，根据两点间距离可得BC，AB，再作差，合并同类项化简即可求出答案. （3）经过m秒后，P、Q两点所对应的数分别是-10+m，-10+3(m-4)，根据题意建立方程，解方程可得m=6，分情况讨论：①当0<m≤4时，点Q还在点A处，②当4<m≤6时，点P在点Q的右边，③当6<m≤16时，点Q在点P的右边，根据题意建立方程，解方程即可求出答案. 18．【答案】（1）解：设每个足球的定价是x元，则每套队服是(x+50)元，根据题意得： 2(x+50)=3x， 解得x=100， x+50=150. 答：每套队服150元，每个足球100元； （2）(100a+14000)元；(80a+15000) 【解析】【解答】(2)①甲商场购买所花的费用为： (元)， 乙商场购买所花的费用为： 150×100+0.8×100·a=80a+15000(元)； 故答案为： (100a+14000)元； (80a+15000)元； ②两家商场购买所花的费用一样时， 100a+14000=80a+15000，解得a=50， 答：购买的足球数a为50时在两家商场购买所花的费用一样. 【分析】(1)先设未知数即每个足球的定价是x元，再根据题意用x表示出每套队服的价格：(x+50)元，利用题目所给等量关系：两套队服的价格=三个足球的价格，将x代入该关系式列出方程：2(x+50)=3x，解方程即可得到：x=100，x+50=150.（2） ① 根据 甲商场优惠方案：每购买十套队服，送一个足球 且该校购买100套队服和a个足球(其中( 且为整数)，知选用该方案可赠送个足球，即需购买足球数量为：（a-10）个，根据总价=单价×数量，即可表示出 甲商城所花的费用；根据 乙商场优惠方案：若购买队服超过80套，则购买足球打八折及该校购买100套队服和a个足球(其中( 且为整数)，根据总价=单价×数量，售价=标价×折扣，即可表示出乙商城所花的费用. ②由题意甲商城所花的费用=乙商城所花的费用，运用该等量关系列方程，解方程即可求出a的值. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $