河南湘豫大联考2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题

姓 名 准考证号 绝密女启用前 6月高一数学 注意事项： 1.本试卷共6页。时间120分钟，满分150分。答题前，考生先将自已的姓名、准考证 号填写在试卷指定位置，并将姓名、者场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然 后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡韭的指定位置。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标身。作答非选择题时，将答案 写在答题卡上对应的答题区域内。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1.已知集合A=z号<<}B=xx2-5x+6≤，则AnB= A（∞，] B(层3] c[2) D.[o] 2.已知i为虚数单位，复数之满足(1十2i)x=3十i,则之的共轭复数乏= A.1+i B.1-i C.-1+7 D.-1-i 3.已知函数f(x)=(x一1)cosx十e2,则f(0)= A。-2 B.2 C.-1 D.1 4.已知抛物线C:y2=2px(力一0)的焦点为F,过点F的直线1与C交于A,B 两点，且线段AB的中点M到y轴的距离为3，直线t与y轴交于点N若 N疗=2FM,则C的标淮方程为 A.y2=4x B.y=6x C.y2=8x D.y2=12x 数学试题第1页（共6页） 5.定义在R上的偶函数代x)满足x+3)=一代，且当女ef,号]时，fx) 单调递减，则下列关系式正确的是 A.f(3)<f(π)<f(2) B.f(2)<f(π)<f(3) C.f(3)<f(2)<f(π) D.f(2)<f(3)<f(π) 6,已知二项式(x一名)°，则下列说法正确的是 A.展开式中第3项与第4项的二项式系数之比为4号3 B.展开式中所有项的二项式系数之和为128 C.展开式中所有项的系数之和为64 D.展开式中常数项为一160 7.为研究城市文旅新媒体推广对旅游消费的带动效应，某文旅部门统计了 2025年7-12月某城市文旅短视频累计播放量x(单位：亿次)与当月旅游 总收人y(单位：亿元)的统计数据，如下表： 月份 8 9 10 11 12 x/亿次 2 4 5 6 7 y/亿元 8 15 28 50 90 160 通过散点图分析发现，y与x的关系可用指数型回归模型拟合，回归方程为 y=me(m>0,≠0)，令z=lny,得到之关于x的回归方程为之=0.6x十t, 相关系数为.则下列说法正确的是 附：x=4.5,y=58.5,z≈3.60，e.9≈2.46，e5.7≈299,1n50≈3.9120. A.y关于x的回归方程为y=e.9。e.6x,当x每增加1亿次时，y平均增加 e.6亿元 B.之与x的相关系数r>0,若用一元线性回归模型直接拟合y与x,得到的 相关系数为r1,则{r11>1rf C.若2026年1月该城市文旅短视频累计播放量为8亿次，用该回归模型预 测的当月旅游总收入约为299亿元 D.当旅游总收入为123亿元时，用该回归模型反推的播放量约为5.8亿次 为推广非遗文化，某文创店推出“非遗主题盲盒”，每个盲盒内装有1张对应 非遗项目的卡片，共有剪纸、陶艺、戏曲、书法4款不同卡片，每款卡片在盲盒 中出现的概率均等，且不同盲盒开出的卡片相互独立，某同学一次性购买了 数学试题第2页（共6页） 3个盲盒，设该同学抽到的不同卡片款式的数量为随机变量X,则下列说法 正确的是 A随机变量X~83,) BPX=2)=君 C.E(2X-1)=3 D.D(X)=87 256 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知数列{an}(n∈N*)满足am=2am-1十1(n≥2)，且a1=1,数列{bn》满足 bn=am十1，则下列说法正确的是 A.数列{an}为等差数列 B.数列{bn}为等比数列 C.数列{bn}的通项公式为bn=2+1 D.数列 0十1的前n项和T,=1一2- 10.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，顶点P在底面 的投影为正方形的中心O,高PO=1,则下列说法正确的是 线PA与BC所成角的余弦 B.该四棱维的内切球的表面积为(3一2√)x C.直线PD与平面PBC所成角的正弦值为5 D,点A到平面PBC的距离为 11.已知函数f(x)=e-1一ax2十(a一1)x,其中a∈R,e为自然对数的底数，下 列结论中正确的有 A.当a=0时，f(x)的最小值为0 B.若方程f(x)一a十1=0.有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是 (分，+∞) C.若f(x)≥0对任意x∈(0，十∞)恒成立，则实数a的取值范围是（一∞，1] D.当a=1时，f(有且仅有3零点 数学试题第3页（共6页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知各项均为正数的等比数列{an}满足log3ag十logsa5=6,则 a4= 1已知双曲线C:兰-多=1a>0,>0)的右焦点为R,坐标原点为0，以线 段OF为直径的圆与C的一条渐近线交于异于点O的另一点A.若|OA|= √5|AF|,则C的离心率为 14在三棱能P-ABC中，侧棱PA,PB,PC两两互相垂直，且高+品十元= 1 1.若D为空间内一点，且PD=1,PD(PA+PB+PC)(>0y,则DA DB+DB。DC+D式。DA的最大值为 附：柯西不等式：(a2+名2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax十by+cz)2,其中ab,c, x,y,z∈R,当且仅当=b=(约定：若分母为0，则对应的分子也为0)时 xy 等号成立。 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 15.（本小题满分13分) 为深人落实科教兴国战略，提升中学生航天科学素养，某地市教育局联合 航天科技馆开展“航天科普进校园”系列研学实践活动，研学参与者均参加 科创竞赛.为了解研学活动参与时长与学生科创竞赛获奖的关联性，从参 与本系列研学活动的学生中随机抽取100名，统计他们的研学累计参与时 长（规定：累计参与时长≥6课时为长时研学，<6课时为短时研学）与科创 竞赛获奖情况，得到如下2×？列联表： 科创竞赛 研学时长 合计 获奖 未获奖 长时研学 25 15 40 短时研学 10 50 60 合计 35 65 100 (1)从本次抽取的科创竞赛获奖的学生中，按研学时间长短分层，采用比例 分配的分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机选取 3名作为代表参加航天科普宣讲会，求选取的3名代表中恰有2名为长 时研学的概率； 数学试题第4页（共6页） (2)依据α=0.005的独立性检验，能否认为学生科创竞赛是否获奖与航天 科普研学时长有关？ n (ad-bc)? 附：x必=a+bc十0(a千o6+办，共中n=a+6+c叶d, a 0.1 0.05 0.01. 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16.（本小题满分15分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足3 bsin A=a1+ 2 (1)求角B的大小： (2)若b=2,求△ABC面积的最大值 数学试题第5页（共6页） 17.（本小题满分15分) 如图1，在平面四边形ABCE中，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角 形，∠ABC=90°，△ACE是边长为2的等边三角形.现将△ACE沿AC翻 折至△ACD的位置，使得BD=2,如图2. (1)设O为AC的中点，证明：DO⊥平面ABC; (2)求平面ACD与平面BCD夹角的余弦值. DE) B B 图1 图2 18.(本小题满分17分) 已知椭圆C:号+芳=1a>6>0)的离心率为竖.且与直线十y一6=0 有且只有一个公共点， (1)求C的标准方程； (2)设一动直线l不经过坐标原点O,与C交于M,N两点，且OM⊥ON. ()证明：点O到直线l的距离为定值； (ii)求△OMN面积的最大值. 19.（本小题满分17分) 已知函数f(x)=xe2一a(lnx十x十1)，其中a∈R,e为自然对数的底数. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)当a>0时，证明：f(x)≥一alna; (3)若对任意x>0,不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围. 数学试题第6页（共6页）6月高二数学参考答案 题号 1 2 5 7 8 10 11 答案 A B C A D C 0 BD AC ABD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1.C【解析折】因为象合A=(受，号)，解不等式-5x十6<0，得2≤<3，所以B=[2.31.所以AnB= [2,号)故选C 2A【解标】调为1叶20=3i期：=艺得器-号与=1一片以：的共柜复数g=1十i故 选A. 3.B【解析】因为f'(x)=cosx-(x-1)sinx十e,所以f'(0)=cos0-(0-1)Xsin0十e°=2.故选B. 4.C【解析】由抛物线C:=2px(p>0),知F(号，0）.设M(),由M到y轴的距离为3，得x=3.直线 1与y轴交于点N,设N(0,n),则N市=(，-n),Fi=(3-,w).又N市=2F应，则乡=2×(3-) 解得p=4,所以C的标准方程为y2=8x,故选C 5.A【解析】因为f(x)为偶函数，f(x+3)=-f(x),所以f(3)=f(0十3)=-f(0),f(π)=f(π-3十3)= -f-32)=f-1+3)=--1)=-f1).因为0<元-3<1<号，且fx)在[0,2]上单调递减， 所以f(0)>f(π-3)>f(1),所以-f0)<-f(π-3)<-f(1),即f(3)<f(π)<f(2).故选A. 6.D【解析】对于A,二项式的展开式中，第3项的二项式系数为C=15,第4项的二项式系数为C=20,依题 意有号-号=号，A错泥，对于B,二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为2=64≠128B错送.。 于C,令x=1,得(1-二)'=1≠64，C错误：对于D,该二项式的展开式的道项公式为T1=C·· （-2）厂=(-2C·2(=01234,5.6).令6-2r=0,解得r=3,得常教项为(-23C=(-8)× 20=-160,D正确.故选D. 7.C【解析】对于A,截距t=乏一0.6x≈3.60-0.6×4.5=0.9，所以x关于x的经验回归方程为之=0.6x十 0.9,还原为指数型回归方程为y=e.so.=e·e,回归方程正确，在此指数型回归模型中，当x每增加 1亿次时，y变为原来的e.6倍，而非“平均增加e.6亿元”，A错误.对于B,之关于x的经验回归方程为= 0.6x十0.9，所以≈与x正相关，相关系数>0，当相关系数r越接近1，变量的线性相关程度越强，而本题 中，y与x本身为非线性的相关关系，直接用线性模型拟合的效果远差于“取对数线性化后拟合”的效果，因此 直接拟合的相关系数n|<r,B错误.对于C,若2026年1月份对应x=8,代入经验回归方程得之=0.6X 8十0.9=5.7，因此预测值y=e7≈299亿元，C正确.对于D,当旅游总收入y=123亿元时，代入指数型回归 方程得e·e≈2.46er=123,得e“=50,两边取自然对裁得x=日50≈3.9120=6.52（亿次）≈ 0.6 0.6 6.5(亿次)，而非5.8亿次，D错误，故选C. 8D【解析】对于A,本题中X是“不同卡片款式的数量”，不符合二项分布的定义，因此X不服从二项分布，A 数学参考答案第1页（共8页） 错误，对于B,3个盲盒开出的卡片相互独立，每盒有4种等可能的结果，总基本事件数为43=64，随机变量X为 抽到的不同卡片款式的数堂，共可能取值为1,23.当X=13个育金卡片充全相同)时，P0X=1)=高： 24_3 当X=3(3个盲盒卡片全不相同)时，从4款卡片中选3款排列，共A=24种情况，则P(X=3)=61=8:当 X=2(3个言金卡片拾好有2种不同款)时，由概率和为1，得P(X=2)=1-P(X=1)-P(X=3)=1-6 1 是=是B错民.对于C,由B知，E(X)=1X品十2X品十3X是-器·根据期型的性质得E2X-D 2E(X)-1=2X器-1=号，C错误.对于D,方法-报据方差公式DX)=含x一BX]P·A,代入相 关盘据，得D0=(1-)×品+(2-)×是+(3-)×是-品D正确：方法二：因为EX) 1×6+2X器+3×号-器，所以利用方盖公式得D(X0=E(X)-[E(X0]- 9 16 () D 确.故选D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.BD【解析】已知an=2am-1十1，变形为an十1=2(an-1十1)，即bn=2bn-1(n≥2).又b1=a1十1=2，所以数列 b是以2为首项，2为公比的等比数列，B正确.根据等比数列的通项公式可得bn=2X2”-1=2”,C错误.由 B,C知a,=2-1,则数列{a}不是等差数列，A错误.对于D,将a,=2”-1代入，得十1= anan+l @-可=十与则数列《侣}的商项和为工=() 2 (六）十叶（六与）=1厂2D正境核选m 10.AC【解析】易知四棱锥P-ABCD为正四棱锥，以底面正方形的中心O 为坐标原点，过点O作平行于AD的直线为x轴，作平行于AB的直线 为y轴，以OP所在直线为之轴，建立如图空间直角坐标系，则O(0,0, 0),A(-1,-1,0),B(-1,1,0),C(1,1,0),D(1,-1,0),P(0,0,1).该四 棱锥的底面面积S盘=2X2=4,侧面斜高h=√十1下=√2，侧面PAB D 的面积S=子×2×厄=-E,倒面积S%=4,体积V=号S4·0P 专，对于A,Pi=(-1,-1,-1)B就=(2.0,0，所以P才·Bt=(-1)×2+(-1)×0+(-1)×0=-2 P才=√(-1)十(-1)+（一1）下=√3，BC1=√2十0十0=2，所以异面直线PA与BC所成角（记为 )的余弦值为cos日 后灵引-A正商，对于B,设正四棱维内切球的率径为，巴知三四校维的体积 321 V=专，表西积5=4十E.则专=子×(4十4D)·,解得= 1+√2 =2-1,故内切球的表面积S 4π×(W2-1)2=(12-82)π，B错误.对于C,取平面PBC内的两个不共线向量：P第=(-1,1，-1)，BC n·PB=-x十y-之=0， (2,0,0),设平面PBC的法向量为n=(x,y,之)，则 解得x=0,y=,令之=1，得平 n·BC=2x=0, 数学参考答案第2页（共8页） 面PBC的一个法向量为n=(0,1,1),所以n=√02+1+1严=√2.又P市=(1，-1，-1)，设直线PD与平 面PBC所成的角为a,则sina=|cos〈Pd,n)|= =b=C正确，对于D,由C知平面PBC的- 个法向量为n=(0,1,1),取平面PBC内点B(-1,1,0),平面外点A(-1,-1,0),得AB=(0,2,0),代入公式 得，点A到平面PBC的距离为d=AB.L=0X0+1X2+1X0=2=2,D错误.故选AC. √2 √2 11.ABD【解析】因为f(x)=e-1-a.x2十(a-1)x,x∈R,所以f'(x)=e-1-2a.x十(a-1).对于A,当a=0 时，f(x)=e-1-x,f'(x)=e1-1,令f'(x)=0,解得x=1.当x<1时，e1<1,所以f'(x)<0,所以 f(x)在（一o∞，1）上单调递减：当x>1时，e-1>1,所以f'(x)>0,所以f(x)在(1，十o)上单调递增，所以 f(x)在x=1处取得最小值，最小值为f(1)=0,A正确. 对于B,因为f(x)=e1-2ax十(a-1),所以f'(x)-a十1=e-1-2a.x=0.令g(x)=e1-2a.x,则问题 等价于函数g(x)有两个不同的零点.因为g'(x)=e-1一2a,若a≤0，g(x)>0,所以g(x)单调递增，所以 函数g(x)最多有一个零点，不符合题意；若a>0,令g'(x)=e1-2a=0,得x=1十ln2a,当x>1十ln2a 时，g(x)>0,g(x)单调递增；当x<1十ln2a时，g'(x)<0,g(x)单调递减，所以g(x)在x=1十ln2a处取 得极小值，且极小值为g(1十ln2a)=eh2a-2a(1十ln2a)=-2a·ln2a,要使函数g(x)有两个不同的零点， 则-2a·1n2a<0.因为u>0,则1n2a>0,即2a>1,解得a>2.又当-o∞时，e1-0,-2a一+0， 所以g(x)→十oo;当x→十o∞时，函数y=e-1的增长远快于一次函数y=2ax,所以g(x)→十o,综上，当 >之时，函数g()有两个不同的零点，B正确。 对于C,要使f(x)≥0对任意x∈(0，十∞)恒成立，分情况讨论：①当a=0时，由A知，f(x)≥0恒成立，符 合要求.②当a<0时，f'(x)在(0，十∞)上单调递增，f'(1)=-a>0,f'(0)=e1十a-1<0,故存在x∈ (0,1),使得f(x)=0.f(x)在(0，x)上单调递减，在(x0,十∞)上单调递增，因此f(x)<f(1)=0,不符合 要求.③当0<a≤1时，取a=1,f(2)=e-4<0;取a=0.5,f(2)=e-3<0,均不满足f(x)≥0恒成立. ④当a>1时，f(2)=e一2a一2<e-4<0,不符合要求.综上，当且仅当a=0时满足条件，C错误。 对于D,当a=1时，f(x)=el-x2,f'(x)=e-1-2x,f"(x)=el-2.令f"(x)=0,得x=1十ln2,因此 '(x)在(-o,1十ln2)上单调递减，在(1十n2,十o∞)上单调递增，所以f'(x)m=f'(1十ln2)=-2ln2<0. 结合x→士∞时f'(x)→十∞，可知f'(x)=0有两个不同的实数根x,x2,分别对应f(x)的极大值点x1,极 小值点x2,又f'(1)=一1<0，所以x1<1<x2,f(x)在(x1,x2)上单调递减，且f(1)=0,所以f(x)在(x1, )上有1个零点x=1,且f(x1)>0,f(x2)<0:f(x)在(-∞，x1)上单调递增，又当x→-o时，f(x)→一oo, f(x)>0,所以f(x)在(-oo,xm)上有1个零点；f(x)在(x2,十oo)上单调递增，又当x→十oo时，f(x)→十oo, f(x)<0,所以f(x)在(x2,十o)上有1个零点.综上，f(x)有且仅有3个零点，D正确.故选ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.27【解析】因为loga3十log3as=log(a3as)=6,aaas=a=3°，所以a1=3=27.故答案为27. 1326 3 【解析】调为线段OF为国的直径，所以AF_OA,.不场取海运线方程y一合，在R△AOF中，斜车 =∠A0F=船-9片以√层-√名-+号-2成客家为2 a 31 14.3-65【解析】设PA=a,PB=b,PC=c(ab,c>0),由题知P方1=1，则DA·Di+D求·DC+DC·DA (D币+PA)·(D市+Pi)+(Dd+Pi)·(D市+p式)十(D币+P心)·(D市+PA)=D+(PA+PB)· 数学参考答案第3页（共8页） Di+Di+(Pi+P心)·D市+Dp:+(PC+PA)·Dp=3+2Dp.(PA+P馆+P心)=3-2P才+Pi+ p心=3-2瓜6T元，由题知+名=1，由有两不等式得a十6c=(日+6十)ab叶c)2 (1十1十1)2=9，当且仅当a=b=c=3时等号成立.再由柯西不等式得(a2十b十c2)(1十1十1)≥(a十b十c)≥ 81,当且仅当a=b=c=3时等号成立.所以√a2十b+c≥33，故原式≤3-63，即DA.Di+DB.D心 D心·DA的最大值为3-63.故答案为3-63. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说阴、证明过程或演算步骤 15.【解析】(1)科创竞赛获奖的学生共35人，其中长时研学的有25人，短时研学的有10人，比例为5：2， 接比制分配分层随机精样描取7人抽样比为务=弓 ………1分 所以抽取的长时研学的学生人教为25×号=5（人）：… …2分 抽取的短时研学的学生人数为10X号=2（人）.… 3分 从7名学生中随机选取3名，基本事件总数为C浮=35，………………………4分 选取的3名代表中恰有2名长时研学、1名短时研学， 从5名长时研学的学生中选2人，从2名短时研学的学生中选1人的选法种数为C号·C=10×2=20,… 根格古典桃型耗率公式，所求概牵为P器=一 7分 (2)零假设为H。:学生科创竞赛是否获奖与航天科普研学时长无关。…8分 n(ad-bc)? 100×11002 X=(a+b)C0a十0(hD40X60X35X65≈2.161>7.879=0s，…12分 依据小概率值α=0.005的独立性检验，我们推断H。不成立，即认为“学生科创竞赛是否获奖与航天科普研 学时长有关。… …………………13分 16.【解析1)周为尽sinA=a(1十2im号)， 所以由正孩定理得5 sin Bsin A=sinA(1十2sin号)】 …………2分 因为sinA≠0，两边同除以sinA, 得V3sinB=1+2sim2号=2-cosB,p3sinB+cosB=2, 4分 由辅助角公式，得5sinB十cosB=2sin(B+石)， 等式支为2sin(B+晋)=2，即sin(B+晋)=1. 5分 因为0<B<,所以晋<B+吾<要 所以B+晋=受，即B=晋 7分 (2)由余弦定理得cosB=a+c-: 2ac 即号二整理得4=公2+c2a,…m ……………………10分 2ac 数学参考答案第4页（共8页） 由基本不等式得4=a2十c2-ac≥2ac一ac=ac,当且仅当a=c=2时等号成立.………12分 由三角形面积公式S=号acsin B,代入a,C的表达式及snB=写 2 得S- 行QC≤W3.……………………14分 故△ABC面积的最大值为√3。………………………15分 17.【解析】(1)证明：因为O为AC的中，点，△ACD是边长为2的等边三角形， 所以D0LAC,且D0=号AC-5 知图，连接B0,在等腰R1△ABC中，B0=号AC=1, 又BD=2,满足BO2+DO2=1+(W3)=4=BD, 所以∠BOD=90°，即DO⊥BO. 4分 又AC∩BO=O,且ACC平面ABC,BOC平面ABC,所以DO⊥平面ABC.…6分 (2)由(1)知DO⊥平面ABC,BOLAC,以O为坐标原点，分别以OA,O范，O市的方向为x轴、y轴、之轴正方 向，建立空间直角坐标系Oxy2,如图所示， 则O(0,0,0),A(1,0,0),C(-1,0,0),B(0,1,0),D(0,0w3). ……………7分 因为平面ACD位于Ox2平面内，易知平面ACD的一个法向量为n1=(0,1,0).……9分 又C第=(1,1,0)，Cj=(1,0√3) m2·CB=0, D (E 设平面BCD的法向量为n2=(x,y,z),则{ 2·Cd=0, x十y=0, 得 令x=√5，得y=一√5，x=-1, x十3x=0. 即平面BCD的一个法向量为n2=(W5,一√3，一1).……12分 设平面ACD与平面BCD的夹角为9. 因为n1·n2=0×√5+1×（一√3）十0×(-1)=-√3， n1=1,z=√/(W5)2+(-√3)2+(-1)2=7， 所以cos9=n·n=-B=2四 ……14分 mn21X万 7 故平面ACD与平面BCD夹角的余弦值为T 7 ………15分 18【解析1)旅题意。一后-怎则c。 0. 在横周中.a=+,代入(=竖a得公=a-c=a a=a, 因此椭圆C的方程可化为x2十2y2=a2.……………1分 联这十y6=0消去y得+266-=a x2+2y2=a2, 整理得3x2-4√6x十12-a2=0. 数学参考答案第5页（共8页） 依题意得△=(46)-4×3×(12-a2)=96-12(12-a2)=0, 解得公2=4，因此6三号Q2=2……… 3分 故箱圆C的标准方程为气十苦-1. (2)(i)设M(x1,y),V(x2,). 当直线l的斜率不存在时，x1=x2|=|y1=|y2, 所以点0到直线1的距离为 3 …5分 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx十m(m≠0)， y=kx十， 联立直线（与椭圆C的方程 子+y=1消去y并整理得(1十2k)x十4kmx十2一40. 因为直线1与椭圆C有两个交点，则△=(4km)2一4(1十2k)(22一4)>0， 化简得4k2-m2十2>0①. 由根与系数的关系，得十三二欢3=m二4 1十2k2 。…………………8分 因为OM⊥ON,所以Oi.ON=0,即x1x2十y1y2=0. 又y2=(kx1十m)(k.x2十m)=kx1x2十km(x1十x2)十m2, 所以(1十k2)01x2十km(1十x2)十m2=0.……9分 将根与系数的关系代入上式，等式两边同乘1十2k得(1十k)(2m2一4)-4km2十m2(1十2k)=0, 整理得3m2-4-4=0,即㎡2=4(k十1D ②. 3 将@代入①得4卫+28的>0恒成主 3 所以原点O到直线l的距离d=m 1一×2/+Ⅱ=25 √I+√八+ 3 综上所述，点O到直线l的距离为定值，…………………………………………10分 (当立线1的斜率不存在时，SaN=号 ………11分 当直线L的斜率存在时，MN=√十k·√(x1十x2)一4x1x2, 所以△OMN的面积S=之·MN·d 结合根与系数的关系，代入面积公式， 得s=名×29×F×依夏-4VD4亚 ………………………………………13分 3 √3(1+2k) 3(2k2+1) 令1=2k2+1(t≥1)，则k2= 2 4 代入得S=×√ t+1)(2t-1D-2W2×./ 2 3W 百-x√ t2 3 +十2.…15分 数学参考答案第6页（共8页） 令w=0<≤1)，则s=2×/厂“2. 3 因为二次函数y=一心十u十2的图象开口向下，对称轴为直线u=号 21 所以该函数在以时取得最大值………………心……16分 国此5<2号×√厚=厅.当且仅当=号即1=2，=子m=2时取等号，满足m≠0且4>0， 又V巨>号，故△OMN面积的最大值为，E ………17分 19.【解析】(1)当a=1时，f(x)=xe-lnx-x-1, 则f(1)=1×e-ln1-1-1=e一2，即切，点为(1，e-2).… …1分 又f(x)=(x十1)e-1-1,所以切线斜率k=f(1)=2e-1-1=2e-2.…2分 故所求切线方程为y-(e一2)=(2e-2)(x-1),整理得y=(2e-2)x-e.…3分 (2)方法一（常规导数法）： 由题知函数f(x)的定义域为(0，十∞)， 当a>0时，f(x)=(x+1)c-a(+1)=(x+1(e-) ………………………4分 因为x>0,所以x十1>0(x)的符号由e一是决定. 令h(x)=e-兰>0，则h'()=C+是>0，所以h(x)在(0，十o∞)上单调递增.…6分 当x→0+时，h(x)→一∞；当x→十∞时，h(x)→十o∞， 因此存在唯一的>0，使得h(x)=0,即g0=,整理得a=xoe0,…7分 当0<x<x时，h(x)<0,f(x)<0,f(x)单调递减； 当x>xo时，h(x)>0,f(x)>0,f(x)单调递增.… 9分 因此f(x)在x=x0处取得唯一极小值，也是最小值f(x). a=xoeo两边取自然对数，得lna=lnxo十xo. 将e0=2与lna=ln十w代入f(o), …10分 得f(x)=xoe-a(lnxo十xw十1)=a-a(lna十1)=-alna, 因此f(x)≥f(xo)=一alna,不等式得证.… ……12分 方法二（同构法）： 由题知函数f(x)的定义域为(0，十∞)， 对f(x)变形，得f(x)=en+x-a(nx十x十1). …6分 令t=lnx十x,因为x>0时，t=lnx十x单调递增，值域为R, 所以f(x）可转化为g(t)=e一a(t十1)，t∈R.…… …8分 对g(t)求导得g'(t)=e-a,令g'(t)=0,得t=lna. …………………9分 当tlna时，g'(t)<0,g(t)单调递减； 当t>lna时，g'(t)>0,g(t)单调递增. …………11分 数学参考答案第7页（共8页） 因此g(t)的最小值为g(lna)=ea-a(lna十l)=-alna, 即f(x)=g(t)≥一ana,不等式得证.……………12分 (3)对任意x>0,f(x)≥0恒成立，分三种情况讨论： 若a<0,当x→0+时，xe→0，lnx→-∞，因此lnx十x+1→-o∞. 因为a<0,所以一a>0,所以-a(lnx十x十1)-∞， 因此f(x)→-oo,不满足f(x)≥0恒成立，a<0舍去. 若a=0,f(x)=xe,x>0,f(x)≥0显然成立.……………………………14分 若a>0,由(2)的结论，知f(x)在(0，十o∞)上的最小值为f(xo)=-alna, f(x)≥0恒成立等价于最小值大于等于0，即f(x)m=-alna≥0.…15分 因为a>0,所以-lna≥0，即lna≤0，得a≤1. 又a>0,得0a1.……………16分 综上所述，实数a的取值范围为[0,1].……………………17分 数学参考答案第8页（共8页） 26.6高二数学评分细则（补充部分） 说明：如无补充的题目按参考答案给分 第13题： 或 (他可你务 第17题：第(2)问补充解法： 17、2) Svo= 射影法： S△2cp= 12 Tos Saoco 网 S&BLP .-13 第18题：第(2)问补充解法： ((2) 、N0M10N 速M(BR&0) R=14/ N(B.o0哈).-a+④)lol 吊(-60B@) -、% 起4心R入革+坐引 学遮)→市+安：主7吃 7壁+②) 4+43R -、8% 在How中，凌时第为d刷dh华oo 'bl=P ToNl-B 1mn作JRt ---93 方器紧厚：刘 皮原立到直伐卧晚水苏 e) 由得|p[五.] 、-.3 脉股4整 号（796+6) 48-4 34 学4+种 音（绍4+十） 落t4c团能节(t+单+8)在t,9辄tea]修 作mh:4+48)件 RPx=当(at+8)=d k6[学6]63 S0=主Re学月古MW0=5 第1页共2页 第19题：第(3)问 补充解法一： 军：问多5完 :岁x月才十x)之0 昂e+之ae.Chx+x+)在x吵e我立 没t=+hx+1在Xco,)库增且t∈R 3多 品ae~t≤et在tp上是成立 为ht): _Ct+o) h:器(c- t1° t>1 h。cxt<|或长 ht症o)卓城，(k单德 C-0)上单风 吊为 143 当t=0时 e°=/≥a.0时eR) 当t>时 Ae≤生=h)是成立 aese 0Ke时a| 当七o时 加≥号=h成2 品 e70 (a之~ 本a6值捕为o.门 173 补充解法二： 119(3) it=xexo x)=9t)=t-a能c 9t)=-色 0a<o 9)7 9t)个 t。 9y-0 不店1粉 ©Q7o 十m≥-an4≥o →A6(o☐ m15分 ③Q=o 16分 字上：(e[o,) 分 第2页共2页