精品解析：河南商丘市柘城县、虞城县部分校联考2025-2026学年高二下学期第三次月考数学试卷

高二数学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1. 已知，，若是 的必要条件，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法中错误的是（ ） A. 若，则 B. 越接近0，线性相关性越弱 C. 越接近1，线性相关性越强 D. 若，，则 3. 将标有1，2，3，4的4个不同的西瓜分给甲、乙、丙3位同学，每位同学至少分到1个西瓜，则1号西瓜分给甲的不同分配方式共有（ ）种． A. 36 B. 24 C. 12 D. 10 4. 已知关于 的不等式的解集为，其中 ，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的部分图象如右图所示，是的导函数，给出下列四个结论： ①； ②； ③；④，， 其中正确的结论的序号为（ ） A. ②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 6. 小王到某公司面试，一共要回答道题，每道题答对得分，答错倒扣分，设他每道题答对的概率均为，且每道题答对与否相互独立，记小王答完道题的总得分为，则当取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 7. 已知连续型随机变量，令函数，则下列选项正确的是（ ） A. B. 是增函数 C. 的图象关于点中心对称 D. 的图象关于轴对称 8. ，均有成立，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 9. 若正实数满足 ，则（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数存在两个极值点，则（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 12. 命题“， ”是假命题，求实数的取值范围_______________． 13. 高考放假第二天，小明决定去图书馆看书，已知他上午去图书馆的概率为，下午去图书馆的概率为，记小明在上午不去图书馆的条件下，下午去图书馆的概率为；小明在上午去图书馆的条件下，下午去图书馆的概率为，若，则 _______________． 14. 已知函数 恒成立，则实数 的取值范围为_______________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）当 时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的极值． 16. 良好的学习习惯是学习数学的一种有效策略.某教师为研究学习习惯和数学成绩之间的关系，得到如下数据： 数学成绩高于120分 数学成绩不高于120分 合计 有良好的学习习惯 14 6 20 没有良好的学习习惯 4 26 30 合计 18 32 50 （1）依据小概率值 的独立性检验，能否认为“有良好的学习习惯”和“数学成绩高于120分”有关联？ （2）从数学成绩高于120分的18人中随机抽取2人，求这2人中“有良好的学习习惯”的人数X的分布列. 附：，其中 独立性检验中5个常用的小概率值和相应的临界值表： 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 随着电商事业的快速发展，网络购物交易额也快速提升，某网上交易平台工作人员对2020年至2024年每年的交易额（取近似值）进行统计分析，结果如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 交易额（单位：百亿） 1.5 2 3.5 8 15 （1）据上表数据，计算与的相关系数（精确到0.01），并说明与的线性相关性的强弱；（若，则认为与线性相关性很强；若，则认为与线性相关性一般；若，则认为与线性相关性较弱．） （2）利用最小二乘法建立关于的线性回归方程，并预测2025年该平台的交易额． 参考数据：，， 参考公式：相关系数； 线性回归方程中，斜率和纵截距的最小二乘估计分别为，． 18. 小王、小强两人进行游戏比赛，游戏共五局，先获得三局胜利的人赢得比赛；比赛分为进攻方与防守方，一方进攻则另一方防守，进攻成功或防守成功的人均看作获得本局游戏胜利，一方进攻成功则继续进攻，一方进攻失败则更换进攻方；小王在进攻方胜率为，小强在进攻方胜率为，小王优先进攻． （1）求第二局小强获胜的概率； （2）若，，求小王在四局以内赢得比赛的概率； （3）若，记游戏局数为，求的最大值． 19. 已知函数 （1）已知在定义域上是增函数，求实数的取值范围； （2）已知有两个零点， ①求实数的取值范围； ②证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1. 已知，，若是 的必要条件，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，分 ，和，三种情况讨论，列出不等式，即可求解. 【详解】由集合，， 因为是 的必要条件，则， 当 时，此时集合 为空集，满足； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 2. 下列说法中错误的是（ ） A. 若，则 B. 越接近0，线性相关性越弱 C. 越接近1，线性相关性越强 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A选项：由正态分布对称性可得，A正确； 对于B,C选项，越接近1，线性相关性越强，越接近0线性相关性越弱，所以B，C都正确； 对于D选项：，所以，D错误. 3. 将标有1，2，3，4的4个不同的西瓜分给甲、乙、丙3位同学，每位同学至少分到1个西瓜，则1号西瓜分给甲的不同分配方式共有（ ）种． A. 36 B. 24 C. 12 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】需分成两种情况，情况一：甲仅得1号西瓜，剩余3个西瓜分给乙和丙；情况二：甲得1号西瓜和另一个，乙和丙各得1个西瓜. 【详解】情况一：甲仅得1号西瓜，剩余3个西瓜分给乙和丙： 个； 情况二：从剩余3个西瓜选1个给甲，剩余2个西瓜分给乙和丙各1个：个. 两种情况相加，总共有12种分配方式. 4. 已知关于 的不等式的解集为，其中 ，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可知：是方程的两根，且， 则，可得，， 则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 5. 函数的部分图象如右图所示，是的导函数，给出下列四个结论： ①； ②； ③；④，， 其中正确的结论的序号为（ ） A. ②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】由函数图像可知函数在上单调递增，恒成立，据此可判断②④，结合函数在增长越来越缓慢即可判断①，再根据函数在点处切线的斜率小于割线的斜率即可判断③． 【详解】由图可知，函数在上单调递增，恒成立， 所以，，②正确，④错误； 由函数在增长越来越缓慢，可知在单调递减， 所以，①正确； 如图，函数在点处切线的斜率小于割线的斜率， 所以，即，③正确． 6. 小王到某公司面试，一共要回答道题，每道题答对得分，答错倒扣分，设他每道题答对的概率均为，且每道题答对与否相互独立，记小王答完道题的总得分为，则当取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设答对题的个数为，由条件可得，结合二项分布期望公式和方差公式求，，根据关系，结合期望性质和方差性质求，，由此可得的解析式，再根据二次函数性质求结论. 【详解】设答对题的个数为，由已知可得， 所以，， 因为每道题答对得分，答错倒扣分，为小王答完道题的总得分， 所以， 所以， ， 所以，又， 所以当时，取最大值，最大值为. 故选：C. 7. 已知连续型随机变量，令函数，则下列选项正确的是（ ） A. B. 是增函数 C. 的图象关于点中心对称 D. 的图象关于轴对称 【答案】C 【解析】 【分析】由随机变量，得到正态分布曲线关于对称，根据正态分布的性质，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为随机变量，所以正态分布曲线关于对称， 根据正态分布曲线的性质，可得，所以A不正确； 对于B，根据正态分布曲线的性质，当增大时，逐渐减小， 所以函数为单调递减函数，所以B错误； 对于C，因为随机变量，所以正态分布曲线关于对称， 所以， 则， 所以的图象关于点中心对称，所以C正确； 对于D，由选项B知：函数为单调递减函数， 所以的图象不关于对称，所以D错误. 8. ，均有成立，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先不等式转化为，再构造函数，转化为函数在区间上恒成立，利用参变分离，转化为最值问题，求的取值范围. 【详解】不妨设， 由，得， 即，两边同时除以，得， 令，即，所以函数在区间上单调递减， ，即恒成立， 所以，上恒成立，函数在区间上单调递减， 所以的最大值为1， 所以. 故选：B 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 9. 若正实数满足 ，则（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据“1”的变形技巧，基本不等式以及二次函数的性质逐项分析求解即可. 【详解】对于A，由 ， 则， 当且仅当即时等号成立，所以的最小值是，故A错误； 对于B，由基本不等式得，即， 当且仅当时等号成立，所以的最大值是，故B正确； 对于C，由 ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是，故C正确； 对于D，因为，所以 ，又，所以 ， 所以 ， 设， 由二次函数开口向上，对称轴为：， 所以该二次函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，故D正确. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用二项式定理及多项式乘法法则求出展开式中含项的系数判断A，利用赋值法判断BC，对式子两边求导，令即可判断D. 【详解】的展开式中含的项为 ， 所以，故A错误； 令，可得，令 可得， 两式相加可得，故B正确； 令可得，所以，故C错误； 等式两边对求导可得：， 令，得，故D正确. 11. 已知函数存在两个极值点，则（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析可知有两个不相等的正根，利用二次方程根的分布结合韦达定理逐项判断即可． 【详解】函数的定义域为， ， 由函数存在两个极值点， 得有两个不相等的正根， 所以，解得， 即的取值范围为，A正确，B错误； 所以，，C正确，D正确； 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 12. 命题“， ”是假命题，求实数的取值范围_______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数性质结合判别式求解 【详解】由题意，命题“ ， ”是假命题，可得二次函数 与轴有交点， 又由二次函数性质，可得 ，即 ，解得 或 ， 即实数的取值范围为 13. 高考放假第二天，小明决定去图书馆看书，已知他上午去图书馆的概率为，下午去图书馆的概率为，记小明在上午不去图书馆的条件下，下午去图书馆的概率为；小明在上午去图书馆的条件下，下午去图书馆的概率为，若，则 _______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用全概率公式求解. 【详解】设事件A=“小明上午去图书馆”，事件B=“小明下午去图书馆”， 则， 所以， 又，解得. 14. 已知函数 恒成立，则实数 的取值范围为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】令，利用导数求出 的取值范围，原不等式恒成立可化为恒成立，分类讨论后分离参数，构造函数，利用导数求其最值即可得解. 【详解】因为 ， 所以恒成立， 设 ，则 为增函数， 由 可得， 所以时， ，时， ， 函数 在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，且时， ， 所以，令 ，则， 即恒成立， 当时， ，对任意 成立， 当 时，令， 则，当时， ，函数在上单调递减，， 当时，由原不等式可得恒成立，所以； 当时，令 ，解得 ， 所以 时， ，时， ，所以在单调递减，在上单调递增，故 ， 当 时，由原不等式可得恒成立，所以 ， 综上，不等式恒成立需满足，即 . 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）当 时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的极值． 【答案】（1）； （2）当时，函数无极值；当时，函数的极小值，无极大值. 【解析】 【分析】（1）求出，，写出切线方程； （2）由求极值步骤求解. 【小问1详解】 当 时，则，， 可得，，即切点坐标为，切线斜率 ， 所以切线方程为 ，即. 【小问2详解】 因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值； 若，令，解得； 令，解得. 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值. 综上可知：当时，函数无极值； 当时，函数的极小值，无极大值. 16. 良好的学习习惯是学习数学的一种有效策略.某教师为研究学习习惯和数学成绩之间的关系，得到如下数据： 数学成绩高于120分 数学成绩不高于120分 合计 有良好的学习习惯 14 6 20 没有良好的学习习惯 4 26 30 合计 18 32 50 （1）依据小概率值 的独立性检验，能否认为“有良好的学习习惯”和“数学成绩高于120分”有关联？ （2）从数学成绩高于120分的18人中随机抽取2人，求这2人中“有良好的学习习惯”的人数X的分布列. 附：，其中 独立性检验中5个常用的小概率值和相应的临界值表： 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有关联 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）计算卡方，对比临界值即可得解； （2）的所有可能取值为：0，1，2，由超几何分布的概率公式计算出对应的概率即可得解. 【小问1详解】 零假设：“有良好的学习习惯”和“数学成绩高于120分”没有关联， 因为， 所以认为不成立，所以“有良好的学习习惯”和“数学成绩高于120分”有关联； 【小问2详解】 由题意的所有可能取值为：0，1，2， ， X的分布列为： 0 1 2 17. 随着电商事业的快速发展，网络购物交易额也快速提升，某网上交易平台工作人员对2020年至2024年每年的交易额（取近似值）进行统计分析，结果如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 交易额（单位：百亿） 1.5 2 3.5 8 15 （1）据上表数据，计算与 的相关系数（精确到0.01），并说明与 的线性相关性的强弱；（若，则认为与 线性相关性很强；若，则认为与 线性相关性一般；若，则认为与 线性相关性较弱．） （2）利用最小二乘法建立关于 的线性回归方程，并预测2025年该平台的交易额． 参考数据：，， 参考公式：相关系数； 线性回归方程中，斜率和纵截距的最小二乘估计分别为，． 【答案】（1）0.92，线性相关性程度很强． （2），15.9百亿． 【解析】 【分析】（1）根据相关系数的计算公式可得，再判断可得答案； （2）根据公式求线性回归方程，再将代入方程进行预测. 【小问1详解】 由已知得，， ，， ， 故， ，所以线性相关性程度很强； 【小问2详解】 ，， 则， 所以关于 的线性回归方程为， 当时，， 所以预计2025年该平台的交易额为15.9百亿． 18. 小王、小强两人进行游戏比赛，游戏共五局，先获得三局胜利的人赢得比赛；比赛分为进攻方与防守方，一方进攻则另一方防守，进攻成功或防守成功的人均看作获得本局游戏胜利，一方进攻成功则继续进攻，一方进攻失败则更换进攻方；小王在进攻方胜率为，小强在进攻方胜率为，小王优先进攻． （1）求第二局小强获胜的概率； （2）若，，求小王在四局以内赢得比赛的概率； （3）若，记游戏局数为，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）设第二局小强获胜为事件，分两种情况讨论：第一局小王进攻获胜后第二局仍由小王进攻、小强作为防守方获胜；第一局小王进攻失败后第二局由小强进攻并获胜，分别计算概率后相加； （2）小王四局以内获胜分三局和四局结束两类：三局即小王全胜；四局即前三局中小王恰输一局且第四局获胜，因输局后进攻权发生变化，需按输局位置分三类情况，合并概率后代入给定数值计算； （3）由可知每局小王胜率为，局数取，分别对应小王或小强提前连胜、五局内决出胜负等情形，写出期望表达式，化简为关于的二次函数，由基本不等式确定范围后求最大值. 【小问1详解】 设第二局小强获胜的概率为． ． 【小问2详解】 记“小王在四局以内赢得比赛”为事件， 设比赛三局小王获胜的概率为，比赛四局小王获胜的概率为，则， ． 代入，，则=． 【小问3详解】 由得，每局游戏中小王获胜的概率为，失败的概率为． ，，． 结合化简得 ． 由基本不等式得． 为关于的开口向上的二次函数，故时，取得最大值，最大值为． 19. 已知函数 （1）已知在定义域上是增函数，求实数的取值范围； （2）已知有两个零点， ①求实数的取值范围； ②证明． 【答案】（1） （2）① ②证：不妨设两个零点， 由，所以，， 所以，所以， 要证，只需证 ，只需证， 由， 只需证， 只需证，即证， 令，只需证， 令， ， ∴在上单调递增，∴， 即成立，所以成立． 【解析】 【分析】（1）根据导函数在定义域上恒为非负，分离参数后转化为不等式恒成立问题，利用导数求对应函数最大值，从而确定参数范围； （2）①将函数化简后求导，分析导函数符号确定单调区间，由最小值小于零且端点值趋于正无穷，确保有两个零点，从而得到参数范围； ②设两零点并利用零点等式消去参数，将待证不等式转化为关于两零点比值的对数不等式，通过换元构造新函数，利用导数证明不等式成立. 【小问1详解】 的定义域为，因为在定义域上为增函数， 所以在上恒成立， 即恒成立，需，即，即， 令，所以， 时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即． 【小问2详解】 ①，定义域为，， 当时，，所以在上单调递减，不合题意． 当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 当时，；当时，， 所以函数存在两个零点，则，即， 综上函数有两个零点，实数的取值范围是． ②略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $