精品解析：辽宁省七校协作体2025-2026学年高二下学期6月练习数学试题

2025-2026学年度下学期高二6月练习 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一 、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 已知集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由集合，则集合 2. 已知p： ，q：则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【详解】充分性：由 ，得 ， 则，所以p是q的不充分条件； 必要性：由，得 ， 则 或 ，所以p是q的不必要条件， 故p是q的既不充分也不必要条件. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用条件概率公式的变式公式和对立事件的概率计算，就可以求出结果. 【详解】因为，由对立事件概率计算公式可得：， 又，则. 故选：C 4. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得对恒成立，利用基本不等式求得的最小值即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以对恒成立，所以对恒成立， 即，又，当且仅当，即 时取等号， 所以，得到实数a的取值范围是. 故选：C. 5. 如果 服从二项分布，当且时，可以近似的认为 服从正态分布，据统计高中学生的近视率，某校有600名高中学生．设 为该校高中学生近视人数，且 服从正态分布，下列说法正确的是（ ） （参考数据：，） A. 变量 服从正态分布 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项分布的期望和方差公式可得，进而可求解AB，根据正态分布的对称性，即可求解CD. 【详解】依题意，，， 对于A，变量 服从正态分布，A错误； 对于B, ,故B错误， 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D 6. 已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的正负区间判断原函数的单调区间判断即可. 【详解】当 时，， ∴，故在区间上为减函数，排除AB； 当时，，∴， 故在区间上为减函数，排除D. 故选：C. 7. 在简单经济模型中，当产量为n时，对应的价格记为，若为等差数列，记其公差为d，则其在产量为m时的点弹性为．现在某简单经济模型中，当产量为3时的点弹性为1，则当产量为6时的点弹性为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式计算即可. 【详解】显然，，解得，于是， 故． 8. 已知为数列的前项和，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题，当 时，，当 时，进而分奇偶性讨论得，为正偶数，，为正奇数，再求和即可. 【详解】解：因为， 所以，当 时，，解得， 当 时，， 所以，当为偶数时，，故，为正奇数； 当为奇数时，，即，故，为正偶数； 所以， 故选：A 二 、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.) 9. 一组样本数据：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，则这组数据的（ ） A. 中位数是3 B. 第80百分位数是4 C. 平均数是3.5 D. 方差是11 【答案】AB 【解析】 【分析】根据中位数、平均数、百分位数、方差的定义计算即可. 【详解】因为样本数据为1，2，2，3，3，3，4，4，4，4， 所以中位数为，A正确； 由于，所以第80百分位数是，B正确； 平均数为，所以C错误； 样本数据的方差为， 所以D错误. 10. 记是等差数列的前项和，的公差为，已知，且与的等差中项为，则（ ） A. B. C. 最小 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用等差数列前项和公式代入条件计算可得数列是公差为的等差数列，结合等差数列的通项公式以及前项和公式依次判断选项即可. 【详解】因为是等差数列的前项和，的公差为，则，故， 所以，故数列是公差为的等差数列． 对于A选项，由题意可得，故，所以，A错； 对于B选项，，解得，B对； 对于C选项，由题意可得，解得， 所以， 故当时，取最小值，即最小，C对； 对于D选项，， 所以，D错． 11. 已知函数， ．令，，则下列说法正确的是（ ） A. 在 处取得最小值 B. 为偶函数，且 C. 方程在区间内有且仅有两个实根 D. 对任意，都有 【答案】ABC 【解析】 【分析】A，通过导数求单调性即可；B，利用偶函数的定义判断，并通过的单调性求出范围；C，通过单调性判断其等于 的解的个数；D，代入特殊值即可判断. 【详解】选项A，， 所以， 所以当时，,单调递减， 当时，，单调递增. 所以当 时，取得最小值. 故A正确. 选项B，， 且，又定义域关于原点对称， 所以是偶函数. 因为，所以在恒成立， 所以. 故B正确. 选项C，因为， 当时，，，故， 所以函数在单调递增， ， 因为，时， 所以内存在使得， 又因为是偶函数，所以存在使得. 故C正确. 选项D，取 ，因为，而，故此时不成立. 故D错误. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 已知命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【详解】当时，不等式化为，对任意 恒成立，符合题意； 当时，对任意 恒成立，需满足： ，解得， 综上可得． 13. 已知数列{an}的前n项和为 则 _________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用的关系变形给定等式，再利用构造法求出通项即可. 【详解】数列{an}的前n项和为，， 由，得，则， 而，因此数列是首项为，公比为的等比数列， 则，所以. 14. 已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求得，再利用基本不等式“1”的妙用求出最大值. 【详解】由，求导得， 设直线与曲线相切于点，则有， 解得，则，而为正实数， 因此，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 15. 已知数列是公差不为零的等差数列，满足，且、、成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式得到关于和的方程组，求出和即可求解； （2）根据等差数列和等比数列的求和公式进行分组求和即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，且， 因为，且、、成等比数列， 所以，解得：， 则， 故数列的通项公式为； 【小问2详解】 因为， 所以 . 16. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若的极小值为1，求a的值． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2）1 【解析】 【分析】（1）求出导函数，根据求函数的单调递增区间，根据求函数的单调递增区间，； （2）求出导函数，当时，函数 在 上单调递增，无极值，当时，利用导数求出是函数的极小值点，进而有，记，利用函数单调性求出最大值，即可求出 的值. 【小问1详解】 当时，，则， 由，得 ；由，得， 则函数 的单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问2详解】 ， 当时，，函数 在 上单调递增，此时函数 无极值； 当时，由，得；由，得， 由得， 则函数 在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极小值点， 由题意， 记，即， 则， 由，得；由，得 ，由得 ， 则函数 在上单调递增，在上单调递减， 所以函数，当且仅当时等号成立， 所以. 17. 某高校快递站统计了某年度新学期前5天的取件人数y(单位：人)，得到如下样本数据： 天数(序号)x 1 2 3 4 5 每日取件人数 120 100 80 70 55 （1）计算样本相关系数r，并据此判断变量x与y之间线性相关关系的强弱(结果保留两位小数)； （2）从这5天中随机选取3天，记X为所选日期中取件人数小于100的天数，求X的分布列与数学期望. 注: （1）样本的相关系数 （2）参考数据： 【答案】（1）；变量x与y之间具有很强的线性相关关系 （2）分布列： 1 2 3 期望：1.8 【解析】 【分析】（1）使用相关系数计算公式求相关系数，根据求解结果判断线性相关关系的强弱； （2）结合超几何分布的概率公式求分布列，再由期望公式求期望. 【小问1详解】 ，， ， ， ， 样本相关系数： ， 因为非常接近1，所以变量x与y之间具有很强的线性相关关系. 【小问2详解】 5天中取件人数小于100的天数有3天， 从这5天中随机选取3天， 的可能取值为1，2，3. ， ， ， 所以 的分布列为： 1 2 3 的数学期望 18. 小溪同学参加一个投篮测试，其规则是：有次投篮机会，若连续投中两次则通过测试并结束测试；若未通过测试，将继续投篮直至次投篮机会用完；第次投篮后，不论通过与否均结束测试．现假定小溪同学每次投篮结果相互独立，命中率均为． （1）求小溪同学在前次投篮中就通过测试的概率； （2）记 为小溪同学测试结束时投篮的次数，求 的分布列及数学期望； （3）求在通过测试的条件下，小溪同学恰好投篮了三次的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设事件为第次投中，则前次投篮中就通过测试可表示，再由概率的加法公式及相互独立事件概率可得； （2）先确定 的可能的值，再分别计算相应的概率及期望可得； （3）先计算通过测试概率，再计算前三次通过测试的概率，进而由条件概率公式可得. 【小问1详解】 设事件为第次投中， 则小溪同学在前次投篮中就通过测试的概率为：． 【小问2详解】 的所有可能取值为：． ，， ，． 则 的分布列为： ． 【小问3详解】 设事件 ：小溪同学通过测试，事件：小溪同学恰好投篮了三次， 因为投篮五次通过概率为， 则，， 则在通过测试的情况下，小溪同学投篮了三次的概率为：． 19. 已知函数， ． （1）当时，求证：； （2）若在上有两个零点，求实数 的取值范围； （3）若函数有两个极值点，证明：． 【答案】（1）证明见解析 （2）． （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接将所要证明的不等式转化为，构造函数，再用导数求函数的最小值可得； （2）将函数有两个零点转化为方程有两个根，再构造函数，用导数判断函数单调性及极值，再数形结合判断与的图象有两个交点可得； （3）根据函数有两个极值点可得，再令，进而可得，从而将所证明不等式转化为，再令，用导数判断函数在单调性，进而可得所证不等式. 【小问1详解】 由，得．要证，只需证． 令，则． 当时，，则单调递减；当时，，则单调递增. 所以函数在 取得极小值也是最小值，因此， 所以，即，因此． 【小问2详解】 若，在上单调递增，因为在上有两个零点，所以 . 由得，令，则， 所以，，时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 有极大值，也就是最大值为， 又， 无限趋近时，无限趋近于0， 所以在上有两个零点时，，解得， 故 的取值范围是． 【小问3详解】 因为有两个极值点， 所以，有两个实数根， 所以，，可得， 设，将代入，得， 所以， 所以要证，只需证，，即． 设，则． 令，则， 所以在上为增函数． 又，所以时，，在上为增函数． 所以，即成立， 所以成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期高二6月练习 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一 、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 已知集合，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 已知p： ，q：则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如果 服从二项分布，当且时，可以近似的认为 服从正态分布，据统计高中学生的近视率，某校有600名高中学生．设 为该校高中学生近视人数，且 服从正态分布，下列说法正确的是（ ） （参考数据：，） A. 变量 服从正态分布 B. C. D. 6. 已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（ ） A. B. C. D. 7. 在简单经济模型中，当产量为n时，对应的价格记为，若为等差数列，记其公差为d，则其在产量为m时的点弹性为．现在某简单经济模型中，当产量为3时的点弹性为1，则当产量为6时的点弹性为（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 已知为数列的前 项和，且满足，则（ ） A. B. C. D. 二 、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.) 9. 一组样本数据：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，则这组数据的（ ） A. 中位数是3 B. 第80百分位数是4 C. 平均数是3.5 D. 方差是11 10. 记是等差数列的前 项和，的公差为，已知，且与的等差中项为，则（ ） A. B. C. 最小 D. 11. 已知函数， ．令，，则下列说法正确的是（ ） A. 在 处取得最小值 B. 为偶函数，且 C. 方程在区间内有且仅有两个实根 D. 对任意，都有 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 已知命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是__________． 13. 已知数列{an}的前n项和为 则 _________. 14. 已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则最大值为______. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 15. 已知数列是公差不为零的等差数列，满足，且、、成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若的极小值为1，求a的值． 17. 某高校快递站统计了某年度新学期前5天的取件人数y(单位：人)，得到如下样本数据： 天数(序号)x 1 2 3 4 5 每日取件人数 120 100 80 70 55 （1）计算样本相关系数r，并据此判断变量x与y之间线性相关关系的强弱(结果保留两位小数)； （2）从这5天中随机选取3天，记X为所选日期中取件人数小于100的天数，求X的分布列与数学期望. 注: （1）样本的相关系数 （2）参考数据： 18. 小溪同学参加一个投篮测试，其规则是：有 次投篮机会，若连续投中两次则通过测试并结束测试；若未通过测试，将继续投篮直至 次投篮机会用完；第 次投篮后，不论通过与否均结束测试．现假定小溪同学每次投篮结果相互独立，命中率均为． （1）求小溪同学在前 次投篮中就通过测试的概率； （2）记 为小溪同学测试结束时投篮的次数，求 的分布列及数学期望； （3）求在通过测试的条件下，小溪同学恰好投篮了三次的概率． 19. 已知函数， ． （1）当时，求证：； （2）若在上有两个零点，求实数 的取值范围； （3）若函数有两个极值点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $