精品解析：辽宁省部分校2024-2025学年高二下学期6月联考数学试题

辽宁省部分校2024-2025学年高二下学期6月联考数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求． 1. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，正确的结论为（ ）（附：，，） A 变量与不独立 B. 变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 C. 变量与独立 D. 变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 2. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图： 由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列则是这个数列的（ ） A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项 4. 数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 5. 两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”：有3个柱子甲、乙、丙，甲柱上有个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图）.把这个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏结束，在移动的过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下.设游戏结束需要移动的最少次数为，则当时，和满足 A. B. C. D. 6. 若函数，则函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. (0，3) D. 7. 设函数，若关于方程恰好有4个不相等的实数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若，函数有两个极值点 ，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，剔除后重新求得的回归直线的斜率为1.2，则（ ） A. 变量与具有负相关关系 B. 剔除后不变 C. 剔除后的回归方程为 D. 剔除后相应于样本点的残差为0.05 10. 已知数列满足，，记数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，，则以下结论不正确的是（ ） A. B. C. 若，且，则 D. 若，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 记为等差数列的前n项和．若，则__________． 13. 给出下列命题： ①实验测得四组数据的值为，，，，则与的回归直线方程为； ②函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象； ③当时，函数的最大值为； ④幂函数的图象经过点，则它在点处的切线方程为 其中正确命题的序号是_______________ 14. 对函数做如下操作：先在轴找初始点，然后作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，依次类推.现已知初始点为，若按上述过程操作，则______，所得三角形的面积为______.（用含有的代数式表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 锻炼人次 空气质量等级 [0，200] (200，400] (400，600] 1（优） 2 16 25 2（良） 5 10 12 3（轻度污染） 6 7 8 4（中度污染） 7 2 0 （1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率； （2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 人次≤400 人次>400 空气质量好 空气质量不好 附：， P(K2≥k) 0.050 0010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 16. 已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列为等比数列． （2）若，求满足条件的最大整数n． 17. 已知是函数的一个极值点. （Ⅰ）求； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围. 18. 已知数列，，满足，，． （1）若为等比数列，公比，且，求的值及数列的通项公式； （2）若为等差数列，公差，证明：，． 19. 在几何学中，我们常用曲率来刻画曲线弯曲程度．设光滑连续曲线，定义为曲线在点处的曲率，其中为的导函数，为的导函数．已知曲线． （1）当时，求曲线在点处的曲率； （2）已知曲线在不同的两点，处的曲率均为0． ①求实数的取值范围； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辽宁省部分校2024-2025学年高二下学期6月联考数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求． 1. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，正确的结论为（ ）（附：，，） A. 变量与不独立 B. 变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 C. 变量与独立 D. 变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 【答案】C 【解析】 【分析】根据独立性检验的基本思想判断即可. 【详解】因为， 所以依据的独立性检验，可以认为变量与独立. 故选：C 2. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图： 由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型. 【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近， 因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是. 故选：D. 【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题. 3. 已知数列则是这个数列的（ ） A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项 【答案】D 【解析】 【分析】 由数列通项公式等于，求解出. 【详解】由数列的通项公式，可得，所以，所以是第项. 故选：D. 4. 数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据以及充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可 【详解】由题意得数列为递增数列等价于对任意恒成立， 即对任意恒成立，故， 所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件， 故选：A 5. 两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”：有3个柱子甲、乙、丙，甲柱上有个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图）.把这个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏结束，在移动的过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下.设游戏结束需要移动的最少次数为，则当时，和满足 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 通过写出几项，寻找规律，即可得到和满足的递推公式. 【详解】若甲柱有个盘，甲柱上的盘从上往下设为，其中，， 当时，将移到乙柱，只移动1次； 当时，将移到乙柱，将移到乙柱，移动2次； 当时，将移到丙柱，将移到丙柱，将移到乙柱，再将移到乙柱，将移到乙柱，； 当时，将上面的3个移到丙柱，共次，然后将移到乙柱，再将丙柱的3个移到乙柱，共次，所以次； 当时，将上面的4个移到丙柱，共次，然后将移到乙柱，再将丙柱的4个移到乙柱，共次，所以次； …… 以此类推，可知， 故选. 【点睛】主要考查了数列递推公式的求解，属于中档题.这类型题的关键是写出几项，寻找规律，从而得到对应的递推公式. 6. 若函数，则函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. (0，3) D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求函数的定义域，再求导数，最后令，解之即可得到结果. 【详解】函数的定义域为：， 因为， 令并且，得：， 所以函数的单调递减区间为(0，3). 故本题正确答案为C. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，掌握常见函数的导数是关键，属基础题. 7. 设函数，若关于的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得图象与直线，共4个交点，分别利用导数研究函数与函数，可得大致图象，据此可得答案. 详解】， 由题则图象与直线，共4个交点. 令，则，. 则在上单调递增，在上单调递减，. 又，据此可得大致图象如下. 令，则，又，据此可得大致图象如下. 由图易得图象与直线有1个交点，则图象与直线有3个交点. 则. 故选：B 8. 若，函数有两个极值点 ，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求，令得，由韦达定理得，即，令，即求在上的最大值即可，利用导数求的最大值即可求解. 【详解】由题意有的定义域为，所以， 令有，则在内有两个不同的根，， 所以，所以， 令，则求在上的最大值即可， 所以，令有， 由有，有，所以在单调递增，在单调递减， 所以， 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，剔除后重新求得的回归直线的斜率为1.2，则（ ） A. 变量与具有负相关关系 B. 剔除后不变 C. 剔除后的回归方程为 D. 剔除后相应于样本点的残差为0.05 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用回归直线方程的性质、残差的基本概念等进行解题. 【详解】对于A，由剔除前回归直线的斜率为，剔除后重新求得的回归直线的斜率为， 两者均大于0，则变量与具有正相关关系，A错误； 对于B，剔除前，而剔除的两个数据点，， 因此剔除后不变，B正确； 对于C，剔除后，，而回归直线的斜率为，则回归直线方程为，C正确； 对于D，剔除后的回归直线方程为，当时，，则残差为，D错误. 故选：BC 10. 已知数列满足，，记数列的前项和为，则（ ） A B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据递推公式求出、、，即可找到规律得到数列是以为周期的周期数列，即可判断A、B、D，再根据递推公式表示出，即可得到，从而判断C. 【详解】解：因为，， 所以，故A错误； ，，所以数列是以为周期的周期数列， 所以，故B错误； 因为，， 所以，故C正确； ，故D正确； 故选：CD 11. 已知函数，，则以下结论不正确的是（ ） A. B. C. 若，且，则 D. 若，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，由可得；选项B，由得，进而可得；选项C，由，根据可得，进而可得，进而可得；选项D，由和得，进而由选项C可得. 【详解】选项A：因，故，故A结论错误； 选项B：因， 故 ，故B结论正确； 选项C：， 故由得，得， 整理得， 即，故当时，或，故C结论错误； 选项D：由得， 由得， 得，由选项C可知D选项结论错误， 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 记为等差数列的前n项和．若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】因为是等差数列，根据已知条件，求出公差，根据等差数列前项和，即可求得答案. 【详解】是等差数列，且， 设等差数列的公差 根据等差数列通项公式： 可得 即： 整理可得： 解得： 根据等差数列前项和公式： 可得： . 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了求等差数列的前项和，解题关键是掌握等差数列的前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 13. 给出下列命题： ①实验测得四组数据值为，，，，则与的回归直线方程为； ②函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象； ③当时，函数的最大值为； ④幂函数的图象经过点，则它在点处的切线方程为 其中正确命题的序号是_______________ 【答案】③④ 【解析】 【分析】求得样本中心点，由样本中心点不在直线上可判断①；求得平移函数的解析式判断②；利用基本不等式求得最大值判断③；利用导数求得切线方程判断④. 【详解】因为，， 所以样本中心点为， 又，故方程不过点， 所以与的回归直线方程不为；故命题①错误. 函数的图象向右平移个单位， 得到的图象，故命题②错误. 当时，函数， 当且仅当，即时取等号，故的最大值为，故命题③正确. 设幂函数为，又因为经过点，所以，即； 求导数得，在处斜率， 所以切线方程：，故命题④正确. 故答案为：③④. 14. 对函数做如下操作：先在轴找初始点，然后作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，依次类推.现已知初始点为，若按上述过程操作，则______，所得三角形面积为______.（用含有的代数式表示） 【答案】 ①. ②. （也可写为）. 【解析】 【分析】先得到，求导，根据导数几何意义得到切线方程，求出，，依次求解，得到，，，，从而求出的面积为. 【详解】因为，所以， ，故， 在处的切线方程为， 令得，故， 则，故， 故， 故在处的切线方程为， 令得，即， 依次类推，，， 又， 故的面积为. 故答案为：， 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 锻炼人次 空气质量等级 [0，200] (200，400] (400，600] 1（优） 2 16 25 2（良） 5 10 12 3（轻度污染） 6 7 8 4（中度污染） 7 2 0 （1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率； （2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 人次≤400 人次>400 空气质量好 空气质量不好 附：， P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为、、、的概率分别为、、、；（2）；（3）有，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为、、、的概率； （2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以可得结果； （3）根据表格中的数据完善列联表，计算出的观测值，再结合临界值表可得结论. 【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为的概率为，等级为的概率为，等级为的概率为，等级为的概率为； （2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为 （3）列联表如下： 人次 人次 空气质量好 空气质量不好 ， 因此，有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关. 【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题. 16. 已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列为等比数列． （2）若，求满足条件最大整数n． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）由，化简得到，结合等比数列的定义，即可求解； （2）由（1）求得，根据等比数列的求和公式和常数列的求和公式，求得，根据，即可求解. 【详解】（1）由题意，数列满足，可得， 可得，即， 又由，所以， 所以数列表示首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）可得，所以 设数列的前项和为， 则 ， 若，即， 因为函数为单调递增函数， 所以满足的最大整数的值为. 17. 已知是函数的一个极值点. （Ⅰ）求； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的取值范围为 【解析】 【详解】试题分析：（1）先求导，再由是函数的一个极值点即求解；（2）由（2）确定，再由和求得单调区间；（3）由（2）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，，可得的极大值为，极小值为，再由直线与函数的图象有个交点则须有求解． 试题解析：（1）因为， 所以，因此 （2）由（1）知， ， ． 当时，， 当时，， 所以的单调增区间是， 的单调减区间是 （3）由（2）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时， 所以的极大值为，极小值为， 当时， 所以在在三个单调区间直线有的图象各有一个交点，当且仅当， 因此，的取值范围为 考点：（1）函数在某点取得极值的条件；（2）利用导数研究函数的单调性. 18. 已知数列，，满足，，． （1）若为等比数列，公比，且，求的值及数列的通项公式； （2）若为等差数列，公差，证明：，． 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由等比数列的性质求出和，可得，由累加法可求出的通项公式； （2）先求出，再由裂项相消法求出，即可证明. 【小问1详解】 由题意，，， ，， 整理，得， 解得舍去，或， ， 数列是以为首项，为公比的等比数列， ，． ， 则， ， ， ，， 各项相加，可得，时， ， 当时代入适合， ． 【小问2详解】 证明：依题意，由，可得 ， 两边同时乘以，可得 ， ， 数列是一个常数列，且此常数为， ， ， ， ，故得证． 19. 在几何学中，我们常用曲率来刻画曲线的弯曲程度．设光滑连续曲线，定义为曲线在点处的曲率，其中为的导函数，为的导函数．已知曲线． （1）当时，求曲线在点处的曲率； （2）已知曲线在不同的两点，处的曲率均为0． ①求实数的取值范围； ②证明：． 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）两次求导，再根据曲率公式计算即可； （2）①对求导，根据正负判断增减性，分析边界值与特殊值，趋于负无穷时趋于，，时最大为.方程有两根，意味着直线与图像有两个交点，得到. ②构造函数，通过求导，再对求导得到，判断单调性得出的正负，进而得到单调性，证明出当，.利用直线上的点建立关系，结合及，得到.转化要证的不等式：将转化为，进一步转化为证明. 再次转化，根据，将转化为，构造函数，通过求导，得到单调性，证明，从而得出. 【小问1详解】 解：当时，，， 所以，， 故曲线在点处的曲率． 【小问2详解】 ，由题意可知，， 则方程有两个根，， 设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 又时，，，且， ①由题可知，直线与函数的图象有两个不同的交点， 所以， 故实数的取值范围为． ②证明：由上可知，，不妨设． 下面证明：当，， 设，则， 令，则，所以在上单调递减， 则，所以在上单调递增，且， 即，故，． 设点在直线上，则，即， 所以， 即， 要证，需证， 需证， 又，只需证，即证． 令，则， 令，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，即， 所以在上单调递减，所以成立， 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$