2.7 函数的图象讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕函数图象核心考点，整合描点法作图、图象变换（平移、对称、伸缩、翻折）及应用等内容，知识复习构建从基础方法到性质规律的逻辑体系，典型例题分作图、识别、选解析式、变换、应用五大模块。通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生系统掌握知识，突破难点。 讲义采用分层例题与方法提炼策略，如典例二通过分析函数奇偶性、特殊点识别图象，培养数学思维；典例五结合图象解决零点问题，提升数学语言应用能力。设置高二到高三不同阶段题目，配合即时规律总结，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

2.7 函数的图象（精讲） 第一部分：知识复习 1．利用描点法作函数的图象 步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 【注意】“左加右减”只针对x本身，与x的系数无关，“上加下减”指的是在f(x)整体上加减． (2)对称变换 ①y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象； ②y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象； ③y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象； ④y＝ax(a＞0且a≠1)的图象y＝logax(a＞0且a≠1)的图象． (3)伸缩变换 ①y＝f(x)的图象y＝f(ax)的图象； ②y＝f(x)的图象y＝af(x)的图象． (4)翻折变换 ①y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象； ②y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象． [常用结论] 1. 函数图象自身的对称关系 (1)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． (2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)． 2．两个函数图象之间的对称关系 (1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称． (2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称． 第二部分：典型例题 典例一：画出函数的图象 1．（25-26高二下·全国·期末）作出下列各函数的图象： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合反比例函数图象，及图象的平移变换即可作出图象； （2）写出函数的分段形式，结合二次函数图象，及图象的翻折变换即可作出图象； （3）写出函数的分段形式，结合指数函数图象，及图象的平移，翻折变换即可作出图象． 【详解】（1）由， 其图象可看作由函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， 所以的图象如下图所示： （2）由， 所以的图象如下图所示： （3）对于，其图象可看作由函数的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到， 而，其图象可由的图象保留时的图象，然后将该部分关于y轴对称得到，则的图象如下图所示： 2．（25-26高二下·全国·期末）作出下列各函数的图象： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合二次函数的图象，及图象的翻折即可作出图象； （2）结合对数函数的图象，及图象的平移，翻折即可作出图象． 【详解】（1）的图象可由函数的图象保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分翻折到轴上方得到，如下图所示：    （2），其图象可由的图象向左平移1个单位长度，再保留轴上方部分不变，将轴下方部分翻折到轴上方得到，如下图所示：    3．（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列函数的图象． (1)； (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）分离常数，由反比例函数平移即可画图； （2）由对数函数图像的平移和翻折即可解题. 【详解】（1）因为，先作出的图象，将其图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，即得的图象，如图所示． （2）设，其图象可看作由函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位得到， 而，其图象可由的图象保留时的图象，然后将该部分关于轴对称得到， 则图象如图示： 4．（25-26高三·全国·二轮复习）画下列函数的图象 (1)； (2). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）（2）把函数表达式写成分段函数的形式，进一步把每一段函数图象画出来即可. 【详解】（1）由题意，其图象如图所示：    （2）由题意，其图象如图所示：    5．（25-26高二下·全国·课堂例题）研究函数的性质，并画出它的大致图象. 【答案】的定义域为，值域为，单调递减区间是和，单调递增区间是，极小值，极大值为， 【分析】利用导数求出的单调区间和极值，最值，然后作出的大致图象. 【详解】的定义域为，且，则为奇函数. ，令，列表如下： 0 极小值 极大值 的单调递增区间是，单调递减区间是和， 所以的极小值，的极大值为，， 的最大值为，最小值为，故值域为， 综上，的定义域为，值域为，单调递减区间是和，单调递增区间是，极小值，极大值为， 作出的大致图象如下： 6．（25-26高三上·重庆·期末）已知函数. (1)求的值； (2)画出函数的图象，并写出函数的单调递增区间. 【答案】(1) (2)图象见解析；. 【分析】（1）根据分段函数计算函数值； （2）先画出函数图象，再根据函数图象判断函数的单调递增区间. 【详解】（1）； （2） 由图象知函数的单调递增区间为. 典例二：函数图象的识别 7．（2026·天津西青·三模）已知函数在区间上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图像的对称性和特殊点的函数值判断. 【详解】因为,因此 是奇函数，图像关于原点对称， 排除选项 C（偶函数图像，关于 轴对称）； 当 时，分子 ，分母 ， 因此 ，选项 B 中 时函数值为负，矛盾，排除 B； 取 ，计算 的值接近 8，说明 附近函数值仍接近 8， 选项 A 中 的函数值和8相差比较大，排除 A； 因此，只有选项 D 符合所有特征. 8．（2026·海南儋州·二模）函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性、函数值等进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设， 的定义域关于原点对称， ， 所以是偶函数，图象关于轴对称，所以D选项错误. 当时，，所以BC选项错误. 综上所述，A选项正确. 9．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）函数的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，且定义域为R， 所以为偶函数，所以图象关于y轴对称，排除B，D项， 并且在y轴右侧，趋近于0时，，故， 故只有选项满足题意. 10．（2026·天津北辰·三模）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据函数奇偶性的定义与判断方法，求得为奇函数，再结合，即可得到答案. 【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且满足， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，可排除B、D选项； 又由，可排除C选项，所以选项A符合题意. 11．（25-26高三上·江苏镇江·期末）函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式化简函数解析式，可得为奇函数，函数图象关于原点对称，可排除C；由时，可排除AD，由此可得结果. 【详解】函数，定义域为， ， 为奇函数，图象关于坐标原点对称，可排除C； 当时，，，所以，可排除AD. 12．（25-26高二下·浙江·阶段检测）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】令，其中，分析函数的奇偶性，利用导数分析该函数的单调性，以及当时，与的大小，结合排除法可得合适的选项. 【详解】令，其中，则， 所以函数为奇函数，排除D选项， 对任意的恒成立，故函数在上为增函数，排除C选项， 当时，，则，排除A选项. 典例三：根据函数图象选择解析式 13．（2026·天津滨海新区·三模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇偶性和复合函数的单调性求解. 【详解】从图像上看，的图像不关于轴对称， 选项A，是奇函数，对称轴为， 所以对称轴为， ，为单调递增函数，为单调递增函数， 则在上是单调递增函数，符合题意，故A正确； 选项B，，关于轴对称，不满足题意，故B错误； 选项C，，为单调递增函数，为单调递减函数， 则在上是单调递减函数，不符合题意，故C错误； 选项D，，不满足题意，故D错误； 14．（2026·天津河西·三模）已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】A选项，由正弦函数的周期性可得原函数图象和坐标轴有无数个交点排除A项；B选项，对函数求导，判断单调性和函数图象趋势即可判断；C选项，对所给函数的奇偶性进行判断即可； D选项，判断所给函数的定义域即可. 【详解】A选项，取，则令，解得：，其中，即：和轴有无数个交点，所以A错误； B选项，取，则，令，得或，令，得， 故在和上单调递减，在上单调递增， 又因为，所以当时，，当时，，所以B正确； C选项，取，则函数定义域为，且，所以是偶函数，所以C错误； D选项，，由可得，由图知，D错误. 15．（2026·天津南开·一模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性以及，逐一验证选项，即可求解. 【详解】由图可知：的图象关于坐标原点对称，故为奇函数，且， 对于A， ，故为偶函数，不合题意， 对于C， ，故为偶函数，不合题意， 对于B， ，故为奇函数，但，不合题意， 对于D， ，故为奇函数，，符合题意. 16．（2026·天津·一模）已知函数的部分图象如下： 则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为无法通过五点作图得出具体函数图像，所以本题使用奇偶性，特殊值逐项排除得出答案. 【详解】A选项：，为偶函数.题中图像为奇函数，所以A不可能. C选项：同A选项判断方法也可判断C选项为偶函数，C错误. D选项：因为，当足够大时，显然不满足图像显示最后一部分由负到正的急剧递增，且当时，，与图像矛盾. B选项：从奇偶性，特殊值角度分析均有可能满足，因此图像解析式可能为. 17．（25-26高三上·云南楚雄·期末）已知函数的图像如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数为偶函数，排除选项C、D，再根据时，函数值的正负，排除选项B，即可求解. 【详解】由函数的图像，可得函数为偶函数， 对于函数和函数为奇函数，排除C，D； 当时，可得，则，所以，，排除B. 故选：A. 18．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知函数在区间的大致图象如右图所示，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对A、C，由判断；对B、D由单调性判断. 【详解】对于A：，与图象不符，A错误； 对于B：，是偶函数， ，当时，， 当时，，所以在单调递增，在单调递减， 又由偶函数性质可得在单调递减，在单调递增； 且，符合图象特征，B正确； 对于C：，与图象不符，C错误； 对于D：，因为 ， ， 由零点存在性定理，，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以在存在极小值，与图象不符，D错误； 故选：B. 典例四：函数图象的变换 19．（2026·北京朝阳·模拟预测）为了得到函数的图象，只需要把图象上所有的点（     ） A．横坐标变为原来的（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．向右平移1个单位（纵坐标不变） D．向上平移2个单位（横坐标不变） 【答案】A 【详解】因为， 所以要得到的图象，只需要把图象上所有的点横坐标变为原来的（纵坐标不变）. 20．（2026·北京·三模）将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到函数的图象．再将的图象向右平移1个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合．则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，可得， 将向右平移1个单位长度，所得图象恰好与的图象重合，可得， 选项A：，故A错误； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C正确； 选项D：，故D错误. 21．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有的点（    ） A．保持y不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移1个单位长度 B．保持y不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移1个单位长度 C．保持y不变，横坐标缩短为原来的一半，再向左平移1个单位长度 D．保持y不变，横坐标缩短为原来的一半，再向右平移1个单位长度 【答案】A 【详解】把函数的图象的所有的点保持不变，横坐标伸长为原来的2倍得到函数的图象，向左平移1个单位长度得到函数的图象. 22．（2026·陕西安康·三模）已知函数为奇函数，且在上单调递增，在上单调递减，若的图象是一条连续的曲线，则（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递减 【答案】B 【分析】先根据奇函数的对称性求得函数的单调区间，再结合函数图象平移求解即可. 【详解】因为为奇函数，且在上单调递增，在上单调递减，的图象是一条连续的曲线， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 因为的图象是由的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 23．（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）已知函数的图象如图所示，则的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数图象变换知识结合题设可得答案. 【详解】将图象向右平移1个单位，可得图象. 将图象x轴下方部分，沿x轴翻折至上方，x轴上方部分不变可得图象. 将图象向上平移1个单位，可得图象.故选项C满足题意. 故选：C 24．（25-26高三上·浙江宁波·期末）（多选）以下两个函数与，其中可以通过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】分析函数的平移，伸缩，对称变换即可. 【详解】对于选项，两个函数斜率不同，不能通过平移得到，故错误. 对于选项，，是对向左平移个单位，再向上平移四个单位得到的，故正确. 对于选项，， 则，所以可将向左平移个单位即可得到，故正确. 对于选项，，是对先向右平移个单位，再向上平移个单位，故正确. 故选： 典例五：函数图象的应用 25．（2026·山东·模拟预测）若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为函数，图象与直线有且只有一个交点，然后利用导数知识研究性质，画出大致图象，据此可得答案. 【详解】定义域为，则有且只有一个零点， 等价于方程在有且只有一个根， 即函数，图象与直线有且只有一个交点. ，，， 则在上单调递减，在上单调递增. 则在时取得极大值， 又时，，，； 时，，，远远大于，. 据此可得大致图象如下： 则由图可得为使函数，图象与直线有且只有一个交点， 26．（2026高三·全国·专题练习）若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为_____. 【答案】 【分析】结合函数周期性和解析式可作出与在上的图象，根据图象交点个数可得所求函数零点个数. 【详解】，是周期为的周期函数； 当时，；当时，；， 又，，， 可作出与在上的图象如下图所示， 由图可知：与在上有个交点， 函数在区间内的零点个数为. 27．（2026·重庆万州·三模）若直线与函数的图象的公共点构成的集合为，直线与函数的图象的公共点构成的集合为，且只有个元素，则的取值范围是_________________ 【答案】 【分析】利用导数研究的单调性及极值，作出的大致图象，转化为与图象有2个交点，数形结合即可得解. 【详解】由指数函数性质知，在上单调递减，且值域为， 的定义域为，， 令，解得，令，解得， 则的单调递增区间是，单调递减区间是， 所以，作出的大致图象，如图，    当只有个元素时，即直线与的图象总共有2个交点， 由图象可知，的取值范围是. 28．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图像关于对称，可得，结合图像即可求解. 【详解】由题可得，由于图像关于对称，所以，， 得，， 所以不等式，即的解集为. 29．（25-26高三·全国·一轮复习）定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】作出函数的图象，根据图象即可求解. 【详解】画出，，的图像，观察图像可知， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的最大值在时取得为，故B正确． 30．（25-26高二下·湖南长沙·期中）定义在上的三个函数，若，则的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】采用描点法作出草图如下表： 1 2 3 4 5 6 3 6 11 20 37 70 3 8 15 24 35 48 3 函数图象如下： 令， 当时，，故A正确； 当时，，故C正确； 当时，，故B正确． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.7 函数的图象（精讲） 第一部分：知识复习 1．利用描点法作函数的图象 步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 【注意】“左加右减”只针对x本身，与x的系数无关，“上加下减”指的是在f(x)整体上加减． (2)对称变换 ①y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象； ②y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象； ③y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象； ④y＝ax(a＞0且a≠1)的图象y＝logax(a＞0且a≠1)的图象． (3)伸缩变换 ①y＝f(x)的图象y＝f(ax)的图象； ②y＝f(x)的图象y＝af(x)的图象． (4)翻折变换 ①y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象； ②y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象． [常用结论] 1. 函数图象自身的对称关系 (1)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． (2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)． 2．两个函数图象之间的对称关系 (1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称． (2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称． 第二部分：典型例题 典例一：画出函数的图象 1．（25-26高二下·全国·期末）作出下列各函数的图象： (1)； (2)； (3)． 2．（25-26高二下·全国·期末）作出下列各函数的图象： (1)； (2)． 3．（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列函数的图象． (1)； (2)． 4．（25-26高三·全国·二轮复习）画下列函数的图象 (1)； (2). 5．（25-26高二下·全国·课堂例题）研究函数的性质，并画出它的大致图象. 6．（25-26高三上·重庆·期末）已知函数. (1)求的值； (2)画出函数的图象，并写出函数的单调递增区间. 典例二：函数图象的识别 7．（2026·天津西青·三模）已知函数在区间上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·海南儋州·二模）函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）函数的图象为（    ） A． B． C． D． 10．（2026·天津北辰·三模）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高三上·江苏镇江·期末）函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 12．（25-26高二下·浙江·阶段检测）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   典例三：根据函数图象选择解析式 13．（2026·天津滨海新区·三模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（     ） A． B． C． D． 14．（2026·天津河西·三模）已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 15．（2026·天津南开·一模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 16．（2026·天津·一模）已知函数的部分图象如下： 则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高三上·云南楚雄·期末）已知函数的图像如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知函数在区间的大致图象如右图所示，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 典例四：函数图象的变换 19．（2026·北京朝阳·模拟预测）为了得到函数的图象，只需要把图象上所有的点（     ） A．横坐标变为原来的（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．向右平移1个单位（纵坐标不变） D．向上平移2个单位（横坐标不变） 20．（2026·北京·三模）将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到函数的图象．再将的图象向右平移1个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合．则可以是（    ） A． B． C． D． 21．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有的点（    ） A．保持y不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移1个单位长度 B．保持y不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移1个单位长度 C．保持y不变，横坐标缩短为原来的一半，再向左平移1个单位长度 D．保持y不变，横坐标缩短为原来的一半，再向右平移1个单位长度 22．（2026·陕西安康·三模）已知函数为奇函数，且在上单调递增，在上单调递减，若的图象是一条连续的曲线，则（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递减 23．（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）已知函数的图象如图所示，则的图象大致为（     ） A． B． C． D． 24．（25-26高三上·浙江宁波·期末）（多选）以下两个函数与，其中可以通过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 典例五：函数图象的应用 25．（2026·山东·模拟预测）若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 26．（2026高三·全国·专题练习）若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为_____. 27．（2026·重庆万州·三模）若直线与函数的图象的公共点构成的集合为，直线与函数的图象的公共点构成的集合为，且只有个元素，则的取值范围是_________________ 28．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 29．（25-26高三·全国·一轮复习）定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 30．（25-26高二下·湖南长沙·期中）定义在上的三个函数，若，则的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $