2.6 对数与对数函数 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义围绕对数与对数函数核心考点，系统梳理对数概念、运算性质、函数图像性质及反函数，按知识复习与13类典型例题递进架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生构建知识网络，突破运算、图像、单调性等难点，体现复习的系统性和针对性。 资料突出数学眼光与思维培养，如典例五通过观察对数型函数图像特征，结合单调性和定点分析参数关系，发展几何直观与逻辑推理能力。设置分层练习覆盖不同难度，确保有限时间内高效突破，助力学生提升解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

2.6 对数与对数函数（精讲） 第一部分：知识复习 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，log10N记为lg N.以e为底的对数叫做自然对数，logeN记为ln N. 2．对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1(a＞0，且a≠1)． (2)对数的运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)． (3)对数恒等式：alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)． (4)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)． 3．对数函数 (1)一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 项目 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 4．反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． [常用结论] 1．换底公式的三个重要结论 (1)logab＝； (2)logambn＝logab； (3)logab·logbc·logcd＝logad. (a＞0，且a≠1；b＞0，且b≠1；c＞0，且c≠1；d＞0) 2．对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大. 第二部分：典型例题 典例一：对数的运算 1．（25-26高三上·福建泉州·阶段检测）计算：______. 【答案】/ 【详解】原式. 2．（2026·湖南邵阳·模拟预测） （    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】. 3．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】A选项，由换底公式，可得，故A错误； B选项，，故B正确； C选项，当且时，，故C错误； D选项，，故D正确． 4．（2026·山东泰安·模拟预测）已知，，则__________． 【答案】1 【详解】由可得，又， 则. 典例二：换底公式 5．（25-26高二下·天津河东·阶段检测）________． 【答案】 【分析】利用指数幂的运算和对数的运算及换底公式求解. 【详解】 . 6．（25-26高二下·浙江·阶段检测）（多选）已知，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用对数的运算性质可判断AB选项；利用换底公式可判断C选项；利用换底公式和对数的运算性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 7．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）（1）化简：； （2）求值：． 【答案】； 【详解】（1）. （2） . 8．（25-26高三上·黑龙江黑河·阶段检测）计算下列各式的值 (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根式以及指数幂运算求解即可； （2）根据对数的运算性质结合换底公式的结论运算求解即可. 【详解】（1）原式. （2）原式. 9．（25-26高三上·四川成都·阶段检测）化简求值（需要写出计算过程）. (1)； (2). 【答案】(1)0 (2)7 【分析】（1）根据题意，利用指数幂的运算法则，准确运算，即可求解； （2）根据题意，利用对数的运算法则和对数的换底公式，即可求解. 【详解】（1）解：由指数幂的运算公式得：原式； （2）解：由对数的运算法则和对数的换底公式，可得. 10．（24-25高三上·四川绵阳·阶段检测）求值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数幂运算求解即可； （2）根据对数运算性质以及换底公式运算求解即可. 【详解】（1）原式. （2）原式 . 典例三：对数函数的概念 11．（25-26高三上·江西上饶·期末）已知函数是对数函数，则__________． 【答案】 【分析】利用对数函数的性质结合已知条件求出，再结合指数、对数的关系化简求解． 【详解】已知函数是对数函数，则，且，， 解方程得， ，且， ， ，故， ． 故答案为：． 12．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知对数函数过点，则的解析式为___________，在的最大值是___________． 【答案】 【分析】利用对数函数的定义结合过的点可求得解析式，再利用对数函数的单调性可求得最大值. 【详解】可设对数函数，由对数函数过点， 可得：， 所以对数函数， 由于 因为，根据对数函数是增函数，所以的最大值是 故答案为：；. 13．（25-26高三上·全国·课后作业）已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】将点代入函数解析式计算求得，即，即，再代入，即可得到答案． 【详解】因为函数的图象过点，所以，即， 则，解得，所以，则， 故选:B． 14．（2025高三上·全国·专题练习）若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【答案】C 【分析】本题考查的是对数函数的定义，根据定义求出符合条件的参数. 【详解】函数是对数函数， 且， 解可得或，，故选：C． 典例四：对数（型）函数图象过定点问题 15．（2026高三·全国·专题练习）函数（，且）的图象恒过定点，若点在上，其中，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据对数函数的性质求出，进而得到，根据结合基本不等式即可求出答案. 【详解】函数（，且）的图象恒过定点， 因为点在上，所以，即， 因为， 所以， 当且仅当时，即，时，等号成立， 所以的最小值为. 16．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）（多选）若函数（，且）的图象恒过定点A，且点A在直线（，）上，则下列选项正确的是（   ） A． B．mn的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是9 【答案】BCD 【分析】根据题意可得图象恒过定点，结合基本不等式依次判断选项即可. 【详解】由于函数（，且）的图象恒过定点，则， 所以，所以A选项错误； ，，当且仅当时等号成立，故B选项正确； ，，当且仅当时等号成立，故C选项正确； ， 当且仅当时等号成立，故D选项正确. 17．（25-26高三上·上海·期中）已知函数为指数函数，则函数的图像过一定点，该定点的坐标是________． 【答案】 【分析】先根据指数函数的定义，确定的值，再依据对数函数的性质，令中真数为1求出定点横坐标，进而得出定点坐标. 【详解】因为为指数函数，所以， 且底数，，求解可得：， ，根据对数函数恒有， 所以令，求解得， 所以， 因此的图像经过定点． 18．（25-26高三上·浙江·阶段检测）已知且，函数的图象过定点，则的坐标为______. 【答案】 【详解】令得，， 所以函数的图象过定点，即的坐标为. 19．（25-26高三上·山西晋城·期末）已知幂函数为偶函数，则函数恒过定点___________． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义和偶函数性质求出，结合对数函数恒过定点即可求解. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或，又是偶函数，所以， 所以函数恒过定点． 故答案为： 20．（25-26高三上·广东肇庆·期末）已知且，若函数的图像经过定点，函数的图像恒过定点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用指数函数、对数函数图象恒过定点问题求出定点坐标即可. 【详解】依题意，当，即时，恒有，因此点， 当时，恒有，因此点，所以. 故选：B. 典例五：根据对数（型）函数的图象求参数 21．（25-26高三上·江苏宿迁·期末）已知函数的图象如图所示，则下列关系不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合对数函数的图象及函数图象的变换检验各选项即可求解． 【详解】由图可得，，， 则，故A正确； 则，故B正确； 因为，，所以，故C错误； 当时，，满足，故D可能成立； 故选：C． 22．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数（，，）的图象如图所示，则下列关系式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过图象的单调性判断出，再通过时的函数值小于e判断出，最后结合指数函数图象的性质比较与的大小，对于D，取特值即可证明有可能成立. 【详解】对于A，由图象知函数单调递增,故，A一定成立； 对于B，且，则,进而，B一定成立； 对于C，由A,B已得，，则，故一定不成立； 对于D，若，则，故有可能成立. 23．（25-26高三上·广东广州·期末）（多选）函数与的图像如图所示，则实数的值可能为（    ） A． B． C． D．3 【答案】AC 【分析】由对数函数、幂函数的性质判断即可. 【详解】由图像结合对数函数的性质可知，则D错误； 由图像可知函数为奇函数，则B错误，AC正确； 故选：AC 24．（25-26高三上·上海·阶段检测）若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的图象可推得，，且，可得函数的图象递减，且，从而可判断答案. 【详解】由函数的图象为减函数可知，， 再由图象的平移变换知，的图象由向左平移不超过一个单位，可知， 故函数的图象递减，且，则符合题意的只有B中图象 故选：B. 25．（2026·浙江绍兴·模拟预测）若函数的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【分析】作出函数的大致图象，结合图象可得，即可得解. 【详解】函数的图象关于对称，其定义域为， 作出函数的大致图象如图所示， 由图可得，要使函数的图象不过第四象限， 则，即，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 26．（25-26高三上·全国·一轮复习）已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象可根据函数的单调性以及经过的点求解. 【详解】由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，所以； 因为图象与轴的交点在轴上方，所以，所以. 故选：D 典例六：对数（型）函数图象的应用 27．（2026高三·全国·专题练习）方程的解的个数为__. 【答案】2 【分析】方程的解的个数，即函数和函数的图象的交点个数，画出两函数图象即可得. 【详解】方程的解的个数， 即函数和函数的图象的交点个数， 如图所示，数形结合可得， 函数和函数的图象的交点个数为2， 故方程的解的个数为2. 28．（2026·上海杨浦·模拟预测）设函数，若且，则的取值范围为__________． 【答案】 【详解】的图象如下图所示 由图象可知，当时，单调递减，所以，此时， 当时，，， ，即，化简可得，解得， 综上所述，因为，所以的取值范围为. 29．（2026·贵州毕节·二模）已知函数的图象过点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（    ） A． B．4 C．或 D． 【答案】A 【分析】由函数所过的点和推知，根据对数函数的图象无限靠近轴，类比分析得到，从而列方程组得解. 【详解】由题知，，即， 又，则，解得， 由对数函数性质，无限接近， 则时，，即， 故，解得，则 30．（25-26高三上·浙江绍兴·期末）已知函数，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由得到的值，代入后根据参数的取值范围即可得结果. 【详解】由得. 又，所以，所以，所以， 所以，所以. 由得，解得. 所以，根据对勾函数的性质知在上单调递减， 当时，；当时，， 所以的取值范围是. 故选：D. 31．（2026高二下·浙江·学业考试）（多选）已知实数，满足，则，可能的情况是（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由对数函数性质可知， 所以当时，，所以，选项A正确； 当时，，所以，选项B正确； 当时，，所以，选项C错误； 当时，，所以，选项D正确. 32．（2026·云南昆明·模拟预测）若正数满足，则的大小关系不可能的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意令，分别作，，的图象，然后利用数形结合从而可求解． 【详解】令，分别作，，的图象， 当时，此时，A正确； 当时，，C正确； 当时，，D正确； 因为都为正数，所以结合图形不存在这种情况，B错误． 典例七：判断对数（型）复合函数单调性 33．（25-26高三上·上海闵行·期中）函数的单调增区间是_____． 【答案】 【分析】先求解函数的定义域，再结合对数复合函数单调性规律确定单调增区间. 【详解】由，得或， 所以函数的定义域为. 又在定义域内单调递增，且函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调增区间是. 34．（25-26高三上·全国·期末）（1）在上的单调递减区间为________； （2）的单调递减区间为__________. 【答案】 和 【详解】（1）因为， 令，解得， 则的单调递减区间为， 令，，则， 所以在上的单调递减区间为和. （2）令，解得， 可知的定义域为， 因为在定义域内单调递增，且在内单调递增， 在内单调递减， 可得在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的单调递减区间为. 35．（25-26高三下·山东日照·阶段检测）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数定义域，根据复合函数单调性分析判断即可. 【详解】令，解得，可知函数的定义域为， 因为在定义域内单调递减， 且在内单调递增，在内单调递减， 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 36．（2026高三·全国·专题练习）函数的图像如图所示，则函数的单调递减区间是_______. 【答案】 【分析】根据题意，由函数的图像和对数函数的性质，结合复合函数单调性的判定方法，即可求解. 【详解】由函数的图像，可得在上单调递减，在上单调递增， 令，可得在上单调递增， 要使得函数单调递减，则满足或， 因为，解得或，所以函数的单调递减区间. 典例八：由对数（型）函数单调性求参数 37．（25-26高二下·天津河东·阶段检测）“函数在区间上单调递增”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据复合函数单调性求出的范围后判断即可. 【详解】由复合函数单调性和对数函数定义域可知： 函数在区间上单调递增等价于，即， 故“函数在区间上单调递增”是“”的充分不必要条件. 38．（25-26高二下·河北保定·阶段检测）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是____________. 【答案】 【分析】令，利用复合函数的单调性得到在区间上单调递减求解即得. 【详解】令， 因为在上递增，且函数在区间上单调递减， 由复合函数的单调性知：在区间上单调递减， 又因为在区间上递减， 所以， 所以的取值范围是. 39．（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知函数 (1)若定义域为，求实数的取值范围． (2)若函数在上为减函数；求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得恒成立，分为和两种情况，分别讨论求解即可得到答案； （2）令，根据复合函数的单调性由题意可知在上为减函数且恒为正，分为和两种情况，分别讨论求解即可求出答案. 【详解】（1）定义域为，即恒成立， 当时，不恒成立，不满足题意； 当时，则，解得， 综上，实数a的取值范围为． （2）因为在上为减函数，令， 在其定义域上为增函数， 所以在上为减函数且恒为正， 当时，若，，不符合题意； 当时，函数的对称轴为， 则，解得. 所以实数a的取值范围为． 40．（25-26高三上·山东泰安·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据函数在各段上单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值得到不等式组，解得即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 41．（25-26高三上·山东潍坊·阶段检测）已知是上的减函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在定义域内，保证两段都是减函数，在1附近还要一直减，列不等式求解即可. 【详解】根据题意保证两段都是减函数，在1附近还要一直减，可得： ， 可得，解得，即实数a的取值范围为. 故选：D. 42．（25-26高三上·河北承德·期末）若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根的分布以及复合函数单调性法则可得答案. 【详解】由函数的值域为， 得函数的值域包含， 则函数的图象与轴有交点， 即方程有实根， 所以，解得或； 由函数在上单调递增， 而函数在定义域上单调递增， 则函数在上单调递增且恒为正， ，解得； 综上，实数的取值范围是. 故选：A． 典例九：对数（指数）综合比较大小 43．（25-26高二下·河北唐山·期中）三个数的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数并求导，利用导数分析函数的单调性和最大值，从而得出，再利用对数的运算性质计算求出的大小关系，从而判断的大小顺序． 【详解】已知，构造函数， 求导得， 当时，，故，函数单调递增； 当时，，故，函数单调递减； 在处取得极大值，即为最大值， ，即， ，故， ． 44．（25-26高二下·四川成都·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将的大小比较转化为比较，构造函数，即比较，求导分析函数的单调性可得结果. 【详解】依题意，，，， 令，，则，所以当时，， 当时，，所以在上单调递增，在上单调递减. 因为，所以，即，即. 45．（25-26高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用对数的运算性质求出的值，再根据对数函数的单调性分别比较与、与的大小，即得. 【详解】根据题意，， 因函数为上的增函数，由于，因此，即， 又因为，而， 函数为上的增函数，由，可得，即， 综上可得，. 46．（2026·湖北武汉·三模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性分别计算的范围即可求解． 【详解】对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 综上可得． 47．（2026·北京大兴·三模）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数的单调性，对同时取对数比较其大小. 【详解】已知，同时取对数得： ，， 又，且函数在区间单调递增，因此， 可得：，即，故. 48．（2026高二下·浙江温州·学业考试）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性判断，，的范围，再比较大小即可求解. 【详解】因为在单调递减，， 所以， 因为在上单调递增，， 所以， 因为在上单调递减，， 所以， 即，，， 所以. 典例十：根据对数函数单调性解不等式 49．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知是奇函数，则不等式的解集是______. 【答案】 【分析】先根据奇函数的性质求出的值，再判断函数的单调性，最后利用函数的奇偶性与单调性求解不等式. 【详解】的定义域为，因为为奇函数，所以，故，即. 代入可得,其定义域为，关于原点对称， 且，为奇函数. 所以符合题意， 又均在上单调递增， 故在上单调递增，由 ， 得 又为奇函数，即， 所以， 所以，解得或， 故或，故原不等式的解集为 50．（2026·湖南·模拟预测）已知函数是定义在上的增函数．若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合函数单调性得，再结合对数函数单调性解不等式即可. 【详解】因为函数是定义在上的增函数， 所以， 所以，解得，即x的取值范围是. 51．（25-26高二下·吉林·期末）设函数，则使得成立的的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】探讨函数的奇偶性和单调性，再借助性质求解不等式即可. 【详解】函数的定义域为R， 因为，所以是偶函数， 因为函数，在上单调递增， 因此函数在上单调递增， 若，则，得，解得或， 所以的取值范围为. 52．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知 若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得则是定义在的偶函数，且在单调递减，则等价于，建立不等式组即可求解. 【详解】可知的定义域为，关于原点对称，且 ， 则是定义在的偶函数， ， 在单调递减，函数为增函数， 在单调递减， 由函数为偶函数可得，等价于， ，解得. 典例十一：求已知对数型函数的值域或最值 53．（25-26高三上·河北承德·期末）函数的最小值为__________． 【答案】 【分析】根据对数的运算性质得，令，的最小值即为函数的最小值. 【详解】， 令，， ， 所以当时，即时，函数取得最小值. 故答案为：. 54．（2026·河南·模拟预测）已知函数是偶函数，则函数的值域为__________． 【答案】 【分析】由偶函数的定义，求出，再确定函数值域即可． 【详解】， 即， ，解得， ， 则，解得， 的定义域为， 又因为，， 即函数的取值范围是． 55．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数，则函数的最小值为（    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数求最值的方法结合对数型复合函数的值域求解. 【详解】的定义域为， 当时， ，，所以 当时， ，,所以. 所以. . 56．（25-26高三上·河南商丘·阶段检测）已知函数（，且），若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)求函数解析式； (2)当，求函数的最值，并求出取得最值时对应的x的值； 【答案】(1) (2)当时，函数有最小值，当时，函数有最大值0 【分析】（1）根据给定条件，利用对数函数单调性求出最值列式求出最值求解即可. （2）求解，，令求解即可. 【详解】（1）当时，函数单调递增， 函数在区间上的最大值与最小值分别为，， 由题意可得：， 此时区间为；当时，此时，显然区间不成立， 综上所述：，即； （2）， 令，因为，所以， 所以， 所以，， ，， 所以当时，函数有最小值，当时，函数有最大值0. 57．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数定义域，根据对数运算，再由函数单调性求值域. 【详解】由，解得， 则， 则为增函数，所以． 58．（2026·山西运城·二模）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得函数的定义域为， 所以， 所以为增函数，因此， 所以函数的值域为，故C正确. 典例十二：根据对函数最值（值域）求参数 59．（2026高三·全国·专题练习）若不等式，当时恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】要使不等式在时恒成立. 即函数的图像在内恒在函数图像的上方，而的图像过点. 由图可知，，显然这里， 所以函数递减. 又，所以，又，所以. 所以所求实数的取值范围为. 60．（2026·湖南长沙·二模）设函数，若对定义域内的任意，恒成立，则的最小值为______． 【答案】/0.2 【分析】由结合对数的运算性质可得，将代入，再利用二次函数的性质求解即可. 【详解】由题意可知：的定义域为， 令，解得；令，解得；     则当时，，故，所以； 当时，，故，所以， 所以，即有，故， 令，由二次函数的性质得： ，故的最小值为. 61．（2026·河南周口·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分，，，四种情况讨论，结合一次函数与对数函数的单调性以及值域即可求解. 【详解】若，则在上单调递减，在上单调递减， 且当时，，当时，， 此时要想满足的值域为，则有 ，解得，结合，可得； 若，则当时，，当时，，的值域不为，不合题意； 若，则在上单调递增，在上单调递减， 且当时，，当时，， 的值域不可能为，不合题意； 若，则在上单调递增，在上单调递增， 且当时，，当时，， 此时要想满足的值域为，则有 ，解得，结合，可得， 综上所述，实数的取值范围为. 62．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）函数的值域为的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分时值域及当时结合判别式计算求参，再结合充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，，满足值域为R，成立； 当时，应有，则，综上， 对于A，是的充分不必要条件，满足； 对于B，是的充要条件，不满足； 对于C，是的必要不充分条件，不满足； 对于D，是的既不充分也不必要条件，不满足. 63．（25-26高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）已知函数（，且）． (1)若在上的最大值与最小值之差为3，求a的值； (2)若，求不等式的解集． 【答案】(1)2或； (2). 【分析】（1）对a分类讨论，根据单调性求出函数的最值，即可求解. （2）根据单调性，把对数不等式等价转化一次不等式求解. 【详解】（1）当时，函数在上单调递增， 当时，， 于是，因此； 当时，函数在上单调递减， 当时，， 于是，因此， 所以a的值为2或. （2）当时，函数在上单调递增，而， 不等式，解得， 所以原不等式的解集为. 64．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）设且，函数f（x）＝的定义域为R．若的值域为，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数值域结合分段函数特征及对数函数单调性列式计算求解参数. 【详解】若，则的取值范围是． 当时，，分两种情形讨论： 若，则在单调递增，相应的取值范围是， 因此要使的值域是，应当有，两端都取a为底可得，解得． 当，则在单调递减，相应的取值范围是，此时无法满足的值域是，故舍去． 综上可得． 典例十三：对数（型）函数的最值与不等式综合应用 65．（25-26高三上·山西太原·期末）已知函数，且． (1)证明：是奇函数； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）首先求出的值，即可求出函数解析式，再根据奇偶性的定义证明即可； （2）根据单调性的定义证明即可； （3）依题意可得任意，不等式恒成立，令，，判断的单调性，即可得解. 【详解】（1）因为，且， 即，所以，解得， ， 由解得，的定义域为， 对于任意，都有，且， 是奇函数. （2）在上单调递减. 证明：设，则， ， ，，， 在上单调递减. （3）对任意，不等式恒成立， 即任意，不等式恒成立， 令，， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减， ， 实数的取值范围为. 66．（25-26高三上·山东·阶段检测）已知函数. (1)当时，求函数的值域； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，转化为的一元二次函数，再利用复合函数的性质求值域. （2）令，然后参变分离求解参数范围即可. 【详解】（1）由对数函数单调性可知，当时，， 令，可得， 由题意得二次函数开口向上，在区间单调递减，在区间单调递增， 可知当时，，当时，； 因此可得当时，该函数的值域为. （2）当时，可得， 原不等式可化为对于恒成立， 即可得对于恒成立， 由对勾函数性质得函数在上单调递增， 所以，因此只需即可， 得到；即的取值范围是. 67．（25-26高三上·甘肃平凉·期末）已知函数． (1)求函数的定义域，判断该函数的单调性（不需要证明）； (2)函数，若对，都，使得成立，求实数的取值范围； (3)函数，若对，都存在，使得成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)定义域为，增函数； (2)； (3). 【分析】（1）令解不等式即可求出定义域，根据复合函数的单调性即可判断函数的单调性； （2）求出函数在上的值域，求出函数在上的值域，根据题意可得出两个函数值域的包含关系，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围； （3）求出函数在上的值域，可得出，，令，可得，利用基本不等式求出的最小值，即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）令，即，解得， 所以，函数的定义域为， 由在上单调递增，在定义域上单调递增， 所以函数在其定义域上为增函数. （2）， 当时，令，， 当，取得最小值，当，取得最大值， 则当，， 由（1）知函数在上单调递增，且，， 故函数在上的值域为，则， 对，都，使得成立， 则，所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. （3）因为在上单调递增，由（2）可知，函数在上的值域为， 因为函数， 若对，都存在，使得成立，则， 即，， 令，则，可得， ，当且仅当时，等号成立， 所以，，解得， 所以实数的取值范围是. 68．（25-26高三上·湖南邵阳·期末）已知函数．函数图象与的图象关于直线对称． (1)求的表达式． (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围． (3)不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据反函数可得的表达式； （2）由（1）可知，令，则在上单调递增且对恒成立，从而得到且，求出的取值范围； （3）根据定义域，解得，由函数单调性得到在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，换元，由函数单调性求出的最大值，得到实数的取值范围． 【详解】（1）的图象与的图象关于直线对称 与互为反函数 由得， （2）由（1）可知， 在上单调递增， 令，其中在上单调递增， 由同增异减可得，在上单调递增且对恒成立， 且， ， 故的取值范围为； （3）在上恒成立， 由对数函数单调性可得且， ，只需，而单调递增，故只需，得， 不等式在上恒成立， 即在上恒成立， ， 在上恒成立， 当时不等式成立， 在上恒成立，， 令， 而在上单调递增， ， 综上所述，实数的取值范围为． 69．（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）已知函数是奇函数． (1)求的值并判断的单调性（单调性只需判断无需证明）； (2)任意，，求实数的范围． 【答案】(1)，在上单调递减 (2) 【分析】（1）由对数函数的性质令，结合函数为奇函数，则定义域关于原点对称，即可确定的值，从而得到函数的定义域与解析式，再根据单调性的定义判断即可； （2）结合（1）中函数的单调性求出，依题意，解得即可. 【详解】（1）对于函数， 由，解得，又为奇函数，则的定义域关于原点对称，所以， 此时函数的定义域为且， 则，满足是奇函数， 所以； 在上单调递减， 任取满足， 则 ＝， 因为，，且单调递增， 所以，， 依据同向不等式的可加性， 所以， 即，所以在上单调递减． （2）由（1）可知在上单调递减， 所以， 因为任意，， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 70．（25-26高三上·浙江杭州·期末）已知函数，. (1)当实数时，判断函数的单调性；（不需要证明） (2)若函数在为增函数，求实数t的取值范围； (3)若函数为偶函数，且对于任意，，都有成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)上的增函数 (2) (3) 【分析】（1）根据增函数+增函数为增函数判断； （2）利用定义法证明函数的单调性，依题意可得，即，参变分离可得对恒成立，再根据指数函数的性质计算可得； （3）由函数为偶函数，得到，即可求出的值，从而得到的解析式，再利用基本不等式得到，依题意，可得对任意恒成立，即对任意恒成立，①由有意义，求得；②由，得，即可得到对任意恒成立，从而求出，从而求出参数的取值范围； 【详解】（1）当实数时， 因为都是上的增函数， 所以函数为上的增函数； （2）设，且， 则 ∵函数在上为增函数， ∴恒成立 又∵，∴， ∴恒成立，即对恒成立 当时，的取值范围为， 故，即实数取值范围为. （3）∵为偶函数，∴对任意都成立， 又 ∵上式对任意都成立， ∴，∴， ∴，当且仅当时等号成立， ∴的最小值为0， ∴由题意，可得对任意恒成立， ∴对任意恒成立 ①由有意义，得在恒成立， 得在恒成立， 又在上的值域为，故. 又有意义，有， 所以. ②由，得，得， 得，得，得， ∴对任意恒成立， 又∵在的最大值为， ∴， 由①②得，实数的取值范围为. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.6 对数与对数函数（精讲） 第一部分：知识复习 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，log10N记为lg N.以e为底的对数叫做自然对数，logeN记为ln N. 2．对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1(a＞0，且a≠1)． (2)对数的运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)． (3)对数恒等式：alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)． (4)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)． 3．对数函数 (1)一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 项目 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 4．反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． [常用结论] 1．换底公式的三个重要结论 (1)logab＝； (2)logambn＝logab； (3)logab·logbc·logcd＝logad. (a＞0，且a≠1；b＞0，且b≠1；c＞0，且c≠1；d＞0) 2．对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大. 第二部分：典型例题 典例一：对数的运算 1．（25-26高三上·福建泉州·阶段检测）计算：______. 2．（2026·湖南邵阳·模拟预测） （    ） A． B． C． D．2 3．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山东泰安·模拟预测）已知，，则__________． 典例二：换底公式 5．（25-26高二下·天津河东·阶段检测）________． 6．（25-26高二下·浙江·阶段检测）（多选）已知，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）（1）化简：； （2）求值：． 8．（25-26高三上·黑龙江黑河·阶段检测）计算下列各式的值 (1)； (2). 9．（25-26高三上·四川成都·阶段检测）化简求值（需要写出计算过程）. (1)； (2). 10．（24-25高三上·四川绵阳·阶段检测）求值： (1)； (2). 典例三：对数函数的概念 11．（25-26高三上·江西上饶·期末）已知函数是对数函数，则__________． 12．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知对数函数过点，则的解析式为___________，在的最大值是___________． 13．（25-26高三上·全国·课后作业）已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 14．（2025高三上·全国·专题练习）若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 典例四：对数（型）函数图象过定点问题 15．（2026高三·全国·专题练习）函数（，且）的图象恒过定点，若点在上，其中，则的最小值为______． 16．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）（多选）若函数（，且）的图象恒过定点A，且点A在直线（，）上，则下列选项正确的是（   ） A． B．mn的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是9 17．（25-26高三上·上海·期中）已知函数为指数函数，则函数的图像过一定点，该定点的坐标是________． 18．（25-26高三上·浙江·阶段检测）已知且，函数的图象过定点，则的坐标为______. 19．（25-26高三上·山西晋城·期末）已知幂函数为偶函数，则函数恒过定点___________． 20．（25-26高三上·广东肇庆·期末）已知且，若函数的图像经过定点，函数的图像恒过定点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 典例五：根据对数（型）函数的图象求参数 21．（25-26高三上·江苏宿迁·期末）已知函数的图象如图所示，则下列关系不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 22．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数（，，）的图象如图所示，则下列关系式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高三上·广东广州·期末）（多选）函数与的图像如图所示，则实数的值可能为（    ） A． B． C． D．3 24．（25-26高三上·上海·阶段检测）若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 25．（2026·浙江绍兴·模拟预测）若函数的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为________． 26．（25-26高三上·全国·一轮复习）已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 典例六：对数（型）函数图象的应用 27．（2026高三·全国·专题练习）方程的解的个数为__. 28．（2026·上海杨浦·模拟预测）设函数，若且，则的取值范围为__________． 29．（2026·贵州毕节·二模）已知函数的图象过点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（    ） A． B．4 C．或 D． 30．（25-26高三上·浙江绍兴·期末）已知函数，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．（2026高二下·浙江·学业考试）（多选）已知实数，满足，则，可能的情况是（     ） A． B． C． D． 32．（2026·云南昆明·模拟预测）若正数满足，则的大小关系不可能的是（   ） A． B． C． D． 典例七：判断对数（型）复合函数单调性 33．（25-26高三上·上海闵行·期中）函数的单调增区间是_____． 34．（25-26高三上·全国·期末）（1）在上的单调递减区间为________； （2）的单调递减区间为__________. 35．（25-26高三下·山东日照·阶段检测）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 36．（2026高三·全国·专题练习）函数的图像如图所示，则函数的单调递减区间是_______. 典例八：由对数（型）函数单调性求参数 37．（25-26高二下·天津河东·阶段检测）“函数在区间上单调递增”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 38．（25-26高二下·河北保定·阶段检测）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是____________. 39．（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知函数 (1)若定义域为，求实数的取值范围． (2)若函数在上为减函数；求实数的取值范围． 40．（25-26高三上·山东泰安·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为__________. 41．（25-26高三上·山东潍坊·阶段检测）已知是上的减函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 42．（25-26高三上·河北承德·期末）若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 典例九：对数（指数）综合比较大小 43．（25-26高二下·河北唐山·期中）三个数的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 44．（25-26高二下·四川成都·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 45．（25-26高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）若，，，则（    ） A． B． C． D． 46．（2026·湖北武汉·三模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 47．（2026·北京大兴·三模）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 48．（2026高二下·浙江温州·学业考试）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 典例十：根据对数函数单调性解不等式 49．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知是奇函数，则不等式的解集是______. 50．（2026·湖南·模拟预测）已知函数是定义在上的增函数．若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 51．（25-26高二下·吉林·期末）设函数，则使得成立的的取值范围为（ ） A． B． C． D． 52．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知 若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 典例十一：求已知对数型函数的值域或最值 53．（25-26高三上·河北承德·期末）函数的最小值为__________． 54．（2026·河南·模拟预测）已知函数是偶函数，则函数的值域为__________． 55．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数，则函数的最小值为（    ） A．-1 B．1 C． D． 56．（25-26高三上·河南商丘·阶段检测）已知函数（，且），若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)求函数解析式； (2)当，求函数的最值，并求出取得最值时对应的x的值； 57．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 58．（2026·山西运城·二模）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 典例十二：根据对函数最值（值域）求参数 59．（2026高三·全国·专题练习）若不等式，当时恒成立，求实数的取值范围. 60．（2026·湖南长沙·二模）设函数，若对定义域内的任意，恒成立，则的最小值为______． 61．（2026·河南周口·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 62．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）函数的值域为的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 63．（25-26高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）已知函数（，且）． (1)若在上的最大值与最小值之差为3，求a的值； (2)若，求不等式的解集． 64．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）设且，函数f（x）＝的定义域为R．若的值域为，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 典例十三：对数（型）函数的最值与不等式综合应用 65．（25-26高三上·山西太原·期末）已知函数，且． (1)证明：是奇函数； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 66．（25-26高三上·山东·阶段检测）已知函数. (1)当时，求函数的值域； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 67．（25-26高三上·甘肃平凉·期末）已知函数． (1)求函数的定义域，判断该函数的单调性（不需要证明）； (2)函数，若对，都，使得成立，求实数的取值范围； (3)函数，若对，都存在，使得成立，求实数的取值范围； 68．（25-26高三上·湖南邵阳·期末）已知函数．函数图象与的图象关于直线对称． (1)求的表达式． (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围． (3)不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 69．（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）已知函数是奇函数． (1)求的值并判断的单调性（单调性只需判断无需证明）； (2)任意，，求实数的范围． 70．（25-26高三上·浙江杭州·期末）已知函数，. (1)当实数时，判断函数的单调性；（不需要证明） (2)若函数在为增函数，求实数t的取值范围； (3)若函数为偶函数，且对于任意，，都有成立，求实数a的取值范围. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $