山东烟台市某校（五四制）2025-2026学年上学期九年级 阶段测试数学试题（1月）

**基本信息** 立足九年级数学核心知识，通过停车场栏杆旋转、山坡种树等生活情境及抛物线综合题，考查数学抽象、推理与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|函数自变量取值、概率、三视图、三角函数应用|结合文学名著叠放（概率）、栏杆旋转（三角函数计算）考查数学眼光| |填空题|6/18|三角形形状判断、统计频率估计概率、网格三角函数|以正方形网格求三角函数值（几何直观）、频率表估计概率（数据意识）| |解答题|8/72|三角函数计算、函数游戏公平性、测量高度、圆内接四边形、利润问题、抛物线综合|山坡种树株距计算（解直角三角形应用）、抛物线与几何变换（创新意识与推理能力）|

2025-2026学年度第一学期质量检测 九年级 数学 （时间：120分钟，满分120分） 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 函数 的自变量x的取值范围是 A． B． C． D．且 2．小颖有一套文学名著上册、中册、下册，随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好是“上册、中册、下册”的概率为 A． B． C. D． 3．图1是一个底面为正方形的直棱柱，现将图1切割成图2的几何体，则图2的俯视图是 图1 图2 A . B . C . D . 4. 某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB绕点O旋转到的位置，已知AO＝4m，若栏杆的旋转角时，借助计算器求栏杆A端升高的高度. 下列按键顺序正确的是第4题图 A B O A．4 × sin 5 0 = B．4 × cos 5 0 = C．2ndF 4 ÷ sin 5 0 = D．2ndF 4 × sin 5 0 = 5．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为5m. 若在坡比为 的山坡上种树，也要求株距为5m，那么相邻两棵树间的坡面距离为 A．2.5m B．5m C．m D．10 m 第5题图 第6题图 6. 如图，是的直径，，点为的中点，交于点，，则的长为 A. 4 B. C. 8 D. 7.函数与在同一直角坐标系中的图象可能是 x y O x y O x y O x y O A. B. C. D. 8. 如图，把一块含的直角三角板的一个锐角顶点A放在半径为2的上，边、分别与交于点、点，则位于三角板内部的弧的长度为 A. B. C. D. 第9题图 A B C D E O 第8题图 9. 如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，对于下列结论 ：①CE＝OE ②∠C＝50° ③ ④AD＝2OE. 其中正确的有 A．①④ B．②③ C．②③④ D．①②③④ 10. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，AB=6，点P是AB边上一动点（点P与点A不重合），以AP为边作正方形APDE，设AP=x，正方形APDE与△ABC重合部分（阴影部分）的面积为y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是第10题图 A． B． C． D． 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且， 则△ABC的形状为 ． 12. 某批篮球的质量检验结果如下： 抽取篮球数 100 200 400 600 800 1000 1200 优等品的频数 93 190 390 564 746 931 1118 优等品的频率 从这批篮球中，任意抽取一个篮球是优等品的概率的估计值约是__________．（精确到） 13. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则 的值为_______． 第13题图 第14题图 14． 如图，是由一个大圆和四个相同的小圆组成的如图所示的图案，若小圆的半径为2，则阴影部分的面积为 ． 15． 抛物线的部分图象如图，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点（-3，0）．下列说法：①；②；③关于x的一元二次方程的两根为，；④当时，二次函数有最大值.其中正确的有____________. 第15题 第16题 16. 如图，在中，的半径为2，点P是边上的动点，过点P作的一条切线（点E为切点），则切线长的最小值是_____________． 三、解答题（本题共8个题，满分72分,其中包含两分卷面分） 17.（4分） 计算： 18.（6分） 如图，已知△ABC中，，求值． 19.（9分）如图，有四张背面完全相同的卡片A，B，C，D，其中正面分别写着四个不同的函数表达式，将四张卡片洗匀正面朝下随机放在桌面上. A B C D （1）从四张卡片中随机摸出一张，摸出的卡片上的函数y随x的增大而减小的概率是 ； （2）小亮和小强用这四张卡片做游戏，规则如下：两人同时从四张卡片中各随机抽出一张，若抽出的两张卡片上的函数增减性相同，则小亮胜；若抽出的两张卡片上的函数增减性不同，则小强胜. 这个游戏公平吗？请说明理由. 20. （9分）如图，希望中学的教学楼AB和综合楼CD之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BF＝FD＝40米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9°，点E的俯角为16°． 问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由．（解答过程中可直接使用表格中的数据哟！） 21.（9分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E。 （1） 若AB=AC，求证：∠ADB=∠ADE; （2） 若BC=3，⊙O的半径为2，求sin∠BAC. 22.（9分） 一家水果超市以每斤4元的价格购进橘子若干斤，然后以每斤6元的价格出售，每天可售出80斤，通过调查发现，这种橘子每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤． （1）若将橘子每斤的售价降低元，则每天的销售量是____________斤（用含的代数式表示）； （2）销售这批橘子要想每天盈利280元，且保证每天至少售出220斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？ （3）当每斤橘子售价为多少元时，才能在一天内获得最大利润？最大利润是多少? 23.（10分）如图，在中，，在上取一点，以为圆心，为半径作，与边相交于点，与边相交于点，作线段的垂直平分线交、于点、，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，为，求线段的长． 24.（14分）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点为第一象限抛物线上一动点，连接、、，设点的横坐标为，的面积为，求的最大值； （3）如图2，点是抛物线上一动点且位于对称轴左侧，交对称轴于点，将线段绕点旋转得到点的对应点．是否存在的位置，使点落在轴上？若存在，请求出满足条件的点坐标，若不存在，请说明理由； （4）若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第 3 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $