3.3 第2课时 相似三角形判定定理的证明课件 2026-2027学年数学北师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形判定定理的证明及应用，通过复习导入回顾“两角对应相等”“两边成比例且夹角相等”“三边成比例”的判定方法，以问题驱动引导学生思考定理证明，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以“合作探究”为主线，通过画图、已知求证分析、分步推理证明三个定理，培养学生推理意识与几何直观。新知小结归纳证明步骤和判定思路，典例精析与随堂检测结合具体问题强化应用意识。学生能在逻辑推理中深化理解，教师可借助结构化内容提升教学效率。

3.3 相似三角形判定定理的证明 第2课时 相似三角形判定定理的证明 1.会证明相似三角形判定定理.（重点） 2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题.（难点） 学 习 目 标 问题：相似三角形的判定方法有哪些？ ① 两角对应相等，两三角形相似. ② 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. ③ 三边对应成比例,两三角形相似. 你能对它们进行证明吗？ 复 习 导 入 知识点 相似三角形判定定理的证明 定理1　两角分别相等的两个三角形相似 1.已知:如图,在△ABC和△ABC中,∠A=∠A,∠B=∠B. 求证:△ABC∽△ABC. 合 作 探 究 证明: 如图,在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD=AB,过点D作BC的平行线,交AC于点E, 则∠ADE=∠B,∠AED=∠C, (平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例). 合 作 探 究 过点D作AC的平行线,交BC于点F, 则(平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例). ∴. 合 作 探 究 ∵DE∥BC,DF∥AC, ∴.∴. ∴四边形DFCE是平行四边形. ∴DE=CF. 而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C, ∴△ADE∽△ABC. ∵∠A=∠A,∠ADE=∠B=∠B,AD=AB, ∴△ADE≌△ABC. ∴△ABC∽△ABC. 合 作 探 究 定理2　两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 2.已知:如图,在△ABC和△ABC中,∠A=∠A,. 求证:△ABC∽△ABC. 合 作 探 究 证明: 如图,在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD=AB,过点D作BC的平行线,交AC于点E, 则∠B=∠ADE,∠C=∠AED, ∴△ABC∽△ADE(两角分别相等的两个三角形相似). ∴. 合 作 探 究 ∵,AD=AB, ∴.∴. ∴AE=AC. 而∠A=∠A, ∴△ADE≌△ABC. ∴△ABC∽△ABC. 合 作 探 究 定理3　三边成比例的两个三角形相似 3.已知:如图,在△ABC和△ABC中,. 求证:△ABC∽△ABC. 合 作 探 究 证明: 如图,在△ABC的边AB,AC(或它们的延长线)上分别截取AD=AB,AE=AC,连接DE. ∵,AD=AB,AE=AC, ∴. 合 作 探 究 而∠BAC=∠DAE, ∴△ABC∽△ADE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). ∴. 又,AD=AB, ∴.∴. ∴DE=B'C'.∴△ADE≌△ABC. ∴△ABC∽△ABC. 合 作 探 究 ☀归纳 证明文字命题的步骤： (1)根据命题画出图形; (2)根据图形和命题写出已知和求证; (3)分析证明思路,写出证明过程. 新 知 小 结 例 如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AC于点E,F是AB的中点,连接EF交AD于点G. (1)求证:AD2=AB·AE; (2)若AB=5,AE=4,求DG的长. （1）证明:∵AD⊥BC,DE⊥AC, ∴∠ADC=∠AED=90°. 又∵∠DAE=∠CAD,∴△ADE∽△ACD. ∴AD∶AC=AE∶AD.∴AD2=AC·AE. 又∵AB=AC,∴AD2=AB·AE. 典 例 精 析 (2)若AB=5,AE=4,求DG的长. 由(1)得AD2=AB·AE, （2）解:如图,连接DF. ∴AD2=AB·AE=5×4=20. ∴AD=2. ∵AB=AC,AD⊥BC, ∴BD=CD. 典 例 精 析 又∵F是AB的中点, ∴DF是△ABC的中位线. ∴DF=AC=,DF∥AC. ∴△DFG∽△AEG. ∴.则. ∴DG=AD=×2. 典 例 精 析 (1)若有一对等角,则可找另一对等角,或证明夹这对等角的两边成比例. (2)若有两边成比例,则可找夹角相等,或证明三边成比例. (3)若已知两个三角形均为等腰三角形,则可找顶角相等,或找底角相等,或证明三边成比例. ☀方法总结 判定两个三角形相似的基本思路 新 知 小 结 1.如图,在四边形ABCD中,已知∠ADC=∠BAC,那么补充下列条件后不能判定△ADC和△BAC相似的是 (　　) A.CA平分∠BCD B. C.AC2=BC·CD D.∠DAC=∠ABC C 随 堂 检 测 2.如图,在△ABC中,BC>BA,D是边BC上的一个动点(点D与点B,C不重合),若再增加一个条件,就能使△ABD与△ABC相似,则这个条件可以是            　　　 　　 　　.  ∠BAD=∠C或∠BDA=∠BAC或 (答案不唯一,写出一个即可) 随 堂 检 测 3.如图,AD与BC交于点O,EF过点O,交AB于点E,交CD于点F,BO=1, CO=3,AO=,DO=. (1)求证:∠A=∠D;(2)若AE=BE,求证:CF=DF. (1)证明:∵BO=1,CO=3,AO=,DO=, ∴. 又∵∠AOB=∠COD, ∴△OAB∽△ODC.∴∠A=∠D. 随 堂 检 测 (2)证明:∵∠A=∠D, ∴AB∥CD. ∴易得△OAE∽△ODF,△OBE∽△OCF. ∴,. ∴. ∵AE=BE,∴CF=DF. 随 堂 检 测 相似三角形的判定定理 定理1：两角分别相等的两个三角形相似 定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 定理3：三边成比例的两个三角形相似. 课 堂 总 结 $