精品解析：广东深圳外国语学校2025-2026学年第二学期九年级中考考前模拟测试数学试卷

2025—2026学年深圳外国语学校九年级下 数学学科模拟考试 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 中华文化源远流长，不论是玉器、漆器还是服饰都具有特色纹样．下列中国传统纹样图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. “激情全运会，活力大湾区”，第十五届全国运动会将于2025年11月9日至21日举行，由广东、香港、澳门三地共同举办．其中，深圳大运中心体育场将承办部分足球赛事，深圳大运中心体育场建筑面积13.6万平方米．数据“13.6万”用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列成语所描述的事件中，属于必然事件的是（ ） A. 画饼充饥 B. 水涨船高 C. 刻舟求剑 D. 一箭双雕 5. 如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高为（ ）． A. B. C. D. 6. 将一把直角三角尺和一把直尺按如图所示的方式放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 从北站出发到杭州东站路程约，有高速铁路列车和普通动车组列车可供选择，高速铁路列车比普通动车组列车平均时速快，乘坐高速铁路列车所用的时间比乘坐普通动车组列车少用．设普通动车组列车的速度是，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形中，的平分线与的延长线相交于点与相交于点，点为的中点，连接．若，则的长是（ ） A. 7 B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 9. 已知关于的方程的解是，则_____． 10. 化简：______． 11. 如图，中，，，，以为中心，将顺时针旋转，使得点落在延长线上的点，此时点落到点，则在旋转中，边变到边所扫过的面积为______平方厘米（结果保留）． 12. 如图，的边在轴上，顶点在轴上，点的坐标为，反比例函数（）的图象同时经过的中点和的中点，交于点，则点的坐标是______． 13. 如图，四边形是菱形，，，点E是边上一点，连接，，点F是的中点，连接交于点G．若，则的长为________． 三、解答题（共61分） 14. 计算：． 15. 解方程：． 16. 智启未来，创想无限．为促进人工智能的学习和运用，学校在七、八年级学生中开展了人工智能知识与技能竞赛活动，并从七、八年级学生中各随机抽取了30名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩为百分制，均不低于60分，用x表示，共分为四组：A．；B．；C．；D．），下面统计出了部分信息：七年级30名学生竞赛成绩在C组中的数据：83，83，83，86，87，88，88，88，88，89． 七、八年级成绩数据统计表 年级 七年级 八年级 平均数 83.9 83.9 中位数 m 84 众数 78 84 根据以上信息，解答下列问题： （1）请补全七年级成绩数据条形统计图，在七、八年级成绩数据统计表中，m＝______； （2）该校七年级有学生300人，八年级有学生270人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于80分的学生人数共有多少人？ （3）根据以上数据，你认为七、八年级中哪个年级学生人工智能知识与技能竞赛成绩较好？并请说出一条理由． 17. 请你根据下列材料，完成有关任务． 背景 “守护学生身心健康，筑牢民族未来根基”．为了办好校园餐，丰富食堂菜品，注重膳食营养搭配，学校食堂计划采购，两种新鲜食材． 素材一 商家：若购买袋种食材和袋种食材共需元；若购买袋种食材和袋种食材共需元．并且整袋售卖，不拆分． 素材二 食堂：下周星期一准备采购这两种食材共袋，种食材数量不低于袋，且不超过种食材的3倍． 请完成下列任务： （1），两种食材每袋单价分别是多少元？ （2）请你用所学的数学知识，帮食堂师傅设计出最节省费用的采购方案，并求出最低采购费用． 18. 如图，已知为的外接圆，为的直径，点在的延长线上且与相切于点． （1）利用圆规和无刻度直尺过点作交延长线于点； （2）求证：； （3）若，的半径为6，求的长． 19. 【问题引入】 如图1是某学校的拱形大门，为喜迎30年校庆，学校想要在拱形大门上距最高点相同距离的左右两侧各挂一个灯笼，为此学校综合与实践小组的同学们展开了测量活动． 【问题情境】 学校大门的拱形部分可近似看作抛物线，图2是该拱门的示意图，以的中点为原点，所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．经测量，拱门的宽，拱门最高点到地面的距离为，和垂直于地面，高度均为． 【问题解决】 （1）求该大门拱形部分所在抛物线的函数表达式． （2）如图2，线段和分别表示大门两侧悬挂的灯笼．已知每个灯笼的长为（含挂线），灯笼悬挂点，到最高点的水平距离均为． ①求灯笼底端到地面的距离． ②学校每天需要用货车运输物品进校，已知货车通常从拱形大门的正中间位置进校．若货车的高为，宽为，请通过计算说明悬挂的灯笼是否影响进车，若影响进车，求需要将两个灯笼向大门中心点处移动的最小水平距离；若不影响进车，请说明理由（参考数据：）． 20. 定义：在平行四边形中，若有一条对角线长是一边长的两倍，则称这个平行四边形叫做奇异四边形，其中这条对角线叫做奇异对角线，这条边叫做奇异边． 【概念理解】 （1）如图1，四边形是奇异四边形，对角线与交于点，是奇异对角线，是奇异边． ①与的形状是__________三角形． ②若，则__________． 【问题探究】 （2）如图2，四边形是矩形，过点作交的延长线于点，连接交于点，，． ①当时，请说明四边形是奇异四边形； ②是否存在值，使得四边形是奇异四边形，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【应用拓展】 （3）如图3，四边形与四边形都是奇异四边形，其中与分别是奇异对角线，与分别是奇异边，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年深圳外国语学校九年级下 数学学科模拟考试 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 中华文化源远流长，不论是玉器、漆器还是服饰都具有特色纹样．下列中国传统纹样图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，掌握其定义，找出对称轴，对称中心是解题的关键． 轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴；中心对称：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心；根据定义，结合图形找出对称轴和对称中心即可求解． 【详解】解：A、没有对称轴，不是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，不符合题意； B、有对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； C、有对称轴，是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，符合题意； D、有对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C ． 2. “激情全运会，活力大湾区”，第十五届全国运动会将于2025年11月9日至21日举行，由广东、香港、澳门三地共同举办．其中，深圳大运中心体育场将承办部分足球赛事，深圳大运中心体育场建筑面积13.6万平方米．数据“13.6万”用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，形式为，其中，n为整数． 【详解】解：∵13.6万，符合科学记数法要求， ∴数据“13.6万”用科学记数法表示为． 故选：A． 3. 下列各式计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A：，结果是，符合题意； B：，结果不是，不符合要求； C：，结果不是，不符合要求； D：，结果不是，不符合要求． 4. 下列成语所描述的事件中，属于必然事件的是（ ） A. 画饼充饥 B. 水涨船高 C. 刻舟求剑 D. 一箭双雕 【答案】B 【解析】 【分析】必然事件是指一定条件下一定会发生的事件，根据定义判断各选项的事件类型即可得到答案． 【详解】解：A选项“画饼充饥”不可能发生，属于不可能事件，不符合题意； B选项水位上涨后船一定会随水位升高，“水涨船高”一定发生，属于必然事件，符合题意； C选项“刻舟求剑”不可能实现，属于不可能事件，不符合题意； D选项“一箭双雕”可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合题意． 5. 如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，，，再根据正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴， ∴． 6. 将一把直角三角尺和一把直尺按如图所示的方式放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】反向延长∠α的一边与直尺的另一边相交，然后根据两直线平行，同位角相等可得∠1=∠α，再根据直角三角形两锐角互余解答． 【详解】如图， ∵直尺的两边互相平行， ∴∠1=∠α， ∴∠1与∠β的对顶角的和等于90°， ∴∠α+∠β=90°． ∴=46° 故答案为：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 7. 从北站出发到杭州东站路程约，有高速铁路列车和普通动车组列车可供选择，高速铁路列车比普通动车组列车平均时速快，乘坐高速铁路列车所用的时间比乘坐普通动车组列车少用．设普通动车组列车的速度是，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据题意找到提速前和提速后所用时间的等量关系是解决本题的关键．根据题意可得等量关系为乘坐高速动车组列车的时间=乘坐普通动车组列车的时间，根据等量关系列式即可判断． 【详解】解：根据题意，得， 即． 故选：D． 8. 如图，矩形中，的平分线与的延长线相交于点与相交于点，点为的中点，连接．若，则的长是（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质和角平分线的定义，证得和均为等腰直角三角形，连接，利用证明，进而证得为等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解. 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ， ， 平分， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， 为的中点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ． 【点睛】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共15分） 9. 已知关于的方程的解是，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】将代入求解即可． 【详解】解：∵关于的方程的解是， ∴， 解得：． 10. 化简：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了异分母分式加法运算，约分，因式分解，根据异分母分式加法运算法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 11. 如图，中，，，，以为中心，将顺时针旋转，使得点落在延长线上的点，此时点落到点，则在旋转中，边变到边所扫过的面积为______平方厘米（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，，由旋转性质可得， ，，然后通过．即可求解 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴，， ∵将以点为中心顺时针旋转，使点旋转到延长线上的点， ∴， ∴ ，， ∴ ， ∴边变到边所扫过的面积为平方厘米． 12. 如图，的边在轴上，顶点在轴上，点的坐标为，反比例函数（）的图象同时经过的中点和的中点，交于点，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求出点E坐标，据此得出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，据此得出的函数解析式，据此求出点G的坐标即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，边在x轴上， ∴轴， ∵点C的坐标为， ∴点D的坐标为， ∵E为中点， ∴点E的坐标为， 将点E的坐标代入反比例函数解析式得， ， ∴反比例函数解析式为， ∵点D的坐标为，点B的纵坐标为0， ∴中点的纵坐标为2， 由得，， ∴中点的坐标为， ∴点B的坐标为， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得， 则直线的函数解析式为， 由， 解得， ∵点G的横坐标大于2， ∴点G的横坐标为， 则， ∴点G的坐标为． 13. 如图，四边形是菱形，，，点E是边上一点，连接，，点F是的中点，连接交于点G．若，则的长为________． 【答案】3 【解析】 【分析】延长、交于点，过作交直线于，由菱形得到，，，再证明，得到，，然后由勾股定理和直角三角形求出，再证明，得到，代入即可得到，解方程即可求解． 【详解】解：延长、交于点，过作交直线于， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验是方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识点，利用倍长中线的思路去做辅助线是解题的关键． 三、解答题（共61分） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先分别计算乘方、绝对值、负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值，再算加减法即可． 【详解】解： ． 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】根据解分式方程的一般步骤解方程即可，注意验根． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 去括号得：， 解得：， 检验：当时，， 是原分式方程的根． 16. 智启未来，创想无限．为促进人工智能的学习和运用，学校在七、八年级学生中开展了人工智能知识与技能竞赛活动，并从七、八年级学生中各随机抽取了30名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩为百分制，均不低于60分，用x表示，共分为四组：A．；B．；C．；D．），下面统计出了部分信息：七年级30名学生竞赛成绩在C组中的数据：83，83，83，86，87，88，88，88，88，89． 七、八年级成绩数据统计表 年级 七年级 八年级 平均数 83.9 83.9 中位数 m 84 众数 78 84 根据以上信息，解答下列问题： （1）请补全七年级成绩数据条形统计图，在七、八年级成绩数据统计表中，m＝______； （2）该校七年级有学生300人，八年级有学生270人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于80分的学生人数共有多少人？ （3）根据以上数据，你认为七、八年级中哪个年级学生人工智能知识与技能竞赛成绩较好？并请说出一条理由． 【答案】（1）； 补全七年级成绩数据条形统计图如下： （2） （3） 解：该校八年级学生人工智能知识与技能竞赛的成绩较好，理由： 因为该校七、八年级学生环保知识竞赛的成绩的平均数相同都是， 但八年级竞赛的成绩的中位数大于七年级竞赛的成绩的中位数， 且八年级竞赛的成绩的众数大于七年级竞赛的成绩的众数， 所以该校八年级学生人工智能知识与技能竞赛的成绩较好； 【解析】 【分析】（1）根据题意，先得到A组的人数并补全条形统计图，根据中位数的概念求； （2）利用样本估计总体进行求解即可； （3）根据平均数、中位数及众数分析即可得出结果． 【小问1详解】 解：七年级A组有（人）， 30人成绩数据从小到大第15、16位的均值， ； 【小问2详解】 解：由条形统计图可知七年级80分以上的有人， 故七年级竞赛成绩不低于80分的学生有（人）， 由扇形统计图可知八年级80分以上的占， 故八年级竞赛成绩不低于80分的学生有（人）， 答：该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于80分的学生人数共有359人； 【小问3详解】 略 17. 请你根据下列材料，完成有关任务． 背景 “守护学生身心健康，筑牢民族未来根基”．为了办好校园餐，丰富食堂菜品，注重膳食营养搭配，学校食堂计划采购，两种新鲜食材． 素材一 商家：若购买袋种食材和袋种食材共需元；若购买袋种食材和袋种食材共需元．并且整袋售卖，不拆分． 素材二 食堂：下周星期一准备采购这两种食材共袋，种食材数量不低于袋，且不超过种食材的3倍． 请完成下列任务： （1），两种食材每袋单价分别是多少元？ （2）请你用所学的数学知识，帮食堂师傅设计出最节省费用的采购方案，并求出最低采购费用． 【答案】（1）种食材每袋40元，种食材每袋50元 （2）最节省费用的采购方案是采购种食材67袋，种食材23袋，此时最低采购费用为3830元 【解析】 【分析】（1）设种食材每袋元，种食材每袋元，根据题意建立方程组，解方程组即可； （2）设采购费用为元，采购种食材袋，则采购种食材袋，先求出与之间的函数关系式、的取值范围，再利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设种食材每袋元，种食材每袋元， 由题意得：， 解得， 答：种食材每袋40元，种食材每袋50元． 【小问2详解】 解：设采购费用为元，采购种食材袋，则采购种食材袋， 由题意得：， ∵种食材数量不低于袋，且不超过种食材的3倍， ∴， 解得， 由一次函数的性质可知，在内，随的增大而减小， 又∵为正整数， ∴当时，的值最小，最小值为， 此时， 答：最节省费用的采购方案是采购种食材67袋，种食材23袋，此时最低采购费用为3830元． 18. 如图，已知为的外接圆，为的直径，点在的延长线上且与相切于点． （1）利用圆规和无刻度直尺过点作交延长线于点； （2）求证：； （3）若，的半径为6，求的长． 【答案】（1）如图所示． （2）证明：如图，连接， ∵与相切于点． ∴， ， ， ， ， ， ， （3）12 【解析】 【分析】（1）作图：因为在直线上，要过作的垂线，所以以为圆心适当长度为半径画弧交于两点，再分别以这两点为圆心、大于两点距离一半的长度为半径画弧，两弧交点与连线即为垂线，延长该线与延长线交于； （2）连接，由是圆的切线，可得，根据等角的余角相等的性质可证得，再结合圆周角定理即可求证； （3）先根据切线长定理或勾股定理求出的长度；再利用相似三角形的判定，证明，可得对应边成比例，代入线段的长度计算即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 由题意可得：， ， ， ， ，， ， ，即， ． 【点睛】本题考查了尺规作图-作垂线，圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 19. 【问题引入】 如图1是某学校的拱形大门，为喜迎30年校庆，学校想要在拱形大门上距最高点相同距离的左右两侧各挂一个灯笼，为此学校综合与实践小组的同学们展开了测量活动． 【问题情境】 学校大门的拱形部分可近似看作抛物线，图2是该拱门的示意图，以的中点为原点，所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．经测量，拱门的宽，拱门最高点到地面的距离为，和垂直于地面，高度均为． 【问题解决】 （1）求该大门拱形部分所在抛物线的函数表达式． （2）如图2，线段和分别表示大门两侧悬挂的灯笼．已知每个灯笼的长为（含挂线），灯笼悬挂点，到最高点的水平距离均为． ①求灯笼底端到地面的距离． ②学校每天需要用货车运输物品进校，已知货车通常从拱形大门的正中间位置进校．若货车的高为，宽为，请通过计算说明悬挂的灯笼是否影响进车，若影响进车，求需要将两个灯笼向大门中心点处移动的最小水平距离；若不影响进车，请说明理由（参考数据：）． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由题意，得点的坐标为，点的坐标为，设大门拱形部分所在抛物线的函数表达式为，根据求出，即可求出函数解析式； （2）①根据题意可知点的横坐标为，将代入函数解析式求出点的纵坐标，减去灯笼的长即可； ②先判断出悬挂灯笼影响进车，令，求出此时x的值，再用原灯笼悬挂点到最高点的水平距离减去x的值即可． 【小问1详解】 解：∵，为的中点， ∴ 由题意，得点的坐标为，点的坐标为． 设大门拱形部分所在抛物线的函数表达式为， 将点代入，得，解得． 大门拱形部分所在抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：①灯笼悬挂点到最高点的水平距离为， 点的横坐标为． 当时，． ． 灯笼底端到地面的距离约为． ②由①得灯笼底端到地面的距离为，且， 悬挂灯笼影响进车． 令，得，解得（负值已舍去）． ． 需要将两个灯笼向大门中心点处移动的最小水平距离约为． 20. 定义：在平行四边形中，若有一条对角线长是一边长的两倍，则称这个平行四边形叫做奇异四边形，其中这条对角线叫做奇异对角线，这条边叫做奇异边． 【概念理解】 （1）如图1，四边形是奇异四边形，对角线与交于点，是奇异对角线，是奇异边． ①与的形状是__________三角形． ②若，则__________． 【问题探究】 （2）如图2，四边形是矩形，过点作交的延长线于点，连接交于点，，． ①当时，请说明四边形是奇异四边形； ②是否存在值，使得四边形是奇异四边形，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【应用拓展】 （3）如图3，四边形与四边形都是奇异四边形，其中与分别是奇异对角线，与分别是奇异边，，求的值． 【答案】（1）①等腰；②8 （2）①∵四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是平行四边形， ，， ， ∴四边形是奇异四边形； ②存在，的值为或时，四边形是奇异四边形， 理由如下： 分以下两种情况： 当时，四边形是奇异四边形， ，， ， ， ， 解得（负值舍去）， ； 当时，四边形是奇异四边形， ，， ， ， 解得：（负值舍去）， ； 的值为或时，四边形是奇异四边形； （3） 【解析】 【分析】（1）①根据奇异四边形定义可得，进而可以解决问题； ②根据奇异四边形定义可得，进而可以解决问题； （2）①由平行四边形的性质得出，证出四边形是平行四边形，求出，即可得出四边形是奇异四边形； ②当时，四边形是奇异四边形，此时，然后根据勾股定理求出k的值；当时，四边形是奇异四边形，此时，由勾股定理即可求出k的值； （3）由奇异四边形的定义得出，得出，同理，得出，证出，，得出，由，得出，得出，作于M，设，则，由勾股定理得：，，由得出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：①∵四边形是奇异四边形，是奇异对角线，是奇异边， ∴四边形是平行四边形，， ， 与的形状是等腰三角形； ②， ； 【小问2详解】 解： ①略 ②略 【小问3详解】 解：∵四边形是奇异四边形，为奇异对角线，为奇异边， ， ， ∵四边形是奇异四边形，为奇异对角线，为奇异边， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ∴相似比为1， ， ， 作于，如图3所示： ， ， 设，则， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $