精品解析：河北邢台市卓越联盟2025-2026学年高一下学期6月阶段测评数学试题

高一数学测评 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第九章第2节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列结论正确的是（ ） A. 过空间中的三点有且仅有一个平面 B. 空间中垂直于同一直线的两条直线平行 C. 若一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行 D. 垂直于同一个平面的两条直线平行 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 某城市文旅部门统计了今年“五一”假期12家网红露营地的单日接待游客数量（单位：百人），其数据为5，7，9，8，12，8，6，9，11，7，9，11，则这组数据的第75百分位数是（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 11 4. 已知某圆锥的母线与底面所成的角为 ，母线长为，则该圆锥的表面积是（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是两条直线，，是两个平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 7. 在正方体中，，分别是棱，的中点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 直线， 的交点在直线上 8. 在四棱锥中，四边形 是平行四边形，点在棱上，且 ，点在棱上，若 平面，则 （ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某气象站记录了某地连续6天的日平均气温（单位：），绘制了如图所示的折线统计图，则（ ） A. 这6天日平均气温的极差是 B. 这6天日平均气温最高的是第5天 C. 前5天的日平均气温持续升高 D. 第4天的日平均气温比第3天的日平均气温高 10. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，且，则（ ） A. B. C. 为定值 D. 面积的最大值为 11. 已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，正三棱锥 的底面边长为，侧棱长为，则（ ） A. 正三棱锥 与圆柱的体积的比值为 B. 正三棱锥 与圆柱的侧面积的比值小于 C. 正三棱锥 外接球的体积与圆柱外接球的体积相等 D. 正三棱锥 的内切球与圆柱的内切球的半径的比值小于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某专卖店某天销售的7双运动鞋的尺码依次为38，39，40，39，41，39，42，则这组数据的众数是______． 13. 如图，直三棱柱的所有棱长都相等，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是______． 14. 如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是边长为4的正方形，，， 分别是棱 ， 的中点， 是侧面内的一个动点，若平面，则动点 的轨迹长度是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了提高快递网点派件效率，某快递公司统计了辖区内一批驿站上周的日均派件量，将统计数据按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中 的值； （2）估计这批驿站上周日均派件量的中位数（结果保留整数）； （3）现采用分层抽样的方法从上周日均派件量在内的驿站中抽取15家驿站进行调研，求上周日均派件量在内的驿站被抽取的数量． 16. 某农业合作社种植甲、乙两个品种的葡萄，为评估收成情况，随机抽取8株甲品种葡萄，测得单株产量（单位：千克）分别为4.5，4.7，4.8，4.8，4.8，4.9，4.9，5.0． （1）求抽取的这8株甲品种葡萄单株产量的平均数与方差； （2）已知随机抽取的12株乙品种葡萄单株产量的平均数，方差，求抽取的这20株葡萄单株产量的总体平均数和方差． 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是边长为4的菱形，，， 分别是棱，的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． （3）求点到平面的距离． 18. 如图，在四棱锥中， ，四边形是直角梯形，， ， ， ， ． （1）证明：平面 平面． （2）求二面角 的正切值． （3）求三棱锥 外接球的表面积． 19. 如图，在等腰直角三角形中，，，是的重心，过的直线与线段，分别交于，两点，记． （1）求的取值范围． （2）记的面积为． （ⅰ）当时，求的值； （ⅱ）求关于的函数解析式，并求的最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学测评 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第九章第2节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列结论正确的是（ ） A. 过空间中的三点有且仅有一个平面 B. 空间中垂直于同一直线的两条直线平行 C. 若一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行 D. 垂直于同一个平面的两条直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】由平面公理判断A；由空间中两直线的位置关系判断B；举反例判断C；由线面垂直的性质定理判断D. 【详解】对于A，过空间中不共线的三点有且仅有一个平面，故A错误； 对于B，在空间中垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交、异面，故B错误； 对于C，当两个平面相交时，一个平面有无数条直线平行于它们的交线，但这两个平面不平行，故C错误； 对于D，因为 ，得 ，故D正确； 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可得，即，则． 3. 某城市文旅部门统计了今年“五一”假期12家网红露营地的单日接待游客数量（单位：百人），其数据为5，7，9，8，12，8，6，9，11，7，9，11，则这组数据的第75百分位数是（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【详解】将这组数据按从小到大的顺序排列为5，6，7，7，8，8，9，9，9，11，11，12． 因为，所以这组数据的第75百分位数是． 4. 已知某圆锥的母线与底面所成的角为 ，母线长为，则该圆锥的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，已知某圆锥的母线与底面所成的角为 ，母线长为， 可得该圆锥的底面半径为， 则所求的表面积是. 5. 已知向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，得，再由向量在向量上的投影向量定义求解即可. 【详解】因，得， 故向量在向量上的投影向量为． 6. 已知， 是两条直线，，是两个平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】借助空间中点、线、面的位置关系逐项判断即可. 【详解】选项A.若，，则或者，错误. 选项B.若，，则可能，与相交或，错误. 选项C.若，，则，正确. 选项D.若，，则可能，与相交或平行，错误. 7. 在正方体中，，分别是棱 ，的中点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 直线， 的交点在直线 上 【答案】A 【解析】 【详解】连接，因为四边形为正方形，所以， 平面，平面，所以， 平面，，所以平面． 因为E，F分别是棱CD，的中点，所以，所以平面． 因为平面，所以，B正确． 假设，连接BD． 因为平面，平面，且，所以平面． 因为平面，所以． 由正方体的性质可知，则平面． 因为平面，所以，与矛盾，所以假设不成立，即，BF不垂直，A错误． 由正方体的性质易证，C正确． 因为 平面，平面ABED，且平面平面 ， 所以直线BE， 的交点在直线AD上，D正确． 8. 在四棱锥中，四边形 是平行四边形，点在棱上，且 ，点在棱上，若 平面，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取中点，由 得为  中点，故 ，从而 平面，结合已知 平面，得平面   与平面  的交线 ，在   中由平行线分线段成比例可得 . 【详解】如图，取棱的中点H，连接，，，记 ，连接． 因为四边形 是平行四边形，所以O是线段的中点． 因为H是线段的中点，所以 ． 因为 ，所以 ，则 ，即E是线段 的中点，所以 ． 因为平面ACE，平面ACE，所以 平面． 由 平面， 平面， ， 所以平面 平面， 因为平面 平面 ，平面 平面 ， 得 ，则． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某气象站记录了某地连续6天的日平均气温（单位：），绘制了如图所示的折线统计图，则（ ） A. 这6天日平均气温的极差是 B. 这6天日平均气温最高的是第5天 C. 前5天的日平均气温持续升高 D. 第4天的日平均气温比第3天的日平均气温高 【答案】ABD 【解析】 【详解】由折线统计图可知这6天日平均气温的极差是，A选项正确； 这6天日平均气温最高的是第5天，B选项正确； 第3天的日平均气温比第2天的日平均气温低，第4天的日平均气温比第3天的日平均气温高， C选项错误，D选项正确； 10. 在中，角 ，，的对边分别为 ， ， ，若，，且，则（ ） A. B. C. 为定值 D. 面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二倍角公式化简求解得到，进而求出角 .根据向量的运算求解选项B.根据选项B平方以及数量积求解选项C.根据基本不等式以及三角形面积公式求解选项D. 【详解】因为，所以，所以或， 因为，所以，A正确． 因为，所以，B错误． 因为，所以，即，C正确． 因为，所以，所以， 则的面积，当且仅当时，等号成立，D正确． 11. 已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，正三棱锥 的底面边长为，侧棱长为，则（ ） A. 正三棱锥 与圆柱的体积的比值为 B. 正三棱锥 与圆柱的侧面积的比值小于 C. 正三棱锥 外接球的体积与圆柱外接球的体积相等 D. 正三棱锥 的内切球与圆柱的内切球的半径的比值小于 【答案】BC 【解析】 【分析】分别计算正三棱锥和圆柱的体积、侧面积，求解判断A、B；分别计算正三棱锥和圆柱的外接球、内切球的体积和半径，求解判断C、D. 【详解】如图，设点 在底面ABC内的射影为点，连接CH，则， 则. 正三棱锥 的侧面积为. 设正三棱锥 的外接球的球心为，外接球的半径为，则在直线SH上， 由，得.设正三棱锥 内切球的半径为，则. 对于A：圆柱的体积为，A错误； 对于B：圆柱的侧面积为，B正确； 对于C：圆柱外接球的半径，C正确； 对于D：圆柱内切球的半径，D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某专卖店某天销售的7双运动鞋的尺码依次为38，39，40，39，41，39，42，则这组数据的众数是______． 【答案】39 【解析】 【详解】因为这组数据中39出现3次，其他数据都只出现1次，所以这组数据的众数是39． 13. 如图，直三棱柱的所有棱长都相等， ，分别为棱 ，的中点，则异面直线 与所成角的余弦值是______． 【答案】## 【解析】 【详解】如图，取棱AC的中点F，连接EF，DF． 因为E，F分别是棱，AC的中点，所以， 则 是异面直线DE与所成的角或其补角． 直三棱柱的所有棱长都相等，设，则， 则， 即异面直线DE与所成角的余弦值是． 14. 如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是边长为4的正方形，，， 分别是棱 ， 的中点， 是侧面内的一个动点，若平面，则动点 的轨迹长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】取棱的中点G，连接，可证明平面，进而得到动点M的轨迹为线段 ，再求线段长即可． 【详解】如图，取棱的中点G，连接． 因为F，G分别是棱的中点，所以． 因为 平面 ，所以平面 ． 因为平面 ，所以． 由正方形的性质易证． 因为平面，平面，， 所以平面，则平面． 因为M是侧面内的一个动点，所以动点M的轨迹为线段 ． 因为，所以． 因为E，G分别是棱的中点，所以， 即动点M的轨迹长度是． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了提高快递网点派件效率，某快递公司统计了辖区内一批驿站上周的日均派件量，将统计数据按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中 的值； （2）估计这批驿站上周日均派件量的中位数（结果保留整数）； （3）现采用分层抽样的方法从上周日均派件量在内的驿站中抽取15家驿站进行调研，求上周日均派件量在内的驿站被抽取的数量． 【答案】（1） （2）207件 （3）6家 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图列出方程即可； （2）由中位数的意义及计算公式即可求解； （3）根据分层抽样即可求解． 【小问1详解】 由图可得 ， 解得 ． 【小问2详解】 因为 ， 所以这批驿站上周日均派件量的中位数在 内． 设这批驿站上周日均派件量的中位数的估计值为m，则 ， 解得 （件），故这批驿站上周日均派件量的中位数约为207件． 【小问3详解】 由频率分布直方图可知上周日均派件量在 内和 内的频率分别为0.24和0.16， 则上周日均派件量在 内的驿站被抽取的数量为 （家）． 16. 某农业合作社种植甲、乙两个品种的葡萄，为评估收成情况，随机抽取8株甲品种葡萄，测得单株产量（单位：千克）分别为4.5，4.7，4.8，4.8，4.8，4.9，4.9，5.0． （1）求抽取的这8株甲品种葡萄单株产量的平均数与方差； （2）已知随机抽取的12株乙品种葡萄单株产量的平均数，方差，求抽取的这20株葡萄单株产量的总体平均数和方差． 【答案】（1）平均数为4.8千克，方差为0.02 （2）总体平均数为4.77千克，方差为0.023 【解析】 【分析】（1）运算平均数和方差的公式进行求解即可； （2）运用总体平均数和方差的公式进行求解即可. 【小问1详解】 设抽取的这8株甲品种葡萄单株产量的平均数为，方差为， 则， ． 【小问2详解】 设这20株葡萄单株产量的总体平均数为，方差为， 则， ． 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是边长为4的菱形，，， 分别是棱，的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． （3）求点 到平面的距离． 【答案】（1）证明：因为平面平面ABC，平面平面，且，所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形是菱形，所以， 因为 平面，且，所以平面． （2）证明：取棱的中点F，连接， 因为E，F分别为棱的中点，所以， 由三棱柱的定义可知，则， 因为平面 平面，所以平面． 因为D，F分别为棱的中点，所以 ， 因为 平面，平面，所以 平面， 因为平面，平面，且，所以平面平面， 因为平面，所以平面． （3） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质，线面垂直的性质及判定即可证明； （2）根据线面平行的判定，面面平行的判定及性质即可证明； （3）过点E作，交于点H，结合（1）（2）得出点E到平面的距离为，即点D到平面的距离为． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 过点E作，交于点H， 因为四边形是边长为4的菱形，且，所以， 因为E是棱的中点，所以， 由（1）可知平面，则平面，即点E到平面的距离为． 由（2）可知平面，则点D到平面的距离为． 18. 如图，在四棱锥中， ，四边形 是直角梯形，， ， ， ， ． （1）证明：平面 平面 ． （2）求二面角 的正切值． （3）求三棱锥 外接球的表面积． 【答案】（1）因为四边形 是直角梯形，且 ， 所以 ， 又 ， 平面，所以平面， 因为平面 ，所以平面 平面 ． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件得 ，由线面垂直的判定定理得平面，再由面面垂直的判定定理，即可求解； （2）在平面内，作，垂足为，连接 ，记 ，连接，利用几何关系及二面角的定义得 是二面角 的平面角，再由几何关系得 ，即可求解； （3）设 外接圆的圆心为，三棱锥 外接球的球心为，利用几何关系求出外接球的半径，再利用球的表面积公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面内，作，垂足为，连接 ，记 ，连接， 因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，则平面 ， 因为 ，所以 ， 因为 ， ，则得 ， 又因， ， ，则 ，即得正三角形 ， 则四边形 是菱形，故得 ， 因为平面 ，且平面 ，所以， 因为 ， 平面 ，所以平面 ， 因为 平面 ，所以 ，则 是二面角 的平面角， 又，则 ， 又 ，故二面角 的正切值为. 【小问3详解】 设 外接圆的圆心为，连接 ， 则． 设三棱锥 外接球的球心为，连接 ，过点作 ，垂足为， 设三棱锥 外接球的半径为，则， ，解得，则 ， 故三棱锥 外接球的表面积为 ． 19. 如图，在等腰直角三角形中，，，是的重心，过的直线与线段 ， 分别交于， 两点，记． （1）求的取值范围． （2）记的面积为 ． （ⅰ）当时，求 的值； （ⅱ）求 关于的函数解析式，并求 的最值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ），最大值为1，最小值为． 【解析】 【分析】（1）先利用重心的性质确定直线PQ的旋转边界，找到的最大值和最小值；再通过余弦定理计算这两个临界值的余弦值；最后结合余弦函数的单调性，得到的取值范围； （2）（ⅰ）当时， ,利用相似三角形的面积比求解； （ⅱ）利用正弦定理把边化角，然后代入面积公式，得到 关于的函数解析式，再由的取值范围得到 的最值. 【小问1详解】 如图，连接BO并延长交AC于点E，连接CO并延长交AB于点D． 因为O是的重心，所以D，E分别为AB，AC的中点． 又是等腰直角三角形，， 所以． 由图可知，当点P与点B重合时，取得最大值， 此时． 当点P与点D重合时，取得最小值， 此时． 因为函数在上单调递减， 所以的取值范围为． 【小问2详解】 （i）当时，，则． （ii）在中，由，可得， 由正弦定理可得， 则， 同理可得， 则． 由（1）可知，则． ， 由，可得，则， 即S的最大值为1，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $